固定收益證券(4債券數(shù)學)

1、1主講人：主講人：23v現(xiàn)金流C0的時間價值1期：C1= C0 (1+ r )vr為利率，通常以年為單位。 N期：Cn = C0(1+ r )nv更一般的，現(xiàn)金P以 r年利率投資，每年支付次n利息 ，投資T年，回報為(1)nTrPnlim(1)nTrTnrPPenr變成了連續(xù)復利4v債券現(xiàn)值的計算步驟：找出債券的現(xiàn)金流現(xiàn)金流折現(xiàn)111(1)1TTttCCPrrr1(1)TtttCPr111(1)111TTTTttcFFcFFPrrrrr當現(xiàn)金流都一樣時（被稱為年金）， 付息債券的價值（ F 是債券面值） 注意，當r =c時， P=F5v當期數(shù)趨向于無窮時 (如永續(xù)年金)1111TTTcFFcF

2、Prrrr 000, 2$05.100P 例： 每年支付$ 100的永續(xù)年金值多少錢？ 假設折現(xiàn)率為5% 答案：6到期收益率 (YTM)v該收益率使得債券的現(xiàn)值等于債券價格。v若交割日恰好是付息日，則1(1)TtttCPYTM YTM 是基于內(nèi)部收益率(IRR)計算的。 YTM可通過試錯法（ trial-and-error）計算 YTM是半年為單位的利率(息票通常是半年支付一次) 現(xiàn)金流用同樣的收益率折現(xiàn) 隱含了收益率曲線是平坦的假設7到期收益率 (YTM)v假定假定持有至償還期持有至償還期無違約風險無違約風險再投資收益率等于到期收益率本身再投資收益率等于到期收益率本身無回購條款無回購條款8債

3、券等價收益率v債券等價收益率(BEY)：將YTM轉(zhuǎn)換為年利率（華爾街規(guī)則）y = 2 YTM，則11/2(1/2)(1/2)(1/2)TntttnttCFcFPyyyv若交割日恰好是付息日，vP = 全價 = 凈價 = 報價9債券報價v到期日為2021 年11 月15 日，息票利率為8.00 % 的美國國債，1992 年1 月9 日交割的報價如下：v價格標出的是面值的百分數(shù)。整數(shù) + n/32ths (國庫券) or + n/8ths (公司債券)例：106.30 = 106 30/32 = 112.9375%報價日出價要價收益率1992-01-09106.30107.007.4110非付息日

4、的全價與凈價非付息日的全價與凈價v如果交割日不是付息日，全價應如何計算？如果交割日不是付息日，全價應如何計算？110/ 2(1/ 2)(1/ 2)Tt WTWtFcFPyy 按照按照“華爾街規(guī)則華爾街規(guī)則”的計算方法是的計算方法是上一個息票支付日(LCD)下一個息票支付日(NCD)交割日(SD)zWx其中：11應計利息v債券的報價(市場價格)通常是凈價v凈價 = 全價 - 應計利息（ait）/ 2txzaiFcx12全價與凈價全價與凈價v例例US treasury note, 票面利率8.625%，到期日8/15/2003，交割日 9/8/2002，計算在到期收益率為3.21%時的全價與凈價.

5、116016010184184(100 0.08625 )/2100(1 3.21%/2)(1 3.21%/2)105.56ttP13全價與凈價全價與凈價v凈價=全價 - 應計利息v =105.506-0.563=104.943/ 2100 0.08625/ 2 24/1840.563txzaiFcx14v例例： 到期日為1991 年11 月15 日，息票利率為7.75 % 的美國中期國債， 1991 年7 月18 日交割的報價如下：vc=7.75 , x=184 , z=120 , x-z= (SD-LCD)=64, v則應計利息為 ait =7.75/2*64/184 = 1.3478v使

6、用出價，發(fā)票價格為v Pt =100+19/32+1.3478 =101.94155v使用要價，發(fā)票價格為v Pt =100+21/32+1.3478 =102.00405報價日出價要價收益率1994-07-18100.19100.215.8115國庫券國庫券（T-Bills）v交割日(SD) 和到期日(MD) 的時間軸。v貼現(xiàn)收益率(discount yield)vF 是面值，P是T-Bill的現(xiàn)值，B是一年的基本天數(shù) (360或365)。v在美國，B取360；英國、日本取365等等。FPBdFn(1)n dPFB16v例： 下面列出了1991 年5 月23 日到期的美國短期國庫券，在199

7、0年12 月14 日交割的報價。v使用買入貼現(xiàn)收益率，發(fā)票價格為v Pt =100*(1-160*0.0678/360) =96.98667v使用賣出貼現(xiàn)收益率，發(fā)票價格為v Pt =100*(1-160*0.0676/360) =96.99556v注意：貼現(xiàn)收益率與收益率是不同的貼現(xiàn)收益率與收益率是不同的。 why報價日買入貼現(xiàn)收益率賣出貼現(xiàn)收益率收益率1990-12-146.786.767.0617v在美國，T-bill同bond的收益率不能直接比較：年的天數(shù)不一樣，360 vs 365天 收益率計算不一樣，面值 vs 現(xiàn)值v為了方便比較，如何求等效收益率？為了方便比較，如何求等效收益率？

8、v債券等價收益率(bond equivalent yield，BEY)為vBm是年的基本天數(shù) (一般為365)。mBFPBEYPn1mFPnBEYBmB dBEYBdn與貼現(xiàn)收益率與貼現(xiàn)收益率d的關(guān)系：的關(guān)系：18v當國庫券的期限超過6個月時，國庫券是不支付利息的，而中期國債和長期國債都是每半年支付利息每半年支付利息的。v業(yè)內(nèi)的慣例是假設利息y在6 個月后支付，而且這個利息能進行再投資，即365/ 2(1)(1)1002365ynPy解出y ，得出期限大于182 天的短期國庫券的BEY為19v例：下面是1992 年4 月9 日到期的美國國庫券，在1991 年4 月18日交割的報價。vn=357

9、 天，使用賣出貼現(xiàn)收益率計算價格v Pt =100*(1-357*0.0592/360) =94.1293v計算BEY得：BEY=6.2802%報價日買入貼現(xiàn)收益率賣出貼現(xiàn)收益率收益率1991-04-185.945.926.2920v債券的價格風險是指由于市場中利率利率的變化所引起的價格變化。(即利率風險)定義：價格風險為 其中，負號代表隨著收益率的遞增，價格遞減。21價格風險一般地，價格風險用百分數(shù)來度量，以反映收益率一般地，價格風險用百分數(shù)來度量，以反映收益率的變化引起的的變化引起的價格的百分比變化價格的百分比變化。因此，。因此，22在較低的收益率水平下價格風險較高，隨著收益率的增加，價格

10、風險逐漸下降。當N 趨于時，有23基點價值基點價值（Price Value of a Basis Point）v定義：定義：基點價值是收益率變動一個基點時，債基點價值是收益率變動一個基點時，債券價格的變化值。券價格的變化值。(通常的面值為100)v PVBP=P/ (y X 10,000)vPVBP 也稱為0.01 的美元價值，DV01(dollar value of an 01) 。v若PVBP*以每百萬美元為面值，則vPVBP* = PVBP X(10 000 00/100) v = P/ (y X 10 000) X(10 000)v = P/ y = (-P/ y )/100 X 10

11、0v =P X 10024v例：年息票為C = 10美元，半年支付的債券，剩余80 個息票支付區(qū)間(N=80) 。對于這個40 年期債券，收益率為9%(y=0.09) 時的價格風險為:P = 11. 86 ,vPVBP (每百萬美元面值) = 11. 86 X 100= 1 186美元(每百萬美元)25久期v久期被廣泛的用于度量風險。v麥考利久期(Macaulay duration) 表示了由收益率的百分比變化導致的價格的百分比變化，即利率的價格彈性。以時間為權(quán)重的貼現(xiàn)現(xiàn)金流1111(1)(1)11(1)nnttttttntttCt CdPPydyyCdPyDtPydyP nnttt1t1pw

12、1P 26Pt(期限期限)pnp3p2p1P0D1nntt1ntt11DptPPDpt 27 名稱(1)至支付的時間/年(2)支付/美元(3)半年5%折現(xiàn)支付/美元(4)權(quán)重(5)(1)(4)債券A8債券 0.5 40 38.095 0.0395 0.0198 1.0 40 36.281 0.0376 0.0376 1.5 40 34.553 0.0358 0.0537 2.0 1040 855.611 0.8871 1.7742總計 964.540 1.0000 1.8853債券B零息票債券 0.51.5 0 0 0 0 2.0 1000 822.70 1.0 2總計 822.70 1.0

13、2久期計算28修正久期(modified duration)11dPydPdyDDdyPPy 11DdPdPMDMDdyydy PP 29息票對久期的影響30mii 1PP miii 1DD 組合的久期組合的久期31 itiytitt 0PCe miii 1DD itiyttiit01DCetP ty ttt 0PC e itmmiytiti 1i 1 t 0PCe ittmiy tyttti 1C eCe itmiyttt 0 i 1Ce 32miii 1DD ty ttt01DC etP ittmiy tyttti 1C eCe itmiytitii1 t01PCetPP itmiytit

14、ii1t01CetP miii 1DD itmiyttt0 i11CetP 33債券價格收益率面值市值久期10% 5年100.0010%4百萬4,000,0003.8618% 15年184.627510%5百萬4,231,3758.04714% 30年137.858610%1百萬1,378,5869.1681231234,000,000 / 9,609,9610.4164,231,375 / 9,609,9610.4401,378,586 / 9,609,9610.1443.861,8.047,9.1680.416*3.8610.440*8.0470.144*9.1686.47wwwDDDD3

15、4基于久期的風險對沖v原理：使得債券組合的價值對利率變化不敏感利率變化不敏感記組合的價值為P記對沖工具的價值為Hv對沖工具：Bond Swap Future Optionv假定收益率曲線是平坦的。35v組合的價值變化久期對沖0)( )( dyyPyqHqdHdP( )( )PHP MDP yqH yHMD dyyPdP)( dyyHdH)( 對沖工具價值變化 策略：持有 q 單位的對沖工具，使得 解36v例例: T時刻, 投資組合 P 的價值為$328635, 收益率5.143%和久期 7.108 年對沖工具, 某債券的價值為 $118.786, 收益率 4.779% 和久期 5.748 年v

16、對沖的數(shù)量：vq = -(328635x7.108)/(118.786x5.748) = - 3421v結(jié)論：v如果持有組合 P, 必須賣空 3421 單位的債券（對沖工具）37例：v考慮1 個組合，其中，有1 億美元面值的到期日為2002 年8 月15 日的剝離證券。用兩種證券組合(1997 年8 月15日和2012 年8 月1 5 日到期的)來替換這個證券，使得并沒有現(xiàn)金支出而且PVBP 保持一致，這可能嗎?38v代入數(shù)據(jù)求解得，nl=44.20， n3 =78.7939收益率變化40案例：價差交易30年期長期國債，息票利率為8.75% ， 到期日2020 年5 月15 日出價要價收益率(

17、%)交割日應計利息PVBP108.8405108.84057.961991-12-020.4086541200.643109.8076109.87017.881991-12-040.4567311218.2462 年期中期國債，息票利率為5.50% ，到期日1993 年11 月30 日出價要價收益率( %) 交割日應計利息PVBP100.3735100.43605.301991-12-020.03022187.3642100.5967100.65925.181991-12-040.06044187.4086v交易數(shù)據(jù)顯示， 30 年期長期國債和2 年期中期國債的收益率差為266 個基點。v交易

18、商預計預計這個價差在幾天之內(nèi)會明顯增大。即，收益率曲線會變得更為陡峭。v交易商如何建立交易策略?41交易策略v1、必須對沖利率風險v n2X PVBP2 = n30 X PVBP30v如果n30 =100(百萬美元面值)，v n2=100*1200.6435/187.3642=641v即交易商做多641百萬美元面值的2 年期中期國債，同時，做空100百萬美元面值的30 年期長期國債。v2、交易商將2 年期國債抵押以5% 的回購利率借入現(xiàn)金(忽略差額)。同時，交易商將借入并賣出30 年期國債，并以4.9% 的回購利率抵押現(xiàn)金(忽略差額) 。4243價差交易的交易行為總結(jié)日期交易現(xiàn)金流12/ 2/

19、 87借入現(xiàn)金并支付2 年期中期國債支付2 年期中期國債作為抵押(100.436 0+0.030 22) X 10 000 X 641 =-643 988 470借入30 年期長期國債，然后賣掉。支付現(xiàn)金作為抵押(108.840 5+0. 408 654) X 10 000 X 100 =+109 249 15444價差交易的交易行為總結(jié)日期交易現(xiàn)金流12/ 4/ 87（1）（2）（3）（4）賣出2 年期中期國債，每641 百萬美元面值變?yōu)?100.5967+0.0604) X10 000X641 =645 212 011返還所借數(shù)目和回購利息每641 百萬美元面值變?yōu)?43988470 X

20、(1 + 0.05 X 2 /360)=-644 167 356得到現(xiàn)金和利息109249 154 X ( 1 +0. 049 X 2 /360) =+109 278 894買入30 年期長期國債，以填平賣空頭寸(109.870 1 +0.456 7) X 10 000 X 100 =-110 326 800利潤(損失): (1)+ (2)+ (3)+ (4)-3 251為什么會虧？為什么會虧？45價差交易影響因素v買賣價差買賣價差。交易商在賣出價買入，在買入價賣出。買賣價差越大，交易就越不具有有利可圖性。v回購利率回購利率。如果回購利率很低，交易商將支付很少的成本借入，但是，他在現(xiàn)金抵押上獲

21、得的也比較少。v特定回購利率特定回購利率。如果證券的多頭方比較特殊(，那么，交易商將獲得更多的現(xiàn)金，因為利用抵押品可以更便宜地借入現(xiàn)金。v差額差額。交易商將支付一些差額，這樣也會減少有利可圖性。46v久期對沖非常簡單應用假設條件比較嚴格v假設 1: 收益率變化小投資組合的價值僅僅是Taylor 展開的一階近似，因此，對沖頭寸必須經(jīng)常調(diào)整v假設 2: 收益曲線是平坦的 假設所有的債券都有同樣的收益率換句話說，利率風險僅被簡單的看成是一種平均利率水平上的風險v假設 3: 收益率曲線僅做平移運動久期對沖的局限性4748 nttt 1CPy1y 221PPyyPyyoy2 定義凸性為定義凸性為49v考

22、慮一個10年期平價債券，6%的息票，修改久期為 7.36v考慮下面兩種情況：情況 1: yield increases from 6% to 6.01% (small increase)情況 2: yield increases from 6% to 8% (large increase)v情況 1: 新收益率6.01%下的未來現(xiàn)金流折現(xiàn)價值為$99.267 絕對變化 : - 0.733 = (99.267-100)用修正久期，價值變化為: -100 x7.36x0.001= - $0.736誤差很小。v情況 2: 新收益率8%下的未來現(xiàn)金流折現(xiàn)價值為$86.58 絕對變化 : - 13.42 = (86.58 -100)用修正久期，價值變化為: -100 x7.36x0.02= - $14.72誤差很大收益率變化大時，久期對沖的誤差50v10年期債券的凸性為6974 v情況 2: 收益率從 6% 變化為 8%二階近似的價值為 -14.72 + (6974(0.02)/2) = -$13.33 精確解為-$13.42 一階近似為-$14.72久期+凸性對沖 51v凸性0v給定到期日和收益率，息票越小，凸性越大v給定息票和收益率，到期日越長，凸性越大v給定到期日和息票，收益率越小，