初三總復(fù)習(xí)第十八講一元二次方程

1、第十八講一元二次方程知識(shí)點(diǎn)講解(一)知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1整式方程的概念等式的左邊和右邊都是整式，這樣的方程稱整式方程，以前學(xué)過的一元一次 方程及本章的一元二次方程都屬于整式方程。2的整式方程。如x2 2= 0, X2知識(shí)點(diǎn)2: 元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是 + 165x- 165 = 0,它屬于整式方程。說明：1. “一元”指的是“只含有一個(gè)未知數(shù)”，“二次”是指未知數(shù)的最高指數(shù)是2, 一般的整式方程都用“元”和“次”來定義。2. 判斷一元二次方程，先看形式是否為整式，然后化簡(jiǎn)后再判斷是“一元”、X2-丄1不是一元二次方程“二次”，如，X X。例1.下列哪些是一元二次方程？(

2、1) X2 5x= 0(2)92+ 6=2x(2x + 1)(3)4x2=X + 5(4)3x2=7y12 2 2(5) 2x(6) X (5x 2)= X (x+ 1)+ 4x例2.已知方程(m+ 2)x|m| + 3mx÷ 1= 0是關(guān)于X的一元二次方程，求 m的值例3.把下列方程中是一元二次方程的序號(hào)填在橫線上： O2 2(1) X = 9; (2) X、2x X2103x2-X 30(6)252 2;(3) X(X + 5) = X -2x ; (4) 5x = 0; (5)2y(7)4例4.已知方程(m+ 2)x|m| + 3mx÷ 1 = 0是關(guān)于X的一元二次方

3、程，求 m的值知識(shí)點(diǎn)3: 元二次方程的一般形式任何一個(gè)一元二次方程都可化為 ax2+ bx+ C = 0 (a, b, c為常數(shù)，且a 0)說明：1.不能說可化為ax2+ bx+ C = 0 (a, b, C為常數(shù)，且a0)的方程是一元 次方程。2. ax2 + bx + C = 0的方程。a0是一元二次方程，反之已知一元二次方程ax2+ bx+ C = 0就隱含a 0這個(gè)條件。3. 一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)很重要，三項(xiàng)的排列必須從左到右降幕排列，依 次為二次項(xiàng)的系數(shù)a, 次項(xiàng)的系數(shù)b,和常數(shù)項(xiàng)c,等式的右邊必須是0。例 1.說出 3x (X 1 )= 2 (x+ 2)+ 8 的 a , b,

4、COa =； b=； C=例2.將下列關(guān)于X的一元二次方程化為一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù), 次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。(1) 6x2= 3x+ 2; (2) X2 a(3x 2a+ b) b2= 0例3.若xa+b 3xa-b+ 2是關(guān)于X的一元二次方程，試確定a、b的值 知識(shí)點(diǎn)4: 一元二次方程的分類。三項(xiàng)都不缺的，如：x2Q(3) X 2 2x 3(4) 3x2 15 0 2x 3= 0 ,其中a= 1; b= 2; C = 3缺二項(xiàng)的，如：3x = 0,其中 a = 3; b = 0; C = 0缺一項(xiàng)的，如：一2x2 X = 0,其中 a= 2; b= 1; C= 0女口： 2x2 1=

5、0,其中 a = 2; b= 0; c= 1說明：通過分類更好地理解一般形式，從而確定 a, b, C,為將來的學(xué)習(xí)打下基 礎(chǔ)。知識(shí)點(diǎn)5:直接開平方法解一元二次方程21 若 Xa a 0,則X叫做a的平方根，表示為X2 ,這種解一:開平方法。元二次方程的方法叫做直接22. 形如X ab bX a b b 00的方程，可用直接開平方法，求得方程的根為：典例分析1.方程X2 16的根是X1 =,X2 =.2.若 X2225 ,則 X1 =_,X2 =.3.若 X2 2x 0 ,則 X1 =,X2 =.4.若(X 2)20 ,則 X1 =,X2 =.5.若 9x2 25 0 ,則 X1 =,X2 =

6、6. 若-2x2 8 0 ,則 X1 =7. 解方程：(1) X 1 25,X2 =2(2) 81 X 216知識(shí)點(diǎn)6:配方法解一元二次方程一、定義：解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再 減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里， 這種方法叫做配方，配方 后就可以用因式分解法或直接開平方法了， 這樣解一元二次方程的方法叫做配方 法。注意：用配方法解一元二次方程X2 PXqo ,當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)， 一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例1用配方法解下列方程:(2) X2（1）X2 6x 50 ；二、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次

7、方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1）在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（2）把原方程變?yōu)閄 m2 n的形式。（3）若n 0 ,用直接開平方法求出X的值，若n< 0,原方程無解。例2解下列方程：X2 4x 30三、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程元二次方程的形式為2 axbx C 0 a 0,a1時(shí)，用配方法解一元次方程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為 1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；（2）移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方， 再減去這個(gè)數(shù)， 把 原方程化為 x m 2 n 的形式；（3）若 n 0 ，用直接開平方法或因式

8、分解法解變形后的方程。 例 3 用配方法解下列方程：22（1）3x2 9x 2 0 ；（2） x 2 4x 3 0例 4 用配方法解下列方程：2) 2x2 3x 1 03) 4x2 8x 1 0224) x2 2mx n2 0（1） x2 4x 5 05) x2 x 1 06) 3x2 9x 2 0知識(shí)點(diǎn)7:公式法解一元二次方程一、求根公式：一元二次方程ax2 bx C Oa 0的求根公式是： b Jb2 4acX2a二、解方程過程：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1） 把方程化為a2 bx c 0 a 0的形式，確定的值a,b.c（注意符號(hào)）；（2）求出b2 4ac的值；（3）若b2

9、4ac 0，則a,b.把 及b2 4ac的值 代人求 根公式X bb2 4ac ,求出 X1,X2。2a例1用公式法解下列方程（1）22 3x 10 ；（2）2x X 、210 ；(3)X2x 250例2.用公式法解下列應(yīng)用題(1)225x 10(2)4x2 8x12x2“ 3x 、20y 2 y 1y y 10知識(shí)點(diǎn) 8：因式分解法解一元二次方程1. 因式分解根據(jù)乘法公式，a2 b2=( a+ b) (a b) ； a2+ 2ab+ b2=( a+ b) 2,把一個(gè) 多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式， 像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解， 也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式可見整式乘法與因式分解互

10、為逆運(yùn)算2. 提公因式法多項(xiàng)式ma÷ mb÷ mc,各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式 m我們把因式m叫做這個(gè)多 項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式由 m( a+ b+ C)= ma÷ mb+ me可得 ma÷ mb+ mc= m(a+ b+ C). 這樣就把 ma÷ mb+ me分解成兩個(gè)因式乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式 m另一 個(gè)因式(a+ b+ C)是ma÷ mb+ me除以m所得的商.像這種分解因式的方法叫做 提公因式法3. 注意：( 1)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.(2) 在某個(gè)范圍內(nèi)，并不是每個(gè)多項(xiàng)式都可以分解因式.

11、例 1. 把下列各式分解因式：(1)(a b)3 (a b)2 ；( 2) a3 ab2 ；(3) (x y)4 x(x y)3 y(y x)3 ；( 4 ) 25m2+ 80m+ 64.例 2. 用因式分解法解下列方程：(1) y2+ 7y+ 6= 0；(2) t (2t 1)= 3(2t 1)； (3)(2 x1)( x1)=1.2(3)x = 7x;2(4)x 4x 21= 0;(5)(x 1)(x + 3) = 12;2(6)3x+ 2x 1= 0;(7)10x 2 X 3= 0;(8)(x 1)2 4(x 1) 21= 0.四、課堂加強(qiáng)鞏固一、選擇題1.下列方程中不一定是一元二次方程

12、的是()2 2A. (a-3)x =8 (a 3) B.ax+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5 D.3x2 57x 2 0例3.用因式分解法解下列方程:(2)4x 2 1 = 0;(1) X2+ 12x= 0;2+1)=x+22下列方程中，常數(shù)項(xiàng)為零的是()A.x 2+x=1B.2x2-x-12=12 ;C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x3. 一元二次方程2x2-3x+1=0化為(x+a) 2=b的形式,正確的是()A. X 1216; B. 2 x2X 3 丄；D.以上都不對(duì)4164.關(guān)于X的元二次方程 a0的一個(gè)根是0,則a值為()5. 已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為 則這

13、個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(A.11B.17C.172和9,第三邊的長(zhǎng)為二次方程)或 19D.19x2-14x+48=0 的一根,6. 已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程2x28x 7 0的兩個(gè)根,則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是(A 、37.使分式X' 5x 6的值等于零的XA.6B.-1C. -1D.-68.若關(guān)于y的元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實(shí)根，則k的取值范圍是()A.k>-47 L7B.k - 7 且 k 0 C.k - 7 D.k>449.已知方程X2X 2 ,貝U下列說中，正確的是(A)方程兩根和是1(B)方程兩根積是2(C)方程兩根和是 110.某超市

14、一月份的營業(yè)額為(D)方程兩根積比兩根和大2200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元,如果平均每月增長(zhǎng)率為X,則由題意列方程應(yīng)為()A.200(1+x) 2=1000B. 200+200× 2x=1000C.200+200× 3x=1000、填空題D.2001+(1+x)+(1+x)2=100011.用法解方程3(x-2) 2=2x-4比較簡(jiǎn)便.12. 如果2x2+1與4x2-2x-5互為相反數(shù),則X的值為13. x 119. 已知x1，x2是方程x2 2x 1 0的兩個(gè)根，貝U x1 x2等于.20. 關(guān)于X的二次方程x2 mx n 0有兩個(gè)相等實(shí)根，則符合條件的

15、一組 m,n的 實(shí)數(shù)值可以是m , n三、用適當(dāng)方法解方程：21. (3 x)2 x2 522.x2 2 Gx 3 0四、列方程解應(yīng)用題：23. 某電視機(jī)廠計(jì)劃用兩年的時(shí)間把某種型號(hào)的電視機(jī)的成本降低36%,若每年下降的百分?jǐn)?shù)相同，求這個(gè)百分?jǐn)?shù). 3x (X )214. 若一元 二次方程a2+bx+c=0(a 0)有一個(gè)根為-1,則a、b、C的關(guān)系是15. 已知方程3ax-bx-仁0 和ax +2bx-5=0,有共同的根-1,貝U a= b=.16. 一元二次方程x2-3x-1=0與x2-x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于 .17. 已知3- 是方程2+mx+7=0的一個(gè)根，則m=另一根為.18. 已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是24. 如圖所示，在寬為20m長(zhǎng)為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（互 相垂直），把耕地分成大小不等的