微積分定積分及其應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1微積分微積分(jfn)定積分定積分(jfn)及其應(yīng)用及其應(yīng)用第一頁，共73頁。19 平行截面面積為已知的立體(lt)的體積。20 半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得 一圓柱楔。求其體積。21 求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正 劈錐體的體積。22 旋轉(zhuǎn)體體積(y =f(x)繞x軸) 23 旋轉(zhuǎn)體體積(x =g(y)繞y軸） 24 旋轉(zhuǎn)體體積（柱殼法） 25 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積1817求由雙紐線內(nèi)部(nib)的面積。第2頁/共73頁第二頁，共73頁。1 1 化整為零化整為零(hu zhng wi lng)(hu zhng wi lng)2

2、 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代變以常代變) )3 3 積零為整積零為整yxoy=f (x)ab.分法越細，越接近分法越細，越接近(jijn)精確值精確值f ( i).第3頁/共73頁第三頁，共73頁。ix1 ixi 4 4 取極限取極限(jxin)(jxin)yxoy=f (x)令分法無限令分法無限(wxin)(wxin)變細變細.ab.分法越細，越接近精確值分法越細，越接近精確值1 1 化整為零化整為零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代變以常代變) )3 3 積零為整積零為整 niiixfS1)( iiixfS )( 1.1. f ( i)第4頁/共73頁第四頁，共73頁。ix1

3、ixi 4 4 取極限取極限(jxin)(jxin)yxoy=f (x)令分法無限令分法無限(wxin)(wxin)變細變細.分法越細，越接近精確值分法越細，越接近精確值1 1 化整為零化整為零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代變以常代變) )3 3 積零為整積零為整 niiixfS1)( iiixfS )( 1.1. f ( i)S =.S.ab第5頁/共73頁第五頁，共73頁。2。0y x444解方程組：解方程組：得交點得交點(jiodin)：(8, 4)， (2,2)問題：選誰為積分問題：選誰為積分(jfn)變量？變量？第6頁/共73頁第六頁，共73頁。xyo33得兩切線得兩切線(q

4、ixin)的斜率為的斜率為故兩切線故兩切線(qixin)為為其交點其交點(jiodin)的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為。S =l1l2第7頁/共73頁第七頁，共73頁。 ( )d o +d r = ( )1 1 取極角取極角為積分變量為積分變量(binling)(binling)， 其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為 , , 以圓扇形面積以圓扇形面積(min j)(min j)近似小近似小曲邊扇形面積曲邊扇形面積(min j)(min j)，得到，得到面積面積(min j)(min j)元素：元素：. dSS3 作定積分作定積分.r 第8頁/共73頁第八頁，共73頁。xa圓上任一點圓上任一點(y din)所畫出的

5、曲線。所畫出的曲線。一圓沿直線無滑動一圓沿直線無滑動(hudng)地滾動，地滾動，第9頁/共73頁第九頁，共73頁。x來看動點的慢動作來看動點的慢動作圓上任圓上任(shng rn)一點所畫出的曲線。一點所畫出的曲線。一圓沿直線無滑動一圓沿直線無滑動(hudng)地滾動，地滾動，5.5. 旋輪線旋輪線第10頁/共73頁第十頁，共73頁。2a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)t t 的幾何的幾何(j h)(j h)意義如圖示意義如圖示ta當(dāng)當(dāng) t 從從 0 2 ，x從從 0 2 a即曲線即曲線(qxin)走了一拱走了一拱a圓上任一點圓上任一點(y din)所畫

6、出的曲線。所畫出的曲線。5.5. 旋輪線旋輪線一圓沿直線無滑動地滾動，一圓沿直線無滑動地滾動，第11頁/共73頁第十一頁，共73頁。x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二將旋輪線的一拱一分為二(y fn wi r)(y fn wi r)，并倒置成擋板，并倒置成擋板第12頁/共73頁第十二頁，共73頁。x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置將旋輪線的一拱一分為二，并倒置(dozh)(dozh)成擋板成擋板6. 6. 旋輪線也叫擺線旋輪線也叫擺線(bi xin)(bi xin)第13頁/共73頁第十三頁，共73頁。6. 6.

7、旋輪線也叫擺線旋輪線也叫擺線(bi xin)(bi xin)x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的一拱一分為二，并倒置將旋輪線的一拱一分為二，并倒置(dozh)(dozh)成擋板成擋板第14頁/共73頁第十四頁，共73頁。兩個旋輪線形狀的擋板兩個旋輪線形狀的擋板, , 使擺動周期與擺幅完全無關(guān)。使擺動周期與擺幅完全無關(guān)。在在1717世紀，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以世紀，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以(suy)(suy)旋輪線又稱擺線。旋輪線又稱擺線。6. 6. 旋輪線也叫擺線旋輪線也叫擺線(bi xin)(bi xin)x=a (t sint)y=a (1 cost)將旋輪線的

8、一拱一分為二，并倒置成擋板將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板第15頁/共73頁第十五頁，共73頁。x=a (t sint)BA答案是：當(dāng)這曲線是一條答案是：當(dāng)這曲線是一條(y tio)翻轉(zhuǎn)的旋輪線。翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題最速降線問題: : 質(zhì)點在重力作用質(zhì)點在重力作用(zuyng)(zuyng)下沿曲線從固定點下沿曲線從固定點A A滑到滑到固定點固定點B B，當(dāng)曲線是什么形狀時所需要的時間最短？當(dāng)曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost)生活中見生活中見(zhn jin)過這條曲線嗎？過這條曲線嗎？第16頁/共73頁第十六頁，共73頁。x=a (t sint)BA答案是：

9、當(dāng)這曲線答案是：當(dāng)這曲線(qxin)是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題最速降線問題: : 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A A滑到固定點滑到固定點B B，當(dāng)曲線是什么當(dāng)曲線是什么(shn me)(shn me)形狀時所需要的時間最形狀時所需要的時間最短？短？y=a (1 cost)生活生活(shnghu)中見過這條曲線嗎？中見過這條曲線嗎？7.7. 旋輪線是最速降線旋輪線是最速降線第17頁/共73頁第十七頁，共73頁。x=a (t sint)BA答案答案(d n)是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題最速降線

10、問題(wnt):(wnt): 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A A滑到固定點滑到固定點B B，當(dāng)曲線是什么形狀時所需要的時間最短？當(dāng)曲線是什么形狀時所需要的時間最短？y=a (1 cost)生活中見生活中見(zhn jin)過這條曲線嗎？過這條曲線嗎？7.7. 旋輪線是最速降線旋輪線是最速降線第18頁/共73頁第十八頁，共73頁。x=a (t sint)BA答案是：當(dāng)這曲線是一條答案是：當(dāng)這曲線是一條(y tio)翻轉(zhuǎn)的旋輪線。翻轉(zhuǎn)的旋輪線。最速降線問題最速降線問題: : 質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點質(zhì)點在重力作用下沿曲線從固定點A A滑到固定點滑到固定點B B

11、，當(dāng)曲線是什么形狀時所需要當(dāng)曲線是什么形狀時所需要(xyo)(xyo)的時間最短？的時間最短？y=a (1 cost)生活生活(shnghu)中見過這條曲線嗎？中見過這條曲線嗎？滑板的軌道就是這條曲線滑板的軌道就是這條曲線7.7. 旋輪線是最速降線旋輪線是最速降線第19頁/共73頁第十九頁，共73頁。xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任滾動，動圓圓周上任(shng rn)一點一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。 (圓外旋輪線圓外旋輪線)第20頁/共73頁第二十頁，共73頁。xyoa來看動點的慢動作來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地一圓沿另一圓外緣無滑動

12、地滾動，動圓圓周上任一點滾動，動圓圓周上任一點(y din)所畫出的曲線。所畫出的曲線。8.8. 心形線心形線 (圓外旋輪線圓外旋輪線)a第21頁/共73頁第二十一頁，共73頁。xyoaa2a來看動點的慢動作來看動點的慢動作一圓沿另一圓外緣無滑動地一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動滾動(gndng)，動圓圓周上任一點，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。 (圓外旋輪線圓外旋輪線)8.8. 心形線心形線第22頁/共73頁第二十二頁，共73頁。xyo2ar = a (1+cos )0 2 0 r 2aP r一圓沿另一圓外緣無滑動地一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動滾動(gndng)，動圓圓周上任一點，

13、動圓圓周上任一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。 (圓外旋輪線圓外旋輪線)8.8. 心形線心形線第23頁/共73頁第二十三頁，共73頁。xyoa a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點滾動，動圓圓周上任一點(y din)所畫出的曲線。所畫出的曲線。(圓內(nèi)旋輪線圓內(nèi)旋輪線)第24頁/共73頁第二十四頁，共73頁。xyoa a來看動點的慢動作來看動點的慢動作一圓一圓(y yun)沿另一圓沿另一圓(y yun)內(nèi)緣無滑動地內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。9.9. 星形線星形線(圓內(nèi)旋輪線圓內(nèi)旋輪線)第25頁/共73頁第

14、二十五頁，共73頁。xyoa a一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動滾動(gndng)，動圓圓周上任一點，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。來看動點的慢動作來看動點的慢動作9.9. 星形線星形線(圓內(nèi)旋輪線圓內(nèi)旋輪線)第26頁/共73頁第二十六頁，共73頁。xyoa a0 2 或或.P .一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動滾動(gndng)，動圓圓周上任一點，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。所畫出的曲線。9.9. 星形線星形線(圓內(nèi)旋輪線圓內(nèi)旋輪線)第27頁/共73頁第二十七頁，共73頁。0 xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動） 直

15、線上一個直線上一個(y )定點的定點的軌跡軌跡a第28頁/共73頁第二十八頁，共73頁。 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)(n zhun)（無（無滑動）滑動） 直線上一個定點的軌跡直線上一個定點的軌跡a10.10. 圓的漸伸線圓的漸伸線再看一遍再看一遍第29頁/共73頁第二十九頁，共73頁。 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xya一直線沿圓周一直線沿圓周(yunzhu)滾轉(zhuǎn)（滾轉(zhuǎn)（無滑動）無滑動） 直線上一個定點的軌直線上一個定點的軌跡跡10.10. 圓的漸伸線圓的漸伸線第30頁/共73頁第三十頁，共73頁。

16、)cos(sin)sin(costttaytttax0 xya一直線沿圓周一直線沿圓周(yunzhu)滾轉(zhuǎn)（滾轉(zhuǎn)（無滑動）無滑動） 直線上一個定點的軌跡直線上一個定點的軌跡10.10. 圓的漸伸線圓的漸伸線第31頁/共73頁第三十一頁，共73頁。a0 xMttaat(x,y) )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy試由這些試由這些(zhxi)關(guān)系推出曲線的方程關(guān)系推出曲線的方程一直線一直線(zhxin)沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動）動） 直線直線(zhxin)上一個定點上一個定點的軌跡的軌跡10.10. 圓的漸伸線圓的漸伸線第32頁/共73頁第三十二頁，共73頁。1

17、. 曲線曲線(qxin)關(guān)于關(guān)于 y= x 對稱對稱2. 曲線曲線(qxin)有漸進線有漸進線 x+y+a = 0分析分析(fnx)3. 令令 y = t x, 得參數(shù)式得參數(shù)式故在原點，曲線自身相交故在原點，曲線自身相交.4.第33頁/共73頁第三十三頁，共73頁。0 xyx+y+a = 0)( 00333 aaxyyx曲線關(guān)于曲線關(guān)于(guny) y= x 對稱對稱 1313323 tatytatx曲線曲線(qxin)有漸近線有漸近線 x+y+a=011.11.卡兒卡兒形形線線第34頁/共73頁第三十四頁，共73頁。0 xyPr.曲線曲線(qxin)在極點自己相交，與此對應(yīng)的角度為在極點自

18、己相交，與此對應(yīng)的角度為 =. . . .距離距離(jl)之積為之積為a2的點的軌跡的點的軌跡直角直角(zhjio)系方程系方程第35頁/共73頁第三十五頁，共73頁。0 xya2 2cos222ar .所圍面積所圍面積(min j). .由對稱性由對稱性.第36頁/共73頁第三十六頁，共73頁。0rr =a 曲線可以看作曲線可以看作(kn zu)這種點的軌跡：這種點的軌跡：動點在射線動點在射線(shxin)上作等速運動上作等速運動同時同時(tngsh)此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線從極點射出半射線第37頁/共73頁第三十七頁，共73頁。0r曲線可以曲線可以(

19、ky)看作這種點的軌跡：看作這種點的軌跡：動點在射線動點在射線(shxin)上作等速運動上作等速運動同時此射線同時此射線(shxin)又繞極點作等速轉(zhuǎn)動又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線從極點射出半射線13.13. 阿基米德螺線阿基米德螺線r =a 第38頁/共73頁第三十八頁，共73頁。0r曲線可以看作曲線可以看作(kn zu)這種點的軌跡：這種點的軌跡：動點在射線動點在射線(shxin)上作等速運動上作等速運動同時同時(tngsh)此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動此射線又繞極點作等速轉(zhuǎn)動從極點射出半射線從極點射出半射線再看一遍再看一遍請問：動點的軌跡什么樣？請問：動點的軌跡什么樣？13.13. 阿

20、基米德螺線阿基米德螺線r =a 第39頁/共73頁第三十九頁，共73頁。0r13. 13. 阿基米德阿基米德( j m d)( j m d)螺線螺線r =a 第40頁/共73頁第四十頁，共73頁。0rr =a 13. 13. 阿基米德阿基米德( j m d)( j m d)螺線螺線第41頁/共73頁第四十一頁，共73頁。0rr =a 13. 13. 阿基米德阿基米德( j m d)( j m d)螺線螺線第42頁/共73頁第四十二頁，共73頁。r這里這里(zhl) 從從 0 +8r =a 02 a每兩個每兩個(lin )螺形卷間沿射線的距離是定數(shù)螺形卷間沿射線的距離是定數(shù)13. 13. 阿基米

21、德阿基米德( j m d)( j m d)螺線螺線第43頁/共73頁第四十三頁，共73頁。0r8當(dāng)當(dāng) 從從 0 r =a 13. 13. 阿基米德阿基米德( j m d)( j m d)螺線螺線第44頁/共73頁第四十四頁，共73頁。r0.這里這里(zhl) 從從 0 +8a.第45頁/共73頁第四十五頁，共73頁。 ar r0.當(dāng)當(dāng) 從從 0 8a14.14. 雙曲螺線雙曲螺線第46頁/共73頁第四十六頁，共73頁。xyo2.S = =1+cos 3r =3cos 由由 3cos =1+cos 得交點得交點(jiodin)的坐標(biāo)的坐標(biāo)2.第47頁/共73頁第四十七頁，共73頁。.10 xy令

22、令 cos2 = 0,由由 sin 0,聯(lián)立后得交點聯(lián)立后得交點(jiodin)坐標(biāo)坐標(biāo).S = 2.第48頁/共73頁第四十八頁，共73頁。xyo1s1s2.sS = =1+cos 第49頁/共73頁第四十九頁，共73頁。求由求由雙紐線雙紐線0 xy. .由對稱性由對稱性.a6 內(nèi)部內(nèi)部(nib)的面積。的面積。雙紐線化成雙紐線化成(hu chn)極坐標(biāo)極坐標(biāo)令令 r = 0, kS = 4+.4 第50頁/共73頁第五十頁，共73頁。xA(x)dV=A(x)dxx已知平行已知平行(pngxng)截面面積為截面面積為 A(x)的立體的立體.aVb第51頁/共73頁第五十一頁，共73頁。半徑為

23、半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的角的平面平面(pngmin)所截，得一圓柱楔。求其體積。所截，得一圓柱楔。求其體積。R oxy第52頁/共73頁第五十二頁，共73頁。oyRxRR20.20.半徑為半徑為R的正圓柱的正圓柱(yunzh)體被通過其底的直徑并與底面成體被通過其底的直徑并與底面成角的角的平面所截，得一圓柱平面所截，得一圓柱(yunzh)楔。求其體積。楔。求其體積。第53頁/共73頁第五十三頁，共73頁。oyRxxyRR.y tan (x, y),截面積截面積A(x).半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑的正圓柱體被通過其底的直徑

24、(zhjng)并與底面成并與底面成角的角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。平面所截，得一圓柱楔。求其體積。20.20.第54頁/共73頁第五十四頁，共73頁。oyRxRR 20.20.半徑為半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的角的平面平面(pngmin)所截，得一圓柱楔。求其體積。所截，得一圓柱楔。求其體積。第55頁/共73頁第五十五頁，共73頁。oyRxRR ABCD BCDC. tan R.截面積截面積S(y) (x, y)= 2x= ytan .S(y)20.20.半徑為半徑為R的正圓柱體被通過的正圓柱體被通過(tnggu)其底的直徑并與底

25、面成其底的直徑并與底面成角的角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。平面所截，得一圓柱楔。求其體積。第56頁/共73頁第五十六頁，共73頁。 hRxoyR 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，平行的圓為底，平行(pngxng)且等于底圓直徑的線段為頂，且等于底圓直徑的線段為頂， 高為高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。第57頁/共73頁第五十七頁，共73頁。 hRxoxA(x)A(x)V =.Ry21.21. 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，平行的圓為底，平行(pngxng)且等于底圓直徑的線段為頂，且等于底圓直徑的線段為頂， 高為高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。y第58頁/共73頁第

26、五十八頁，共73頁。xf(x)ab 曲邊梯形曲邊梯形(txng)： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)第59頁/共73頁第五十九頁，共73頁。xf(x)abx.111111111 曲邊梯形曲邊梯形(txng)： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)22. 22. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積(tj)(tj)V =第60頁/共73頁第六十頁，共73頁。x=g(y)yx0cd曲邊梯形曲邊梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸第61頁/共73頁第六十一頁，共73頁。x=g(y)yx0cd曲邊梯形曲邊梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸23. 23. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積(tj)(tj)第62頁/共73頁第六十二頁，共73頁。x=g(y)yx0cdy.23. 23. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積(tj)(tj)曲邊梯形曲邊梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸第63頁/共73頁第六十三頁，共73頁。abf (x)yx0曲邊梯形曲邊梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸xdx第64頁/共73頁第六十四頁，共73頁。xabyx0內(nèi)表面積內(nèi)表面積.