概論與統(tǒng)計(jì)第七章 參數(shù)估計(jì)ppt課件

1、 引引 言言 上一章，我們介紹了總體、樣本、上一章，我們介紹了總體、樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理. 它們是進(jìn)它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).參數(shù)估參數(shù)估計(jì)問題計(jì)問題假設(shè)檢假設(shè)檢驗(yàn)問題驗(yàn)問題點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷推斷 的的根本根本問題問題第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中, ,我們根據(jù)問題本

2、身的專業(yè)知識(shí)或以往的經(jīng)驗(yàn)我們根據(jù)問題本身的專業(yè)知識(shí)或以往的經(jīng)驗(yàn)或適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法或適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法, ,有時(shí)可以判斷總體分布的類型有時(shí)可以判斷總體分布的類型. . 總體分布的總體分布的參數(shù)往往是未知的參數(shù)往往是未知的, ,需要通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)需要通過(guò)樣本來(lái)估計(jì). .例如例如 (1) (1) 為了研究人們的市場(chǎng)消費(fèi)行為為了研究人們的市場(chǎng)消費(fèi)行為, ,我們要先搞清楚人們我們要先搞清楚人們的收入狀況的收入狀況. . 假設(shè)某城市人均年收入假設(shè)某城市人均年收入X X N(N(, ,2). 2). 但參數(shù)但參數(shù) 和和 2 2 的具體值并不知道的具體值并不知道, ,需要通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)需要通過(guò)樣本來(lái)估計(jì). . (2

3、) (2) 假定某城市在單位時(shí)間假定某城市在單位時(shí)間( (譬如一個(gè)月譬如一個(gè)月) )內(nèi)交通事故發(fā)生內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)次數(shù) X X P( P(). ). 參數(shù)參數(shù)未知未知, ,需要從樣本來(lái)估計(jì)需要從樣本來(lái)估計(jì). . 通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)總體的參數(shù),稱為參數(shù)估計(jì)稱為參數(shù)估計(jì),它是統(tǒng)計(jì)推斷它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種重要形式的一種重要形式.參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì))1 . 0,(2 N（假定身高服從正態(tài)分布（假定身高服從正態(tài)分布N(，0.12） 設(shè)這設(shè)這5個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計(jì)估計(jì) 為為1.68，這是點(diǎn)估計(jì)這是點(diǎn)估計(jì).這是區(qū)間

4、估計(jì)這是區(qū)間估計(jì).估計(jì)估計(jì) 在區(qū)間在區(qū)間 1.57, 1.84 內(nèi)，內(nèi)，例如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高例如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本是要根據(jù)選出的樣本5個(gè)數(shù)求出總體均值個(gè)數(shù)求出總體均值 的的估計(jì)估計(jì). 而全部信息就由這而全部信息就由這5個(gè)數(shù)組成個(gè)數(shù)組成 . 從總體從總體 X X 中抽取樣本中抽取樣本(X1, X2, , X n ) (X1, X2, , X n ) 構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量 =T(X1, X2, , X n ) =T(X1, X2, , X n ) 將樣本觀察值將樣本

5、觀察值(x1, x2, , x n )(x1, x2, , x n )代入估計(jì)量代入估計(jì)量 計(jì)算出估計(jì)量的觀察值計(jì)算出估計(jì)量的觀察值 =T(x1, x2, , x n ) =T(x1, x2, , x n ) 或構(gòu)造或構(gòu)造 1 = T1(X1, X2, , X n )1 = T1(X1, X2, , X n ) 和和 2 =T2(X1, X2, , X n ) ( 2 =T2(X1, X2, , X n ) (110, 其中其中 與與 2未知未知, 樣本樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，求，求 與與 2的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。 2 22A X 解：解：2222222BX

6、XXXXA )(1111niiniinn XX niin11 2222 )EX(DXEXEX 2 A X2EXEX 無(wú)論總體的分布形式如何，總體均值無(wú)論總體的分布形式如何，總體均值 和方差和方差22的矩估計(jì)量的矩估計(jì)量分別為樣本均值和樣本二階中心矩。分別為樣本均值和樣本二階中心矩。 矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需并不需要事先知道總體是什么分布要事先知道總體是什么分布 . 缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 一般場(chǎng)合下一般場(chǎng)合下, 矩估計(jì)量不具有唯一性矩估計(jì)量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程時(shí)

7、，其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取哪些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶選取哪些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性有一定的隨意性 . 1.2 極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)作為一種點(diǎn)估計(jì)方法最初是由極大似然估計(jì)作為一種點(diǎn)估計(jì)方法最初是由 德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)于于1821年提出，英國(guó)統(tǒng)計(jì)年提出，英國(guó)統(tǒng)計(jì) 學(xué)家費(fèi)歇爾學(xué)家費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)在在1922年作了進(jìn)一步發(fā)展年作了進(jìn)一步發(fā)展 使之成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要應(yīng)用最廣泛的方法之一使之成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要應(yīng)用最廣泛的方法之一. GaussFisher 極大似然估計(jì)法是建立在極大似極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理

8、的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法。然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法。 極大似然原理的直觀想法是：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)極大似然原理的直觀想法是：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率的事件有較大的概率. 即：一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)即：一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè) 可能結(jié)果可能結(jié)果 ,若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果 出現(xiàn)出現(xiàn), AB， ， A則認(rèn)為則認(rèn)為 出現(xiàn)的概率最大出現(xiàn)的概率最大. A例如例如: 有兩外形相同的箱子有兩外形相同的箱子,各裝各裝100個(gè)球個(gè)球 一箱一箱 99個(gè)白球個(gè)白球 1 個(gè)黑球個(gè)黑球 一箱一箱 1 個(gè)白球個(gè)白球 99個(gè)黑球個(gè)黑球現(xiàn)從兩箱中任取一箱現(xiàn)從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球并從箱中任取一球,結(jié)果

9、所取得的球是白球結(jié)果所取得的球是白球.問問: 所取的球來(lái)自哪一箱？所取的球來(lái)自哪一箱？答答: 第一箱第一箱. 假定一個(gè)盒中黑球和白球兩種球的數(shù)目之比假定一個(gè)盒中黑球和白球兩種球的數(shù)目之比 為為 3:1，但不知哪種球多，但不知哪種球多 ， 表示從盒中任取一球表示從盒中任取一球 p是黑球的概率，那么是黑球的概率，那么 或或 , 現(xiàn)在有放回地現(xiàn)在有放回地 1/4p 3/4從盒中抽從盒中抽3個(gè)球，試根據(jù)樣本中的黑球數(shù)個(gè)球，試根據(jù)樣本中的黑球數(shù) 來(lái)估計(jì)來(lái)估計(jì) X參數(shù)參數(shù) .p解解隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ，即，即 3XBp，331xxxP XxC pp 0 1 2 3X， ， ，例例1/40 13/42 3xp

10、x， 估計(jì)估計(jì) 只需在只需在 和和 之間作出選擇之間作出選擇. p1/4p 3/4p 計(jì)算這兩種情況下計(jì)算這兩種情況下 的分布律：的分布律： X的估計(jì)的估計(jì) p27/6427/649/641/641/649/6427/6427/643210X3/4p P Xx1/4p P Xx, 根據(jù)極大似然原理，應(yīng)該尋找使事件發(fā)生的概率最大的參數(shù)值作根據(jù)極大似然原理，應(yīng)該尋找使事件發(fā)生的概率最大的參數(shù)值作為未知參數(shù)的估計(jì)值。為未知參數(shù)的估計(jì)值。1. 1. 似然函數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行一次具體的抽樣之后，進(jìn)行一次具體的抽樣之后， (X1, X2, , X n ) 得到一組觀察值得到一組觀察值 (x1, x2, , x

11、 n )。是一組確定的數(shù)，把它們代入上式，那么。是一組確定的數(shù)，把它們代入上式，那么 設(shè)總體分布設(shè)總體分布(以離散型為例以離散型為例)為為P(X=x)=P(x,1, 2 ,k), （1, 2 ,k )未知，樣本未知，樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，則樣本則樣本(X1, X2, , X n )的概率分布函數(shù)為：的概率分布函數(shù)為： 112212121(,)( ,)nnnkikiP Xx XxXxp x 121( ,)nikip x 僅為（僅為（1, 2 ,k )的函數(shù)。把它記作的函數(shù)。把它記作 并稱并稱12( ,)kL 為參數(shù)（為參數(shù)（ 1, 2 , k )的似然函數(shù)。的

12、似然函數(shù)。12121( ,)( ,)nkikiLp x 進(jìn)行一次具體的抽樣之后，進(jìn)行一次具體的抽樣之后， (X1, X2, , X n ) 得到一組觀察值得到一組觀察值 (x1, x2, , x n )。是一組確定的數(shù)，把它們代入上式，那么。是一組確定的數(shù)，把它們代入上式，那么若總體若總體X為連續(xù)性隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為分布為為連續(xù)性隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為分布為f(x,1, 2 ,k), （1, 2 ,k )未知，樣本未知，樣本(X1, X2, , X n )來(lái)自總體來(lái)自總體 X，則樣本則樣本(X1, X2, , X n )的密度函數(shù)為：的密度函數(shù)為： 121( ,)nikif x 121(

13、,)nikif x 僅為（僅為（1, 2 ,k )的函數(shù)。把它記作的函數(shù)。把它記作 并稱并稱12( ,)kL 為參數(shù)（為參數(shù)（ 1, 2 , k )的似然函數(shù)。的似然函數(shù)。12121( ,)( ,)nkikiLf x 可見，似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的概率分布或可見，似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的概率分布或密度函數(shù)。密度函數(shù)。2.2.極大似然法極大似然法當(dāng)給定一組樣本值時(shí)，似然函數(shù)當(dāng)給定一組樣本值時(shí)，似然函數(shù)L (L (1, 1, 2 ,2 ,k )k )為參數(shù)為參數(shù)( (1, 1, 2 ,2 ,k )k )的函數(shù)，極大似然估計(jì)法的思想就是：的函數(shù)，極大似然估計(jì)法的思想就是：選擇使似然函數(shù)選擇使似然函數(shù)L

14、(L (1, 1, 2 ,2 ,k )k )達(dá)到最大值的點(diǎn)達(dá)到最大值的點(diǎn)12 ( ,)k 作為為參數(shù)作為為參數(shù)( (1, 1, 2 ,2 ,k )k )的估計(jì)。的估計(jì)。定義定義1.1 若存在樣本值若存在樣本值 (x1, x2, , x n )的函數(shù)的函數(shù)1( ,)(1,2, )iinxxik使似然函數(shù)使似然函數(shù)L (L (1, 1, 2 ,2 ,k )k )達(dá)到最大值，即達(dá)到最大值，即121212(,) ( ,)max( ,)kkkLL 則稱則稱1( ,)(1,2, )iinxxik為參數(shù)為參數(shù) i的極大似然估計(jì)值；的極大似然估計(jì)值；稱相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量1(,)(1,2, )iinXX

15、ik為為 i的極大似然估計(jì)量；的極大似然估計(jì)量；極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量統(tǒng)稱為極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)值和極大似然估計(jì)量統(tǒng)稱為極大似然估計(jì)。極極大大似似然然法法的的方方法法稱稱為為這這種種求求未未知知參參數(shù)數(shù) 3、極大似然估計(jì)離散型總體的步驟、極大似然估計(jì)離散型總體的步驟 屬屬離離散散型型，其其分分布布列列為為若若總總體體 X ),),;x( pxkk2121( XP。空空間間為為待待估估參參數(shù)數(shù)，屬屬于于參參數(shù)數(shù)的的形形式式為為已已知知， 211的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。求求來(lái)自總體來(lái)自總體),(,kn , , 的樣本 )是( 設(shè)XXX ),(k 21L建建立立似似然然函函

16、數(shù)數(shù))(1 niki),;x(p121 ; ),x(Plnln)(niki 1212 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值。解解方方程程組組求求得得k,)( 14為為待待估估參參數(shù)數(shù)。的的形形式式已已知知，屬屬連連續(xù)續(xù)型型，其其概概率率密密度度若若總總體體),(),(),;x(fkkk 212121 X極大似然估計(jì)連續(xù)型總體的步驟 211的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。求求來(lái)自總體來(lái)自總體),(,kn , , 的樣本 )是( 設(shè)XXX建建立立似似然然函函數(shù)數(shù))(1 ),(k 21L niki),;x(f121 ; ),x(f

17、lnln)(niki 1212 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值。解解方方程程組組求求得得k,)( 14下面舉例說(shuō)明如何求參數(shù)的極大似然估計(jì)。下面舉例說(shuō)明如何求參數(shù)的極大似然估計(jì)。未未知知參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自設(shè)設(shè))p(p),();p,n(m101 XXXBX試求參數(shù)試求參數(shù)p p的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量 ：解解xnxxn)p(pCx 1XP故似然函數(shù)為故似然函數(shù)為 mixnxxniii)p(pC)p(11L)(lnpL而而例例1 1：,)p(p)C(miimiiixnmxmixn 1111).pln()

18、xnm(pln)x()Cln(miimiimixni 1111的的分分布布律律為為：X, 0)(ln pdpdL令令.pxnmpxmiimii01 11 即即的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值解解得得pnxxnmp mii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為pnXXnmp mii 11 未未知知參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自設(shè)設(shè))p(p),();p,n(m101 XXXBX試求參數(shù)試求參數(shù)p p的極大似然估計(jì)量的極大似然估計(jì)量 ：解解xnxxn)p(pCx 1XP故似然函數(shù)為故似然函數(shù)為 mixnxxniii)p(pC)p(11L)(lnpL而而例例1 1：,)p(p)C(miimi

19、iixnmxmixn 1111).pln()xnm(pln)x()Cln(miimiimixni 1111的的分分布布律律為為：X, 0)(ln pdpdL令令.pxnmpxmiimii01 11 即即的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值解解得得pnxxnmp mii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為pnXXnmp mii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。求求參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自設(shè)設(shè) XXXPX),();(n1：解解 e!xxxXP故似然函數(shù)為故似然函數(shù)為 e!x)(niixi1L)(ln L而而例例2 2： niixnniie )!x(111 ln)x(n)!xln(

20、niinii 111的的分分布布律律為為：X,)(lndd0 L令令.nxnii0 1 即即的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值解解得得 xxnnii 11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為 XXnp nii 11 的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自為為未未知知參參數(shù)數(shù)，；設(shè)設(shè)XNX)X,X,X(,),(n2122 ：解解222 221 )x(e),;x(f 似然函數(shù)為：似然函數(shù)為： ni)x(ie),(12 22221 L例例3：Lln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 2122)(2 2)2( niixne的的概概率率密密度度為為：X的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。求求2

21、, 0ln0ln2 LL令令 即即： 0)(1 12 niix0)(212-2142 niixn, 11xxnnii 解得：解得： niixxn122)(1 的極大似然估計(jì)量：的極大似然估計(jì)量：2 ,212211 1B)(nnniinii XXXX :似似然然函函數(shù)數(shù)為為 niixne12221 2 22 的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本值值，是是來(lái)來(lái)自自為為未未知知參參數(shù)數(shù)，已已知知，；設(shè)設(shè)XNXnxx,),(122 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。求求2 ：解解 nixie12)( 22221),( LLln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 222 221);( ）（ xe

22、xf的的概概率率密密度度為為：X例例4 4： niixndd12422212ln L，令：令：0ln2 ddL 02121242 niixn 得得似似然然方方程程 niixn1221 解此方程，得解此方程，得 niiXn12221 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此似似然然函函數(shù)數(shù)為為的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體 X解：解： ,11 niinxL niixnL1ln1lnln 其它。其它。, 0, 10,1xxxf 例例5： 021的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0ln

23、dLd得得似似然然方方程程為為, 0ln1 niixn 解得解得,ln1 niixn 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此 .ln1 niiXn 似似然然函函數(shù)數(shù)為為的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體 X解：解： niixneL1 niixlnnLln1 其它。其它。,x,exfx00 例例6： 021的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0 dLlnd得得似似然然方方程程為為01 niixn 解得解得xxnnii11 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為因因此此 XXnnii11 極

24、大似然法求估計(jì)量的步驟：極大似然法求估計(jì)量的步驟：( (一般情況下一般情況下) ):)()1 L構(gòu)造似然函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù),(),x()(nii 1離散型）離散型） PL nii;(),x(f)(1連連續(xù)續(xù)型型） L);(ln)2 L取對(duì)數(shù)：取對(duì)數(shù)：; 0ln)3 ddL令令。的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量解解似似然然方方程程得得 )4闡明：若似然方程組無(wú)解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)，闡明：若似然方程組無(wú)解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)， 此法失效，改用其它方法。此法失效，改用其它方法。能地使用極大似然估計(jì)能地使用極大似然估計(jì)應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)盡可應(yīng)用中，我們應(yīng)當(dāng)盡可計(jì)優(yōu)于矩估計(jì)，因而在計(jì)優(yōu)于矩估計(jì)，因而在一般來(lái)講

25、，極大似然估一般來(lái)講，極大似然估似似然然函函數(shù)數(shù)為為上上的的均均勻勻分分布布，服服從從設(shè)設(shè)總總體體21 X解：解： n)(,L12211 例例7： , 212121的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)。抽抽取取的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本。試試求求是是從從該該總總體體未未知知，其其中中 ).,(,nXXX因因此此極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為 12 lnnLln01 dLlnd令：令：02 dLlnd012 )(n 012 )(n 方程組無(wú)解方程組無(wú)解 1x2xixnx1 2 211 x221 x21 nx)x,x,xmin(n211 )x,x,xmax(n212 )X,X,Xmin(n211 )X,X,X

26、max(n212 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法矩估計(jì)法基本步驟基本步驟極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法基本步驟基本步驟 第二節(jié)第二節(jié) 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則 我們知道，一個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)量可能不止我們知道，一個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)量可能不止一個(gè)。究竟采用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么一個(gè)。究竟采用哪個(gè)為好呢？這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)量的問題。我們介紹三個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)估計(jì)量的問題。我們介紹三個(gè)常用的規(guī)范：規(guī)范： 1無(wú)偏性；無(wú)偏性； 2有效性；有效性； 3一致性。一致性。2.1 無(wú)偏性無(wú)偏性 根據(jù)樣本推得的估計(jì)值與真值可能不同，根據(jù)樣本推得的估計(jì)值與真值可能不同， 然而，如果有一系列然而，如果

27、有一系列抽樣構(gòu)成各個(gè)估計(jì)，很合理地會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)抽樣構(gòu)成各個(gè)估計(jì)，很合理地會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)的真值相等，它的直觀意義是樣本估計(jì)量的數(shù)值在參數(shù)的真值周圍的真值相等，它的直觀意義是樣本估計(jì)量的數(shù)值在參數(shù)的真值周圍擺動(dòng)，而無(wú)誤差，這就是估計(jì)量的無(wú)偏性。擺動(dòng)，而無(wú)誤差，這就是估計(jì)量的無(wú)偏性。 定義定義2.1：設(shè)總體：設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)的分布中含有未知參數(shù) ， 為參數(shù)為參數(shù)空間，樣本空間，樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X， ，假設(shè)，假設(shè)的估計(jì)量 為參數(shù) ,E無(wú)偏估計(jì)量成立，則稱 為參數(shù) 的，簡(jiǎn)稱無(wú)偏估計(jì)。或稱估計(jì)量 具有無(wú)偏性。否則，有偏稱 為參數(shù)

28、 的估計(jì)量。lim,nE若則漸近無(wú)稱 是 的偏估計(jì)。 例例1：設(shè)總體：設(shè)總體X 有期望有期望 EX= 與方差與方差 DX= 2， 與與 2 都未知。都未知。 樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，試證：，試證： (1) 樣本均值樣本均值 是總體均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)；的無(wú)偏估計(jì)； (2) 樣本方差樣本方差S2是是 2的無(wú)偏估計(jì)；的無(wú)偏估計(jì)； (3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是標(biāo)準(zhǔn)差不是標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏估計(jì)；的無(wú)偏估計(jì)； (4) B2不是不是 2的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。XE X 證：證： 由定理知：由定理知： (1) (2) ES2= 2 這個(gè)結(jié)論與總體的分布類型沒有關(guān)系。只要總體

29、期望和方差存在，這個(gè)結(jié)論與總體的分布類型沒有關(guān)系。只要總體期望和方差存在， 樣本均值總是總體期望的無(wú)偏估計(jì)，樣本方差總是總體方差的無(wú)偏估計(jì)樣本均值總是總體期望的無(wú)偏估計(jì)，樣本方差總是總體方差的無(wú)偏估計(jì) (3) 由由DS=ES2 - (ES)2= 2 - (ES)2，得，得 2ES=s -DS所以，樣本標(biāo)準(zhǔn)差所以，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是標(biāo)準(zhǔn)差不是標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。2222SXXXXBnnnnnnniinii1)(111)(111 (4) 因因 222 nnnn11 ESEB 所所以以所以，二階樣本中心矩所以，二階樣本中心矩B2不是總體方差不是總體方差 2的無(wú)偏估計(jì)。因此，通常把的無(wú)偏估計(jì)

30、。因此，通常把B2的分母修正為的分母修正為n-1獲得樣本方差獲得樣本方差S2作為總體方差作為總體方差 2的估計(jì)。的估計(jì)。 例例2：設(shè)總體：設(shè)總體X 的期望值的期望值 EX=未知，方差未知，方差 DX有限，有限， 樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，試證：，試證：1122nn= a X +a X + L+a X121,1.nniiaaaa是 的無(wú)偏估計(jì),其中為常數(shù),且滿足111 ()nnniiiiiiiiaaa證明：EEXEX1=1.niiaE 因?yàn)?，所?即是 的無(wú)偏估計(jì).11=1nniiiiiaa X時(shí)，=稱為 的線性無(wú)注意：偏估計(jì). 所以，未知參數(shù)所以，未知參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)

31、量往往有許多個(gè)，的無(wú)偏估計(jì)量往往有許多個(gè)， 在這些估計(jì)量中，當(dāng)然是取值對(duì)于在這些估計(jì)量中，當(dāng)然是取值對(duì)于 的離散程度越小的的離散程度越小的 越好，即方差越小的越好。越好，即方差越小的越好。2.2 無(wú)偏估計(jì)的有效性無(wú)偏估計(jì)的有效性 定義定義2.2：設(shè)總體：設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)的分布中含有未知參數(shù) ， 為參數(shù)為參數(shù)空間，樣本空間，樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，如如果果的的無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)都都是是參參數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè)， 2112 DD且它們的方差都存在.若對(duì)一切有的的最最小小方方差差無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)。為為則則稱稱方方差差達(dá)達(dá)到到最最小小的的的的一一切切無(wú)無(wú)偏偏估估計(jì)計(jì)中中如如果

32、果在在有有效效比比則則稱稱 21，。有或稱為 的效估計(jì). 解：解：DX1=DX= 2 n2 XDnnaaaXXX1122 例：設(shè)總體例：設(shè)總體X 有期望有期望 EX= 與方差與方差 DX= 2， 與與 2 都未知。都未知。 樣本樣本(X1, X2, , X n)來(lái)自來(lái)自 X，比較，比較 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)X1 和和 X 的有的有 效性。效性。有有效效。比比所所以以 1XX 例：條件同上，試證例：條件同上，試證X在在 的所有線性無(wú)偏估計(jì)中方差最小。的所有線性無(wú)偏估計(jì)中方差最小。 解：所謂線性估計(jì)是指解：所謂線性估計(jì)是指 為樣本的線性函數(shù)，為樣本的線性函數(shù)，121 ,1nniiaaaa其

33、中為常數(shù),且滿足222111()nnniiiiiiiiaaaDDXDX21 n XD niiniininiianaa1212121)(1()(1211niianDDX1i =1,2, ).iann特別地，當(dāng)= （時(shí),X,nPnn ： 若為 參 數(shù)的 估 計(jì) 量 如 果對(duì) 于 一 切， 當(dāng)時(shí)，定定 義義 2 2 . .3 3n一則 稱是的致 估 計(jì) 。2.3 一致性相合性）一致性相合性）,1 EXXXX的的樣樣本本，是是總總體體若若n，有，有對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的0 01lim1 niinnXP的的一一致致估估計(jì)計(jì)量量。是是總總體體期期望望因因此此，樣樣本本均均值值 X由由辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)

34、定定律律，知知例：例：樣本均值樣本均值 是總體均值是總體均值的一致估計(jì)值的一致估計(jì)值. x 結(jié)論結(jié)論1 1： 2s2樣本方差樣本方差 是總體方差是總體方差 的一致估計(jì)值的一致估計(jì)值. 結(jié)論結(jié)論2 2：要求：要求：當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義下充分接無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義下充分接近被估計(jì)的參數(shù)。近被估計(jì)的參數(shù)。 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有

35、反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . 6.3 6.3 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù) N 的極大似然估計(jì)為1000條. 若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們?nèi)粑覀兡芙o出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了估計(jì)就有把握多了. 實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，也可條，也可能小于能小于1000條條.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間

36、，使我們能也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說(shuō)的這里所說(shuō)的“可靠程度是用概率來(lái)度量的可靠程度是用概率來(lái)度量的 ，稱為置信度或置信水平稱為置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個(gè)是一個(gè) 很小的正數(shù)很小的正數(shù).，即即的的概概率率為為給給定定值值包包含含，使使得得區(qū)區(qū)間間，與與構(gòu)構(gòu)造造兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的樣樣本本，用用來(lái)來(lái)自自總總體體的的未未知知參參數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于總總體體)10(1),(),(),(),( 21212211 nnnXXXX

37、XXXXXXX212121121 ,1 則稱為 置信系數(shù) 或置信度 ，隨機(jī)區(qū)間稱為 的置信系數(shù)為的 置信區(qū)間 。 121)(P 1)0 6.5，如如果果對(duì)對(duì)于于給給定定的的定定義義 一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念 21 和分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 的可靠性。的可靠性。置信區(qū)間表示估計(jì)結(jié)果的精確性，置信區(qū)間表示估計(jì)結(jié)果的精確性，而置信概率則表示這一結(jié)果而置信概率則表示這一結(jié)果通常，置信系數(shù)可靠性采用通常，置信系數(shù)可靠性采用 0.95, 0.99, 0.90 等值。等值。義義。意意區(qū)區(qū)分分不不同同場(chǎng)場(chǎng)合合下下的的含含也也稱稱為為置置信信區(qū)區(qū)間間，應(yīng)應(yīng)注注

38、習(xí)習(xí)慣慣上上，常常將將 ),(2),(1(nxxxnxxx2121 12121212 ,),nx xx 因?yàn)楹褪墙y(tǒng)計(jì)量，所以區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，一旦有了樣本值(區(qū)間的端點(diǎn)也隨之確定，它是一個(gè)普通的區(qū)間，稱為置信區(qū)間的觀測(cè)值，也稱為置信區(qū)間，因此未知參數(shù)未知參數(shù)的置信區(qū)間，稱為參數(shù)的置信區(qū)間，稱為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。對(duì)于已給的置信概率對(duì)于已給的置信概率1-1-，根據(jù)樣本觀測(cè)值來(lái)確定根據(jù)樣本觀測(cè)值來(lái)確定 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 ,21 內(nèi)內(nèi).這里有兩個(gè)要求這里有兩個(gè)要求:11 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于

39、樣本的界限兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量) 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)可見，可見，區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì): : 估計(jì) 為端點(diǎn)的區(qū)間計(jì) 估 個(gè),212121）（，量量找找兩兩 1.1.可靠度：可靠度：要求區(qū)間以很大的可能性包含要求區(qū)間以很大的可能性包含 即：即：要要盡盡可可能能大大概概率率)(21 P2.2.精度：精度：估計(jì)的精度要盡可能高估計(jì)的精度要盡可能高, , 即即 區(qū)間的長(zhǎng)度要盡可能小區(qū)間的長(zhǎng)度要盡可能小, , 或或 能體現(xiàn)此要求的其它準(zhǔn)則。能體現(xiàn)此要求的其它準(zhǔn)則。在保證可靠度的條件下，盡量提高精度在保證可靠度的條件下，盡量提高精度 可靠度和精度要統(tǒng)籌兼顧可靠度

40、和精度要統(tǒng)籌兼顧 在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn).二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法教材已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn)教材已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn)的定義，為便于應(yīng)用，這里我們?cè)俸?jiǎn)要介紹一下的定義，為便于應(yīng)用，這里我們?cè)俸?jiǎn)要介紹一下. 設(shè)設(shè)0 1, 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足，稱滿足 )(xXP的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值（ 分位點(diǎn)）分位點(diǎn)） ，稱稱滿滿足足條條件件：對(duì)對(duì)于于給給定定的的若若)(),(NX1010 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的的的點(diǎn)點(diǎn) u uP

41、 X。分分位位點(diǎn)點(diǎn)上上 O u y y = (x)u1-02509619610250.).X(P.u. 例：例： 10)u( 2分布的臨界值（分布的臨界值（ 分位點(diǎn)）分位點(diǎn)） ，稱稱滿滿足足條條件件：對(duì)對(duì)于于給給定定的的)10( 分分布布的的為為的的點(diǎn)點(diǎn))()(nn22 2 )(22nP，可可查查表表獲獲得得。自自由由度度和和的的值值依依賴賴于于nn 2 )(。分分位位點(diǎn)點(diǎn)上上 例：例： 950943102.)(P )(.102950 943.，稱稱滿滿足足條條件件：對(duì)對(duì)于于給給定定的的)10( 分分位位點(diǎn)點(diǎn)。上上 ：由由概概率率密密度度的的對(duì)對(duì)稱稱性性知知 )(nt )(1nt )(nttP

42、)()(1ntnt t 分布的臨界值（分布的臨界值（ 分位點(diǎn)）分位點(diǎn)） 分分布布的的為為的的點(diǎn)點(diǎn) tnt)( 例：例： )(t.8101. 3971039718.)( tP ),()(2110nnFFP，稱稱滿滿足足條條件件：對(duì)對(duì)于于給給定定的的分分布布的的為為的的點(diǎn)點(diǎn)FF),(21nn ),(21nnF 分分位位點(diǎn)點(diǎn)。上上 例：例： 642158050.),(. F050642. F(8,15)P樞軸變量法求置信區(qū)間樞軸變量法求置信區(qū)間(1) 找與找與 有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量 T (一般一般T是是 的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)) (2)找一個(gè)函數(shù)找一個(gè)函數(shù) I=I(T, ), I 的分布的分布F與與

43、無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)( I(T, )為樞軸變量為樞軸變量)(3)對(duì)給定的對(duì)給定的 1- ，找到，找到F 的上分位點(diǎn)的上分位點(diǎn) 和和2 21 1),( 221TIP即估計(jì)估計(jì)置信系數(shù)置信系數(shù)解出解出的區(qū)間為的即為這時(shí)，由 1 , ),( (4)2121221TI三、正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樞軸變量法）三、正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樞軸變量法） 1、均值、均值 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) , 2/2/ unun XX(1) 2已知已知 設(shè)總體設(shè)總體X N( , 2)，樣本，樣本 (X1, X2, , Xn) 來(lái)自總體來(lái)自總體X 。所以所以 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 2120 )u(/

44、樞軸變量為樞軸變量為) 1 , 0(NnU X -1) ( 2/2/ uuPX而而O /2U/2 /2-U/2(2) 2未知未知所以所以 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 樞軸變量為樞軸變量為) 1( ntnSt X2)1() 1(2 ntntP -1) ) 1() 1( 2/2/ ntSntPX而而2/2(1)tn/2(1)tn例例1：從大批燈泡中隨機(jī)地抽?。簭拇笈鸁襞葜须S機(jī)地抽取5個(gè)個(gè),測(cè)得壽命為測(cè)得壽命為(單位單位: 小時(shí)小時(shí))：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命，假定燈泡壽命XN

45、( , 9)，求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì)求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì) （ = 0.05）。）。 解：方差解：方差 2=9已知，利用公式：已知，利用公式： , 2/2/ unun XX由由 = 0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 u0.025=1.96。 因因 n=5， =3，x = 1730，所以，得，所以，得 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1727.37 , 1732.63。P(1727.37 1732.63)=0.95注注97500250102500.)u(. u,u.0250025053 53 XX例例2 ：從大批燈泡中隨機(jī)地抽取：從大批燈泡中隨機(jī)地抽取5個(gè)個(gè),測(cè)得壽命為測(cè)得

46、壽命為(單位單位: 小時(shí)小時(shí))：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定燈泡壽命，假定燈泡壽命XN( , 2)，求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì)求這批燈泡平均壽命的區(qū)間估計(jì) （ = 0.05）。）。 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 由由n = 5，查，查 t 分布表得分布表得 t0.025(4)=2.776。 x = 1730，S = 75.50。所以，得。所以，得 的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 1636.27 , 1823.73。解：方差解：方差 2未知，利用公式：未知，利用公式： nii)X(nS12211Xt,t.(4)5 (4)502500250SXSX

47、 2、方差的區(qū)間估計(jì)、方差的區(qū)間估計(jì) (1) 知知)()-(12122nInii X 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計(jì)為：的區(qū)間估計(jì)為：樞軸變量為樞軸變量為 )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 1)()-(1)( 22122221nnPniiX而而 /22/221/2(2) 未知未知 2 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計(jì)為：的區(qū)間估計(jì)為： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS nii)X(Sn1221X樞軸變量為樞軸變量為)1()-(1)1(212222 nXSnInii X 1)1() 1() 1( 2222221nS

48、nnP而而/22/221/2查查 2 分布表得分布表得 20.025(5)=12.833， 20.975(5)=0.831。所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為 0.055 , 0.842。 例例3：對(duì)某塔的高度進(jìn)行了：對(duì)某塔的高度進(jìn)行了 5 次測(cè)量，數(shù)據(jù)單位：米如下：次測(cè)量，數(shù)據(jù)單位：米如下：90.5, 90.4, 89.7, 89.6, 90.2，設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，求方差的區(qū)間估計(jì)（求方差的區(qū)間估計(jì)（ = 0.05）。）。 (1) 假設(shè)塔的真實(shí)高度為假設(shè)塔的真實(shí)高度為 90米。米。 (2) 假設(shè)塔的真實(shí)高度未知。假設(shè)塔的真實(shí)高度未知。解：解：(1)

49、 利用公式：利用公式： 計(jì)算得：計(jì)算得： )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 5120.790ii)(X (2) 利用公式：利用公式： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS計(jì)算得：計(jì)算得： nii.)X(Sn12266801X 查查 2分布表得分布表得 20.025(4)=11.143， 20.975(4)=0.484。 所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為所以，得方差的區(qū)間估計(jì)為 0.060 , 1.380。1、均值差、均值差 1 - 2的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) (1) 12 , , 22都已知都已知 令樞軸變量為令樞軸變量為6.3.36.3.3、兩

50、個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)、兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)2212,Y,S ,SX 設(shè)樣本設(shè)樣本(X1,X2, ,Xn1) 來(lái)自正態(tài)總體來(lái)自正態(tài)總體XN(1 ,12), (Y1, Y2, , Y n2) 來(lái)自正態(tài)總體來(lái)自正態(tài)總體YN(2 ,22)，并假定，并假定X 與與 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 分別是兩樣本的均值和方差分別是兩樣本的均值和方差,1- 是給定的置信系數(shù)是給定的置信系數(shù)X YX Y22221212/2/21212(),() nnnnuu 所以所以 1 - 2的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1- 的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： 2120 )u(/X Y12/2/2221212() () ( ) 1-nnP uu 而而O /2U/2 /2-U/2XYUN12221212()() (0,1)nn 解：由解：由 = 0.1，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 U/2=U0.05=1.645因因 n1=10，n2=12, 12=25, 22 =36，所以，所以，例例1 1：設(shè)自總體：設(shè)自總體XN(XN(1 ,25)1 ,25)得到一容量為得到一容量為1010的樣本，其樣本均值的樣本，其樣本均值 ，自總體，自總體YN(YN(1 ,36)1 ,36)得到一容量為得到一容量為1212的樣本，的