第2講繪制根軌跡的基本規(guī)則

1、4.2 繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則 110111, 1, miin vvllmiinllKsG s H snmsTsKszG s H snmsp時(shí)間常數(shù)形式：零、極點(diǎn)形式：一一. 開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種表示開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種表示其中，其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益；為系統(tǒng)的開環(huán)增益；K0為系統(tǒng)的根軌跡增益為系統(tǒng)的根軌跡增益,它們之間的關(guān)系為：它們之間的關(guān)系為： ,110mnpzKKnllmii特征方程特征方程： 0sHsG10111+0miinllKszsp ,110mnpszsKsHsGnllmii011-1miinllKszsp , 2 , 1 , 0,12argkksHsGiss)0

2、1 (0101GHzsKpsmiinll二二:繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性：根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性: 011, miinllKszG s H snmsp零、極點(diǎn)形式：證明：證明：（1）連續(xù)性）連續(xù)性 從代數(shù)方程的性質(zhì)可知，當(dāng)方程中的系數(shù)連續(xù)變化時(shí)，方程從代數(shù)方程的性質(zhì)可知，當(dāng)方程中的系數(shù)連續(xù)變化時(shí)，方程的根也連續(xù)，因此特征方程的根軌跡是連續(xù)的。的根也連續(xù)，因此特征方程的根軌跡是連續(xù)的。證明：證明：（2）對(duì)稱性）對(duì)稱性因?yàn)樘卣鞣匠痰母驗(yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，所以根軌跡對(duì)因?yàn)樘卣鞣匠痰母驗(yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，所以根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。稱于實(shí)軸。1:根軌跡

3、的根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：)01(0101GHzsKpsmiinll0當(dāng)當(dāng) 由由 變化時(shí)，方程中變化時(shí)，方程中任一根任一根由始點(diǎn)連續(xù)地向終點(diǎn)變化由始點(diǎn)連續(xù)地向終點(diǎn)變化的軌跡稱為根軌跡的的軌跡稱為根軌跡的一條分支一條分支；規(guī)則規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn)0K(5)( )( )(1)(2)K sG s H ss ss要求畫出根軌跡。要求畫出根軌跡。 某單位反饋系統(tǒng)某單位反饋系統(tǒng)0-5-2-10(1)(2)(5)0s ssK sj2. 根軌跡的起止點(diǎn)：每條根軌跡都起始于開環(huán)極點(diǎn)，根軌跡的起止點(diǎn)：每條根軌跡都起

4、始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。終止于開環(huán)零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 根軌跡是根軌跡是K從從0時(shí)的根變化軌跡，因此必須時(shí)的根變化軌跡，因此必須 起于起于K=0處，處，止于止于K=處。處。觀察幅值條件：觀察幅值條件：1212nmsp spspKsz szsz0, 1,2.iKspin 必有如果如果n m, m條根軌跡趨向開環(huán)的條根軌跡趨向開環(huán)的m 個(gè)零點(diǎn)，而另個(gè)零點(diǎn)，而另n-m條條根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。 對(duì)于例題，對(duì)于例題，3條根軌跡始于條根軌跡始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一條止于開環(huán)零個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一條止于開環(huán)零點(diǎn)，另兩條（點(diǎn)，另兩條（n-m=2）趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。）趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。, 1,2,

5、.iKszim 必有(5)( )( )(1)(2)K sG s H ss ss根軌跡的漸近線有根軌跡的漸近線有n-m條條漸近線的傾角漸近線的傾角1, 2 , 1 , 0,12mnkmnk漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)的實(shí)部之和開環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部之和A規(guī)則規(guī)則3：根軌跡的漸近線：根軌跡的漸近線(5)( )( )(1)(2)K sG s H ss ssiS實(shí)軸上根軌跡的確定完全取決于實(shí)軸上根軌跡的確定完全取決于試驗(yàn)點(diǎn)試驗(yàn)點(diǎn) 右方右方實(shí)軸上開環(huán)實(shí)軸上開環(huán)極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)是否為奇數(shù)。極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)是否為奇數(shù)。 , 2 , 1 , 0,12argkksHsGiss

6、規(guī)則規(guī)則4：根軌跡在實(shí)軸上的分布：根軌跡在實(shí)軸上的分布結(jié)論結(jié)論:試驗(yàn)點(diǎn)右方實(shí)軸試驗(yàn)點(diǎn)右方實(shí)軸上開環(huán)極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)上開環(huán)極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)是之和的數(shù)是奇數(shù)奇數(shù),則該則該點(diǎn)所在的線段就是根軌點(diǎn)所在的線段就是根軌跡跡.(5)( )( )(1)(2)K sG s H ss ss0-5-2-10j控制系統(tǒng)方框圖控制系統(tǒng)方框圖例例1 繪制下圖所示系統(tǒng)的根軌跡繪制下圖所示系統(tǒng)的根軌跡3） 漸近線與正實(shí)軸的夾角漸近線與正實(shí)軸的夾角解：解：213k4）實(shí)軸上的）實(shí)軸上的-1 至至0和和-2至至-間間 的線段為根軌跡的線段為根軌跡1） 有三條根軌跡分支有三條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)

7、(0,-1,-2）2） 三條根軌跡分支的終點(diǎn)均在無(wú)限遠(yuǎn)三條根軌跡分支的終點(diǎn)均在無(wú)限遠(yuǎn) k0,1,25, , 33A1 2 -13 漸近線與正實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與正實(shí)軸的交點(diǎn)為vn=1; ! 分子分子 1 各項(xiàng)系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)vd1=1 0; ! 分母第一項(xiàng)分母第一項(xiàng) (s+0) 各項(xiàng)系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)vd2=1 3 2; ! 分母第二項(xiàng)分母第二項(xiàng)( s2+3s+2) 各項(xiàng)系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)vd=conv(d1,d2); ! 分母二項(xiàng)相乘分母二項(xiàng)相乘vrlocus(n,d); ! 繪制根軌跡繪制根軌跡vsgrid; !繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格規(guī)則規(guī)則5：分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)：分離點(diǎn)與會(huì)

8、合點(diǎn)當(dāng)根軌跡分支在實(shí)軸上相交后走向復(fù)當(dāng)根軌跡分支在實(shí)軸上相交后走向復(fù)平面，此交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)。平面，此交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)。當(dāng)根軌跡由復(fù)平面走向?qū)嵼S時(shí)，它們當(dāng)根軌跡由復(fù)平面走向?qū)嵼S時(shí)，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)稱為會(huì)合點(diǎn)在實(shí)軸上的交點(diǎn)稱為會(huì)合點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 0 0 0 0KB sG s H sA sSD sA sKB sDsAsKBsA s BsAs B sdKds方程出現(xiàn)重根的條件是 必須同時(shí)滿足下列方程由上述兩式導(dǎo)出確定分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的方程或求解根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)求解根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)由上式求的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)由上式求的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)并非都是實(shí)際的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)并非都是實(shí)際

9、的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)分離點(diǎn)真?zhèn)蔚呐袛啵赫鎮(zhèn)蔚呐袛啵呵蟪龅慕馊羰菍?shí)數(shù)，必須位于實(shí)軸上求出的解若是實(shí)數(shù)，必須位于實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域內(nèi)才是真正的分離點(diǎn)；若為復(fù)數(shù)，必的根軌跡區(qū)域內(nèi)才是真正的分離點(diǎn)；若為復(fù)數(shù)，必須滿足根軌跡方程的相角條件才是真正的復(fù)分離點(diǎn)。須滿足根軌跡方程的相角條件才是真正的復(fù)分離點(diǎn)?；脽羝脽羝?11分離點(diǎn)的位置：分離點(diǎn)的位置：對(duì)正確判斷根軌跡的形狀起重要作對(duì)正確判斷根軌跡的形狀起重要作用。用?；脽羝脽羝?12特例：特例：由由2個(gè)有限開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）和一個(gè)有個(gè)有限開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）和一個(gè)有限開環(huán)零點(diǎn)組成的系統(tǒng)，如果存在實(shí)軸以外的根軌限開環(huán)零點(diǎn)組成的系統(tǒng)，如果存在實(shí)軸以外

10、的根軌跡，該部分根軌跡為：以零點(diǎn)為圓心，以零點(diǎn)到分跡，該部分根軌跡為：以零點(diǎn)為圓心，以零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的圓或圓??；當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為共軛離點(diǎn)的距離為半徑的圓或圓??；當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，圓的半徑為零點(diǎn)到極點(diǎn)的距離。復(fù)數(shù)時(shí)，圓的半徑為零點(diǎn)到極點(diǎn)的距離?；脽羝脽羝?1313控制系統(tǒng)方框圖控制系統(tǒng)方框圖例例1 繪制下圖所示系統(tǒng)的根軌跡繪制下圖所示系統(tǒng)的根軌跡3） 漸近線與正實(shí)軸的夾角漸近線與正實(shí)軸的夾角解：解：213k4）實(shí)軸上的）實(shí)軸上的-1 至至0和和-2至至-間間 的線段為根軌跡的線段為根軌跡1） 有三條根軌跡分支有三條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)(0,-1,-2

11、）2） 三條根軌跡分支的終點(diǎn)均在無(wú)限遠(yuǎn)三條根軌跡分支的終點(diǎn)均在無(wú)限遠(yuǎn) k0,1,25, , 33A1 2 -13 漸近線與正實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線與正實(shí)軸的交點(diǎn)為14解：特征方程解：特征方程120s ssK控制系統(tǒng)方框圖3232Ksss 23620, dKssds 120.423,1.577()ss 舍解：特征方程解：特征方程120s ssK控制系統(tǒng)方框圖3232Ksss 23620, dKssds 120.423,1.577ss 2 1K sG ss s由相角條件得2 arg1K ss s arg2arg1 21,0,1,2,ss skksj 令222, 22根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓 其方程為ta

12、ntantan()1tantantan()tan分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)與離開分離點(diǎn)的切分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)與離開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角線方向之間的夾角L=2L=2：分離角必為直角分離角必為直角（垂直進(jìn)入或離開實(shí)軸）（垂直進(jìn)入或離開實(shí)軸）結(jié)論：結(jié)論：若有若有L條根軌跡趕往分離點(diǎn)，則閉環(huán)特征方條根軌跡趕往分離點(diǎn)，則閉環(huán)特征方程有程有L重根。重根。 分離點(diǎn)處每相鄰兩條根軌跡分支間的夾角為分離點(diǎn)處每相鄰兩條根軌跡分支間的夾角為d(21),(0,1,2,1)kkLL0d180L18 2 1K sG ss s繪制系統(tǒng)根軌跡繪制系統(tǒng)根軌跡.3）實(shí)軸上的）實(shí)軸上的-1 至至0和和-2至至-間間 的線

13、段為根軌跡的線段為根軌跡1） 有兩條根軌跡分支有兩條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)(0,-1）2） 兩條根軌跡分支的終點(diǎn)分別為無(wú)限遠(yuǎn)和兩條根軌跡分支的終點(diǎn)分別為無(wú)限遠(yuǎn)和-219 2 1K sG ss s由相角條件得2 arg1K ss s arg2arg1 21,0,1,2,ss skksj 令222, 22根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓 其方程為例例4 已知已知 2044 20ssssKsHsG求系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)求系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)2） 漸近線與正實(shí)軸的夾角漸近線與正實(shí)軸的夾角解：解：24224- :A漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為45. 22 , 208072244803682044

14、020443,212302342002jsssssdsdKssssssssKKssss解之得1,2,3, 0k ,47 ,45,43,4412k有有4條根軌跡分支條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)分別為它們的始點(diǎn)分別為0，-4，-2j43） 實(shí)軸上的實(shí)軸上的0至至-4間的線段是根軌跡間的線段是根軌跡規(guī)則規(guī)則6：出射角與入射角：出射角與入射角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱根根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱根軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向夾角稱入射角夾角稱入射角根軌跡出射角的確定:則有在

15、根軌跡上,.如果sp開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)十分靠近令試驗(yàn)點(diǎn)s圖所示,極點(diǎn)設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)零,i4i如l計(jì)mnliji 1j 1j算出射角的通式2k1 計(jì)算入射角通式nmkjij 1i 1i k同理2k1 lmnliji 1j 1j2k1 根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益 稱為稱為臨臨界根軌跡增益界根軌跡增益。 求解方法（兩種方法）：求解方法（兩種方法）：勞斯判據(jù)：出現(xiàn)零行，代入輔助方程，此處的增益勞斯判據(jù)：出現(xiàn)零行，代入輔助方程，此處的增益臨界臨界根軌跡增益。根軌跡增

16、益。Re( )Im( )0A sA s 令令s=j代入閉環(huán)特征方程代入閉環(huán)特征方程A（s）=0 ，再令，再令 求出求出、交點(diǎn)坐標(biāo)和、交點(diǎn)坐標(biāo)和 規(guī)則規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)0K0K0K432836800ssssK由勞斯判據(jù)由勞斯判據(jù)：K s 0 26K2608 s K 26 s 0 80 8 s K 36 1 s 0123410js 026026s 助方程由260時(shí),當(dāng)K1,22輔助260K , 10 求得08-80j 0K36- 08-80jK36- j代入方程直接求解用s224224解解: 2,4420KG s H ss sssm1jjlcizKppnlni11方程的

17、根為n,1,2,ipci特征n1lln1ici(-p(-p)規(guī)則規(guī)則8：特征方程式根之和與根之積：特征方程式根之和與根之積當(dāng)當(dāng)K從從0變化到無(wú)窮時(shí)變化到無(wú)窮時(shí),閉環(huán)特征方程的閉環(huán)特征方程的n個(gè)根會(huì)隨個(gè)根會(huì)隨之變化之變化,但它們之和恒等于但它們之和恒等于n的開環(huán)極點(diǎn)之和的開環(huán)極點(diǎn)之和.這一這一性質(zhì)用于估計(jì)根軌跡分支的變化趨向性質(zhì)用于估計(jì)根軌跡分支的變化趨向. 例例5 已知已知 2 1610KG ssss繪制根軌跡并確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益的取值范圍繪制根軌跡并確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益的取值范圍2）漸近線與正實(shí)軸的夾角）漸近線與正實(shí)軸的夾角解：解：A5: -1.673 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

18、2221,216100,1610 ,31040,513, -0.4648,-2.86853sssKKsssdKssdsd 解之得215, , k0,1,2333k1809016676ooool 76o3231,21001010)2 22用sj代入方程s +5s +4s+K-10=0直接求解 K 5 , (K5 4-0求得 2 , sj K30閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益的取值范圍為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)增益的取值范圍為30K10lmnliji 1j 1j2k1 2 1610KG ssss根軌跡作圖步驟根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同

19、的比例尺；二、二、 n-mn-m條漸近線；條漸近線；三、實(shí)軸上的根軌跡；三、實(shí)軸上的根軌跡；四、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；四、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；五、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡的出射角、入射角；六、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。 根據(jù)上述根據(jù)上述8 8個(gè)準(zhǔn)則（或性質(zhì)），可以大致畫出根軌跡的個(gè)準(zhǔn)則（或性質(zhì)），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。形狀。為了準(zhǔn)確起見，