矩形的折迭問題的探析

1、 矩形紙片的折疊問題的探析矩形紙片的折疊問題，顧名思義，也就是將矩形紙片按照某種程序折疊，然后，按此程序模擬出平面圖形，并按要求完成相應(yīng)的計(jì)算和證明。折疊問題，本質(zhì)上屬于圖形的軸對(duì)稱變換。折疊后的圖形與原圖形全等，解決這類問題時(shí)要抓住因折疊而形成的等線段和等角，這些相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。這類題目既有趣味性，又有可操作性。學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐自主去探索、認(rèn)識(shí)和掌握?qǐng)D形的性質(zhì)，不僅積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，而且還發(fā)展了他們的空間觀念；另外，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、運(yùn)用能力、空間想象能力、解題能力和探究精神。事實(shí)上，七年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有一定的折疊經(jīng)驗(yàn)，如將紙帶折疊求相應(yīng)的角的度數(shù)。八上的圖形的軸對(duì)

2、稱變換知識(shí)，勾股定理及其剛剛所學(xué)的矩形的性質(zhì)都是本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生初遇翻折問題，往往一片茫然，不知從何下手，究其原因是對(duì)由折疊產(chǎn)生的相等線段和相等角這個(gè)條件。另外，因?yàn)檎郫B而形成的圖形較抽象，需要一定的空間想象能力，而這方面能力是學(xué)生較欠缺的。通過對(duì)矩形折疊問題產(chǎn)生的三種基本圖形的解決，來談?wù)劸匦沃姓郫B問題。一、例1：如圖，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=10，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE，求CE的長。分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，由折疊可得AD=AF=10，DE=DF，DAE=EAF。設(shè)DE=X，則CE=6-X,EF=X.根據(jù)勾股定理，由ABF是直角三角

3、形，可得BF=8，則CF=2由CEF是直角三角形，可得,則有，解得X=，故CE=6-=變式練習(xí)：現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB=4，BC=6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)。實(shí)施操作將直線AE對(duì)折，使點(diǎn)B落在梯形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)（1）請(qǐng)用尺規(guī)，在圖中作出(保留作圖痕跡)；（2）試求、C兩點(diǎn)之間的距離。分析：折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱變換，故根據(jù)軸對(duì)稱變化的性質(zhì)可以畫出第1題的圖形。在畫出圖形的基礎(chǔ)上，根據(jù)軸對(duì)稱變化的性質(zhì)，可得。根據(jù)等面積法，通過求四邊形的面積，可求得。根據(jù)在三角形中,一邊中線等于這條邊的一半,則此三角形是直角三角形，可得是直角三角形。根據(jù)勾股定理，可得=二、例2.如圖，將矩形紙片AB

4、CD沿對(duì)角線BD對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，BE交CD于點(diǎn)E，已知30°（1） 求的度數(shù)。（2） 求證：EF=FC分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，由折疊可得ABD=DBE=30°，ADB=BDE=60°，故=30°根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，有折疊可得BE=DC，又由=30°，可得DF=BF，故BE-BF=CD-DF即EF=CF三、例3.如圖，一張矩形紙片ABCD的長AD=9，寬AB=3?，F(xiàn)將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合。求折疊后BE的長和折痕EF的長。分析：本題圖形略顯復(fù)雜。由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可得BE=DE。設(shè)BE=DE=X，由勾股定理可得,列方程得解得X=5即AE=4,DE=5,BE=5。由BED=BFE得BE=BF=5，過點(diǎn)E做EH垂直BC，則BH=4,則FH=1故EF=變式練習(xí)：在例3的條件下，連結(jié)DF，問四邊形DEBF是什么特殊四邊形？并說明理由。分析：由例3分析可得，DE=BF，又因?yàn)镈E/BF,所以四邊形DEBF是平行四邊形。又因?yàn)镈E=BE,所以平行四邊形DEBF是菱形。小結(jié)：綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)折疊問題的解決，大都是以軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作為切入點(diǎn)，而數(shù)形變化，是解決這類問題的突破口。有了“折”就有了“形”-軸對(duì)稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數(shù)”-線段之間、角與