第三章傅里葉變換

1、第第三三章章 傅里葉變換傅里葉變換3.1 引言引言3.2 周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.3 典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的傅里葉級數(shù)3.4 傅里葉變換傅里葉變換3.5 典型非周期信號的傅里葉變換典型非周期信號的傅里葉變換3.6 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換3.7 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)3.8 卷積特性（卷積定理）卷積特性（卷積定理）3.9 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換3.11 抽樣定理抽樣定理傅里葉生平傅里葉生平n1768年生于法國年生于法國n1807年

2、提出年提出“任何周期信號任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”n1829年狄里赫利第一個給出年狄里赫利第一個給出收斂條件收斂條件n拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表n1822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱的分析熱的分析理論理論”中中傅里葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)傅里葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)n“周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)”傅里葉的第一個主要論點(diǎn)傅里葉的第一個主要論點(diǎn)n“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”傅里葉傅里葉的第二個主要論點(diǎn)的第二個主要論點(diǎn)頻域分析頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分

3、析，首先討論傅里葉變換。從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進(jìn)的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)

4、出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。概念。 3.1 引言引言發(fā)展歷史發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了理論時發(fā)表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。得到廣泛應(yīng)

5、用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力?？焖俑道锶~變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容本章從傅里葉

6、級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，在進(jìn)行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，對于周期信號而言，在進(jìn)行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。本章最后研究抽樣

7、信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。*本章要點(diǎn)本章要點(diǎn) 1.利用傅立葉級數(shù)的定義式分析周期信號的離散譜。利用傅立葉級數(shù)的定義式分析周期信號的離散譜。2.利用傅立葉積分分析非周期信號的連續(xù)譜。利用傅立葉積分分析非周期信號的連續(xù)譜。3.理解信號的時域與頻域間的關(guān)系。理解信號的時域與頻域間的關(guān)系。4.用傅立葉變換的性質(zhì)進(jìn)行正逆變換。用傅立葉變換的性質(zhì)進(jìn)行正逆變換。5.掌握抽樣信號頻譜的計算及抽樣定理掌握抽樣信號頻譜的計算及抽樣定理將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合意義將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合意義 1.從信號分析的角度從信號分析的角度將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之將

8、信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑。間進(jìn)行比較提供了途徑。 2.從系統(tǒng)分析角度從系統(tǒng)分析角度已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應(yīng)而且每個正弦分量通不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應(yīng)而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。過系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。 3.2 周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)兩種傅里葉級數(shù)的關(guān)系兩種傅里葉級數(shù)的關(guān)系 頻譜圖

9、頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率周期信號的功率一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1.正交三角函數(shù)集正交三角函數(shù)集三角函數(shù)系三角函數(shù)系 在區(qū)間在區(qū)間-,上上正交正交，是指在三角函數(shù)系中任何不同的兩個函，是指在三角函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間的積分等于零，即數(shù)的乘積在區(qū)間的積分等于零，即,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx算算定定積積分分來來驗驗證證。以以上上等等式式都都可可以以通通過過計計),.,3 , 2 , 1,(0sinsin),.,3 , 2 , 1,(0coscos,

10、.)3 , 2 , 1,(0cossin,.)3 , 2 , 1(0sin,.)3 , 2 , 1(0cosnknknxdxkxnknknxdxkxnknxdxkxnnxdxnnxdx),.,3 , 2 , 1,(0)sin()sin(21)cos()cos(21coscos)cos()cos(21coscosnknknkxnknkxnkdxxnkxnknxdxkxnkxnkxnknxkx時時，有有當(dāng)當(dāng)?shù)牡墓绞嚼糜萌墙菍W(xué)學(xué)中中積積化化和和差差證證明明： 1112 , , TTtf基基波波角角頻頻率率為為周周期期為為周周期期信信號號在滿足狄氏條件時，可展成在滿足狄氏條件時，可展成 1

11、 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211TttnttntfTa正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211TttnttntfTb稱為稱為三角形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)，其系數(shù)2級數(shù)形式級數(shù)形式100d)(110TttttfTa其中其中n1,2,3,。狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）條件）條件條件條件3: 在一周期內(nèi)，信號絕對可積，在一周期內(nèi)，信號絕對可積，條件條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件條件1：在一周期內(nèi)，如

12、果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個。有限個。等等于于有有限限值值。即即100d)(Tttttf 通常我們遇到的周期性信號都能滿足狄利克雷條件，因此，通常我們遇到的周期性信號都能滿足狄利克雷條件，因此，以后除非特別情況，一般不再考慮這一條件。以后除非特別情況，一般不再考慮這一條件。例例1不滿足條件不滿足條件1的例子如右圖所示，的例子如右圖所示，這個信號的周期為這個信號的周期為8，它是這樣組，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過期內(nèi)

13、它的面積不會超過8，但不連，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個。續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無窮多個。LL tfO18 t821例例2不滿足條件不滿足條件2的一個函數(shù)是的一個函數(shù)是 10,2sintttf對此函數(shù)，其周期為對此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 1d10ttfLL tfO11 t1在一周期內(nèi)，信號是在一周期內(nèi)，信號是絕對可積絕對可積的的(T1為周期為周期) TttfTd1100d)(Tttttf TTtnnttfTttfTFd1de11j說明說明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都是有限值都是有限值因為因為nF例例3周期信號周期信號 ，周期為周期為1，不

14、滿足此條件。，不滿足此條件。 10,1tttfLL tfO121 2 t1周期單位沖激序列的頻譜周期單位沖激序列的頻譜 TttTnFTTtn1de122j11tnnTTttf1je1)()(分析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的分析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號的定義和特充分條件。根據(jù)沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)存性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)存在。即在。即為為整整數(shù)數(shù)nnTttnT)()(滿足離散性，諧波性，不滿足收斂性，頻帶無限寬。滿足離散性，諧波性，不滿足收斂性，頻帶無限寬。LLtO tT TT 1 1 nFOLLT11 12 12 1 例例3-2-1求

15、周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。22110110d1TTttTATa22111110dcos2TTnttntTATa2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 ) 1(1LnnAn周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為 LtAtAtf112sin2sin022 )(111TtTtTAtf直流直流基波基波諧波諧波112T t tfA/2/221T21T 其他形式其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnncacosnnncbsin余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad a

16、rctannnnabnnndasinnnndbcos110sin)(nnntnddtf22nnnbad 2 cos)(110nnntncctf將式（將式（1）中同頻率項加以合并，可以寫成另外兩種形式：）中同頻率項加以合并，可以寫成另外兩種形式：可畫出頻譜圖可畫出頻譜圖周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 幅度頻率特性和相位頻率特性幅度頻率特性和相位頻率特性的的線線性性組組合合?；úń墙穷l頻率率的的整整數(shù)數(shù)倍倍）（）和和各各次次諧諧波波，基基波波（周周期期信信號號可可分分解解為為直直流流:11n關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；幅度譜

17、幅度譜關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。相位譜相位譜ncncn01c2c3c1c031n1n0131n1二指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)0111( )cossin nnnf taantbnt已知1111111cos()()21sin()()2jntjntjntjntnteentee1101( )()22jnjnttnnnnnajbajbf taee根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式：代入得：代入得：j110111( )()()jntjntnf taF neFne 1j1( )() e 4ntnf tF n令令關(guān)于關(guān)于n的偶函數(shù)的偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于n的奇函數(shù)的奇函數(shù)因此因此代入得：

18、代入得：令令因為：因為：所以所以nnjbanF21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanFnn00101)0()()(1aFenFnFntjnn )5()(1)(100111TtttjndtetfTnFtjnntjkntjnnenFekFnkenF111111111)()()( 令令說明說明 變變換換對對。式式是是一一對對、惟惟一一確確定定，則則如如給給出出)5()4()(1tfnF的的線線性性組組合合。區(qū)區(qū)間間上上的的指指數(shù)數(shù)信信號號周周期期信信號號可可分分解解為為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf )5()(1)(100111TtttjnndtetfTnFF式（式（4）

19、即）即f(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)，其系數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)，其系數(shù)F(n1)簡寫成簡寫成Fn，由式（由式（5）計算，其中）計算，其中n為從為從到到的整數(shù)。的整數(shù)。三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù))(),(11nFnFnnjbanF21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanFnn,.)2, 1(4)(21212121212222220000nFFbadcFFjbcFFbadcFFjbaeFFjbaeFFadcFnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnn相頻特性相頻特性 nnnabarctan幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特

20、性幅頻特性22212121nnnnnnbadcFF的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于1111 nnnnFnbna1 13 nc0c1c3cO1 13 n O 頻譜圖頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或nnFc曲線曲線 n請畫出其幅度譜和相位譜。請畫出其幅度譜和相位譜。例例3-2-210 c00236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化為余弦形式化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖，已已知知42coscos2sin

21、1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù) 1 1c0c2c12 O24. 211nc12 25. 015. 0 O1 n 化為指數(shù)形式化為指數(shù)形式4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttftttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnF1j22e10F15. 0 j11e12. 1j211FF15. 0 j1112. 1j211eFF4j12e212FF4j12e212FF整理整理指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)指數(shù)形

22、式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)譜線譜線1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比比三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖1 1c0c2c12 O24. 211nc12 25. 0 15. 0 O1 n 1

23、2 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF三角級數(shù)譜與復(fù)指數(shù)譜的比較三角級數(shù)譜與復(fù)指數(shù)譜的比較1）復(fù)指數(shù)譜為雙邊譜，）復(fù)指數(shù)譜為雙邊譜，級數(shù)譜為單邊譜級數(shù)譜為單邊譜2）兩種譜中，直流分量相等）兩種譜中，直流分量相等3）交流分量中，）交流分量中，c0= A0， cn= An/2。雙邊譜。雙邊譜 對折后相加幅度等于單邊譜。對折后相加幅度等于單邊譜。4）兩種譜的相位相同）兩種譜的相位相同體現(xiàn)能量守恒體現(xiàn)能量守恒四總結(jié)四總結(jié)（1）周期信號）周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式（

24、3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率）引入負(fù)頻率(1)周期信號周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式1110sincos)(nnntnbtnaatftnnnFtf1j1e)()(100dcos)(211TttnttntfTa100dsin)(211TttnttntfTb其中：其中：其中：其中：110)cos(nnntnccnnjbanF21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanFnn0001021)(acFncnFn(2)兩種頻譜圖的關(guān)系兩種頻譜

25、圖的關(guān)系)()( 11nn相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數(shù)數(shù)nnc，三三角角函函數(shù)數(shù)形形式式：單邊頻譜單邊頻譜nnF，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)形形式式：雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系)()( 11 nFnF 偶偶函函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度頻頻譜譜為為(3)三個性質(zhì)三個性質(zhì)的譜線唯一的譜線唯一惟一性：惟一性：處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出（離散性），頻率只出諧波性：諧波性：收斂性：收斂性：)(,11tfnnFn(4)引入負(fù)頻率引入負(fù)頻率 的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)不不變變。，才才能能保保證證和和數(shù)數(shù)，必必須須有有共共軛軛對對是是實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，分分解解成成虛虛指指)(ee11jjtftfnn1偶函數(shù)

26、（關(guān)于偶函數(shù)（關(guān)于t的偶函數(shù)）的偶函數(shù)）為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)。項項。項項，只只含含直直流流項項和和余余弦弦傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)中中不不含含正正弦弦)(1nF信號波形相對于縱軸是對稱的信號波形相對于縱軸是對稱的)()(tftf2122( )sind0TTnbf tnttT22110224( )cosd( )cosd0TTTnaf tnttf tnttTTnnnnabanFF21j21)(10n五函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系五函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系)(tfLLOtTET 2奇函數(shù)（關(guān)于奇函數(shù)（關(guān)于t的奇函數(shù)）的奇函數(shù)）)()(tftf對對稱稱的的：波波形形相相對對于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反為為

27、虛虛函函數(shù)數(shù)。；量量，只只可可能能包包含含正正弦弦項項傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)中中無無余余弦弦分分)(1nF 0= d)(1 220TTttfTa0dcos)(2221TTnttntfTa2122( )sindTTnbf tnttTnnnnbbanFFj21j21)(12010dsin)(4TttntfT)(tfLLOtTT 11 函數(shù)對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系詳細(xì)見教材函數(shù)對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系詳細(xì)見教材P98表表3-120220)(2)(12TTTdttfTdttfTa說明其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直流分說明其傅立葉級數(shù)展開式中只含有直流分量和余弦諧波分量，不含有正弦諧波分量。量和余弦諧波分量

28、，不含有正弦諧波分量。(a) 是是偶函數(shù)偶函數(shù))(tf2022cos)(4cos)(2TTTntdtntfTtdtntfTa0nb說明其傅立葉級數(shù)展開式中只含正弦諧波分說明其傅立葉級數(shù)展開式中只含正弦諧波分量，不含有直流分量和余弦諧波分量。量，不含有直流分量和余弦諧波分量。0020naa(b) 是是奇函數(shù)奇函數(shù))(tf2022sin)(4sin)(2TTTntdtntfTtdtntfTb(c) 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù))()2(tfTtf奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中，只含有奇次奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中，只含有奇次諧波分量，不含有直流分量和偶次諧波分量。諧波分量，不含有直流分量和偶次諧波分量。)(t

29、f02TTt (d) 偶諧函數(shù)偶諧函數(shù))()2(tfTtf偶諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中，只含有直流偶諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式中，只含有直流分量和偶次諧波分量，不含有奇次諧波分量。分量和偶次諧波分量，不含有奇次諧波分量。)(tftT02T六周期信號的功率六周期信號的功率周期信號平均功率周期信號平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，方和；也就是說，時域和頻域的能量是守恒的時域和頻域的能量是守恒的。nnnnnnnFcabaa21220122202121TttfTP02d)(1證明證明對于三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對于三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)111

30、0sincos)(nnntnbtnaatf平均功率平均功率 ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos1d)(1201110021222021nnnbaa122012202121nnnncaca對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)nnnFnF221TttfTP02d)(100aF 總平均功率總平均功率= =各次諧波的平均功率之和各次諧波的平均功率之和sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin三角函數(shù)公式三角函數(shù)公式本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例進(jìn)行分析本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例進(jìn)行分

31、析主要討論：頻譜的特點(diǎn)，頻譜結(jié)構(gòu)，主要討論：頻譜的特點(diǎn)，頻譜結(jié)構(gòu)， 頻帶寬度，能量分布。頻帶寬度，能量分布。其他信號其他信號: 周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號 周期半波余弦信號周期半波余弦信號 周期全波余弦信號請自學(xué)。周期全波余弦信號請自學(xué)。3.3 典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的傅里葉級數(shù)頻譜結(jié)構(gòu)頻譜結(jié)構(gòu)1TE周周期期為為脈脈沖沖高高度度為為脈脈寬寬為為三角函數(shù)形式的譜系數(shù)三角函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)頻譜特點(diǎn)頻譜特點(diǎn))(tf2 t1T1T E2 O1三角形式的譜系數(shù)三角形式的譜系數(shù) 是是偶偶函函數(shù)數(shù) tfnnaab,

32、00只只有有 122122101111TEdtETdttfTaTT 2 222 222111111111221221111 nSaETnSaTETnTnsinTETnsinnEdttTncosETdttncostfTaTTn112T tncosnSaETEtftncosTnSaTETEtfnn111111111122 或三角形式傅里葉級數(shù)為1112fT化為抽樣函數(shù)化為抽樣函數(shù)22j1122j111ej1de1 =tntnnTEtET2j2j1111eejnnTnE2sin2111nTnE22sin111nnTE2指數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)形式的譜系數(shù)111Sa22nEnaT22j11111de )(

33、1)(TTtnttfTnF)(1 nF O 2Sa111 nTEnF3頻譜及其特點(diǎn)頻譜及其特點(diǎn)(3)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(1)離散譜（諧波性）離散譜（諧波性） 1時時取取值值當(dāng)當(dāng)n。處處，為為其其最最大大值值在在10 )2(TEn相相位位數(shù)數(shù)），幅幅度度函函是是復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)（此此處處為為實(shí)實(shí)）（/)(51nF2)4 第第一一個個零零點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)：（1 12 1TE 2 22令令 。相位為相位為，相位為，相位為, 000nnFF51T圖圖中中4總結(jié)總結(jié) 非非周周期期信信號號。由由周周期期信信號號為為無無限限小小，時時，當(dāng)當(dāng) tfTET1110 1112TT 譜譜線線間間隔隔幅

34、幅度度 矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點(diǎn)：矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點(diǎn)： 離散性、諧波性、收斂性。離散性、諧波性、收斂性。1TE 即即譜譜線線的的疏疏密密不不變變不不變變，不不變變，11.Ta 的的收收斂斂速速度度變變慢慢則則ncb,.包包線線的的零零值值位位置置不不變變不不變變，不不變變，譜譜線線密密集集變變時時不不變變，2.,.1bTaT增大增大不變不變1 T21T41T81T1ET1ET1ET2說明說明減減少少不不變變 1T1/2T1/4T1/8T2221ET1ET1ET頻譜分析表明頻譜分析表明n這是一個離散頻譜，譜線間隔為基波角頻率這是一個離散頻譜，譜線間隔為基波角頻率

35、1，因為，因為1=2/T1，譜線間隔將取決于，譜線間隔將取決于T1，脈沖周期越大，譜線越密。，脈沖周期越大，譜線越密。n各譜線的高度正比于信號在一個周期內(nèi)的平均值，即各譜線的高度正比于信號在一個周期內(nèi)的平均值，即E/T1，其中其中E正是脈沖的面積。也即各分量的大小與脈沖幅度成正是脈沖的面積。也即各分量的大小與脈沖幅度成正比，與脈沖寬度成正比，與周期成反比。正比，與脈沖寬度成正比，與周期成反比。n各譜線的幅度按各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：n主要能量集中在零頻和包絡(luò)線第一次過零點(diǎn)對應(yīng)的頻率之主要能量集中在零頻和包絡(luò)線第一次過零點(diǎn)對應(yīng)的頻率之間內(nèi)。在允許一定失真的條件

36、下，傳輸信號往往只輸送間內(nèi)。在允許一定失真的條件下，傳輸信號往往只輸送 (2/)范圍內(nèi)的各頻率分量，所以常常把這段頻率范圍稱為范圍內(nèi)的各頻率分量，所以常常把這段頻率范圍稱為頻帶寬度，用頻帶寬度，用Bf或或B表示，則表示，則n譜線的密度取決于譜線的密度取決于T1與與之比，即之比，即 前面頻譜圖是按前面頻譜圖是按(T1/)5繪制的。繪制的。)(1TnSak221BBfTT/2/2/21一傅里葉變換一傅里葉變換)(tf：周期信號：周期信號非周期信號非周期信號 22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 譜譜系系數(shù)數(shù)連續(xù)譜，幅度無限?。贿B續(xù)譜，幅度無限小；離散譜離散譜1. 引出引出 1T0再

37、用再用 表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函頻譜密度函數(shù)數(shù)，來，來表示非周期信號的頻譜表示非周期信號的頻譜。1nF11 2 T 譜譜線線間間隔隔0圖例圖例3.4 傅里葉變換傅里葉變換（1） T（2）2T（3） 4T（1） T（2）2T（3） 4T 0)( , 02111nFT22j11111de )(1)(TTtnttfTnF 11110lim112limnFTnFFT 22j1111de )(limTTtnTttf 11dnn連續(xù) 11111121nFTnFnFT時，時，當(dāng)當(dāng)1T（1）于

38、于有有限限值值不不再再趨趨于于零零，而而是是趨趨近近有有界界函函數(shù)數(shù)11112 ,nFnF頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)1T 1T 左邊：左邊：）（或或常常記記作作變變成成一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，通通jFFnFnFT)(21111 1n e j)(tdttf 1T 21T21T 頻譜密度：單位頻譜密度：單位頻帶上的頻譜值頻帶上的頻譜值11nF頻譜密度函數(shù)的表示（傅里葉變換）頻譜密度函數(shù)的表示（傅里葉變換）)(je| )(|)(FF )(稱為傅里葉變換。稱為傅里葉變換。求求由由Ftf ,故故可可表表示示為為一一般般為為復(fù)復(fù)信信號號F 幅度頻譜幅度頻譜:F 相相位位頻頻譜譜:)

39、(de )()(jtfFTttfFt傅里葉變換的奇偶虛實(shí)性分析傅里葉變換的奇偶虛實(shí)性分析（教材（教材P123126） 由傅里葉變換的定義由傅里葉變換的定義 dtetfFtjF()的一般形式可以寫作的一般形式可以寫作 F()R()+j X()或或由歐拉公式，有由歐拉公式，有當(dāng)當(dāng)f(t) 是實(shí)函數(shù)時，則是實(shí)函數(shù)時，則 通過對以上各式分析可知：通過對以上各式分析可知： jeFF tdttfXtdttfRsincos RXXRjFarctan22j -j ecosjsinecosjsintttttt當(dāng)當(dāng)f(t)是實(shí)函數(shù)時，是實(shí)函數(shù)時， R()是是的偶函數(shù)，而的偶函數(shù)，而X()是是的奇函數(shù)，且此時的奇函

40、數(shù)，且此時F()與與F()互為共軛復(fù)數(shù)。即互為共軛復(fù)數(shù)。即F()F * ()。當(dāng)當(dāng)f(t)是虛函數(shù)時，是虛函數(shù)時， R()是是的奇函數(shù)，而的奇函數(shù)，而X()是是的偶函數(shù)，且此時的偶函數(shù)，且此時F()與與F()互為共軛復(fù)數(shù)?；楣曹棌?fù)數(shù)。無論無論f(t)是實(shí)函數(shù)還是虛函數(shù)，是實(shí)函數(shù)還是虛函數(shù)， 始終是始終是的偶的偶函數(shù)，而函數(shù)，而 始終是始終是的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。當(dāng)當(dāng)f(t)是實(shí)偶（奇）函數(shù)時，其傅里葉變換為實(shí)偶是實(shí)偶（奇）函數(shù)時，其傅里葉變換為實(shí)偶（虛奇）函數(shù)。（虛奇）函數(shù)。 F 2逆變換逆變換ntnnFtf1j111e)()(2)(11lim1nFT )(11lim1nFTFT11)(lim

41、1nFT 2F由復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)由復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)11，再乘以，再乘以除以除以tnnnFtf1j1e )()(,d11n,1時時當(dāng)當(dāng)Tn de 21jtFtf3傅里葉變換對傅里葉變換對 Ftf 簡寫簡寫 FFTeFtft1jd21)()(de )()(jtfFTttfFt dtFjdtFdeFdeFtfFFtjtj)(sin)(2)(cos)(21)(21)(21)(,e| )(|)()()(j 寫成三角函數(shù)形式：寫成三角函數(shù)形式：傅里葉逆變換式也可以傅里葉逆變換式也可以dtFdtFtfFtfttfFt)(cos)(1)(cos)(21)()()()( de )()(0j的的偶偶函

42、函數(shù)數(shù)和和奇奇函函數(shù)數(shù)，則則分分別別為為頻頻率率和和為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，則則若若4. 非周期信號頻譜的特點(diǎn)非周期信號頻譜的特點(diǎn) 【結(jié)論】【結(jié)論】n非周期信號也可以進(jìn)行正交變換；非周期信號也可以進(jìn)行正交變換；n非周期信號完備正交函數(shù)集是一個無限密集的連續(xù)函數(shù)集；非周期信號完備正交函數(shù)集是一個無限密集的連續(xù)函數(shù)集；n非周期信號的頻譜是連續(xù)的；非周期信號的頻譜是連續(xù)的；n非周期信號可以用其自身的積分表示。非周期信號可以用其自身的積分表示。n非周期實(shí)信號非周期實(shí)信號是頻率為無限密集、振幅為無窮小的余弦分是頻率為無限密集、振幅為無窮小的余弦分量的線性組合量的線性組合頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)1( )( )2

43、j tj tf tf t edted 歐拉公式歐拉公式 ttfFtde )(j ttttftfdsinjcos)()(oe二傅里葉變換的表示二傅里葉變換的表示0o0edsin)(2jdcos)(2tttftttf實(shí)部實(shí)部虛部虛部 XRFFjej 實(shí)部實(shí)部虛部虛部模模相位相位實(shí)信號實(shí)信號 偶分量偶分量 奇分量奇分量 tftftfoe)( j -j ecosjsinecosjsintttttt為為實(shí)實(shí)函數(shù)，只有函數(shù)，只有 ，相位，相位 偶偶函數(shù)函數(shù)（奇奇分量為分量為零零） tf F R 0edcos)(2tttfR 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 0odsin)(2tttfX 22 XRF RXarct

44、an 為為虛虛函數(shù)，只有函數(shù)，只有 ，相位，相位 F 奇奇函數(shù)函數(shù)（偶偶分量為分量為零零） tf X2 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 三傅里葉變換的物理意義三傅里葉變換的物理意義 1cosd21 jsind2FtFt 可以證明為偶函數(shù)可以證明為偶函數(shù) j1( )ed2tf tF j ()j1eed2tF 01( )cosdf tFt 實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)三角形式三角形式表達(dá)式表達(dá)式 j()1ed2tF 歐拉公式歐拉公式偶偶奇奇：積分后奇奇：積分后(偶偶)0偶偶 偶偶 偶：積分偶：積分(奇）奇）dtF0)(cos)( 0 :, d1 頻頻域域范范圍圍之之和

45、和的的連連續(xù)續(xù)余余弦弦信信號號無無窮窮多多個個振振幅幅為為無無窮窮小小 F 求和求和 振幅振幅 余弦信號余弦信號解釋解釋dtFtf0)(cos)()(四傅里葉變換存在的條件四傅里葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。所有能量信號均滿足此條件。 絕絕對對可可積積即即 tf )( d充充分分條條件件有有限限值值ttf 函函數(shù)數(shù)類類型型大大大大擴(kuò)擴(kuò)展展了了。傅傅里里葉葉變變換換的的函函數(shù)數(shù)的的概概念念后后，允允許許作作當(dāng)當(dāng)引引入入 一矩形脈沖信號一矩形脈沖信號 22jdetEFt22jejtEj2ee.22j2jE22sin E 2Sa E 2SaEF幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜：抽樣

46、抽樣信號信號12241222nnnn1412222212nnnnsin23.5 典型非周期信號的傅里葉變換典型非周期信號的傅里葉變換0)(EO tft2 2 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn Lt tSa123O 12 fBB或或頻譜圖頻譜圖 2Sa EF幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻寬：頻寬： 2SaEFn最大值矩形窗面積最大值矩形窗面積 E；零點(diǎn)坐標(biāo)；零點(diǎn)坐標(biāo)2n窗寬；窗寬；n頻寬頻寬(第一零點(diǎn)第一零點(diǎn))2窗寬；窗寬； F E 2O 4 2 F E 2O 4 2 20 4 2 n信號表達(dá)式：信號表達(dá)式：n幅頻幅頻n相頻相頻)0(00),0()(ttetftjd

47、teedtetfdtetfFtjttjtj1)()()(00221)(F)arctan()(二單邊指數(shù)信號二單邊指數(shù)信號 0,1, 0FF 2,2,0, 0 )(022)(F12130 f(t)t010),()(tetft2200211)(jjdteedteeFtjttjt 0)(FF，而而這這是是一一個個正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)頻頻譜譜， f(t)0t1)(F02三雙邊指數(shù)信號三雙邊指數(shù)信號 20,0XX四四. 單位沖激信號單位沖激信號1)()(dtetFtj1t0)(t)(F0單位沖激信號的頻譜是一個均勻頻譜。同理可證單位沖激信號的頻譜是一個均勻頻譜。同理可證 (t)是時域中變化最劇烈的函數(shù)之一，而其

48、頻譜卻是頻域是時域中變化最劇烈的函數(shù)之一，而其頻譜卻是頻域最均勻的。最均勻的。 ktk jj0( )ededdtFtttttt Bt,01時時的矩形脈沖，的矩形脈沖，看作看作1 F1 OtO 1)(tO tft2 2 1 F1 2O 4 2 傅氏變換傅氏變換EO tft2 2 F E 2O 4 2 tO tfE O E2 比較比較 21211deFtj1)(t 21)( 沖激函數(shù)的傅里葉逆變換沖激函數(shù)的傅里葉逆變換)( ) t ( tO 1 F1 OO 1 F t tf21O五沖激偶五沖激偶 0dftttf jj0d e e jjtttFttt 六六. 常數(shù)信號常數(shù)信號常數(shù)信號不滿足絕對可積的

49、條件，由于常數(shù)信號不滿足絕對可積的條件，由于所以所以因為因為(t)是偶函數(shù)，上式可改寫成是偶函數(shù)，上式可改寫成交換交換與與t后可得后可得對于一般常數(shù)對于一般常數(shù)k，有，有 常數(shù)是時域中最均勻的函數(shù)，但其頻譜卻是一個在頻常數(shù)是時域中最均勻的函數(shù)，但其頻譜卻是一個在頻域中只在域中只在0處存在的沖激譜，這一點(diǎn)與我們的直覺完處存在的沖激譜，這一點(diǎn)與我們的直覺完全一致，常數(shù)只對應(yīng)一個直流分量。全一致，常數(shù)只對應(yīng)一個直流分量。 1tdedeFttjtj121)(21)(dedetttjtj121121)()(dtetj1)(2kk2 通過對通過對(t)和常數(shù)的頻譜分析，可以看出：在時域和常數(shù)的頻譜分析，可

50、以看出：在時域中信號變化越尖銳，其頻域?qū)?yīng)的高頻分量就越豐富；中信號變化越尖銳，其頻域?qū)?yīng)的高頻分量就越豐富；反之，信號在時域中變化越緩慢，其頻域?qū)?yīng)的低頻反之，信號在時域中變化越緩慢，其頻域?qū)?yīng)的低頻分量就越多。分量就越多。ktf)(k0t kF2)()2(k0 符號函數(shù)不滿足絕對可積的條件，但它可以通過極限寫成符號函數(shù)不滿足絕對可積的條件，但它可以通過極限寫成故其傅里葉變換為故其傅里葉變換為七七. 符號函數(shù)符號函數(shù))0(1)0(1)sgn()(ttttf tuetuettta0lim)sgn( jtjjajjjdteedteedtetFaatjttjtatj2)sgn(22lim11lim

51、limsgn)(22000002)(F)0()0()(22sgn(t)+1-12)(F)(220 單位階躍信號不滿足絕對可積的條件，但它可以表示單位階躍信號不滿足絕對可積的條件，但它可以表示為下面形式為下面形式因為因為 以及以及因此因此 由于單位階躍信號在由于單位階躍信號在t0處有一突變，故其頻譜處有一突變，故其頻譜一直延伸到無窮遠(yuǎn)。一直延伸到無窮遠(yuǎn)。八八. 單位階躍信號單位階躍信號2121)sgn()(ttukk2jt2)sgn( jtu1)(F u(t)0t0)(1 21 j1sgn21t ttusgn2121 j1)( tuOt21Ot2121 tsgn21Ot1 tuO O O F 上

52、一節(jié)回顧：周期信號頻譜的特上一節(jié)回顧：周期信號頻譜的特點(diǎn)點(diǎn)n離散性：離散性：譜線不連續(xù)譜線不連續(xù)n諧波性：諧波性：譜線只出現(xiàn)在基頻的整數(shù)倍處譜線只出現(xiàn)在基頻的整數(shù)倍處n收斂性：收斂性：幅頻特性幅度隨諧波數(shù)增大而逐漸減小幅頻特性幅度隨諧波數(shù)增大而逐漸減小周期信號由無窮多個余弦分量組成周期信號由無窮多個余弦分量組成周期信號幅頻譜線的大小表示諧波分量的幅值周期信號幅頻譜線的大小表示諧波分量的幅值相頻譜線大小表示諧波分量的相位相頻譜線大小表示諧波分量的相位001( )cos2nnnAx tAnt非周期信號頻譜的特點(diǎn)非周期信號頻譜的特點(diǎn)n非周期信號的頻譜是連續(xù)的；非周期信號的頻譜是連續(xù)的；n非周期信號可

53、以用其自身的積分表示；非周期信號可以用其自身的積分表示；n非周期實(shí)信號是頻率為無限密集、振幅為無窮小非周期實(shí)信號是頻率為無限密集、振幅為無窮小的余弦分量的線性組合的余弦分量的線性組合頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)( )( )12jttjx txededtt 0cosdXx tt 求和求和 振幅振幅 余弦信號余弦信號周期周期矩形脈沖矩形脈沖信號頻譜信號頻譜周期矩形脈沖信號的頻譜是單脈沖頻譜的采樣周期矩形脈沖信號的頻譜是單脈沖頻譜的采樣;采樣周期采樣周期=2/T0;幅度不同系數(shù)幅度不同系數(shù)1/T0.矩形脈沖信號的頻譜矩形脈沖信號的頻譜意義意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時傅里葉變換

54、具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求用性質(zhì)求F()；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。3.7 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)教材教材P142-143表表3-2對稱性質(zhì)表明了時域與頻域函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，如矩形時間對稱性質(zhì)表明了時域與頻域函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，如矩形時間脈沖的頻譜是抽樣函數(shù)，則抽樣時間函數(shù)的頻譜一定是矩形脈脈沖的頻譜是抽樣函數(shù)，則抽樣時間函數(shù)的頻譜一定是矩形脈沖

55、。沖。一對稱性一對稱性1性質(zhì)性質(zhì)2 意義意義 tFtF )()(相相同同，形形狀狀與與若若 。幅度差形狀相同，的頻譜函數(shù)形狀與則2 ,ttf)t (F 若若 則則 Ftf ftF2證明證明 由傅里葉反變換的定義由傅里葉反變換的定義可得可得調(diào)換上式中兩個變量，則調(diào)換上式中兩個變量，則即即如果如果f(t)是一個是一個偶函數(shù)偶函數(shù)，則，則 deFtftj21deFtftj2 dtetFftj2 ftF2 ftF2對稱性對稱性 , 1t 21 tF0( 1 )(t)t02()0 1 F()0 1 F(t)tt1即即t j2則則 ,j2)sgn( tF已已知知例例3-7-1)sgn(2)sgn(jjt2

56、)sgn( 2Sa22 EFtutuEtf tc, 2Sa2 2Sa2122tEtEtFuuEfcccccc 例例3-7-2，若若02 c0000Sa() tuu則有 0000SaE uuF tEt t,cotE2 2 tfo E 2 F 2 f2c2c 2oEotcEc2 tFc2 tf F2 f tF t t)()( Ftf若若 ftF2則則對稱性對稱性 ( ) ,2F tf tt 的頻譜函數(shù)形狀與形狀相同，幅度差。 j1 F二線性性（疊加性）二線性性（疊加性）1性質(zhì)性質(zhì)3例例3-7-3)()(, )()(2211FtfFtf若若為為常常數(shù)數(shù)則則2122112211,)()()()(aaF

57、aFatfatfa tu tsgn2121相加信號的頻譜相加信號的頻譜= =各單獨(dú)信號的頻譜和，傅里葉變換是線性各單獨(dú)信號的頻譜和，傅里葉變換是線性變換，滿足疊加定理。變換，滿足疊加定理。2含義含義線性性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，形式也易于接受。該性質(zhì)可由傅線性性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，形式也易于接受。該性質(zhì)可由傅里葉變換定義直接證明。里葉變換定義直接證明。三奇偶虛實(shí)性三奇偶虛實(shí)性 td)t (fFtj e 02tdtcos)t (f td)t(fFtj e在在3.4的的“傅里葉變換的表示傅里葉變換的表示”中曾介紹過。中曾介紹過。1、f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù) 實(shí)函數(shù)傅里葉變換的幅度譜和相位譜分別為偶、奇函數(shù)實(shí)函

58、數(shù)傅里葉變換的幅度譜和相位譜分別為偶、奇函數(shù)若若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，是實(shí)偶函數(shù)，F(xiàn)()必為必為的實(shí)偶函數(shù)的實(shí)偶函數(shù)若若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，是實(shí)奇函數(shù)，F(xiàn)()必為必為的虛奇函數(shù)的虛奇函數(shù) 02tdtsin)t (fj 2、 f(t)是虛函數(shù)是虛函數(shù)虛函數(shù)傅里葉變換的幅度譜和相位譜仍為偶、奇函數(shù)，虛函數(shù)傅里葉變換的幅度譜和相位譜仍為偶、奇函數(shù)，但實(shí)部但實(shí)部R()為奇函數(shù)，虛部為奇函數(shù)，虛部 X()為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。令令 tjgtf dt)tsin(tgdt)tcos(tjgdtetjgFtj 實(shí)部實(shí)部虛部虛部由定義由定義 )(de )()(j FttftfFt jjj()()ed( )ed()(

59、 )ed( )()utuF ftfttf uuf uuF)()()()( FtfFtf，則則若若證明：證明：可以得到可以得到任意任意 f(t)，都具有如下性質(zhì)，都具有如下性質(zhì) FtfFFtfFFtfF)()()( ( )F f tFu = -t奇偶虛實(shí)性證明奇偶虛實(shí)性證明設(shè)設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略） ttfFtde )()(j tttftttfdsinjdcos 顯然顯然 tttfXtttfRdsindcos RR 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 FF 所所以以 FtfF已已知知 FtfF XX的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 j1edafa四

60、尺度變換性質(zhì)四尺度變換性質(zhì) 為為非非零零實(shí)實(shí)常常數(shù)數(shù)則則若若aaFaatfFtf,1),()(Ff atjedtFf atf att因為：因為：1,ddat ttaa1|Faa j1edafa令：令：當(dāng)：當(dāng)：a 0 時，時，t =當(dāng)：當(dāng)：a 0 時，時，t = Ff at1Ff atFaa1Faa j1edafa j1edaf ta1|Faa(1) 0a1 時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加脈沖持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。倍。高頻分量減少，幅度上升高頻分量減少，幅度上升a倍。倍。意義意義(1) 0a1 時域壓縮，