數(shù)學(xué)極值多解問題學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)極值數(shù)學(xué)極值(j zh)多解問題多解問題第一頁，共45頁。1 1、解決、解決(jiju)(jiju)此類問題的關(guān)鍵是：找準臨界此類問題的關(guān)鍵是：找準臨界點點 2、找臨界點的方法是：、找臨界點的方法是：以題目中的以題目中的“恰好恰好”“最大最大”“最高最高”“至少至少”等詞語為突破等詞語為突破口，借助半徑口，借助半徑R和速度和速度v(或磁場或磁場B)之間的約束之間的約束(yush)關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值系，找出臨界點，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值 3、常用結(jié)論如下：、常用結(jié)論如下：(1)

2、剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切軌跡與邊界相切(2)當(dāng)速度當(dāng)速度(sd)v一定時，弧長一定時，弧長(或弦長或弦長)越長，圓周角越越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長(3)當(dāng)速率當(dāng)速率v變化時，圓周角越大，運動時間越長變化時，圓周角越大，運動時間越長考點一考點一 帶電粒子在勻強磁場中的運動的極值問題帶電粒子在勻強磁場中的運動的極值問題第1頁/共45頁第二頁，共45頁。如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感

3、應(yīng)強度的方向垂直于方向垂直于xOyxOy平面向外，大小為平面向外，大小為B B，沿，沿x x軸放置一個垂直于軸放置一個垂直于xOyxOy平面的較大平面的較大(jio d)(jio d)的熒光屏，的熒光屏，P P點位于熒光屏上，在點位于熒光屏上，在y y軸上軸上的的A A點放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小點放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為不等的速度放射出質(zhì)量為m m、電荷量、電荷量+q+q的同種粒子，這些粒子的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P P點處在亮線上，已知點處在亮線上，已知OAO

4、AOPOPl l，求：，求：（1 1）若能打到）若能打到P P點，則粒子速度的最小值為多少？點，則粒子速度的最小值為多少？（2 2）若能打到）若能打到P P點，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少？點，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少？第2頁/共45頁第三頁，共45頁。例例1.1.如圖所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為如圖所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m m，電量為，電量為q q，以，以平行于平行于OxOx軸的速度軸的速度v v從從y y軸上的軸上的a a點射入圖中第一象限所點射入圖中第一象限所示的區(qū)域示的區(qū)域. .為了使該質(zhì)點能從為了使該質(zhì)點能從x x軸上的軸上的b b點以垂直于點以垂直于OxOx軸軸的速度

5、的速度v v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xyxy平面、平面、磁感應(yīng)強度為磁感應(yīng)強度為B B的勻強磁場的勻強磁場. .若此磁場僅分布在一個圓若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑. .重力忽略重力忽略不計不計. . （若磁場為矩形，或正三角形（若磁場為矩形，或正三角形(zhn sn jio (zhn sn jio xn)xn)又如何？）又如何？）求圓形磁場求圓形磁場(cchng)(cchng)最最小半徑小半徑 : :關(guān)鍵在于關(guān)鍵在于: :找到射入點和找到射入點和射出點射出點, ,并畫出運動軌跡。并畫出

6、運動軌跡。第3頁/共45頁第四頁，共45頁?？键c二帶電粒子在磁場中運動的多解問題考點二帶電粒子在磁場中運動的多解問題(wnt)(wnt) 帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于多種因素的影響，使問題動，由于多種因素的影響，使問題(wnt)(wnt)形成形成多解，多解形成原因一般包含下述幾個方面多解，多解形成原因一般包含下述幾個方面第4頁/共45頁第五頁，共45頁。1 1帶電粒子電性不確定帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電(zhngdin)(zhngdin)，也可能帶負電，當(dāng)粒子具有相同速度，也可能

7、帶負電，當(dāng)粒子具有相同速度時，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，導(dǎo)致多時，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，導(dǎo)致多解如圖解如圖5 5所示，帶電粒子以速率所示，帶電粒子以速率v v垂直進入勻強磁垂直進入勻強磁場，若帶正電場，若帶正電(zhngdin)(zhngdin)，其軌跡為，其軌跡為a a，若帶負電，若帶負電，其軌跡為其軌跡為b.b.第5頁/共45頁第六頁，共45頁。AC 第6頁/共45頁第七頁，共45頁。第7頁/共45頁第八頁，共45頁。圖8第8頁/共45頁第九頁，共45頁。例例 如圖所示，在如圖所示，在NOQNOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場場，在，在MOQ

8、MOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，M M、O O、N N在一條直線上，在一條直線上，MOQMOQ6060，這兩個區(qū)域磁場的磁，這兩個區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強度大小均為感應(yīng)強度大小均為B.B.離子源中的離子帶電荷離子源中的離子帶電荷(dinh)(dinh)量為量為q q，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m，通過小孔，通過小孔O1O1進入兩板間電壓為進入兩板間電壓為U U的加速電的加速電場區(qū)域場區(qū)域( (可認為初速度為零可認為初速度為零) )，離子經(jīng)電場加速后由小孔，離子經(jīng)電場加速后由小孔O2O2射出，再從射出，再從O O點進入磁場區(qū)域點進入磁場區(qū)域，此時速度方向沿紙面垂，此時速

9、度方向沿紙面垂直于磁場邊界直于磁場邊界MNMN，不計離子的重力，不計離子的重力(1)(1)若加速電場兩板間電壓若加速電場兩板間電壓(diny)U(diny)UU0U0，求離子進入磁場后做圓周運動，求離子進入磁場后做圓周運動的半徑的半徑R0R0；(2)(2)在在OQOQ上有一點上有一點P P，P P點到點到O O點距離為點距離為L L，若離子能通過若離子能通過P P點，求加速電壓點，求加速電壓(diny)U(diny)U和從和從O O點到點到P P點的運動時間點的運動時間第9頁/共45頁第十頁，共45頁。第10頁/共45頁第十一頁，共45頁。(3)若為周期性重復(fù)的多解問題，尋找通項式，若是出現(xiàn)若

10、為周期性重復(fù)的多解問題，尋找通項式，若是出現(xiàn)幾種解的可能性，注意幾種解的可能性，注意(zh y)每種解出現(xiàn)的條件每種解出現(xiàn)的條件第11頁/共45頁第十二頁，共45頁。第12頁/共45頁第十三頁，共45頁。圖圖18第13頁/共45頁第十四頁，共45頁。第14頁/共45頁第十五頁，共45頁。第15頁/共45頁第十六頁，共45頁。圖圖17第16頁/共45頁第十七頁，共45頁。第17頁/共45頁第十八頁，共45頁。第18頁/共45頁第十九頁，共45頁。第19頁/共45頁第二十頁，共45頁。第20頁/共45頁第二十一頁，共45頁。例例3可控?zé)岷司圩兎磻?yīng)堆產(chǎn)生能的方式和可控?zé)岷司圩兎磻?yīng)堆產(chǎn)生能的方式和太陽

11、類似，因此，它被俗稱為太陽類似，因此，它被俗稱為“人造太陽人造太陽”熱核反應(yīng)的發(fā)生，需要幾千萬度以上的高溫，熱核反應(yīng)的發(fā)生，需要幾千萬度以上的高溫，然而反應(yīng)中的大量帶電粒子然而反應(yīng)中的大量帶電粒子(lz)沒有通常意義上沒有通常意義上的容器可裝人類正在積極探索各種約束裝置，的容器可裝人類正在積極探索各種約束裝置，磁約束托卡馬克裝置就是其中一種如圖磁約束托卡馬克裝置就是其中一種如圖15所示為該裝置的簡化模型有一個所示為該裝置的簡化模型有一個圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，已知其截面內(nèi)半徑為圓環(huán)形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，已知其截面內(nèi)半徑為R11.0 m，磁感應(yīng)強度為，磁感應(yīng)

12、強度為B1.0 T，被約束粒子，被約束粒子(lz)的比荷為的比荷為q/m4.0107 C/kg ，該帶電粒子該帶電粒子(lz)從中空區(qū)域與磁場交界面的從中空區(qū)域與磁場交界面的P點以速度點以速度v04.0107 m/s沿環(huán)的沿環(huán)的半徑方向射入磁場半徑方向射入磁場(不計帶電粒子不計帶電粒子(lz)在運動過程中的相互作用，不計帶電粒子在運動過程中的相互作用，不計帶電粒子(lz)的重力的重力)(1)為約束該粒子為約束該粒子(lz)不穿越磁場外邊界，求磁場區(qū)域的最小外半徑不穿越磁場外邊界，求磁場區(qū)域的最小外半徑R2(2)若改變該粒子若改變該粒子(lz)的入射速度的入射速度v，使，使v v0，求該粒子，求

13、該粒子(lz)從從P點進入磁場開點進入磁場開始到第一次回到始到第一次回到P點所需要的時間點所需要的時間t.33第21頁/共45頁第二十二頁，共45頁。甲甲乙乙第22頁/共45頁第二十三頁，共45頁。 例例. .如圖所示，一個帶電量為正的粒子，從如圖所示，一個帶電量為正的粒子，從A A點正對著圓心點正對著圓心O O以以速度速度v v射入半徑為射入半徑為R R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次并繞筒一圈后仍從多次并繞筒一圈后仍從A A點

14、射出，求正離子在磁場中運動的時間點射出，求正離子在磁場中運動的時間(shjin)t.(shjin)t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力。計粒子的重力。變式考題(ko t)： OABv第23頁/共45頁第二十四頁，共45頁。分析(fnx)與解 ：設(shè)粒子設(shè)粒子(lz)與圓筒碰（與圓筒碰（n-1）次有：次有： n（）2 2/n由幾何由幾何(j h)(j h)關(guān)系關(guān)系得得:tan(/2)=R/r:tan(/2)=R/r正離子在磁場中運動的時間正離子在磁場中運動的時間t=n(r/v)t=n(r/v)t=(n-2)R tan(/n) /vt=

15、(n-2)R tan(/n) /v（）O1rROABv第24頁/共45頁第二十五頁，共45頁。n（）2k 2k/n（ 0 ）tan (/2)=R/rt=n(r/v)t=(n-2k)Rtan(k/n) /v(2k k=1，2，3 ）還能變嗎？還能變嗎？1、筒變成正三角形、筒變成正三角形(zhn sn jio xn)、矩形？、矩形？2、原題中的、原題中的v方向可以方向可以(ky)變嗎？如：不沿半徑方向呢？變嗎？如：不沿半徑方向呢？ 試一試：試一試： 出道題考考你的同桌出道題考考你的同桌OABv ABCPaObBCDE第25頁/共45頁第二十六頁，共45頁。) 1(2nOBRS0vqBmnqBmnn

16、Tnt) 1(22) 1(2) 1(2) 1(2n第26頁/共45頁第二十七頁，共45頁。1tannRrOrrOBRS0v) 1(2nvnRnvrt1tan) 1(總) 1()12)(1nnn（總2n第27頁/共45頁第二十八頁，共45頁。OrrOBRS0v060RRr330cot003613vRqBmTtrvmqvB2qRmvqrmvB300第28頁/共45頁第二十九頁，共45頁。OBRS0vOrr090tvRqBmTt022414Rr rvmqvB2qRmvqrmvB00第29頁/共45頁第三十頁，共45頁。RRr330cot0rvmBqv2000322vRqBmT0033221613vR

17、vRTtRqmvrqmvB300OrrOBRS0v第30頁/共45頁第三十一頁，共45頁。第31頁/共45頁第三十二頁，共45頁。第32頁/共45頁第三十三頁，共45頁。第33頁/共45頁第三十四頁，共45頁。圖11第34頁/共45頁第三十五頁，共45頁。課堂課堂(ktng)(ktng)探探究究突破考點突破考點第35頁/共45頁第三十六頁，共45頁。課堂課堂(ktng)(ktng)探探究究突破考點突破考點第36頁/共45頁第三十七頁，共45頁。第37頁/共45頁第三十八頁，共45頁。第38頁/共45頁第三十九頁，共45頁。第39頁/共45頁第四十頁，共45頁。第40頁/共45頁第四十一頁，共45頁。第41頁/共45頁第四十二頁，共45頁。第42頁/共45頁第四十三頁，共45頁。返回(fnhu)第43頁/共45頁第四十四頁，共45頁。例例2. 2. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為+q+q的粒子以速度的粒子