數(shù)學(xué)建模離散模型培訓(xùn)學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模離散模型培訓(xùn)建模離散模型培訓(xùn)第一頁(yè)，共94頁(yè)。參考書數(shù)學(xué)(shxu)模型 姜啟源 謝金星等著 高等教育出版社任何數(shù)學(xué)(shxu)建模方面的書計(jì)算機(jī)語(yǔ)言方面的書(matlab,mathematica,lindogo）第1頁(yè)/共94頁(yè)第二頁(yè)，共94頁(yè)。第2頁(yè)/共94頁(yè)第三頁(yè)，共94頁(yè)。第3頁(yè)/共94頁(yè)第四頁(yè)，共94頁(yè)。模型模型(mxng):為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物.集中反映了原型中人們需要的那一部分特征集中反映了原型中人們需要的那一部分特征什么什么(shn m

2、e)是數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型定義數(shù)學(xué)模型定義: :對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具(gngj)(gngj)，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模:建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）第4頁(yè)/共94頁(yè)第五頁(yè)，共94頁(yè)。 數(shù)學(xué)建模的基本數(shù)學(xué)建模的基本(jbn)(jbn)方法方法機(jī)理機(jī)理(j l)(j l)分析分析測(cè)試測(cè)試(csh)(csh)分析分析根據(jù)對(duì)客觀事

3、物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作將對(duì)象看作“黑箱黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確用測(cè)試分析確定模型參數(shù)定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的具體

4、應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用第5頁(yè)/共94頁(yè)第六頁(yè)，共94頁(yè)。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)建模的一般步驟建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實(shí)際了解實(shí)際(shj)(shj)背景背景明確明確(mngqu)(mngqu)建模目的建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征形成一個(gè)形成一個(gè)比較清晰比較清晰的的問(wèn)題問(wèn)題第6頁(yè)/共94頁(yè)第七頁(yè)，共94頁(yè)。模模型型假假設(shè)設(shè)針對(duì)針對(duì)(zhndu)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理作出合理(hl)的、簡(jiǎn)化的假設(shè)的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理

5、在合理(hl)與簡(jiǎn)化之間作出折中與簡(jiǎn)化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟第7頁(yè)/共94頁(yè)第八頁(yè)，共94頁(yè)。模型模型(mxng)求解求解各種數(shù)學(xué)方法各種數(shù)學(xué)方法(sh xu fn f)、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果如結(jié)果(ji gu)的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性

6、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟第8頁(yè)/共94頁(yè)第九頁(yè)，共94頁(yè)。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模的全建模的全過(guò)程過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證(歸納)(演繹)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯翻譯”回實(shí)際對(duì)象回實(shí)際對(duì)象

7、用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐理論實(shí)踐第9頁(yè)/共94頁(yè)第十頁(yè)，共94頁(yè)。模型模型(mxng)的逼真性和可行性的逼真性和可行性模型模型(mxng)的漸進(jìn)性的漸進(jìn)性模型模型(mxng)的強(qiáng)健性的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第10頁(yè)/共94頁(yè)第十一頁(yè)，共94頁(yè)。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)建模能力的培養(yǎng)建模能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(y mn)技術(shù)，不如說(shuō)是一門技術(shù)，不如說(shuō)是一門(y mn)藝術(shù)藝術(shù)技術(shù)技

8、術(shù)(jsh)大致有章可循大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型 親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目 * * 也是一種創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也是一種創(chuàng)新能力的培養(yǎng) 第11頁(yè)/共94頁(yè)第十二頁(yè)，共94頁(yè)。 * * 沒(méi)有沒(méi)有(mi yu)(mi yu)創(chuàng)新，就沒(méi)有創(chuàng)新，就沒(méi)有(mi yu)(mi yu)發(fā)展，創(chuàng)新促進(jìn)人類發(fā)展，創(chuàng)新促進(jìn)人類社會(huì)的進(jìn)步社會(huì)的進(jìn)步. . * 正處于傳統(tǒng)的繼承性教育正處于傳統(tǒng)的繼承性教育(jioy)向創(chuàng)新性向創(chuàng)新性教育教育

9、(jioy)轉(zhuǎn)變的時(shí)期轉(zhuǎn)變的時(shí)期.重要的科學(xué)重要的科學(xué)(kxu)思維方式之一是創(chuàng)新思維，思維方式之一是創(chuàng)新思維，創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂.創(chuàng)新能力的培養(yǎng)創(chuàng)新能力的培養(yǎng) 第12頁(yè)/共94頁(yè)第十三頁(yè)，共94頁(yè)。數(shù)學(xué)建模中的圖論方法數(shù)學(xué)建模中的圖論方法1.圖論的起源圖論的起源 圖論起源于圖論起源于18世紀(jì)。第一篇圖論論文是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于世紀(jì)。第一篇圖論論文是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1736 年年發(fā)表的發(fā)表的“哥尼斯堡的七座橋哥尼斯堡的七座橋”。1847年，克?；舴?yàn)榱私o出電網(wǎng)絡(luò)方年，克?；舴?yàn)榱私o出電網(wǎng)絡(luò)方程而引進(jìn)了程而引進(jìn)了“樹樹”的概念。的概念。1857年，凱萊在計(jì)

10、數(shù)烷的同分異構(gòu)物時(shí)，年，凱萊在計(jì)數(shù)烷的同分異構(gòu)物時(shí)，也發(fā)現(xiàn)也發(fā)現(xiàn)(fxin)了了“樹樹”。哈密爾頓于。哈密爾頓于1859年提出年提出“周游世界周游世界”游戲，游戲，用圖論的術(shù)語(yǔ)，就是如何找出一個(gè)連通圖中的生成圈，近幾十年來(lái)，由用圖論的術(shù)語(yǔ)，就是如何找出一個(gè)連通圖中的生成圈，近幾十年來(lái)，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)和科學(xué)的飛速發(fā)展，大大地促進(jìn)了圖論研究和應(yīng)用，圖論于計(jì)算機(jī)技術(shù)和科學(xué)的飛速發(fā)展，大大地促進(jìn)了圖論研究和應(yīng)用，圖論的理論和方法已經(jīng)滲透到物理、化學(xué)、通訊科學(xué)、建筑學(xué)、生物遺傳學(xué)、的理論和方法已經(jīng)滲透到物理、化學(xué)、通訊科學(xué)、建筑學(xué)、生物遺傳學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科中。心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科

11、中。第13頁(yè)/共94頁(yè)第十四頁(yè)，共94頁(yè)。 圖論中所謂的圖論中所謂的“圖圖”是指某類具體事物和這些事物之間的聯(lián)是指某類具體事物和這些事物之間的聯(lián)系。如果我們用點(diǎn)表示這些具體事物，用連接兩點(diǎn)的線段（直系。如果我們用點(diǎn)表示這些具體事物，用連接兩點(diǎn)的線段（直的或曲的）表示兩個(gè)事物的特定的聯(lián)系，就得到了描述這個(gè)的或曲的）表示兩個(gè)事物的特定的聯(lián)系，就得到了描述這個(gè)“圖圖”的幾何形象。圖論為任何一個(gè)包含了一種二元關(guān)系的離散系統(tǒng)的幾何形象。圖論為任何一個(gè)包含了一種二元關(guān)系的離散系統(tǒng)提供了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，借助于圖論的概念、理論和方法，可以提供了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，借助于圖論的概念、理論和方法，可以對(duì)該模型求解。哥尼斯

12、堡七橋問(wèn)題就是對(duì)該模型求解。哥尼斯堡七橋問(wèn)題就是(jish)一個(gè)典型的例子。一個(gè)典型的例子。在哥尼斯堡有七座橋?qū)⑵杖R格爾河中的兩個(gè)島及島與河岸聯(lián)結(jié)在哥尼斯堡有七座橋?qū)⑵杖R格爾河中的兩個(gè)島及島與河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)問(wèn)題是要從這四塊陸地中的任何一塊開始通過(guò)每一座橋正起來(lái)問(wèn)題是要從這四塊陸地中的任何一塊開始通過(guò)每一座橋正好一次，再回到起點(diǎn)。好一次，再回到起點(diǎn)。 第14頁(yè)/共94頁(yè)第十五頁(yè)，共94頁(yè)。 當(dāng)然可以通過(guò)試驗(yàn)去嘗試解決這個(gè)問(wèn)題，但該城居民的當(dāng)然可以通過(guò)試驗(yàn)去嘗試解決這個(gè)問(wèn)題，但該城居民的任何嘗試均未成功。歐拉為了解決這個(gè)問(wèn)題，采用了建立任何嘗試均未成功。歐拉為了解決這個(gè)問(wèn)題，采用了建立(jinl)數(shù)

13、學(xué)模型的方法。他將每一塊陸地用一個(gè)點(diǎn)來(lái)代替，數(shù)學(xué)模型的方法。他將每一塊陸地用一個(gè)點(diǎn)來(lái)代替，將每一座橋用連接相應(yīng)兩點(diǎn)的一條線來(lái)代替，從而得到一個(gè)將每一座橋用連接相應(yīng)兩點(diǎn)的一條線來(lái)代替，從而得到一個(gè)有四個(gè)有四個(gè)“點(diǎn)點(diǎn)”，七條，七條“線線”的的“圖圖”。問(wèn)題成為從任一點(diǎn)出發(fā)一筆。問(wèn)題成為從任一點(diǎn)出發(fā)一筆畫出七條線再回到起點(diǎn)。歐拉考察了一般一筆畫的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，畫出七條線再回到起點(diǎn)。歐拉考察了一般一筆畫的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，給出了一筆畫的一個(gè)判定法則：這個(gè)圖是連通的，且每個(gè)點(diǎn)給出了一筆畫的一個(gè)判定法則：這個(gè)圖是連通的，且每個(gè)點(diǎn)都與偶數(shù)線相關(guān)聯(lián)，將這個(gè)判定法則應(yīng)用于七橋問(wèn)題，得到都與偶數(shù)線相關(guān)聯(lián)，將這個(gè)判定法則應(yīng)用于

14、七橋問(wèn)題，得到了了“不可能走通不可能走通”的結(jié)果，不但徹底解決了這個(gè)問(wèn)題，而且開的結(jié)果，不但徹底解決了這個(gè)問(wèn)題，而且開創(chuàng)了圖論研究的先河。最短路問(wèn)題、最大流問(wèn)題、最小費(fèi)用創(chuàng)了圖論研究的先河。最短路問(wèn)題、最大流問(wèn)題、最小費(fèi)用流問(wèn)題和匹配問(wèn)題等都是圖與網(wǎng)絡(luò)的基本問(wèn)題流問(wèn)題和匹配問(wèn)題等都是圖與網(wǎng)絡(luò)的基本問(wèn)題第15頁(yè)/共94頁(yè)第十六頁(yè)，共94頁(yè)。第16頁(yè)/共94頁(yè)第十七頁(yè)，共94頁(yè)。第17頁(yè)/共94頁(yè)第十八頁(yè)，共94頁(yè)。第18頁(yè)/共94頁(yè)第十九頁(yè)，共94頁(yè)。第19頁(yè)/共94頁(yè)第二十頁(yè)，共94頁(yè)。 3. 3. 圖論的基本概念圖論的基本概念 圖定義：圖定義： 圖是由頂點(diǎn)集合圖是由頂點(diǎn)集合(vertex)(

15、vertex)及頂點(diǎn)間的關(guān)系集合組成的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：及頂點(diǎn)間的關(guān)系集合組成的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)： Graph Graph( V, E ) ( V, E ) 其中其中 V = x | x V = x | x 某個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象某個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象 是頂點(diǎn)的有窮非空集合；是頂點(diǎn)的有窮非空集合； E = (x, y) | x, y E = (x, y) | x, y V V 或或 E = | x, y E = | x, y V & Path (x, y) V & Path (x, y) 是頂點(diǎn)之間關(guān)系的有窮集合，也叫做邊是頂點(diǎn)之間關(guān)系的有窮集合，也叫做邊(edge)(edge)集合。集合。Path (x

16、, y)Path (x, y)表示從表示從 x x 到到 y y 的一條的一條(y tio)(y tio)單向通路單向通路, , 它是有它是有方向的。方向的。 有向圖與無(wú)向圖：有向圖與無(wú)向圖： 在有向圖中，頂點(diǎn)對(duì)在有向圖中，頂點(diǎn)對(duì)是有序的。在無(wú)向圖中，頂點(diǎn)對(duì)是有序的。在無(wú)向圖中，頂點(diǎn)對(duì)(x, y)(x, y)是無(wú)序的。是無(wú)序的。 完全圖：完全圖： 若有若有 n n 個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向圖有個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向圖有 n(n-1)/2 n(n-1)/2 條邊條邊, , 則此則此第20頁(yè)/共94頁(yè)第二十一頁(yè)，共94頁(yè)。圖為完全無(wú)向圖。有圖為完全無(wú)向圖。有 n 個(gè)頂點(diǎn)的有向圖有個(gè)頂點(diǎn)的有向圖有n(n-1) 條邊條邊,

17、 則此圖為完全則此圖為完全有向圖。有向圖。 鄰接頂點(diǎn)：鄰接頂點(diǎn)： 如果如果 (u, v) 是是 E(G) 中的一條邊，則稱中的一條邊，則稱 u 與與 v 互為鄰接互為鄰接頂點(diǎn)。頂點(diǎn)。 若若ek, el至少有一個(gè)公共端點(diǎn)至少有一個(gè)公共端點(diǎn),則稱則稱ek, el 是彼此是彼此(bc)相鄰的相鄰的,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱相鄰的相鄰的 權(quán)：權(quán)： 某些某些(mu xi)(mu xi)圖的邊具有與它相關(guān)的數(shù)圖的邊具有與它相關(guān)的數(shù), , 稱之為權(quán)。這種帶權(quán)圖叫做網(wǎng)絡(luò)。稱之為權(quán)。這種帶權(quán)圖叫做網(wǎng)絡(luò)。 頂點(diǎn)的度：頂點(diǎn)的度： 一個(gè)頂點(diǎn)一個(gè)頂點(diǎn)v v的度是與它相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)。記作的度是與它相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)。記作TD(v)TD(

18、v)。在有向圖中。在有向圖中, , 頂點(diǎn)的頂點(diǎn)的度等于該頂點(diǎn)的入度與出度之和。度等于該頂點(diǎn)的入度與出度之和。第21頁(yè)/共94頁(yè)第二十二頁(yè)，共94頁(yè)。 頂點(diǎn)頂點(diǎn) v v 的入度：的入度： 以以 v v 為終點(diǎn)的有向邊的條數(shù)為終點(diǎn)的有向邊的條數(shù), , 記作記作 ID(v); ID(v); 頂點(diǎn)頂點(diǎn) v v 的出度：的出度： 以以 v v 為始點(diǎn)的有向邊的條數(shù)為始點(diǎn)的有向邊的條數(shù), , 記作記作 OD(v) OD(v)。度為奇數(shù)的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)度為奇數(shù)的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)(u sh).(u sh). 路徑：路徑： 在圖在圖 G G(V, E) (V, E) 中中, , 若從頂點(diǎn)若從頂點(diǎn) vi vi 出發(fā)

19、出發(fā), , 沿一些邊經(jīng)過(guò)一些頂點(diǎn)沿一些邊經(jīng)過(guò)一些頂點(diǎn) vp1, vp2, , vpm vp1, vp2, , vpm，到達(dá)頂點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)vjvj。則稱頂點(diǎn)序列。則稱頂點(diǎn)序列 ( vi vp1 vp2 . vpm vj ) ( vi vp1 vp2 . vpm vj ) 為從頂點(diǎn)為從頂點(diǎn)vi vi 到頂點(diǎn)到頂點(diǎn) vj vj 的路徑。它經(jīng)過(guò)的路徑。它經(jīng)過(guò)的邊的邊(vi, vp1)(vi, vp1)、(vp1, vp2)(vp1, vp2)、.、(vpm, vj)(vpm, vj)應(yīng)是屬于應(yīng)是屬于E E 的邊。的邊。第22頁(yè)/共94頁(yè)第二十三頁(yè)，共94頁(yè)。路徑長(zhǎng)度：路徑長(zhǎng)度： 非帶權(quán)圖的路徑長(zhǎng)度是指此

20、路徑上邊的條數(shù)。非帶權(quán)圖的路徑長(zhǎng)度是指此路徑上邊的條數(shù)。帶權(quán)圖的路徑長(zhǎng)度是指路徑上各邊的權(quán)之和。帶權(quán)圖的路徑長(zhǎng)度是指路徑上各邊的權(quán)之和。簡(jiǎn)單路徑：簡(jiǎn)單路徑： 若路徑上各頂點(diǎn)若路徑上各頂點(diǎn) v1,v2,.,vm v1,v2,.,vm 均不互相重復(fù)均不互相重復(fù), , 則稱這樣的則稱這樣的路徑為簡(jiǎn)單路徑。路徑為簡(jiǎn)單路徑。回路：回路： 若路徑上第一個(gè)頂點(diǎn)若路徑上第一個(gè)頂點(diǎn) v1 v1 與最后一個(gè)頂點(diǎn)與最后一個(gè)頂點(diǎn)vm vm 重合重合, , 則稱這樣的路則稱這樣的路徑為回路或環(huán)。徑為回路或環(huán)。連通圖與連通分量連通圖與連通分量(fn ling)(fn ling)： 在無(wú)向圖中在無(wú)向圖中, , 若從頂點(diǎn)若從

21、頂點(diǎn)v1v1到頂點(diǎn)到頂點(diǎn)v2v2有有路徑路徑, , 則稱頂點(diǎn)則稱頂點(diǎn)v1v1與與v2v2是連通的。如果圖中任意一對(duì)頂點(diǎn)都是連通的是連通的。如果圖中任意一對(duì)頂點(diǎn)都是連通的, , 則則稱此圖是連通圖。非連通圖的極大連通子圖叫做連通分量稱此圖是連通圖。非連通圖的極大連通子圖叫做連通分量(fn ling)(fn ling)。第23頁(yè)/共94頁(yè)第二十四頁(yè)，共94頁(yè)。第24頁(yè)/共94頁(yè)第二十五頁(yè)，共94頁(yè)。第25頁(yè)/共94頁(yè)第二十六頁(yè)，共94頁(yè)。1vivj,2vi vj,0vi(vj)不是(b shi)ek的端點(diǎn)bavV第26頁(yè)/共94頁(yè)第二十七頁(yè)，共94頁(yè)。關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)無(wú)向圖對(duì)無(wú)向圖G，其關(guān)聯(lián)矩陣

22、，其關(guān)聯(lián)矩陣M=(mij)ve，其中，其中(qzhng)：不相關(guān)聯(lián)和若相關(guān)聯(lián)和若jijiijevevm, 0, 1對(duì)有向圖對(duì)有向圖G，其關(guān)聯(lián)矩陣，其關(guān)聯(lián)矩陣M=(mij)ve，其中，其中(qzhng)：不相關(guān)聯(lián)和若的終點(diǎn)是若的起點(diǎn)是若jijijiijvevevme, 0, 1, 11v3e5e2e4e1e4v2v3v10110011000101110001M1v3e5e2e4e1e4v2v3v第27頁(yè)/共94頁(yè)第二十八頁(yè)，共94頁(yè)。鄰接矩陣鄰接矩陣 (Adjacency Matrix) (Adjacency Matrix) 圖的鄰接矩陣就是表示各個(gè)頂點(diǎn)之間關(guān)系的一個(gè)矩陣。圖的鄰接矩陣就是表示各

23、個(gè)頂點(diǎn)之間關(guān)系的一個(gè)矩陣。 設(shè)圖設(shè)圖 A = (V, E) A = (V, E)是一個(gè)有是一個(gè)有 n n 個(gè)頂點(diǎn)的圖，則圖的鄰接矩陣定義為：個(gè)頂點(diǎn)的圖，則圖的鄰接矩陣定義為： 無(wú)向圖的鄰接矩陣是對(duì)稱無(wú)向圖的鄰接矩陣是對(duì)稱(duchn)(duchn)的，有向圖的鄰接矩陣可能是不對(duì)的，有向圖的鄰接矩陣可能是不對(duì)稱稱(duchn)(duchn)的。的。在有向圖中在有向圖中, , 統(tǒng)計(jì)第統(tǒng)計(jì)第 i i 行行 1 1 的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn) i i 的出度，統(tǒng)計(jì)第的出度，統(tǒng)計(jì)第 j j 行行 1 1 的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn) j j 的入度。的入度。 在無(wú)向圖中在無(wú)向圖中, , 統(tǒng)計(jì)第統(tǒng)計(jì)第

24、i i 行行 ( (列列) 1 ) 1 的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)i i 的度。的度。 對(duì)于網(wǎng)絡(luò)圖（帶權(quán)圖）：對(duì)于網(wǎng)絡(luò)圖（帶權(quán)圖）：, , ( , ) , ija10i jEi jE如如果果否否或者 , ( , ) , ( , ) =iji jEi jEiji jEi jEij 如果且或如果且或 ( , ), ,ija=0W i j第28頁(yè)/共94頁(yè)第二十九頁(yè)，共94頁(yè)。第29頁(yè)/共94頁(yè)第三十頁(yè)，共94頁(yè)。第30頁(yè)/共94頁(yè)第三十一頁(yè)，共94頁(yè)。第31頁(yè)/共94頁(yè)第三十二頁(yè)，共94頁(yè)。第32頁(yè)/共94頁(yè)第三十三頁(yè)，共94頁(yè)。第33頁(yè)/共94頁(yè)第三十四頁(yè)，共94頁(yè)。1vP QVP,min(P

25、VvPpwpvpvvPPpvQQprim算法(sun f)如下：，while end第34頁(yè)/共94頁(yè)第三十五頁(yè)，共94頁(yè)。第35頁(yè)/共94頁(yè)第三十六頁(yè)，共94頁(yè)。a(5,6)=70; a=a;zeros(2,7);a=a+a;a(find(a=0)=M;result=;p=1;tb=2:length(a);while length(result)=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); jb,kb=find(a(p,tb)=d); j=p(jb(1);k=tb(kb(1); result=result,j;k;d;p=p,k;t

26、b(find(tb=k)= ;endresult第36頁(yè)/共94頁(yè)第三十七頁(yè)，共94頁(yè)。第37頁(yè)/共94頁(yè)第三十八頁(yè)，共94頁(yè)。第38頁(yè)/共94頁(yè)第三十九頁(yè)，共94頁(yè)。)(1GEe min)(1ew1ieieee,21,)(21ieeeGE(2)若若已選好，則從已選好，則從中選取中選取，使得，使得1e(3)直到選得直到選得為止。為止。,121iieeeeG中無(wú)圈，且中無(wú)圈，且 min)(1iew 第39頁(yè)/共94頁(yè)第四十頁(yè)，共94頁(yè)。第40頁(yè)/共94頁(yè)第四十一頁(yè)，共94頁(yè)。第41頁(yè)/共94頁(yè)第四十二頁(yè)，共94頁(yè)。第42頁(yè)/共94頁(yè)第四十三頁(yè)，共94頁(yè)。第43頁(yè)/共94頁(yè)第四十四頁(yè)，共94頁(yè)。第

27、44頁(yè)/共94頁(yè)第四十五頁(yè)，共94頁(yè)。固定起點(diǎn)的最短路固定起點(diǎn)的最短路 最短路有一個(gè)重要而明顯的性質(zhì)：最短路是一條路徑，且最短路的任一段也是最短最短路有一個(gè)重要而明顯的性質(zhì)：最短路是一條路徑，且最短路的任一段也是最短路假設(shè)路假設(shè)(jish)在在u0v0的最短路中只取的最短路中只取條，則從條，則從u0到其余頂點(diǎn)的最短路將構(gòu)成到其余頂點(diǎn)的最短路將構(gòu)成棵以棵以u(píng)0為根的樹。因此可采用樹生長(zhǎng)的過(guò)程來(lái)求制定頂點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的最短路徑為根的樹。因此可采用樹生長(zhǎng)的過(guò)程來(lái)求制定頂點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的最短路徑.實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程的方實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程的方法是法是Dijkstra算法算法 設(shè)設(shè)G為賦權(quán)有向圖或無(wú)向圖，為賦權(quán)有向圖或無(wú)

28、向圖，G邊上的權(quán)均非負(fù)邊上的權(quán)均非負(fù) Dijkstra算法：求算法：求G中從頂點(diǎn)中從頂點(diǎn)u0到其余頂點(diǎn)的最短路到其余頂點(diǎn)的最短路 S：具有永久標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)集：具有永久標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)集 對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，定義兩個(gè)標(biāo)記對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，定義兩個(gè)標(biāo)記(l(v)，z(v)，其中：，其中： l(v)：表示從頂點(diǎn)：表示從頂點(diǎn)u0到到v的一條路的權(quán)的一條路的權(quán) z(v)：v的父親點(diǎn)，用以確定最短路的路線的父親點(diǎn)，用以確定最短路的路線第45頁(yè)/共94頁(yè)第四十六頁(yè)，共94頁(yè)。Dijkstra算法算法(sun f)步驟步驟matlab程序程序(chngx)dijkstra.m第46頁(yè)/共94頁(yè)第四十七頁(yè)，共94頁(yè)。第47頁(yè)/共94

29、頁(yè)第四十八頁(yè)，共94頁(yè)。第48頁(yè)/共94頁(yè)第四十九頁(yè)，共94頁(yè)。第49頁(yè)/共94頁(yè)第五十頁(yè)，共94頁(yè)。第50頁(yè)/共94頁(yè)第五十一頁(yè)，共94頁(yè)。04702342027209390Wmatlab程序程序(chngx)floyd.mRoad.m第51頁(yè)/共94頁(yè)第五十二頁(yè)，共94頁(yè)。第52頁(yè)/共94頁(yè)第五十三頁(yè)，共94頁(yè)。第53頁(yè)/共94頁(yè)第五十四頁(yè)，共94頁(yè)。1 可劃為最短路徑可劃為最短路徑(ljng)問(wèn)題的多階段決策問(wèn)題問(wèn)題的多階段決策問(wèn)題多階段決策問(wèn)題常用動(dòng)態(tài)規(guī)劃多階段決策問(wèn)題常用動(dòng)態(tài)規(guī)劃(guhu)方法處理：方法處理：原問(wèn)題原問(wèn)題階段階段1階段階段2階段階段n狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程),(1

30、kkkkxsTs無(wú)論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何無(wú)論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何,對(duì)前面的決策所對(duì)前面的決策所形成的的狀態(tài)而言形成的的狀態(tài)而言,余下的決策必須構(gòu)成最優(yōu)解余下的決策必須構(gòu)成最優(yōu)解.求解順序求解順序狀態(tài)狀態(tài)決策決策kSkx第54頁(yè)/共94頁(yè)第五十五頁(yè)，共94頁(yè)。動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)(dngti)規(guī)劃方規(guī)劃方法的特點(diǎn)法的特點(diǎn)構(gòu)造動(dòng)態(tài)遞推關(guān)系式關(guān)系式構(gòu)造具有(jyu)藝術(shù)性遞推關(guān)系式解法因問(wèn)題而異圖的最短路問(wèn)題圖的最短路問(wèn)題(wnt)是典型的多階段決策是典型的多階段決策問(wèn)題問(wèn)題(wnt)，且具有成型，且具有成型Dijkstra算法求解算法求解探索將多階段決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D，在轉(zhuǎn)化為最短路問(wèn)題，可將問(wèn)題清晰、直

31、觀，解法統(tǒng)一。第55頁(yè)/共94頁(yè)第五十六頁(yè)，共94頁(yè)。例例 設(shè)備設(shè)備(shbi)更更新問(wèn)題新問(wèn)題（設(shè)備更新問(wèn)題(wnt)）企業(yè)使用一臺(tái)設(shè)備，每年年初，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)就要確定是購(gòu)置新的，還是繼續(xù)使用舊的。若購(gòu)置新設(shè)備，就要支付一定的購(gòu)置費(fèi)用；若繼續(xù)使用，則需支付一定的維修費(fèi)用?，F(xiàn)要制定一個(gè)五年之內(nèi)的設(shè)備更新計(jì)劃，使得五年內(nèi)總的支付費(fèi)用最少。 設(shè)備設(shè)備(shbi)(shbi)在在每年年初的價(jià)格每年年初的價(jià)格為：為： 第1年第2年第3年第4年第5年1111121213使用年限使用年限01 12233445維修費(fèi)維修費(fèi)5681118使用不同時(shí)間設(shè)使用不同時(shí)間設(shè)備所需維修費(fèi)備所需維修費(fèi)為為 ： 第56頁(yè)/共9

32、4頁(yè)第五十七頁(yè)，共94頁(yè)。模型模型(mxng)分析分析設(shè)備在每年設(shè)備在每年(minin)(minin)年初的年初的價(jià)格為：價(jià)格為： 第1年第2年第3年第4年第5年1111121213使用年限使用年限01 12233445維修費(fèi)維修費(fèi)5681118使用不同使用不同(b tn)(b tn)時(shí)間設(shè)備所需維修時(shí)間設(shè)備所需維修費(fèi)為費(fèi)為 ： 模型建立與求解模型建立與求解( ),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6;1,2,.,1,kibirVXiXikiG1(V,E)的含義為：的含義為：（1）頂點(diǎn)集）頂點(diǎn)集( )kirXibX每個(gè)頂點(diǎn)代表年初的一種決策，其中頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)代表年初的一種決策，其中頂點(diǎn)

33、代表第代表第i年初購(gòu)置年初購(gòu)置新設(shè)備的決策，頂點(diǎn)新設(shè)備的決策，頂點(diǎn) 代表第代表第i年初修理用過(guò)年初修理用過(guò)k年的舊設(shè)備的決策年的舊設(shè)備的決策.（2）弧集1,.,2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1),(5 , 4 , 3 , 2 , 1),(1,.,2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1),(),()1(, 1)()(, 1, 1)(, 1ikiXXiXXikiXXXXEkrikirrriibbikirbiib第57頁(yè)/共94頁(yè)第五十八頁(yè)，共94頁(yè)。（3）構(gòu)造(guzo)加權(quán)有向圖G1(V,E) )5(6rXbX1bX3bX4bX5bX2)1(5rX)1(6rX)1(4rX)1(

34、3rX)1(2rX)2(6rX)3(6rX)2(5rX)2(4rX)2(3rX)4(6rX)3(5rX)4(5rX)3(4rXMatlab程序程序(chngx)minroad.m第58頁(yè)/共94頁(yè)第五十九頁(yè)，共94頁(yè)。（4）問(wèn)題）問(wèn)題(wnt)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)到頂點(diǎn)的最短路問(wèn)題轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)到頂點(diǎn)的最短路問(wèn)題(wnt) 五年的最優(yōu)購(gòu)置費(fèi)為： min5 , 4 , 3 , 2 , 1k),()(61krbXXd其中其中 為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)(dngdin) (dngdin) 到到 的最短路的權(quán)的最短路的權(quán) 。),()(61krbXXdbX1)(6krX求得最短路求得最短路(dunl)(dunl)的權(quán)為的權(quán)為535

35、3，而兩條最短路，而兩條最短路(dunl)(dunl)分別為：分別為： )2(6)1(54)2(3)1(21rrbrrbXXXXXX)3(6)2(5)1(43)1(21rrrbrbXXXXXX因此，計(jì)劃為第一、三年初購(gòu)置新設(shè)備，或第一、四年初購(gòu)置新設(shè)備，五年費(fèi)用均最剩，為因此，計(jì)劃為第一、三年初購(gòu)置新設(shè)備，或第一、四年初購(gòu)置新設(shè)備，五年費(fèi)用均最剩，為5353。 第59頁(yè)/共94頁(yè)第六十頁(yè)，共94頁(yè)。第60頁(yè)/共94頁(yè)第六十一頁(yè)，共94頁(yè)。另一類圖的構(gòu)造另一類圖的構(gòu)造(guzo)(guzo)策略策略 ),(2EVG此問(wèn)題此問(wèn)題(wnt)(wnt)也可構(gòu)造如圖所示的加權(quán)有向圖也可構(gòu)造如圖所示的加權(quán)

36、有向圖 頂點(diǎn)頂點(diǎn)(dngdin)(dngdin)集集 ,654321vvvvvvV 表示第表示第 年初購(gòu)置新設(shè)備的決策，年初購(gòu)置新設(shè)備的決策， 表示第五年底表示第五年底. . ivi6v6;5,4,3,2,1),(jiivvEji帶權(quán)有向邊集帶權(quán)有向邊集 權(quán)權(quán) 表示由這一決策在第表示由這一決策在第 年初到第年初到第 年初的總費(fèi)用，如年初的總費(fèi)用，如 ),(jivvWij3086511),(41vvW?。ɑ。?， ）表示第）表示第 年初購(gòu)置一臺(tái)設(shè)備一直使用到第年初購(gòu)置一臺(tái)設(shè)備一直使用到第 年初的決策。年初的決策。 ivjvij問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 到到 的最短路問(wèn)題，求得兩條最短路為的最短路

37、問(wèn)題，求得兩條最短路為 1v6v631641,vvvvvv權(quán)為權(quán)為5353，與圖，與圖 的解相同。的解相同。),( 1EVGMatlab程序程序minroad1.m第61頁(yè)/共94頁(yè)第六十二頁(yè)，共94頁(yè)。第62頁(yè)/共94頁(yè)第六十三頁(yè)，共94頁(yè)。 Euler圖定義 經(jīng)過(guò)G的每條邊的跡叫做G的Euler跡；閉的Euler跡叫做Euler回路或回路；含Euler回路的圖叫做Euler圖。直觀地講，Euler圖就是從一頂點(diǎn)出發(fā)(chf)每邊恰通過(guò)一次能回到出發(fā)(chf)點(diǎn)的那種圖，即不重復(fù)地行遍所有的邊再回到出發(fā)(chf)點(diǎn)。iC定理定理 （i）G是是Euler圖的充分必要條件圖的充分必要條件(b y

38、o tio jin)是是G連通且每頂連通且每頂點(diǎn)皆偶次。點(diǎn)皆偶次。 （ii）G是是Euler圖的充分必要條件圖的充分必要條件(b yo tio jin)是是G連通且連通且 是圈。是圈。（iii）G中有中有Euler跡的充要條件是跡的充要條件是G連通且至多有兩個(gè)奇次點(diǎn)。連通且至多有兩個(gè)奇次點(diǎn)。diiCG1)()()(jiCECEji第63頁(yè)/共94頁(yè)第六十四頁(yè)，共94頁(yè)。)(0GVv 00vW iiivevevW110,1ieeE1ieiv1ie,1iieeGG1ie第64頁(yè)/共94頁(yè)第六十五頁(yè)，共94頁(yè)。例例求右圖所示投遞區(qū)的一條最佳郵遞路線1圖中有 v4、v7、v8、v9四個(gè)奇次頂點(diǎn)用 Fl

39、oyd 算法求出它們之間的最短路徑和距離：3),(,6),(,9),(,6)(,3),(,5),(,9898979787879,49848484747234989787948474vvdvvPvvdvvPvvdvvPvvdvvvPvvdvvPvvdvvvvPvvvvvvvvvvvv2以 v4、v7、v8、v9為頂點(diǎn)，它們之間的距離為邊權(quán)構(gòu)造完備圖 G13求出 G1的最小權(quán)完美匹配 M=(v4,v7),(v8,v9)4在 G 中沿 v4到 v7的最短路徑添加重復(fù)邊，沿 v8到 v9的最短路徑 v8v9添加重復(fù)邊，得歐拉圖 G2G2中一條歐拉巡回就是 G 的一條最佳巡回其權(quán)值為返回返回(fnhu)

40、第65頁(yè)/共94頁(yè)第六十六頁(yè)，共94頁(yè)。第66頁(yè)/共94頁(yè)第六十七頁(yè)，共94頁(yè)。第67頁(yè)/共94頁(yè)第六十八頁(yè)，共94頁(yè)。設(shè)圖：設(shè)圖： 頂點(diǎn)頂點(diǎn)(dngdin)集：集：邊集：邊集： 關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣（n為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)(dngdin)數(shù)，數(shù)，m為邊數(shù)），其中為邊數(shù)），其中即僅當(dāng)以即僅當(dāng)以 為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)(dngdin)的鄰邊是的鄰邊是時(shí)時(shí) 的關(guān)聯(lián)矩陣為的關(guān)聯(lián)矩陣為第68頁(yè)/共94頁(yè)第六十九頁(yè)，共94頁(yè)。鄰接矩陣鄰接矩陣 ，其中，其中(qzhng)即使即使(jsh)當(dāng)當(dāng) 與與 之間有邊相連之間有邊相連(xin lin)時(shí)時(shí) 的鄰接矩陣為的鄰接矩陣為第69頁(yè)/共94頁(yè)第七十頁(yè)，共94頁(yè)。 如如() ，(

41、)，( )，( )，( 都是圖所示的都是圖所示的G的覆蓋。含頂點(diǎn)的覆蓋。含頂點(diǎn)(dngdin)個(gè)數(shù)最少的覆蓋個(gè)數(shù)最少的覆蓋稱稱為最小覆蓋。最小覆蓋也不是唯一的。為最小覆蓋。最小覆蓋也不是唯一的。 )因?yàn)殛P(guān)聯(lián)矩陣表示的是頂點(diǎn)與邊之間的關(guān)系因?yàn)殛P(guān)聯(lián)矩陣表示的是頂點(diǎn)與邊之間的關(guān)系(gun x)，所，所以關(guān)聯(lián)矩陣與覆蓋密切相關(guān)。下面的結(jié)論顯然成立。頂點(diǎn)集以關(guān)聯(lián)矩陣與覆蓋密切相關(guān)。下面的結(jié)論顯然成立。頂點(diǎn)集V的子集的子集K是圖是圖G的一個(gè)覆蓋，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)囊粋€(gè)覆蓋，當(dāng)且僅當(dāng)G的關(guān)聯(lián)矩陣的關(guān)聯(lián)矩陣R中中K的各的各頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的行內(nèi)，每列至少存在一個(gè)元素頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的行內(nèi)，每列至少存在一個(gè)元素1。第70頁(yè)/共94

42、頁(yè)第七十一頁(yè)，共94頁(yè)。從關(guān)聯(lián)矩陣可以找出一個(gè)最小從關(guān)聯(lián)矩陣可以找出一個(gè)最小覆蓋，下面僅以右式為例說(shuō)明覆蓋，下面僅以右式為例說(shuō)明其步驟：其步驟：1. 在右式中取恰有兩個(gè)在右式中取恰有兩個(gè)1的那一的那一列列(y li)中中1所在的行，如所在的行，如 行，令行，令 ，劃去，劃去 行及行及 行中所在行中所在(suzi)的的 列，得列，得2. 在（在（5）中取恰有兩個(gè)）中取恰有兩個(gè)(lin )1的那一列的那一列中中1所在的行，如所在的行，如 行，令行，令 劃取劃取 行及行及 行中元素所在的行中元素所在的 列，得列，得第71頁(yè)/共94頁(yè)第七十二頁(yè)，共94頁(yè)。3. 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) 劃去劃去 行，行

43、， 過(guò)程過(guò)程(guchng)結(jié)束，最小覆蓋結(jié)束，最小覆蓋 綜上可知，最小覆蓋的概念解決綜上可知，最小覆蓋的概念解決(jiju)了這一問(wèn)題。了這一問(wèn)題。 在每間牢室設(shè)一看守是多余的，在在每間牢室設(shè)一看守是多余的，在 各設(shè)一看守可同時(shí)監(jiān)視各設(shè)一看守可同時(shí)監(jiān)視 。還可以把。還可以把 處的看守去掉，只留處的看守去掉，只留 。當(dāng)然，在。當(dāng)然，在 或或 處設(shè)看守亦可。但是只在一處設(shè)看守是不處設(shè)看守亦可。但是只在一處設(shè)看守是不行的。所以至少需要行的。所以至少需要2名看守。名看守。 第72頁(yè)/共94頁(yè)第七十三頁(yè)，共94頁(yè)。 在每間牢室設(shè)一看守在每間牢室設(shè)一看守(knshu)是多余的，在是多余的，在 各設(shè)一看守

44、可同時(shí)各設(shè)一看守可同時(shí)(tngsh)監(jiān)視監(jiān)視 。還可以。還可以(ky)把把 處的看守去掉，只留處的看守去掉，只留 。當(dāng)然，在。當(dāng)然，在 或或 處設(shè)看守亦可。但是只在一處設(shè)看守處設(shè)看守亦可。但是只在一處設(shè)看守是不行的。所以至少需要是不行的。所以至少需要2名看守。名看守。 第73頁(yè)/共94頁(yè)第七十四頁(yè)，共94頁(yè)。第74頁(yè)/共94頁(yè)第七十五頁(yè)，共94頁(yè)。2 效益的合理效益的合理(hl)分配分配11321xxx457323121xxxxxx例例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利(hu l)7元，元，甲丙合作獲利甲丙合作獲利(hu l)5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利

45、(hu l)4元，元，三人合作獲利三人合作獲利(hu l)11元。又知每人單干獲元。又知每人單干獲利利(hu l)1元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利(hu l)？記甲乙丙三人分配記甲乙丙三人分配為為),(321xxxx 解不唯一解不唯一(wi y)(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)1,321xxx第75頁(yè)/共94頁(yè)第七十六頁(yè)，共94頁(yè)。)(1Ivxniiniivxi, 2 , 1),(212121),()()(0)(sssvsvssvv,2, 1nI集合 (1) Shapley合作合作(hzu)對(duì)策對(duì)策滿足實(shí)函數(shù)，子集)(svIs I,v n人合作人合作(hzu

46、)對(duì)策，對(duì)策，v特特征函數(shù)征函數(shù)),(21nxxxxn人從人從v(I)得到的分配，滿得到的分配，滿足足v(s) 子集子集(z j)s的獲的獲利利第76頁(yè)/共94頁(yè)第七十七頁(yè)，共94頁(yè)。!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()(公理化方法公理化方法(fngf) s 子集子集 s中的元素中的元素(yun s)數(shù)目，數(shù)目， Si 包含包含i的所的所有子集有子集)( sw由由 s 決定的決定的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”的權(quán)的權(quán)重重 Shapley值值)()(isvsv i 對(duì)合作對(duì)合作s 的的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”)(si Shapley合作合作(hzu)對(duì)策對(duì)策第77頁(yè)/共94

47、頁(yè)第七十八頁(yè)，共94頁(yè)。三人三人(I=1,2,3)經(jīng)商中甲的分配經(jīng)商中甲的分配(fnpi)x1的計(jì)算的計(jì)算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv1S1 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3類似類似(li s)可得可得 x2=23/6, x3=17/6 )1()()(11svsvswxSs1 2 2 3第78頁(yè)/共94頁(yè)第七十九頁(yè)，共94頁(yè)。合作對(duì)策的應(yīng)用合作對(duì)策的應(yīng)用 例例1 污水處理污水處理(w shu ch l)費(fèi)用的合理分擔(dān)費(fèi)用的合理分擔(dān)20km38

48、km河流河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123 污水處理污水處理(w shu ch l)，排入河流排入河流三城鎮(zhèn)可單獨(dú)三城鎮(zhèn)可單獨(dú)(dnd)建處理建處理廠，或聯(lián)合建廠廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn))Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道長(zhǎng)度管道長(zhǎng)度建廠費(fèi)用建廠費(fèi)用P1=73Q0.712管道費(fèi)用管道費(fèi)用P2=0.66Q0.51L第79頁(yè)/共94頁(yè)第八十頁(yè)，共94頁(yè)。230)3(,160)2(,230573) 1 (712. 0CCC35020566. 0)35(73)2 , 1 (51. 0712. 0C36538366

49、. 0)53(73)3 , 2(51. 0712. 0C46358566. 0)55(73) 3 , 1 (51. 0712. 0C460)3() 1 (CC污水處理污水處理(w shu (w shu ch l)ch l)的的5 5 種方案種方案1）單獨(dú)）單獨(dú)(dnd)建廠建廠620)3()2() 1 (1CCCD總投資總投資2）1, 2合作合作(hzu)3）2, 3合作合作4）1, 3合作合作580)3()2 , 1 (2CCD總投資總投資595) 3 , 2() 1 (3CCD總投資總投資合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)第80頁(yè)/共94頁(yè)第八十一頁(yè)，共94頁(yè)。55638) 35(66. 02056

50、6. 0)535(73) 3 , 2 , 1 (51. 051. 0712. 05CD5）三城合）三城合作作(hzu)總投資總投資D5最小最小, 應(yīng)應(yīng) 聯(lián)聯(lián) 合建廠合建廠 建廠費(fèi)：建廠費(fèi)：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道管道(gundo)費(fèi)：費(fèi)：d2=0.66 50.51 20=30 23管道管道(gundo)費(fèi)：費(fèi)：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建議建議(jiny)：d1 按按 5:3:5分擔(dān)分擔(dān), d2,d3由由城城1,2擔(dān)負(fù)擔(dān)負(fù)城城2建議：建議：d3由城由城1,2按按 5:3分擔(dān)分擔(dān), d2由城由城1擔(dān)負(fù)擔(dān)負(fù) 計(jì)算：計(jì)算：城城3分擔(dān)分擔(dān)d1

51、5/13=174C(3), 城城2分擔(dān)分擔(dān)d1 3/13+d3 3/8 =132C(1)不不同同意意D5如何分擔(dān)？如何分擔(dān)？230) 3(160) 2(230) 1 (CCC第81頁(yè)/共94頁(yè)第八十二頁(yè)，共94頁(yè)。0)3()2()1 (,0)(vvvv3 ,2, 1I集合特征函數(shù)特征函數(shù)v(s) 聯(lián)聯(lián) 合合(集集s)建廠比單獨(dú)建廠比單獨(dú)(dnd)建廠節(jié)約的建廠節(jié)約的投資投資),(321xxxx 三三城從城從節(jié)約投資節(jié)約投資v(I)中得到的分配中得到的分配40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 ()

52、2() 1 ()(0) 31 (25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32(CCCCIvvCCCv Shapley合作合作(hzu)對(duì)策對(duì)策第82頁(yè)/共94頁(yè)第八十三頁(yè)，共94頁(yè)。計(jì)算城計(jì)算城1從節(jié)約投資從節(jié)約投資(tu z)中得到的中得到的分配分配x1)1()()(svsvsw)( sws) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7,城城1 C(1)-x1=210.4, 城城2 C(2)-x2=127.8, 城城

53、3 C(3)-x3=217.8三城在總投資三城在總投資556中的分擔(dān)中的分擔(dān)x2 =32.1, x3=12.2x2最大，如何最大，如何(rh)解解釋？釋？第83頁(yè)/共94頁(yè)第八十四頁(yè)，共94頁(yè)。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)(yudin)：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。如如n個(gè)單位治理污染個(gè)單位治理污染, 通常知道第通常知道第i方單獨(dú)治理的投資方單獨(dú)治理的投資yi 和和n方共同方共同(gngtng)治理的投資治理的投資Y, 及第及第i方不參加時(shí)其余方不參加時(shí)其余n-1方的投資方的投資zi (i=1,2, n). 確定共同確定共同(gngtng)治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。ii

54、jjzyiIv)(其它其它v(s)均不知道均不知道, 無(wú)法無(wú)法(wf)用用Shapley合作對(duì)策求解合作對(duì)策求解Shapley合作對(duì)策小結(jié)合作對(duì)策小結(jié)若定義特征函數(shù)為合作的獲利若定義特征函數(shù)為合作的獲利(節(jié)約的投資節(jié)約的投資)，則有，則有,)(), 2 , 1(0)(1YyIvniivnii缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：需要知道所有合作的獲利，即要定義需要知道所有合作的獲利，即要定義I=1,2,n的所有子集的所有子集(共共2n-1個(gè)個(gè))的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。第84頁(yè)/共94頁(yè)第八十五頁(yè)，共94頁(yè)。),(1nbbb記設(shè)只知道設(shè)只知道)(iIvbi無(wú)無(wú) i 參加時(shí)參加時(shí)n-1方合作

55、的獲利方合作的獲利)(IvB及全體合作的獲利全體合作的獲利0),(21inxxxxxB的分配求各方對(duì)獲利),(),7 , 5 , 4(11321xxxxbB求，即已知求解合作求解合作(hzu)對(duì)策的其對(duì)策的其他方法他方法例例. 甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，元，甲丙合作獲利甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利4元，三人元，三人合作獲利合作獲利11元。問(wèn)三人合作時(shí)如何元。問(wèn)三人合作時(shí)如何(rh)分配獲利？分配獲利？第85頁(yè)/共94頁(yè)第八十六頁(yè)，共94頁(yè)。（2）協(xié)商）協(xié)商(xishng)解解00,AbAxTT11nniiibxxbxxBx11將剩余獲利將剩余獲利 平均分配平均分配 ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7 , 5 , 4(.Bb例模模型型(mxng)以以n-1方合作的獲利方合作的獲利(hu l)為為下限下限TTbxA求解求解iiibbnx