工程光學第4章

1、第4章 平面與平面系統(tǒng) n1.1.平面鏡成像 n2.2.平行平板n3.3.反射棱鏡n4.4.折射棱鏡與光楔 第第4 4章章 平面與平面系統(tǒng)平面與平面系統(tǒng) 光學系統(tǒng)除利用球面光學元件（如透鏡和球面鏡等）實現(xiàn)對物體的成像特性外，還常用到各種平面光學元件，如平面反射鏡、平行平板、反射棱鏡、折射棱鏡和光楔等。這些平面光學元件主要用于改變光路方向、倒像及色散。本章主要討論這些平面光學元件的成像特性?！颈菊陆虒W要點本章教學要點】 知識要點 掌握程度 相關知識 平面鏡成像平面鏡成像 掌握平面鏡成像的特掌握平面鏡成像的特點、平面鏡旋轉時的點、平面鏡旋轉時的成像特點以及雙平面成像特點以及雙平面鏡成像的特點；鏡成

2、像的特點； 利用平面鏡旋轉時的利用平面鏡旋轉時的特點測量微小角度和特點測量微小角度和微小位移；微小位移；奇數(shù)次與偶數(shù)次成像奇數(shù)次與偶數(shù)次成像的不同的不同 知識要點知識要點 掌握程度掌握程度 相關知識相關知識 平行平板成像及其等效光學系統(tǒng) 掌握平行平板的成像特點以及等效成的空氣平板的厚度 平行平板成非完善像物體經平行平板的光學系統(tǒng)后所成像的求法 反射棱鏡的分類及特點 熟悉各種反射棱鏡的應用場合；掌握反射棱鏡的成像方向判斷方法 反射棱鏡的作用；屋脊棱鏡與一般反射棱鏡的區(qū)別 折射棱鏡與光楔 熟悉折射棱鏡的偏向角公式；掌握最小偏向角公式及光楔的偏向角 折射棱鏡的折射面和折射棱；雙光楔測量微小角度和微小

3、位移 光學材料 了解平均折射率、阿貝常數(shù)、部分色散和相對色散的定義；熟悉透射材料和反射材料的特點 透射材料的種類及特點；反射材料的特點 第一節(jié)第一節(jié) 平面鏡成像平面鏡成像 平面反射鏡又稱平面鏡，是光學系統(tǒng)中唯一能成完善像的光學元件，在日常生活中并不少見，如穿衣鏡、化妝鏡等。1.1.單平面鏡單平面鏡 如圖3-1所示，物體 上任一點發(fā)出的同心光束被平面鏡反射，光線 沿 方向原光路返回，光線 以入射角 入射，經反射后沿 方向出射，延長 和 交于 。由反射定律及幾何關系容易證明 ，從而可得 = ， = 。AAPPAAQIQRAPRQAPAQPA Q APA PAQA Q圖3-1 平面鏡成像 同樣可證明

4、由 點發(fā)出的另一條光線 經反射后，其反射光線的延長線必交于 點。這表明，由 點發(fā)出的同心光束經平面鏡反射后，變換為以 為中心的同心光束。因此， 為物點 的完善像點。同樣可以證明 點為 點的完善像點。由于物體上每點都成完善像，所以整個物體也成完善像。 AAOAAAABBA圖3-1 平面鏡成像1.1 平面鏡成像特點有： (1)像與物相對平面鏡對稱，物像虛物相反由球面鏡的物像位置公式 ，令 = 可得 ，所以，物與像相對于平面鏡對稱。 由球面鏡的放大率公式 可知，實物成虛像，虛物成實像。 (2)平面鏡成鏡像 由于平面鏡成像的對稱性，使一個右手坐標系的物體，變換成左手坐標系的像，這種像稱為鏡像。如圖3-

5、2所示，一個右手坐標系 ，經平面鏡 后，其像為一個左手坐標系 。當正對著物體即沿 方向觀察物時， 軸在左邊；而當正對著像即沿 方向觀察像時， 在右邊。rll211rll1-ll圖3-2 平面鏡成鏡像圖OxyzMOx y z zOyz O y (3)平面鏡奇數(shù)次反射成鏡像。偶數(shù)次反射成與物一致的像。 由圖3-2可知，一次反射像 若再經過一次反射成像，將恢復成與物相同的右手坐標系。 (4)當物體旋轉時，其像沿反方向旋轉相同的角度。 正對著 方向觀察時， 順時針方向轉90至 ，而 則是逆時針方向轉90至 （沿 方向觀察）。同樣，沿 方向觀察， 轉向 是順時針方向，而 轉向 則是逆時針方向（沿 方向觀

6、察）。沿 方向觀察的情況相同。Ox y z zOyxy xz O xOzyzyx OyO1.2 平面鏡旋轉時的特點 當入射光線方向不變而轉動平面鏡時，反射光線的方向將發(fā)生改變。如圖3-3所示，設平面鏡轉動角時，反射光線轉動角，根據(jù)反射定律有因此反射光線的方向改變了2 角。11()()2IIIIII 圖3-3 平面鏡旋轉時的成像 利用平面鏡轉動的這一性質，可以測量微小角度或位移。如圖3-4所示，刻有標尺的分劃板位于準直物鏡 的物方焦平面上，標尺零位點與物方焦點 重合，發(fā)出的光束經物鏡 后平行于光軸。若平面鏡 與光軸垂直，則平行光經平面鏡 反射后原光路返回，重新會聚于 點。若平面鏡 轉動 角，則平

7、行光束經平面鏡后與光軸成2 角，經物鏡 后成像于 ，設 ,物鏡焦距為 ,則式中 可由分劃板標尺讀出，物鏡焦距 已知，可求出平面鏡轉動的微小角度 。LFLMMFL1F1F Fyf 22yf tgfyf 圖3-4 測定微小角度和位移 若平面鏡的轉動是由一頂桿移動引起的，設頂桿到支點距離為 ，頂桿微小移動量為 ,則 ,代入上式，得 式中 為光學杠桿的放大倍數(shù)。利用此式可測量頂桿的微小位移。2 2雙平面鏡成像雙平面鏡成像 如圖3-5所示，設兩個平面鏡的夾角為 ，光線 入射到雙平面鏡上，經兩個平面鏡 和 依次反射，沿 方向出射，出射光線與入射光線的延長線相交于 點，夾角為 。 axtgx a(2)yfa

8、 xKx2Kfa1AOPQPR2O MM 圖3-5 雙平面鏡成像 下面看經雙平面鏡兩次反射后的出射光線與入射光線間的關系。由 ，有 根據(jù)反射定律，有 在 中，有 ，即 所以有 可見，出射光線和入射光線的夾角與入射角的大小無關，只取決于雙平面鏡的夾角 。由此可以推得，如果雙面鏡的夾角不變，當入射光線方向一定時，雙面鏡繞其棱邊旋轉時，出射光線方向始終不變。利用這一性質，光學系統(tǒng)中用雙面鏡折轉光路時，對其安裝調整特別方便。12OO M1122()()IIII122()II12OO N12II12II2 如圖3-6所示，一右手坐標系的物體 ，經雙面鏡 的兩個反射鏡 、 依次成像為 和 。經 第一次反射

9、的像 為左手坐標系，經 第二次反射后成的像（稱為連續(xù)一次像） 還原為右手坐標系。由于 因此，連續(xù)一次像可認為是由物體繞棱邊旋轉 角形成的，旋轉方向由第一反射鏡轉向第二反射鏡。只要雙面鏡夾角 不變，雙面鏡轉動時，連續(xù)一次像不動。xyzQPRPQPRx y z x y z PQx y z PRx y z 222y Pyy PyyPyRPyQPy 2圖3-6 連續(xù)一次像總之，雙平面鏡的成像特性可歸結為：（1）二次反射像的坐標系與原物坐標系相同，成一致像。（2）連續(xù)一次像可認為是由物體繞棱邊旋轉 角形成的，其轉向與光線在反射面的反射次序所形成的轉向一致。2 第二節(jié) 平行平板 由兩個相互平行的折射平面構

10、成的光學元件稱為平行平板。 平行平板是光學儀器中應用較多的一類光學元件，如刻有標尺的分劃板、蓋玻片、濾波片等都屬于這一類光學元件。反射棱鏡也可看作是等價的平行平板。1. 1. 平行平板的成像特性平行平板的成像特性 如圖3-7所示，軸上點 發(fā)出一孔徑角為U1的光線 ，經平行平板兩面折射后，其出射光線的延長線與光軸相交于 ，出射光線的孔徑角為 。設平行平板位于空氣中，平板玻璃的折射率為 ，光線在兩折射面上的入射角和折射角分別為 、 和 、 。因為二折射面平行，則有 = ,由折射定律，得 所以 這時有 圖3-7 平行平板的成像AAD2A2Un1I1I2I2I2I1I1122sinsinsinsinI

11、nInII1221,IIUU2211,11,1tgUtgU由此可知，出射光線平行于入射光線，光線經平行平板后方向不變；平行平板成像不會使物體放大或縮??；物沿光軸移動時像沿光軸同方向移動。 下面通過物點與像點之間產生的軸向位移 討論平行平板的成像是否完善。如圖3-7所示，出射光線與入射光線之間的側向位移 在 和 中， 將 用三角公式展開，并利用 ，得 所以，軸向位移應用折射定律 ，代入得 該式表明，軸向位移 隨入射角 （即孔徑角 ）的不同而不同，即軸上點發(fā)出不同孔徑同心光束變成了非同心光束，因此，平行平板不能成為完善像。2LAATDEGDEF11111sin()sin()cosdTDGDEIII

12、II11sin()II11sinsinInI111cossin(1)cosITdInI)coscos1 (sin111InIdIDGL11sinsinIIn11(1)tg ILdn tg IL1I1U2. 2. 近軸區(qū)平行平板的成像近軸區(qū)平行平板的成像 當入射光線在近軸區(qū)以細光束通過平行平板成像，因為 很小，余弦可近似等于1，式 變?yōu)?式中 代替 。該式表明，近軸光線的軸向位移只與平行平板厚度 及折射率 有關，而與入射角 （即孔徑角 ）無關。因此，物點以近軸光經平行平板成像是完善的。這時，不管物體位置如何，其像可認為是由物體移動一個軸向位移 得到的。1I)11 (ndllLdn1I1Ul)co

13、scos1 (sin111InIdIDGL 第三節(jié) 反射棱鏡 將一個或多個反射面磨制在同一塊玻璃上的光學元件稱為反射棱鏡，在光學系統(tǒng)中主要用于折轉光路、轉像、倒像和掃描等。在反射面上，若所有入射光線不能全部發(fā)生全反射，則必須在該反射面上鍍以金屬反射膜，如銀、鋁等，以減少反射面的光能損失。1. 1. 反射棱鏡的概念及分類反射棱鏡的概念及分類 光學系統(tǒng)的光軸在棱鏡中的部分稱為棱鏡的光軸，如圖3-8所示，圖中的 、 和 。每經過一次反射，光軸就折轉一次。反射棱鏡的工作面為兩個折射面和若干個反射面，光線從一個折射面入射，從另一個折射面出射，因此，兩個折射面分別稱為入射面和出射面，大部分反射棱鏡的入射面

14、和出射面都與光軸垂直。工作面之間的交線稱為棱鏡的棱，垂直于棱的平面叫主截面，一般取主截面與光學系統(tǒng)的光軸重合，因此又叫光軸截面。 反射棱鏡種類繁多，形狀各異，大體上可分為簡單棱鏡、屋脊棱鏡、立方角錐棱鏡。下面分別予以介紹。 1AO12O O2O B圖3-8 反射棱鏡的主截面1.1 簡單棱鏡 簡單棱鏡只有一個主截面，它所有的工作面都與主截面垂直。根據(jù)反射面數(shù)的不同，又分為一次反射棱鏡、二次反射棱鏡和三次反射棱鏡。圖3-9 簡單棱鏡1.1.1 一次反射棱鏡 一次反射棱鏡使物體成鏡像，最常用的一次反射棱鏡有等腰直角棱鏡，如圖3-9a所示，它使光軸折轉90；等腰棱鏡，如圖3-9b所示，它使光軸折轉任意

15、角度。這兩種棱鏡的入射面和出射面都與光軸垂直，在反射面上發(fā)生全反射。道威棱鏡，如圖3-9c所示，它是由直角棱鏡去掉多余的直角形成的，其入射面和出射面與光軸不垂直，出射光軸與入射光軸方向不變。 道威棱鏡的重要特性是，當其繞光軸旋轉 角時，反射像同方向旋轉2 角。從圖3-9c圖可以看出，下圖相對于上圖，道威棱鏡旋轉了90，其像相對于旋轉前的像轉了180。道威棱鏡的這一特性可應用在周視瞄準儀中，如圖3-10所示。 當直角棱鏡 在水平面內以角速度 旋轉時，道威棱鏡繞其光軸以 的角速度同向轉動，可使在目鏡中觀察到的像的坐標方向不變。這樣，觀察者可以不改變位置，就能周視全景。由于道威棱鏡的入射面和出射面與

16、光軸不垂直，所以道威棱鏡只能用于平行光路中。從上面的討論可知，對于簡單棱鏡，在主截面內的坐標改變方向，垂直于主截面的坐標不改變方向，而始終沿出射光軸方向。1P2圖3-10 周視瞄準儀1.1.2 二次反射棱鏡 二次反射棱鏡連續(xù)經過兩個反射面的反射，所以像與物的坐標系相一致。常用的二次反射棱鏡如圖3-11所示，從圖3-11a到圖e分別為半五角棱鏡、30直角棱鏡、五角棱鏡、直角棱鏡和斜方棱鏡，兩反射面的夾角分別為22.5、30、45、90和180。半五角棱鏡和30直角棱鏡多用于顯微鏡系統(tǒng)，使垂直向上的光軸折轉為便于觀察的方向。五角棱鏡使光軸折轉90，安裝調試方便。直角棱鏡多用于轉像系統(tǒng)中，如開普勒望

17、遠鏡中將倒像轉為正像便于觀察。斜方棱鏡可使光軸平移，多用于雙目儀器中，以調整目距。圖3-11 二次反射棱鏡 1.1.3 三次反射棱鏡 常用的三次反射棱鏡為斯密特棱鏡，如圖3-12所示。出射光線與入射光線的夾角為45，奇數(shù)次反射成鏡像。其最大特點是因為光線在棱鏡中的光路很長，可以折疊光路，使儀器結構緊湊。圖3-12 斯密特棱鏡 1.2 屋脊棱鏡 我們知道，奇數(shù)次反射使得物體成鏡像。如果需得到與物體一致的像，而又不宜增加反射棱鏡時，可用交線位于棱鏡光軸面內的兩個相互垂直的反射面取代其中一個反射面，使垂直于主截面的坐標被這二個相互垂直的反射面依次反射而改變方向，從而得到物體的一致像，如圖3-13所示

18、。這兩個相互垂直的反射面叫做屋脊面，帶有屋脊面的棱鏡稱為屋脊棱鏡。常用的屋脊棱鏡有直角屋脊棱鏡、半五角屋脊棱鏡、五角屋脊棱鏡、斯密特屋脊棱鏡等。圖3-13 屋脊棱鏡1.3 立方角錐棱鏡 這種棱鏡是由立方體切下一個角而形成的，如圖3-14所示。其三個反射工作面相互垂直，底面是一等腰三角形，為棱鏡的入射面和出射面。立方角錐棱鏡的重要特性在于，光線以任意方向從底面入射，經過三個直角面依次反射后，出射光線始終平行于入射光線。當立方角錐棱鏡繞其頂點旋轉時，出射光線方向不變，僅產生一個位移。 立方角錐棱鏡用途之一是和激光測距儀配合使用。激光測距儀發(fā)出一束準直激光束，經位于測站上的立方角錐棱鏡反射，原方向返

19、回，由激光測距儀的接收器接收，從而解算出測距儀到測站的距離。圖3-14 立方角錐棱鏡2.2.棱鏡系統(tǒng)的成像方向判斷棱鏡系統(tǒng)的成像方向判斷 實際光學系統(tǒng)中使用的棱鏡系統(tǒng)有時是比較復雜的，正確判斷棱鏡系統(tǒng)的成像方向對于光學系統(tǒng)設計是至關重要的。如果判斷不正確，使整個光學系統(tǒng)成鏡像或倒像，會給觀察者帶來錯覺。上面已對常用的各種棱鏡的光路折轉和成像方向進行了討論，這里歸納為如下判斷原則：（1） 坐標軸和光軸的出射方向一致。（2）垂直于主截面的坐標軸 視屋脊面的個數(shù)而定，如果有奇數(shù)個屋脊面，則其像坐標軸方向與物坐標軸 方向相反；沒有屋脊面或屋脊面?zhèn)€數(shù)為偶數(shù)，則像坐標軸方向與物坐標軸方向一致。（3）平行于

20、主截面的坐標軸 的方向視反射面?zhèn)€數(shù)（屋脊面算兩個反射面）而定。如果物坐標系為右手坐標系，當反射面?zhèn)€數(shù)為偶數(shù)時， 坐標軸按右手坐標系確定；而當反射面?zhèn)€數(shù)為奇數(shù)時， 坐標軸依左手坐標系確定。O z O y OyO x O x O x 3. 3. 反射棱鏡的等效作用與展開反射棱鏡的等效作用與展開 反射棱鏡在光學系統(tǒng)中等價于一塊平行平板，按照反射面的反射順序依次作出整個棱鏡被其所成的像，即可將棱鏡展開為平行平板。圖3-15就是對一次反射等腰直角棱鏡、道威棱鏡和斯密特棱鏡所展成的平行平板。由圖可見，本來在棱鏡內部幾經轉折的光軸，展開后連成了直線。其中的道威棱鏡，由于入射面、出射面不與光軸垂直，其對應的平

21、板是傾斜于光軸的。圖3-15 棱鏡的展開 通常用反射棱鏡的結構常數(shù) 來表示棱鏡的通光口徑 （入射面上或出射面上的最大光斑直徑）和棱鏡中的光軸長度 之間的關系，即 一般情況下， 是等效平板的厚度，但道威棱鏡例外。根據(jù)棱鏡的通光口徑和結構常數(shù)，即可求出棱鏡的結構尺寸。由于反射棱鏡等效于平行平板，將其應用于光學系統(tǒng)的非平行光束中時，必須考慮到平行平板既會產生像的軸向位移，又會產生像差。KDdDdK d第四節(jié) 折射棱鏡與光楔 折射棱鏡是通過兩個折射表面對光線的折射進行工作的，兩折射面的交線稱為折射棱，兩折射面間的夾角 稱為折射棱鏡的頂角。同樣，垂直于折射棱的平面稱為折射棱鏡的主截面。1. 1. 折射棱

22、鏡的偏轉折射棱鏡的偏轉 如圖3-16所示，光線 入射到折射棱鏡 上，經兩折射面的折射，出射光線 與入射光線 的夾角 稱為偏向角，其正負規(guī)定為：由入射光線以銳角轉向出射光線，順時針為正，逆時針為負。設棱鏡折射率為 ，光線在入射面和折射面的入射角和折射角分別為 、 和 、 ,在兩個折射面上分別用折射定律，有 （3-8） 將兩式相減，并利用三角學中的和差化積公式，有 (3-9) ABPDEABn1I1I2I2I11sinsinInI22sinsinInI圖3-16 折射棱鏡121212121111sin()cos()sin()cos()2222IIIInIIII在 中， (3-10)在 中，有 所以

23、 (3-11) 代入式（3-9）得 （3-12）由此可見，光線經過折射棱鏡折射后，產生的偏向角 與 有關。所以，偏向角隨光線的入射角 而變化。我們將證明， 隨 變化的過程中有一極小值 ,這個極小值稱為折射棱鏡的最小偏向角。由式（3-11）對 微分，得 （3-13）BCD12IIBFD1122121212()()()FBDFDBIIIIIIIIII 12II12121cos()2sinsin122cos()2IInII1I1I1Im1I2111d Idd Id I對式（3-8）的兩邊分別微分，得 與 （3-14）對式（3-10）微分，得 ，代入式（3-14），并將兩式相除，得 （3-15）令 ，

24、即 ，代入上式，得偏向角為極值 時，必須滿足 （3-16）由式（3-8）得 （3-17）欲使式（3-16）和式（3-17）兩式同時成立，必須滿足 （3-18）可以證明，此時 0，即 為極小值。這表明，光線的光路對稱于折射棱鏡時，偏向角取得最小值。將式（3-18）代入式（3-12），得最小偏向角的表達式為 （3-19）1111coscosI dInIdI2222coscosIdInI dI12dIdI212112coscoscoscosdIIIdIII10ddI211dIdIm1221coscoscoscosIIII1221sinsinsinsinIInII1212,IIII 221ddImsi

25、nsin22mn2. 2. 光楔及其應用光楔及其應用 折射角很小的棱鏡稱為光楔。由于折射角 很小，其偏向角公式可以大大簡化。 當 為有限大小時，因 很小，可近似的看作平行平板，即 ， ，代入式（3-12）并用 、 的弧度代替相應正弦值，有 （3-20）當 很小時， 也很小，則上式中的余弦用1代替，則 (3-21)這表明，當光線垂直入射或接近垂直入射時，所產生的偏向角僅由光楔的頂角和折射率決定。1I1I2I11cos(1)cosInI1I1I(1)n21II 這表明，當光線垂直入射或接近垂直入射時，所產生的偏向角僅由光楔的頂角和折射率決定。 光楔在小角度測量中有著重要作用。如圖3-17所示，雙光

26、楔折射角均為 ，相隔一微小間隙，兩光楔相鄰工作面平行并可繞光軸轉動，當兩光楔轉到如圖3-17a所示時，所產生的偏向角最大，為兩光楔偏向角之和 ；當轉到如圖3-17b所示時，所產生的偏向角為零；當兩光楔轉到有一夾角 時，兩光楔產生的總偏向角隨 角而變，即 (3-22)這樣，就可將光線經雙光楔所產生的最小偏向角 轉換為兩光楔間的夾角 進行測微。）（12n2cos) 12n（圖3-17 雙光楔旋轉測量微小角度3. 棱鏡色散 白光由許多不同波長的單色光組成，同一透明介質對于不同波長的單色光具有不同的折射率。根據(jù)偏向角的公式可知，以同一角度入射到折射棱鏡上的不同波長的單色光，將有不同的偏向角。因此，白光經過棱鏡后將被分解為各種色光，在棱鏡后面將會看到各種顏色的光，這種現(xiàn)象稱為色散。通常，波長長的紅光折射率低，波長短的紫光折射率高，因此，紅光偏向角小，紫光偏向角大，如圖3-18所示。 圖3-18 折射棱鏡的色散 狹縫發(fā)出的白光經透鏡 準直為平行光，平行光經過棱鏡 分解為各種色光，在透鏡 的焦面