高中不等式解法

1、不等式的解法三、解不等式1解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對(duì)數(shù)不等式；解帶絕對(duì)值的不等式；解不等式組2解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn)：(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)與g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 與f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(shù)(x)0)；g(x)0同解(9)當(dāng)a1時(shí)，af(x)ag(

2、x)與f(x)g(x)同解，當(dāng)0a1時(shí)，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解4 零點(diǎn)分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法 步驟：形式：首項(xiàng)系數(shù)符號(hào)>0標(biāo)準(zhǔn)式，若系數(shù)含參數(shù)時(shí)，須判斷或討論系數(shù)的符號(hào)，化負(fù)為正判斷或比較根的大小題型講解 例1 不等式(1+x)(1-)>0的解集是（ ）A B C D解：(1+x)(1-)0的解為x=1,x= -1(二重根)畫出數(shù)軸：不等式(1+x)(1-)>0的解集是另法：x=和顯然屬于原不等式的解集，所以選（D） 例2 解不等式解：由 其零點(diǎn)分別為：-1,0,1(二重),2 ，畫出數(shù)軸如下：由圖知，原不等式的解集為例3 求不等式組的解

3、集 解法一：由題設(shè)x>0，得，即，原不等式組等價(jià)于（1） ；（2） 由（1）得，由（2）得，故原不等式組解集為 解法二：由已知條件可知兩邊平方，原不等式組等價(jià)于 即原不等式組解集為例4 解關(guān)于x的不等式解：下面對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類討論：當(dāng)m=時(shí)，原不等式為x+1>0，不等式的解為當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，不等式的解為或當(dāng)時(shí)，原不等式可化為， 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，原不等式無解綜上述，原不等式的解集情況為：當(dāng)時(shí)，解為；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，解為；當(dāng)m=時(shí)，解為；當(dāng)時(shí)，解為或例5 已知f(x)，g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，不等式f(x)>0的解集是(m

4、，n)，不等式g(x)>0的解集是，其中，求不等式的解集 解：f(x)，g(x)是奇函數(shù)，不等式f(x)>0的解集是(m，n)，不等式g(x)>0的解集是，不等式f(x)<0的解集是，不等式g(x)<0的解集是而不等式等價(jià)于或，所以其解集為例6 若不等式kx2-2x+1-k<0對(duì)滿足的所有k都成立，求x的取值范圍 解：原不等式可化為設(shè) ，是關(guān)于k的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)題意有：，即 解得點(diǎn)評(píng)：用換元、分離變量的方法在不等式的求解過程中比較常出現(xiàn)，也是解決含參數(shù)問題的重要方法例7 己知關(guān)于x的不等式的解為，求關(guān)于x的不等式的解集解：，因其解集為，且，從而又將代入，得所

5、求解集為例8 己知不等式的解集為，其中，求不等式的解集 解： 為方程的兩根，不等式可化為由己知條件得得 即，它的解集為點(diǎn)評(píng)：根據(jù)解集的表示形式可以確定例9 解不等式：（1）；（2）解 （1）原不等式與不等式組 ，或 同解，分別解不等式組得或，原不等式的解集為（2）原不等式與不等式組 同解，解之得或，原不等式的解集為點(diǎn)評(píng) ：一個(gè)無理不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組還是轉(zhuǎn)人為一個(gè)不等式組，這是解無理不等式的一個(gè)基本問題（1）中的第一個(gè)不等式組中可省去，（2）中的不等式組中則不可省去任何一個(gè)（1）的結(jié)果可從函數(shù)和的圖象上看出，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用圖象法解不等式例10 設(shè)關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的正根，且一根大于另一

6、根的兩倍，求的取值范圍解： 由，得當(dāng)及時(shí)，方程的兩根為正，解之，得，故，記，由，并注意，得，即， 綜上得取值范圍為 點(diǎn)評(píng)：先解出，在不等式的轉(zhuǎn)化過程中起了簡化作用例11 解不等式解：>1, >0, 當(dāng) 0<<1，即0<a<時(shí)，原不等式的解為;當(dāng)a>時(shí)，解集為x|;當(dāng)a=時(shí)，解集為R小結(jié)：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正確、熟練、迅速，這是解分式不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的基礎(chǔ) 帶等號(hào)的分式不等式求解時(shí)，要注意分母不等于0，二次函數(shù)的值恒大于0的條件是且；若恒大于或等于0，則且若二次項(xiàng)系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，必須考

7、慮二次項(xiàng)系數(shù)為0這一特殊情形2忽略對(duì)定義域的考慮以及變形過程的不等價(jià)，是解無理不等式的常見錯(cuò)誤，因此要強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考3 數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用圖形驗(yàn)證，解題的結(jié)果4解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的過程中常用到換元法底數(shù)是參數(shù)時(shí)，須不重不漏地分類討論化同底是解不等式的前提取對(duì)數(shù)也是解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的常用方法之一，在取對(duì)數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍當(dāng)所取對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母時(shí)，隨時(shí)要把“不等號(hào)是否變向”這一問題斟酌再三5解含參數(shù)的不等式時(shí)，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論分類的標(biāo)準(zhǔn)要通過理解題意（例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱

8、含條件），根據(jù)方法（例如利用單調(diào)性解題時(shí)，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值），按照解答的需要（例如進(jìn)行不等式變形時(shí)必須具備的變形條件）等方面來決定，要求做到不重復(fù)、不遺漏解不等式是不等式研究的主要內(nèi)容，許多數(shù)學(xué)中的問題都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)解不等式的問題，如函數(shù)的定義域、值域、最值和參數(shù)的取值范圍，以及二次方程根的分布等因此解不等式在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，是高考的必考內(nèi)容之一學(xué)生練習(xí) 1不等式4x>的解集是（ ）Ax| x<或x> Bx| x>且xCx| <x<0或x> Dx| <x<答案: C 2不等式<0的解集是（ ）Ax|2<x

9、<3 Bx|x<2或x>3 Cx|x>2 Dx|x<3答案: B3不等式>x3的解集是（ ）Ax|3x<5 Bx|3<x5 Cx|1x<3或3<x<5 Dx|1x<5答案: D4不等式1lg(2x1)>lgx的解集是（ ）Ax|2<x< Bx|0<x< Cx|<x< Dx|x>答案: C 5不等式組與不等式(x2)(x5)0同解，則a的取值范圍是（ ）Aa>5 Ba<2 Ca5 Da2答案: D 提示: 不等式組的解是2x5且x(xa)0, 即要求x(xa)0的解

10、包含2x5， a<26不等式>3的解集是（ ） Ax|x< Bx|x<或x>0 Cx|x>且x0 Dx|<x<0答案: B 7不等式<2的解集是（ ） Ax|x> Bx|x<或x> Cx|x> Dx|<x<答案: B 8不等式ax2ax(a1)<0的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A(, 0) B(, 0)(,+) C(, 0 D(, 0(,+) 答案: C 提示: 不等式ax2ax(a1)<0的解集是全體實(shí)數(shù), a=0時(shí)成立，當(dāng)a<0時(shí), 判別式<0,得a<0時(shí)成立，

11、a(, 09不等式log<log(8x)的解集是（ ）Ax|<x<2或x>7 Bx|<x<8 Cx|<x<2或7<x<8 Dx|x<4答案: C 提示: >0, 8x>0且>8x, 解得<x<2或7<x<810若不等式f (x)0的解集是F, 不等式g(x)<0的解集是G，則不等式組的解集是A B CFG DFG答案: B提示: f (x)<0的解集是, g(x)0的解集是, 不等式組的解集是11不等式<x2的解集是（ ）A (,)(,+) B (,) C (1,+)

12、D (,+)答案: D12解不等式ax2bx2>0得到解集x|<x<，那么ab的值等于A10 B10 C14 D14答案: D 提示: x1x2=, 13不等式(x3)(x2)(5x)>0的解集是 答案: x<2或3<x<5 14不等式9 x2·3x+124>0的解集是 答案: x>log 3 2 提示: 設(shè)3x=t, t26t16>0, t>2或t<8, x>log 3 215函數(shù)y=lg(x22x2)的定義域是 答案: x<1或x>3 16設(shè)全集I=R，集合M=x|>2, N=x|lo

13、g x7>log 37，那么M= 答案: x| x3或x2提示: Mx| x>2或x<2, N=x| 1<x<3, M= x| x3或x217滿足不等式<05 n<的最小整數(shù)n是 答案: n=6 18若0<a<1，則關(guān)于x的不等式a2x1a(x1)的解集是 答案: x 提示: (a2a)x1a, 0<a<1, a2a<0, x19不等式a>105lga (a>0, a1)的解集是 答案: 當(dāng)0<a<1時(shí),3<x<5; 當(dāng)a>1時(shí), x<3或x>5提示: 105lgaa5

14、, 當(dāng)0<a<1時(shí),x22x10<5, 3<x<5; 當(dāng)a>1時(shí), x22x10>5, x<3或x>520不等式logsinx(x29)>0的解集是 答案: x| <x<或3<x<提示: 0<sinx<1且0<x29<1, x|2<x<或0<x<或并且x| <x<3或3<x<, x| <x<或3<x<21曲線x2y2xy=0的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是 答案: (1, 1)提示: =44y20, y21, ymax=1, 此時(shí)x

15、=1, 最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(1, 1)22解關(guān)于x的不等式<答案：當(dāng)a2時(shí)，解集為空集；當(dāng)a>2時(shí), x<a1提示： 2xa>0, x1>0, 2xa<x1, x>, x>1, 當(dāng)a2時(shí),解得x<a1<1,矛盾；當(dāng)a>2時(shí), >1， x<a123已知正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(a, 0), B(a, 0), C(0, a)，其中a>0，連接AB邊上的點(diǎn)P(x, 0)及AC邊上的點(diǎn)Q的線段PQ把ABC的面積二等分,求|PQ|的最大值和最小值答案：最小值是a， 最大值是a提示：|AP|AQ|sin60°=

16、a 2, |AP|=xa, |AQ|=|PQ|2=(xa)2()24a2cos60°2a2, |PQ|的最小值是a，再討論函數(shù)的增減性，得當(dāng)x=0或x=a時(shí),取得最大值為a24 已知6<a<10, b2a, c=ab, 則c的取值范圍是（ ）A9c30 B9c18 C9<c<30 D15<c30答案：C提示： <c<3a, 9<c<3025 不等式6x2 5x<4的解集為（ ）A(，4/3)(1/2, +) B(4/3, 1/2) C(, 1/2)(4/3, +) D(1/2, 4/3)答案：B26 a>0, b>

17、;0, 不等式a>>b的解集為（ ）A<x<0或0<x< B x<或x>C<x<0或0<x< D <x<答案：B27 與不等式同解的不等式是（ ）A(x3)(2x) 0 B0<x21 C 0 D(x3)(2x)>0答案：B 提示：的解是2<x3, 0<x21的解也是2<x328 不等式 >x2 的解集是（ ）Ax1<x<5 Bxx<5 Cx2x<5 Dxx>2答案：B29 若f (x)=x, 則當(dāng)x>1時(shí)，f (x) f 1(x)(填>

18、;, <或=)答案：<30 當(dāng)0x2時(shí)，f (x)= 的最大值為 ;最小值為 答案：3；11 提示：f (x)=2(2x3)211, 當(dāng)x=0時(shí),最大值為3，當(dāng)x=log23時(shí),最小值為1131 函數(shù)f (x)=log2 (x24), g (x)= (k<1), 則f (x)g (x)的定義域?yàn)?答案：2k, 2)(2, +) 提示：x24>0, 得x>2或x<2, x2k0, 得x2k, x2k, 2)(2, +)32 A=x, B=xx2(a5)x5a<0, 若ABxx<5, 則a的取值范圍是 答案：, 1提示：A=x| 1<x<2)或x, B=x| a<x<5, 1a, a, 133 不等式x222<0的解集是 答案：1<x<1 提示：x222<0,其中|x|, 解得1<|x|<1, 1<x<134 若x、yR, 且x2y2=1,則 (1xy)(1xy)的最大值為 ;最小值為 答案：1；35若二次方程x22mx4x2m24m2=0有實(shí)根，則兩根之積的最大值為 答案：104提示：x22mx4x2m24m2=0有實(shí)根，0, 解得x, x1x2=2m24m2, 當(dāng)m=時(shí), x1x2取最大值為10436