2009上海高考數(shù)學(xué)文科試題及答案詳解

1、上海 數(shù)學(xué)試卷(文史類)考生注意:1 .答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼。2 .本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一.填空題(本大題滿分 56分)本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4分，否則一律得零分。1 .函數(shù)f(x)=x3+1的反函數(shù)f-1(x尸.2 .【答案】VX-7【解析】由y=x3+1,得x= 3/y 1 ,將y改成X, x改成y可得答案。3 .已知集體 A=x|xW1,B=x| >a,且 AU B=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4 .【答案】a<1【解析】因?yàn)?

2、AU B=R畫數(shù)軸可知，實(shí)數(shù)a必須在點(diǎn)1上或在1的左邊，所以，有 a< 1。-13 - / 9產(chǎn)油4 5 x3.若行列式1 x 3 中，元素4的代數(shù)余子式大于 0,則x滿足的條件是 一7 8 93 .【答案】x 838【解析】依題意，得：(-1)2X (9x-24) >0,解得：x 834 .某算法的程序框如右圖所示，則輸出量y與輸入量 x滿足的關(guān)系式是4 .【答案】y2x,x 1x 2,x 1【解析】當(dāng)x>1時(shí)，有y=x-2,當(dāng)xv 1時(shí)有y=2x,所以，有分段函數(shù)。5 .如圖，若正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2,高為4,則異面直線BD1與AD所成角的大

3、小是 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示 ).6 .【答案】arctan J5【解析】因?yàn)锳D / AiDi ,異面直線BDi與AD所成角就是BDi與AiDi所在角，即/ AiDiB,由勾股定理，得 AiB= 2J5, tan/AiDiB=，5 ,所以，/ AiDiB= arctan J5。6.若球。1、O2表示面積之比2 4,則它們的半徑之比S2Ri瓦y7.已知實(shí)數(shù)X、y滿足yx7 .【答案】2【解析】由!_RL = 4,得凡=2。4 R；R22x2x則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是38 .【答案】一9【解析】畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)化為：1 一 1 y -x-z,回直線y -x及其平

4、行線，當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)a2 2時(shí)，一z的值最大，z的值最小，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6),所以，z 的最小值為：32X6= 9。8 .若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2,則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是。9 .【答案】 318【解析】幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為2,高也為2,體積V= 14 2 = 33210 過點(diǎn)A (1, 0)作傾斜角為一的直線，與拋物線y 2x交于M、N兩點(diǎn)，則4MN |=11 .【答案】2 6【解析】直線方程為 y=x 1,代入拋物線y2 2x ,得：x2 4x+ 1 = 0, x1+x2=4, x1 x2=1,則 |MN| .x x2)2 (y17 =)2(%

5、 x2)2=j2(x1 x2)2 4乂網(wǎng)=2V6212 .函數(shù) f(x) 2cos x sin2x的最小值是 。13 .【答案】1亞【解析】f(x) cos2x sin2x 1 J2sin(2x ) 1 ,所以最小值為：1 4214 .若某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出3人作為上海世博會(huì)的志愿者，則選出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)。515 .【答案】一7【解析】因?yàn)橹挥?2名女生，所以選出 3人中至少有一名男生，當(dāng)選出的學(xué)生全是男生時(shí)有：3C；C3,概率為：-4C732252 ,所以，均不少于1名的概率為：1 2-77712.已知Fp F2是橢圓22C：xyC

6、 : 22ab1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn),p為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2。若 PF1F2的面積為9,則b .16 .【答案】3|PFJ IPF2I 2a【解析】依題意，有| PF1 |?| PF2 | 18 ，可得4c2+36 = 4a2,即a2c2=9,故有b = 3。222IPFi |PF2 | 4c17 .已知函數(shù)f (x) sin x tanx。項(xiàng)數(shù)為 27的等差數(shù)列an滿足an ,一，且公差 2 2d 0,若 f(a1) f(a2) . f (a27) 0,則當(dāng) k=時(shí)，f(aj 0.。18 .【答案】14【解析】函數(shù)f(x) sinx tanx在(一 一)是增函數(shù)，顯然又為奇函

7、數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原 2 2點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?a a27 a2 a?6 ? 2a14 ,所以 f(aj f(a27) f(a2) f (a26) ? ”即)0,所以當(dāng) k 14 時(shí)，f(aj 0.19 .某地街道呈現(xiàn)東一一西、南一一北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為1,兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)。若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)(-2, 2), (3, 1), (3, 4),(-2, 3), (4, 5)為報(bào)刊零售店，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn) 為發(fā)行站，使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和最短。20 .【答案】(3, 3)【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為 x,y ,零售點(diǎn)到發(fā)行站的距離為 z 2|x 211

8、y 2| 2 |x 3 |y 1 |y 4 |y 3 |x 4 |y 5 |x 6 |y 6,這六個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的平均值為2 3 3 2 4 6 2 , 2 1 4 3 5 6 7 ,記662A (2, 7),畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應(yīng)該在點(diǎn)A附近，代入附近的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較可2知，在(3,3)處z取得最小值。二。、選擇題(本大題滿分 16分)本大題共有 4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答案紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 4分，否則一律得零分。21 .已知直線 l1:(k 3)x (4 k)y 1 0,與 l2：2(k 3)x 2y 3 0,平行，則 K 得值是( )

9、(A)1 或 3(B) 1 或 5(C) 3 或 5(D) 1 或 215、【答案】C 3k【解析】當(dāng)k= 3時(shí)，兩直線平行，當(dāng)kw 3時(shí)，由兩直線平行，斜率相等，得：3- =k-3,4 k解得：k = 5,故選Co16,如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3和4,過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為16、【答案】B【解析】從正面看，應(yīng)看到直角邊為3的頂點(diǎn)，而高為4,故正視圖應(yīng)為Bo17.點(diǎn) P (4,.22.2)與圓x y4上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是答(),、_ 22(A) (x 2) (y 1)1一 22(B) (x 2) (y 1)422(C) (x 4) (y 2)417、【答案】A_

10、 22(D) (x 2) (y 1)1x【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為 Q(s, t),PQ的中點(diǎn)為A(x, y),則y4 s2 ，解得:2 t2s 2x 4t 2y 2代入圓方程，得(2x4) 2+ (2y+2) 2=4,整理，得：(x 2)2 (y 1)2 118 .在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù) 10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是答()(A)甲地：總體均值為 3,中位數(shù)為4 . (B)乙地：總體均值為1 ,總體方差大于0 .(C)丙地：中位數(shù)為 2,眾數(shù)為3 .

11、(D) 丁地：總體均值為2,總體方差為3 .18、【答案】D【解析】根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項(xiàng)A中,中位數(shù)為4,可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能；選項(xiàng)B中的總體方差大于 0敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3,故答案選D.三.解答題(本大題滿分 78分)本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19 .(本題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z a bi (a、b R)(I是虛數(shù)單位)是方程x2 4x 5 0的根.復(fù)數(shù)w u 3i ( u R)滿足|

12、w z|275,求u的取值范圍20 .解：原方程的根為X1,2 2 iQ|w z| |(u 3i) (2 i)| J(u 2)2 42所2 u 620.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分已知A ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m (a,b), rurn (sin B,sin A), p (b 2,a 2).ir r(1) 若m n,求證：a ABC為等腰三角形；ir ur(2) 若m，p ,邊長(zhǎng)c = 2,角C = §，求A ABC的面積uv v20 題。證明：(1) Qm/n, a sin A bsin B,r - ab即a

13、b ，其中R是三角形 ABC外接圓半徑， a b2R2RABC為等腰三角形a b ab由余弦定理可知，4 a2 b2 ab (a b)2 3ab即(ab)2 3ab 4 0ab 4(舍去 ab1)c 1.S absinC221.(本題滿分16分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分.有時(shí)可用函數(shù)f(x)0.1 151n a , x 6,a xx 4.4,6x 4描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)( x N*), f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān).(1)證明：當(dāng)x |7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量 f (x+1) - f(x)總是下降

14、；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115, 121 ,(121,127 ,(127,133 .當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí) 6次時(shí)，掌握程度是 85%請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科21 題。證明(1)當(dāng) x 7 時(shí)，f(x 1) f (x)0.4(x 3)(x 4)而當(dāng)x 7時(shí)，函數(shù)y (x 3)(x 4)單調(diào)遞增，且(x 3)(x 4) 0故函數(shù)f(x 1) f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x 7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x 1) f(x)總是下降(2)有題意可知 0.1 15lna0.85a 6整理得一ae0.05a 60.05e解得 a-0e05 6 20.50 6 123.0,123.0e 1(121

15、,127 .13 分由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.14 分UV IVr解(2)由題意可知2) 0m/p 0,即a(b 2) b(a22.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題?黃分4分，第2小題滿分4分，第3小 題滿分8分.已知雙曲線 C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為 F*,0 , 一條漸近線 m：x+&y 0,設(shè)過點(diǎn)_vA( 3厄0)的直線l的方向向量e (1,k)。(1) 求雙曲線C的方程；(2) 若過原點(diǎn)的直線a/l ,且a與l的距離為J6,求K的值；(3) 證明：當(dāng)k 等 時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn) Q,使之到直線l的距離為J6.22. m (1)設(shè)雙曲線C的方程為x2 2y2(

16、0)23 ,解額2雙曲線C的方程為y2 122(2)直線 l : kx y 3 J2k 0 ,直線 a : kx y 0由題意，得13絲1 瓜解得k 叵,1 k22(3)【證法一】設(shè)過原點(diǎn)且平行于l的直線b: kx y 0則直線l與b的距離d 3點(diǎn)1k |,當(dāng)k 返時(shí)，d 品 TTV，2'又雙曲線C的漸近線為x J2y 0雙曲線C的右支在直線b的右下方，雙曲線C右支上的任意點(diǎn)到直線l的距離大于 近。故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn) Q,使之到直線l的距離為 娓【證法二】假設(shè)雙曲線 C右支上存在點(diǎn)Q(x0, y0)到直線l的距離為J6 ,、6|kx0 y°=3 二 2k則1-k2-

17、片 2y2 2由（1）得 y0 kx0 3J2k J6 J1 k2設(shè) t 342k 爬 Ji k2 ,當(dāng) k 詆時(shí)，t 372k 庭 Ji k2 0； 2t 3.2k ,6 .1 k262k2 1/3k2Jk2_22(t1) 022將 yokxo t 代入(2)得(1 2k )xo 4ktx0Qk ,t 0, 2_ 2_ 21 2k 0, 4kt 0,2(t1) 0方程(*)不存在正根，即假設(shè)不成立, 故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn) Q,使之到直線l的距離為J623.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小 題滿分8分.已知an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公

18、比為q的等比數(shù)列(1)右an 3n 1 ,是否存在m,n N ,有am am 1 ak ?請(qǐng)說明理由；(2)若bnaqn(a、q為常數(shù)，且aq 0)對(duì)任意m存在k,有bmbm1bk,試求a、q滿足的充要條件；(3)若a。 2n 1,bn 3n試確定所有的p,使數(shù)列bn中存在某個(gè)連續(xù) p項(xiàng)的和式數(shù)列中an的一項(xiàng)，請(qǐng)證明.“23.【解】(1)由 am am 1 4，得 6m 6 3k 1 ,4整理后，可得k 2m -,3Q m、k N , k 2m為整數(shù)不存在n、k N ,使等式成立。(2)當(dāng) m 1 時(shí)，則 b1 b2 bk, a2 q3 aqkk 3ca qk3,即a qc,其中c是大于等于 2的整數(shù)反之當(dāng)a qc時(shí)，其中c是大于等于 2的整數(shù)，則b顯然bm bm 12m 1 2cqbk ,其中 k 2m 1 ca、 q滿足的充要條件是