數(shù)值分析：第一章緒論學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)值數(shù)值(shz)分析：第一章緒論分析：第一章緒論第一頁，共44頁。數(shù)值數(shù)值(shz)分析分析 能夠做什么？能夠做什么？第2頁/共44頁第二頁，共44頁。 研究(ynji)使用計算機求解各種科學(xué)與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進行評估，以及如何在計算機上實現(xiàn)求解等。 數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用第3頁/共44頁第三頁，共44頁。第4頁/共44頁第四頁，共44頁。1、一個(y )兩千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；實三十九斗； 上禾

2、二秉，中禾三秉，下禾一秉，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；實三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分答曰：上禾一秉九斗四分(s fn)斗之斗之一。中禾一秉四斗四分一。中禾一秉四斗四分(s fn)斗之一斗之一。下禾一秉二斗四分。下禾一秉二斗四分(s fn)斗之三。斗之三。-九章算術(shù)九章算術(shù)第5頁/共44頁第五頁，共44頁。263234323923zyxzyxzyx1、一個(y )兩千年前的例子第6頁/共44頁第六頁，共44頁。nnnnnnaaaaaaaa

3、a212222111211bxAnnbbbxxx2121本課程第三章的內(nèi)容本課程第三章的內(nèi)容(nirng)： 線性方程組的數(shù)值方法！線性方程組的數(shù)值方法！第7頁/共44頁第七頁，共44頁。x是行星運動(yndng)的軌道，它是時間t 的函數(shù)sin0,01xxt 本課程第二章的內(nèi)容： 非線性方程的數(shù)值(shz)解法第8頁/共44頁第八頁，共44頁。第9頁/共44頁第九頁，共44頁。 表示地球上一個接收點R的當前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組( , , , )x y z t(, )iiiix y z t222111122222222223333222444422255552226

4、666()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)xxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzz0c第10頁/共44頁第十頁，共44頁。11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xx( )0F x 記記為為其中其中:,nnF DRR12( ,)Tnxx xx第11頁/共44頁第十一頁，共44頁。1000本課程(kchng)第四章的內(nèi)容：插值法第12頁/共44頁第十二頁，共44頁。1950551961960662

5、0719708299219809870519901143332000126743432231ttty30/ )1979( ts432231sssy第13頁/共44頁第十三頁，共44頁。第14頁/共44頁第十四頁，共44頁。 建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊一塊(y kui)(y kui)平整的鋁板壓制而成的平整的鋁板壓制而成的. .假若要求波紋瓦長假若要求波紋瓦長4 4英尺英尺, ,每個波紋的高度每個波紋的高度( (從中從中心線心線) )為為1 1英寸英寸, ,且每個波紋以近似且每個波紋以近似22英寸為一個英寸為一個周期周期. . 求制做一塊求制

6、做一塊(y kui)(y kui)波紋瓦所需鋁板波紋瓦所需鋁板的長度的長度L.L.第15頁/共44頁第十五頁，共44頁。dxxdxxfL48024802)(cos1)(1上述積分上述積分(jfn)(jfn)稱為第二類橢圓積分稱為第二類橢圓積分(jfn),(jfn),它不能用普通方法來計算它不能用普通方法來計算. .本課程(kchng)第五章的內(nèi)容：數(shù)值積分第16頁/共44頁第十六頁，共44頁。123aaaABBBCBBCAC 第17頁/共44頁第十七頁，共44頁。111323ya ya y y 1(0)1y221132322ya ya y ya y2(0)0y3y 222a y3(0)0y A

7、： B：C： 第18頁/共44頁第十八頁，共44頁。用計算機解決實際問題的步驟用計算機解決實際問題的步驟(bzhu)(bzhu) 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 選擇數(shù)值方法選擇數(shù)值方法 編寫程序編寫程序 上機計算結(jié)果上機計算結(jié)果步驟：步驟：實際問題建立數(shù)學(xué)模型提供計算方法實際問題建立數(shù)學(xué)模型提供計算方法設(shè)計程序上機計算獲取近似結(jié)果設(shè)計程序上機計算獲取近似結(jié)果第19頁/共44頁第十九頁，共44頁。第20頁/共44頁第二十頁，共44頁。操作性差的例子操作性差的例子(l zi)(l zi)： 求解求解2020階線性方程組，用階線性方程組，用CramerCramer法則要用法則要用 次乘法運算次乘法運算,

8、 ,用每秒用每秒1 1億次的計算機計算億次的計算機計算, ,大約需算大約需算3030多萬年多萬年; ;但用消元法只須但用消元法只須30003000次乘法運算，只要幾秒鐘。次乘法運算，只要幾秒鐘。209.7 102. 可操作性：程序簡單、計算時間較少、計算機容易實現(xiàn)可操作性：程序簡單、計算時間較少、計算機容易實現(xiàn); ;3. 實用性：近似解滿足精度要求。實用性：近似解滿足精度要求。第21頁/共44頁第二十一頁，共44頁。11 nnInI公式一：公式一：.210110,n,dxexeIxnn ( (不實用的例不實用的例子子) )：計算：計算632120560111100.edxeeIx 記記為為*0

9、I80001050 .IIE則初始誤差則初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !第22頁/共44頁第二十二頁，共44頁?？疾斓诳疾斓趎 n步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|Enn 造成這種情況的是造成這種情況的是不穩(wěn)定

10、的算法不穩(wěn)定的算法。)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：方法方法(fngf)(fngf)：先估計一個：先估計一個IN ,IN ,再反推要求的再反推要求的In ( n In ( n N ) N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可可取取0* NNNIIEN, ,時時當當迅速積累，誤差呈遞增走勢迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動可見初始的小擾動801050| .E第23頁/共44頁第二十三頁，共44頁。632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(

11、1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取 我們僅僅是幸運嗎我們僅僅是幸運嗎?第24頁/共44頁第二十四頁，共44頁。考察反推一步考察反推一步(y b)的誤的誤差：差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE 以此類推以此類推(y c li tu)，對，對 n N 有：有：11|1(1).(1)nn+1NEEEnN Nn 誤差逐步遞減誤差逐步遞減, , 這樣的算法這樣的算法(sun f

12、)(sun f)稱為穩(wěn)定的算法稱為穩(wěn)定的算法(sun (sun f)f)。第25頁/共44頁第二十五頁，共44頁。1.2 向量向量(xingling)和矩陣范數(shù)和矩陣范數(shù) Rn 空間的空間的向量范數(shù)向量范數(shù) | | 對任意對任意 滿足下列條件滿足下列條件：nRyx ,00|;0|)1( xxx（正定性正定性)|) 2(xx C 對任意對任意(齊次性齊次性) |) 3(yxyx （三角不等式三角不等式)常用向量范數(shù)常用向量范數(shù) (設(shè)設(shè)1 p 0 使得，使得，則稱則稱 | |A 和和| |B 等價等價。BABxCxxC|21 定理定理(dngl)1.2.1 Rn 上一切范數(shù)都等價。上一切范數(shù)都等價

13、?？梢岳斫鉃閷θ魏慰梢岳斫鉃閷θ魏?rnh)向量范數(shù)向量范數(shù)都成立。都成立。第27頁/共44頁第二十七頁，共44頁。二二. . 矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)范數(shù)范數(shù)Rm n空間的空間的矩陣范數(shù)矩陣范數(shù) | | 對任意對任意 滿足：滿足：nmRBA ,00|;0|) 1 ( AAA（正定性正定性)|) 2(AA C 對任意對任意(齊次性齊次性) |) 3(BABA （三角不等式三角不等式)(4)* | AB | | A | | B | （相容（相容(xin rn) 當當 m = n 時時)定義(dngy)1.2.4第28頁/共44頁第二十八頁，共44頁。常用矩陣范數(shù)常用矩陣范數(shù)：Frob

14、enius 范數(shù)范數(shù) ninjijFaA112| 向量向量| |2的直接推廣的直接推廣 對方陣對方陣 以及以及 有有nnRA nRx 22|xAxAF 算子算子(sun z)范數(shù)范數(shù) 由向量范數(shù) | |p 導(dǎo)出關(guān)于(guny)矩陣 A Rnn 的 p 范數(shù):pxpppxAxxAApx|max|max|10| 則則ppppppxAxABAAB| 特別有：特別有： njijaAni1|max|1（行和范數(shù)行和范數(shù)） niijaAnj11|max|1（列和范數(shù)列和范數(shù)）)(|max2AAAT （譜范數(shù)譜范數(shù) ）矩陣矩陣(j zhn) ATA (j zhn) ATA 的最大的最大特征值特征值, ,又叫

15、又叫ATAATA的譜半徑的譜半徑(設(shè)設(shè)1 p 0, 存在算子范數(shù)存在算子范數(shù) | | 使得使得 | A | ( (A) ) 。 設(shè)設(shè)：.)(,)()(nnnnkijknnijRaAaA AAkk lim是指是指ijkijkaa )(lim對所有對所有 1 i, j n 成立成立。定義定義(dngy)1.2.5(dngy)1.2.5 Ak 0 0 ( ( A ) 1 ) 1定理定理1.2.5設(shè)設(shè)：.)(,)()(nnnnkijknnijRaAaA AAkk lim是指是指ijkijkaa )(lim對所有對所有 1 i, j n 成立成立。第31頁/共44頁第三十一頁，共44頁。證明證明(zhn

16、gmng)： 若不然，則若不然，則 有非零解，即存在非零有非零解，即存在非零向量向量 使得使得 0)( xBI0 x00 xxB 1|00 xxB1| B IBIBI 1)( 11)()(BIBBI11)()( BIBIBI|)(|1|)(|11 BIBBI若矩陣若矩陣 B 對某個算子范數(shù)滿足對某個算子范數(shù)滿足 |B| 1，則必有，則必有BI 可逆；可逆；( () )|111BBI 定理定理1.2.6第32頁/共44頁第三十二頁，共44頁。35sin()3!5!xxxx 右端是截斷誤差右端是截斷誤差!一一 . .誤差來源誤差來源(liyun)(liyun)（分類）（分類） 1. 1. 模型誤差

17、。模型誤差。 2. 2. 觀測觀測(gunc)(gunc)誤差。誤差。3. 3. 截斷誤差，如截斷誤差，如第33頁/共44頁第三十三頁，共44頁。2(1.000002)1.000004 0）本本應(yīng)應(yīng)（122104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1( 4. 4. 舍入誤差。計算機字長有限，一般實數(shù)不能精確存儲，于是舍入誤差。計算機字長有限，一般實數(shù)不能精確存儲，于是(ysh)(ysh)產(chǎn)生舍入誤差。產(chǎn)生舍入誤差。3333333333.031 ）本本應(yīng)應(yīng)33333333333. 031( 例如：在例如：在1010位十進制數(shù)限制下

18、：位十進制數(shù)限制下：第34頁/共44頁第三十四頁，共44頁。2 2相對誤差相對誤差。稱。稱 為為 的相對誤差。的相對誤差。 實用中，常用實用中，常用 表示表示 的相對誤差。的相對誤差。 如果如果 則稱則稱 為為 的相對誤差限。的相對誤差限。*ex, rre *xr *xreex*x|, e *x第35頁/共44頁第三十五頁，共44頁。3 3定義定義(dngy)1.3.1(dngy)1.3.1(有效數(shù)字有效數(shù)字) )* 0.10 (0, ).m 12p1nxa aaaap設(shè)設(shè)1*10,2mnxx若則說則說 具有具有n位有效數(shù)字，分別是位有效數(shù)字，分別是*xnaaa,21 若若 ，則稱，則稱 為有

19、效數(shù)。為有效數(shù)。pn *x或稱或稱 準確到準確到 位位, ,*x10m n第36頁/共44頁第三十六頁，共44頁。例例1.3.11.3.1 設(shè)設(shè)x x* *= 0.0270= 0.0270是某數(shù)是某數(shù) x x 經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得所得(su d)(su d)，則，則 誤差誤差 e e 不超過不超過 x x* * 末位的半個單位，即末位的半個單位，即：41021* xx311021* xx又又x = 0.270 x10= 0.270 x10-1-1, ,故該不等式又可寫為故該不等式又可寫為由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知(k zh), x(k zh), x* *有有3 3位有效數(shù)字，

20、位有效數(shù)字，分別是分別是2,72,7，0 0。第37頁/共44頁第三十七頁，共44頁。例例1.3.21.3.2 設(shè)設(shè) x = 32.93, = 32.93, x = 32.89 = 32.89。 1102105. 004. 0* xx321021* xx則則 x = 0.3289x10 = 0.3289x102 2, ,故故x x* *有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字(yu xio sh z)(yu xio sh z)，分別是，分別是3 3，2 2，8 8。由于由于x x* *中的數(shù)字中的數(shù)字9 9不是不是(b shi)(b shi)有效數(shù)字，故有效數(shù)字，故x x* *不是不是(b shi)(b

21、 shi)有效數(shù)。有效數(shù)。第38頁/共44頁第三十八頁，共44頁。2.2. 定理定理1.3.11.3.1 若近似數(shù)若近似數(shù)x 具有具有n位有效數(shù)字，則位有效數(shù)字，則 (1.2) (1.2) 111102nrea反之，反之， 若若 則則x 至少有至少有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。111102nrea第39頁/共44頁第三十九頁，共44頁。*)*)(*)()(*)(xxxfxfxfyyye 兩邊除以兩邊除以 得得 )(*xfy (* )(* )*(* )(* )rfxeyxexrfx (1.4)(1.4) 1. 1. 一元函數(shù)情形一元函數(shù)情形 設(shè)設(shè) 則則 ，由，由TaylorTaylor展開公式展開公式 ),(xfy )(*xfy *)(*)(*)(xexfye （1.3）四、數(shù)值運算四、數(shù)值運算(yn sun)的誤差估計的誤差估計(1.3)(1.3)和（和（1.41.4）給出了由自變量的誤差引起）給出了由自變量的誤差引起(ynq)(ynq)的函的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。第40頁/共44頁第四十頁，共44頁。 2. 2. 多元多元(du yun)(du yun)函數(shù)情形函數(shù)情形設(shè)設(shè) ，*),*,*,(*21nxxxfy ),(21nxxxfy , , 則則121( *)(*,*,*) (*) nniiie yfxxxe