223_向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、12.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義2BAbao.a+bbaABba+ba3o.BAa-baba-b-bo.BAab4aaaABCOaaaa3BCABOAOC記作aaaaMNQMPQPN3)()()(記作a已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同與aaaa333的方向相反與5思考思考1 1：如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)M M為為ABCABC的重心，的重心，D D為為BCBC的中點(diǎn)，那么向量的中點(diǎn)，那么向量 與與 ， 與與 分別有什么關(guān)系？分別有什么關(guān)系？B

2、 Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu rABCDM6對于任意一個三角形，對于任意一個三角形，三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的三條高的交點(diǎn)叫做垂心垂心，三角形的三條中線的交點(diǎn)所為三角形的三條中線的交點(diǎn)所為重心重心，三角形的三條角平分線的交點(diǎn)叫三角形的三條角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心內(nèi)心，三角形的三條中垂線的交點(diǎn)叫三角形的三條中垂線的交點(diǎn)叫外心外心 7思考思考1 1：如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)M M為為ABCABC的重心，的重心，D D為為BCBC的中點(diǎn)，那么向量的中點(diǎn)，那么向量 與與 ， 與與 分別有什么關(guān)系？分別有什么關(guān)系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuu

3、u rABCDM12B DB C=uuu ruuu r3A DD M= -uuu ruuuu r8,aa 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 與與向向量量 的的積積是是一一個個確確定定的的向向量量，記記為為1;aa 其其方方向向和和長長度度規(guī)規(guī)定定如如下下：（ ）20,0,00.aaaaa （ ） 當(dāng)當(dāng)與與 的的方方向向相相同同；當(dāng)當(dāng)?shù)牡姆椒较蛳蚺c與 的的方方向向相相反反；當(dāng)當(dāng)，9a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(210數(shù)乘向量的數(shù)乘向量的幾何意義幾何意義就是把向量就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或縮短方向放大或縮短. .若若 , ,當(dāng)當(dāng) 沿沿 的的方方向向放大放大了了

4、 倍倍. .當(dāng)當(dāng) 沿沿 的的方向方向縮短縮短了了 倍倍. .當(dāng)當(dāng) , ,沿沿 的的反方向反方向放大放大了了 倍倍. .當(dāng)當(dāng) 沿沿 的的反方向反方向縮短縮短了了 倍倍. .由其幾何意義可以看出由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似相似問題問題.0a 時，1時，10時1a時，01aaaaa a11)() ;()1(2)(3);().aaaaaabab ，是是 實(shí)實(shí) 數(shù)數(shù) ，） （aaabab 特別地:（）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算12例例1：計(jì)算下列各式：計(jì)算下列各式a4)3)(1 (ababa)(2)(3

5、)2(a12b5)23 ()32)(3 (cbacbacba25 )()()(4(2121bcttbcttctbt212213思考思考2 2：若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使，使 ，則則A A、B B、C C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？A BBCl=uuu ruuu r思考思考3 3：如圖，若如圖，若P P為為ABAB的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則 與與 、 的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？O Puuu rO Auuu rO Buuu rA AB BP PO O、 、共線A BBCABCl=uuu ruuu r1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r14例例2. .如圖：已知如圖：已知

6、， ，試判斷試判斷 與與 是否是否共線共線 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3 與與 共線共線 AEACDEADAE 解：解：A AD DE EC CB B 向量向量 與與非零向量非零向量 共線共線 有且有且僅有一個實(shí)數(shù)僅有一個實(shí)數(shù) ，使得，使得 b a ba 1531A AD DB BC CM MN N61312116練習(xí)練習(xí)aaC.的方向相反與aaA.的方向相同與aa2B.(2).設(shè) 是非零向量, 是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是( ).aaD.a(1).下列四個說法正確的個數(shù)有( ).B.2個A.1個C.3個D.4個; bmambambam ）（，恒有、和向

7、量對于實(shí)數(shù);),(baRmbmam則有若;, 0),(nmaRnmanam則有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、對于實(shí)數(shù)BC17例例4 4: :若若其中其中 , , 是是已知向量已知向量, ,求求 ，分析:此題可把已知條件看作向量的方程,通過解方程組獲得aanm23bnm3bam112113解：記 ， bnm3933得 ,113111ban-得abybax5152,5152anm23bnm3bmn18例例5如圖所示，已知 說明向量 與 的關(guān)系,3OAOA ,3ABBAOBOB解解： 因?yàn)锽AOAOBABOA33)(3ABOAOB3所以， 與 共線同方向，長度是 的3倍OBOBOBoA

8、BBA問題: 如果把3都換成k( 不為0),結(jié)論會有什么變化?19練習(xí)練習(xí)1. 在 中,設(shè)D為邊的中點(diǎn),求證:ABC)(21) 1 (ACABADADCABCAB223)2(解：因?yàn)锽DABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB （）（）CABCABAB22原式左邊CAACAB2右邊ADACAB2所以，所證等式成立所以，所證等式成立20E過點(diǎn)B作BE,使ACBE 連接CE則四邊形ABEC是平行四邊形,D是BC中點(diǎn)，則D也是AE中點(diǎn).由向量加法平行四邊形法則有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:21例6: 如圖，在 中,延長BA到C,使AC=BA,在OB上取點(diǎn)D,使BD= OB.DC與OA交于E,設(shè) 請用 .OAB31，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA 分析分析: : 解題的關(guān)鍵是建立 的聯(lián)系，為此需要利用向量的加、減法數(shù)乘運(yùn)算。 baODOC，與,解：解：因?yàn)锳是BC的中點(diǎn)，所以 .22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab22,31bACaABBCBDBCABCD，設(shè)邊上一點(diǎn)，且中是等于則AD（ C ）)(31.baA)(31.abB)2(31.b