實數(shù)集與函數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 實數(shù)集與函數(shù)（10學(xué)時）§實數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握實數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點：（）理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；（）牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點：實數(shù)集的概念及其應(yīng)用學(xué)時安排: 2學(xué)時教學(xué)方法：講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)程序：引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了分析這門旅程的研究對象、主要內(nèi)容等話題從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開始問題 為什么從“實數(shù)”開始答：數(shù)學(xué)分析研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“

2、實數(shù)集”上的（復(fù)變函數(shù)研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)）為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)一 實數(shù)及其性質(zhì)、 實數(shù)問題 有理數(shù)，無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”為此作如下規(guī)定：對于正有限小數(shù)其中，記；對于正整數(shù)則記；對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)），則先將表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號例：利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示但新的問題又出現(xiàn)了：在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大??？兩實數(shù)大小的比較1） 定義給定兩個非負(fù)實數(shù)，. 其中為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，若有，則稱與相等，記為；若或存在非負(fù)整數(shù)，使得，而

3、，則稱大于或小于，分別記為或?qū)τ谪?fù)實數(shù)、，若按上述規(guī)定分別有或，則分別稱為與（或）規(guī)定：任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù)2） 實數(shù)比較大小的等價條件（通過有限小數(shù)來比較）定義（不足近似與過剩近似）：為非負(fù)實數(shù)，稱有理數(shù)為實數(shù)的位不足近似；稱為實數(shù)的位過剩近似；對于實數(shù)，其位不足近似；位過剩近似.注：實數(shù)的不足近似當(dāng)增大時不減，即有 過剩近似當(dāng)n增大時不增，即有命題：記，為兩個實數(shù)，則的等價條件是：存在非負(fù)整數(shù)n，使（其中為 的位不足近似，為的位過剩近似）命題應(yīng)用例例設(shè)為實數(shù)，證明存在有理數(shù)，滿足證由，知：存在非負(fù)整數(shù)n，使得令，則r為有理數(shù)，且即實數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄）l 封閉性（實數(shù)集對）四則運算

4、是封閉的即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為）仍是實數(shù)l 有序性：任意兩個實數(shù)必滿足下列關(guān)系之一：l 傳遞性；l 阿基米德性：使得l 稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù)l 實數(shù)集與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系例設(shè)，證明：若對任何正數(shù)，有，則（提示：反證法利用“有序性”，?。┒?、絕對值與不等式（分析論證的基本工具）絕對值的定義實數(shù)的絕對值的定義為 幾何意義：從數(shù)軸看，數(shù)的絕對值就是點到原點的距離認(rèn)識到這一點非常有用，與此相應(yīng)， 表示就是數(shù)軸上點與之間的距離性質(zhì)）（非負(fù)性）；）；），；）對任何有（三角不等式）；）；）（）練習(xí)課堂小結(jié)：實數(shù)：.§數(shù)集和確界原理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握

5、確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念。教學(xué)要求：（）掌握鄰域的概念；（2）理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用。教學(xué)重點：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）。教學(xué)難點：確界的定義及其應(yīng)用。學(xué)時安排:3學(xué)時教學(xué)方法：講授為主教學(xué)程序：先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課。引言上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學(xué)了第一章 §實數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。下面，我們先來檢驗一下自學(xué)的效果如何！ 證明：對任何有（）；（）. 證明：. 設(shè)，證明：若對任何正數(shù)有，則. 設(shè)，證明：存在有理數(shù)滿足.引申：由題可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這

6、樣思考是做科研時的經(jīng)常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？由上述幾個小題可以體會出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同；理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用。提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具（至此，復(fù)習(xí)告一段落）。本節(jié)主要內(nèi)容： 先定義實數(shù)集中的兩類主要的數(shù)集區(qū)間鄰域；討論有界集與無界集；由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）。一 區(qū)間與鄰域 區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）設(shè)且。 鄰域聯(lián)想：“鄰居”。字面意思：“鄰近的區(qū)域”。（看左圖）。與a鄰近的“區(qū)域”很多，到

7、底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于a的對稱區(qū)間”；如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？（） a的鄰域：設(shè)，滿足不等式的全體實數(shù)的集合稱為點a的鄰域，記作，或簡記為，即.（） 點a的空心鄰域.（） a的右鄰域和點a的空心右鄰域（） 點a的左鄰域和點a的空心左鄰域（）鄰域，鄰域，鄰域 （其中為充分大的正數(shù)）； 二 有界集與無界集什么是“界”？定義（上、下界）： 設(shè)為中的一個數(shù)集。若存在數(shù)，使得一切都有，則稱為有上（下）界的數(shù)集。數(shù)稱為的上界（下界）；若數(shù)集既有上界，又有下界，則稱為有界集。若數(shù)集不是有界集，則稱為無界集。注：）上（下）界若存在，不唯一；）上（下）界與的關(guān)系如何？看下例：例1 討論數(shù)集

8、的有界性。分析：有界或無界上界、下界？下界顯然有，如?。簧辖缢坪鯚o，但需要證明。解：任取，顯然有，所以有下界；但無上界。證明如下：假設(shè)有上界M,則M>0，按定義，對任意，都有，這是不可能的，如取則，且.綜上所述知：是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集。例2 證明：（）任何有限區(qū)間都是有界集；（）無限區(qū)間都是無界集；（）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集。問題：若數(shù)集有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？(答：不唯一，有無窮多個)。三 確界與確界原理、定義定義（上確界）設(shè)是中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：(1) 對一切有（即是的上界）; (2) 對任何，存在，使得（即是的上界中最小的一個），則稱數(shù)為數(shù)集的上確

9、界，記作定義（下確界）設(shè)是中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：（）對一切有（即是的下界）；（）對任何，存在，使得（即是的下界中最大的一個），則稱數(shù)為數(shù)集的下確界，記作.上確界與下確界統(tǒng)稱為確界。§ 函數(shù)概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念。教學(xué)要求：（）深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；（）牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。教學(xué)重點：函數(shù)的概念。教學(xué)難點：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析。學(xué)時安排: 1學(xué)時教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué)。教學(xué)程序：u 引言：關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了

10、初步的了解。為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)將對此作進(jìn)一步討論。一 函數(shù)的定義定義 設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作().函數(shù)在點的函數(shù)值，記為，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作。即。幾點說明（1）函數(shù)定義的記號中“”表示按法則建立到的函數(shù)關(guān)系，表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作。習(xí)慣上稱自變量，為因變量。（2） 函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域。當(dāng)對應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來。因此，函數(shù)的基本要素為兩個：定義域和對應(yīng)法則。所以函數(shù)也常表示為：. 由此，我們說兩個函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法則。例如：1）

11、（不相同，對應(yīng)法則相同，定義域不同）2） （相同，對應(yīng)法則的表達(dá)形式不同）。（3）函數(shù)用公式法（解析法）表示時，函數(shù)的定義域常取使該運算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域（自然定義域）。此時，函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則來表示一個函數(shù)。即“函數(shù)”或“函數(shù)”。（4）“映射”的觀點來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對于，稱為映射下的象。稱為的原象。（5）函數(shù)定義中，只能有唯一的一個值與它對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對同一個值，可以對應(yīng)多于一個值，則稱這種函數(shù)為多值函數(shù)。本書中只討論單值函數(shù)（簡稱函數(shù)）。（）定義中的定義是Cauchy于1834年給出。不是完美的、現(xiàn)代意義上

12、的函數(shù)定義。事實上，函數(shù)定義的產(chǎn)生也經(jīng)歷了一個從無到有，從具體到抽象。從特殊到一般，從不完美到逐步完美的過程。這個進(jìn)程中充滿了斗爭。歷史上，原始的“函數(shù)觀念”伴隨著數(shù)學(xué)的出現(xiàn)而產(chǎn)生，經(jīng)過近兩個世紀(jì)，明確提出“函數(shù)”一詞，并將其作為數(shù)學(xué)概念研究，則在世紀(jì)以后，現(xiàn)代函數(shù)定義是在年，則庫拉托夫斯基給出。定義如下：設(shè)是一個序偶集合，若當(dāng)時，則稱為一個函數(shù)。（朱家麟淺談函數(shù)概念的歷史演講，河北師范大學(xué)學(xué)報，1990年第期）二 函數(shù)的表示方法1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和圖象法。2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù)。（） 分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示。例如，（符號函數(shù)）（借助于Sg

13、nx可表示即）。（）用語言敘述的函數(shù)。（注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù)）例 ）（取整函數(shù)）（irichlet）（Riemman函數(shù)）三 函數(shù)的四則運算給定兩個函數(shù)，記，并設(shè)，定義與在上的和、差、積運算如下：；.若在中除去使的值，即令，可在上定義與的商運算如下；.注：）若，則與不能進(jìn)行四則運算。）為敘述方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫為：.四 復(fù)合運算引言在有些實際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系。例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v，則功率為.抽去該問題的實際意義，我們得到兩個函數(shù)，把代入，即得.這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)

14、”。問題 任給兩個函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；.就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空（從而引出下面定義）。2 定義（復(fù)合函數(shù)） 設(shè)有兩個函數(shù)，記，若，則對每一個，通過對應(yīng)內(nèi)唯一一個值，而又通過對應(yīng)唯一一個值，這就確定了一個定義在上的函數(shù)，它以為自變量，因變量，記作或。簡記為。稱為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，并稱為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)，為中間變量。3. 例子例1 討論函數(shù)與函數(shù)能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù)。4 說明）復(fù)合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成。每次復(fù)合，都要驗證能否進(jìn)行？在哪個數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？例如：，復(fù)合成：.）不僅要會復(fù)合，更要會

15、分解。把一個函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù)，在分解時也要注意定義域的變化。五、反函數(shù) 引言在函數(shù)中把叫做自變量，叫做因變量。但需要指出的是，自變量與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如： 那么對于來講是自變量，但對來講，是因變量。習(xí)慣上說函數(shù)中是自變量，是因變量，是基于隨的變化現(xiàn)時變化。但有時我們不公要研究隨的變化狀況，也要研究隨的變化的狀況。對此，我們引入反函數(shù)的概念。 反函數(shù)概念設(shè)函數(shù)。滿足：對于值域中的每一個值，中有且只有一個值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個定義在上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為的反函數(shù)，記作或. 注釋a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點看，函數(shù)有反函數(shù)，意味著是與之間的一

16、個一一映射，稱為映射的逆映射，它把；b) 函數(shù)與互為反函數(shù)，并有: c) 在反函數(shù)的表示中，是以為自變量，為因變量。若按習(xí)慣做法用做為自變量的記號，作為因變量的記號，則函數(shù)的反函數(shù)可以改寫為.應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因為其定義域和對應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號不同而已。但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時有所差別。六 初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)（類）常量函數(shù)（為常數(shù)）；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)。注：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，而在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義。下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪，并保持有理

17、批數(shù)冪的基本性質(zhì)。定義給定實數(shù)，設(shè)為無理數(shù)，我們規(guī)定：問題：這樣的定義有意義否？更明確一點相應(yīng)的“確界是否存在呢？”初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復(fù)合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù)。如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù)。注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象。為此，除對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域。確定定義域時應(yīng)注意兩點。例求下列函數(shù)的定義域。（）； （）§4具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的與要求1.理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性. 并利用定義證明函數(shù)是否

18、具有有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性.2.掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的圖形特征，并加以合理地應(yīng)用.教學(xué)重點: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.教學(xué)難點: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.學(xué)時安排: 2學(xué)時教學(xué)方法：課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué)。教學(xué)程序：一 有界函數(shù) 定義1 設(shè)為定義在D上的函數(shù)若存在數(shù)M(L)，使得對每一個D有 ，則稱為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為在D上的一個上(下)界 根據(jù)定義，在D上有上(下)界，意味著值域(D)是一個有上(下)界的數(shù)集又若M(L)為在D上的上(下)界，則任何大于(小于)M(L)的數(shù)

19、也是在D上的上(下)界 定義2 設(shè)為定義在D上的函數(shù)若存在正數(shù)M，使得對每一個有 ， 則稱為D上的有界函數(shù) 根據(jù)定義，在D上有界，意味著值域是一個有界集又按定義不難驗證： 在D上有界的充要條件是在D上既有上界又有下界(1)式的幾何意義是：若為D上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在直線與之間 例如，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)為R上的有界函數(shù)，因為對每一個都有和. 關(guān)于函數(shù)在數(shù)集D上無上界、無下界或無界的定義，可按上述相應(yīng)定義.的否定說法來敘述例如，設(shè)為定義在D上的函數(shù)，若對任何M(無論M多大)，都存在，使得，則稱為D上的無上界函數(shù) 例1 證明為上的無上界函數(shù) .證 對任何正數(shù)M，取上一點，則有 .故按上述定義

20、，為上的無上界函數(shù) 前面已經(jīng)指出，在其定義域D上有上界，是指值域(D)為有上界的數(shù)集于是由確界原理，數(shù)集(D)有上確界通常，我們把(D)的上確界記為，并稱之為在D上的上確界類似地，若在其定義域D上有下界，則在D上的下確界記為 例2 設(shè)，g為D上的有界函數(shù).證明： (i) ； (ii) 證 (i)對任何有上式表明，數(shù)是函數(shù)在D上的一個下界，從而(ii)可類似地證明(略)注 例2中的兩個不等式，其嚴(yán)格的不等號有可能成立例如，設(shè) ，則有 二 單調(diào)函數(shù) 定義3 設(shè)為定義在D上的函數(shù)若對任何,當(dāng)時，總 有 （i）則稱為D上的增函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式)時，稱為D上的嚴(yán)格增函數(shù)； (ii)，則稱為D上的

21、減函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式時，稱為D上的嚴(yán)格減函數(shù)； 增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)例3 函數(shù)在R上是嚴(yán)格增的因為對任何，R,當(dāng)時總有 ，即. 例4 函數(shù)在R上是增的因為對任何R，當(dāng)時,顯然有 但此函數(shù)在R上不是嚴(yán)格增的，若取，則有=，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立此函數(shù)的圖象如圖13所示 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個交點，這一特性保證了它必定具有反函數(shù) 定理12 設(shè)為嚴(yán)格增(減) 函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù)證 設(shè)在D上嚴(yán)格增對任一，有 使下面證明這樣的只能有一個事實上，對于D內(nèi)任一，由在D上的嚴(yán)格增性，當(dāng)時，當(dāng)時有，總之這就說明，對每一個，都只存在唯一的一個，使得y，從而函數(shù)存在反函數(shù)，(D) 現(xiàn)證也是嚴(yán)格增的任取(D)，·設(shè)，則由及的嚴(yán)格增性，顯然有，即所以反函數(shù)是嚴(yán)格增的 例5 函數(shù)在，0)上是嚴(yán)格減的，有反函數(shù)(按習(xí)慣記法)，在（0，+)上是嚴(yán)格增的，有反函數(shù)0，+)。但y在整個定義域R上不是單調(diào)的，也不存在反函數(shù) 上節(jié)中我們給