儲油罐的變位識別與罐容表標定紙質(zhì)打印

1、儲油罐的變位識別與罐容表標定問題分析摘要本文旨在對儲油罐的變位識別與罐容表標定問題進行深入探討，運用微分法、函數(shù)擬合以與立體幾何等理論知識，分別建立了小橢圓油罐和實際油罐的罐體變位對罐容表影響模型以與變位后罐容表標定模型，結(jié)合相關(guān)算法并運用matlab數(shù)學軟件編程求得未知參數(shù)的值，得出了準確的模型，最終完整地解決了儲油罐的變位識別與罐容表標定的有關(guān)問題。在問題（1）中，我們建立了無變位和縱向變位4.1o后兩種情況的小橢圓油罐罐容標定模型；利用微元分析法和區(qū)域分割法，分三大階段（其中一三階段各自包括兩個階段），分別對罐容V和油高h的關(guān)系進行求解；在計算第二階段時，結(jié)合投影和相似原理延長油面，采用

2、割補法計算體積；再將模型所標定的罐容表與給出的觀測值數(shù)據(jù)進行比對，得出兩者之間的誤差函數(shù)（無變位時為： y=0.1349*x-0.012，縱向變位4.1o時為： y=-397.39*x2+583.41*x-124.24），從而對模型進行進一步改進；最后利用MATLAB軟件結(jié)合改進后的模型對罐容表進行標定，變位后的標定表前15組數(shù)據(jù)如下表所示：（完整數(shù)據(jù)見附錄表3）在問題（2）中，我們先建立實際油罐縱向變位時的罐體變位對罐容表影響模型以與變位后罐容表標定模型；同樣用微分分析法和區(qū)域分割法，分三個階段（五個區(qū)間）對不同油高h對應的罐容V進行求解；計算實際儲油罐體積時，將兩端球冠體簡化為球缺，利用球

3、缺公式V缺=*H2*R0-H3，對實際儲油罐兩端球冠體體積進行計算；然后建立實際油罐橫向變位時的罐體變位對罐容表影響模型以與變位后罐容表標定模型，利用立體幾何相似關(guān)系得出對罐容表影響轉(zhuǎn)換公式：Vh=VR-R-hcos；最后利用MATLAB軟件結(jié)合所建模型對罐容表進行標定，得出變位后標定表。（見附錄表4）本文提出的模型具有較高的精確性和實用性，可以為解決罐容表變位之后的標定等實際問題提供理論基礎，同時可以推廣到其他頂為弧形頂、錐頂、橢球頂?shù)刃螤畹牟灰?guī)則立體物體的相關(guān)問題的求解。關(guān)鍵字：微分分析法 區(qū)域分割法 割補法 投影法 最小二乘法1. 問題的重述1.1問題的背景通常加油站都有若干個儲存燃油的

4、地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐油位高度與儲油量的對應關(guān)系）進行實時計算，以得到罐油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。1.2提出問題1）根據(jù)圖示給出的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），建立數(shù)學模型研究罐體變位前后對罐容的影響，并利用附件給出的罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位的相關(guān)數(shù)據(jù)，計算出罐體變位后油位高度間隔

5、為1cm的罐容表標定值；2）根據(jù)圖示給出的實際儲油罐（兩端為球冠體的圓柱體），建立數(shù)學模型研究研究罐體變位前后對罐容的影響，得出罐儲油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系；然后利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。2.模型的假設與符號說明2.1模型的假設1）假設油位探針、注油口管、出油管對儲油罐中剩余油體積的影響忽略不計；2）假設忽略溫度、壓力對汽油的密度的影響； 3）假設儲油

6、罐在偏移的過程中，油位探針始終與油罐底面垂直；4）假設累加進出油量數(shù)據(jù)是準確可靠的。2.2符號說明h油浮子在油中的高度，即為油表讀數(shù)V油的體積即所求罐容a小橢圓油罐截面長半軸b小橢圓油罐截面短半軸a0油表讀數(shù)為0即油浮子剛好與油面接觸時對應的罐側(cè)邊的距離l0油表讀數(shù)為0即油浮子剛好與油面接觸時對應的罐底邊的距離m小橢圓油罐正面投影圖的長n小橢圓油罐正面投影圖的寬l、H、L線段里的任意長度，因線段長度不同而圍不同R0圓柱部分截面圓半徑R1球冠體所在球的球半徑3.問題的分析4.模型的建立與求解4.1問題（1）模型的建立與求解4.1.1問題的分析首先建立相應的坐標軸，確定油罐截面橢圓的方程；然后根據(jù)

7、油在油罐中的變化特點，將整個過程分為三大階段，第一三階段分別有兩種情況，求體積時總共為五個區(qū)域；再利用微分的思想分別對每一階段的體積進行求解，得到罐容和油高的關(guān)系，計算體積時，先對線段積分計算每個截面的面積，再對所有截面的面積進行積分，利用幾何中投影、相似等各種知識，得到相應的體積；最后將模型所標定的罐容表與給出的觀測值數(shù)據(jù)進行比對，看是否存在誤差，如若存在，則擬合出誤差函數(shù)對模型進行改進，再利用改進后的模型通過matlab軟件對罐容表進行標定，得到所求的油高間隔為1cm的罐容標定表。4.1.2模型的準備1）建立坐標軸以短半軸與橢圓邊界下交點處為原點X軸-儲油罐側(cè)面橢圓的長半軸向下平移b個單位

8、后處Y軸-儲油罐側(cè)面橢圓的短半軸所在的直線Z軸-儲油罐正面罐底所在平面上的直線如下圖4.1.1所示圖4-1-1.1 y,z坐標軸圖示圖4-1-1.2 x,y坐標軸圖示2）階段說明如下圖4-1-2所示A,B,C,D分別為油罐正視圖的四個頂點K1為過B的水平線，K2為過D的水平線，紅線為任一油面圖4-1-2 分階段圖示因為小橢圓油罐是不規(guī)則的幾何體，所以在計算體積時，我們把它分為三個階段水平線K2到AD之間的區(qū)域為階段水平線K1到水平線K2之間的區(qū)域為階段水平線K1到BC之間的區(qū)域為階段4.1.3建立小橢圓油罐罐容標定模型罐體無變位時（=0o）當油罐中有一定油量的時候，此時油浮子高度為h；如下圖4

9、-1-3所示圖4-1-3 無變位時圖示V油的體積即所求罐容，將油看成一個截面不規(guī)則的柱體，先求出截面的面積，再求體積截面橢圓方程為:x2a2+y-b2b2=1對h積分求截面面積:S=0h2a*1-y-b2b2dy再求體積V=S*m=m*0h2a*1-y-b2b2dy罐體變位后（=4.1o）1）第一階段i）對罐容的計算即為對不規(guī)則幾何體體積的計算，此處采用微分的思想。l1 為罐體變位時油面與AD邊交點到A點的距離，a*為罐體變位時油面與AB邊交點到A點的距離l為l1任意長度（l0,l1）， a1則為每個l對應的a*的長度，a1=l*tan4.1o，l和a1在橢圓截面上對應的截面面積為S1,S2,

10、S3,Sn，如下圖4-1-4所示圖4-1-4 階段一圖示橢圓方程為:x2a2+y-b2b2=1對a1積分求面積:Sn=0a12a*1-y-b2b2dy,n=1,2,3,n然后再將Sn在Z軸上對l1進行積分求體積:V=0l1Sndl=0l10a12a*1-y-b2b2dydlii）h為油浮子在油中的高度，同時也是油表的讀數(shù)。（a0=l0*tan4.1oa1=l*tan4.1o）h=0, &a1a0a1-a0, &a0<a1m*tan4.1o又將第一階段分為兩個階段2）第二階段i）此階段需要對油面進行延長交AD延長線于E點，交CD于H點；同時將線K1,K2延長分別交AD延長線

11、于D,F兩點，交CD于D,G兩點。如圖所示與第一階段有區(qū)別的是，此處的l1指的是油面的延長線與AD延長線交點E到A點的距離，l2是F點到A點的距離，l2=ntan4.1o，如下圖4-1-5所示圖4-1-5階段二圖示ii）同樣用微分的思想求體積與第一階段一樣，l為l1任意長度（l0,l1）， a1則為每個l對應的a*的長度，a1=l*tan4.1o，l和a1在橢圓截面上對應的截面面積為S1,S2,S3,Sn對a1積分求面積:Sn=0a12a*1-y-b2b2dy然后再將Sn在Z軸上對l1進行積分求體積，為延長后的油面在四邊形ABIF:中的容積V1=0l2Sndl=0l20a12a*1-y-b2b

12、2dydl同理，l為l2-m中任意長度（l0,l2-m），a1*則為每個l對應的a*的長度a1*=l*tan4.1o，正面投影圖為DGF的立體圖形的體積為：V2=ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl則油的體積即罐容為：V=V1-V2=0l2Sndl=0l20a12a*1-y-b2b2dydl-ml20a1*2a*1-y-b2b2dydliii）h為油浮子在油中的高度，同時也是油表的讀數(shù)。h=l1-l0*tan4.13）第三階段i）此階段的l1是變位時油面與BC的交點到B點的距離圖4-1-6 階段三圖示ii）同樣用微分的思想求體積與第一階段一樣，l為m-l1任意長度（l0,l2-m），

13、a1'則為每個l對應的a*的長度，a1'=l*tan4.1o，罐除油面以外的空白部分的體積為：V1'=l1mn-a1'n2a*1-y-b2b2dydl儲油罐體積為：V2'=a*b*m則油的體積即罐容為：V=V2'-V1'=a*b*m-l1ma1'n2a*1-y-b2b2dydliii）h為油浮子在油中的高度，同時也是油表的讀數(shù)。h=n-lo-l1*tan4.1o, 0l1l0n, l1>l0又將第三階段分為兩個階段4.1.4模型的檢驗i）罐體無變位時，模型為：V=m*0h2a*1-y-b2b2dyV為罐容，h為油位高度先對附

14、件1表格一進行處理，將累加進油量與油量初值相加得到罐容V'；然后將附件1表格一中的高度數(shù)據(jù)h代入模型，得到罐容V的數(shù)據(jù)；最后將理論值V與實際值V'進行比對，得差值V，對模型進行檢驗。（相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示）對差值V進行擬合，得到一個擬合函數(shù)，如下圖4-1-7所示誤差擬合函數(shù)方程為：y=0.1349*x-0.012即為：V=0.1349*h-0.012圖4-1-7 無變位誤差擬合函數(shù)通過上述對模型的檢驗，說明模型與實際情況之間存在一個V的誤差，考慮到這個誤差，才能較為接近實際地算罐容，則改進后的模型為：V*=V±V=m*0h2a*1-y-b2b2dy±(0.13

15、49*h-0.012)ii）同樣地，罐體變位后的模型也要進行改進如下圖4-1-8所示，對三個階段的臨界值進行計算；圖4-1-8 各階段臨界值圖示第一階段h的臨界值為h1=m-l0*tan4.1o=0.147m=147mm第二階段h的臨界值為h2=n-h0=n-l0*tan4.1o=1.171m=1171mm第三階段h的臨界值為h3=n=1.2m=1200mm所以當高度h0,147mm時處于第一階段，當高度h147mm,1171mm時處于第二階段，當高度h1171mm,1200mm時處于第三階段先對附件1表格三進行處理，將累加進油量與油量初值相加得到罐容V'；因為h數(shù)據(jù)都處于第二階段，所

16、以將附件1表格三中的高度數(shù)據(jù)h代入第二階段的模型，得到罐容V的數(shù)據(jù)；最后將理論值V與實際值V'進行比對，得差值V，對第二階段的模型進行檢驗。（相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示）對差值V進行擬合，得到一個擬合函數(shù)，如下圖4-1-9所示誤差擬合函數(shù)方程為：y=-397.39*x2+583.41*x-124.24即為：V=-397.39*h2+583.41*h-124.24圖4-1-9變位后階段二誤差擬合函數(shù)通過上述對模型的檢驗，說明模型與實際情況之間存在一個V的誤差，考慮到這個誤差，才能較為接近實際地算罐容，所以要對模型進行改進；因為第一、三階段的實際數(shù)據(jù)沒有給出，不能進行比對，如若對第一、三模型進行改

17、進，就用第二階段的誤差擬合函數(shù)。i)第一階段（l0,l1），a1=l*tan4.1oV*=V±V=0l10a12a*1-y-b2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)ii)第二階段（l'0,l1）， a1=l*tan4.1oV1=0l2Sndl'=0l20a12a*1-y-b2b2dydl'（l0,l2-m）， a1*=l*tan4.1oV2=ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl則油的體積即罐容為：V=V1-V2±V=0l20a12a*1-y-b2b2dydl'+ml20a1*2a*1-y-b

18、2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)iii) 第三階段（l0,l2-m），a1'=l*tan4.1oV*=V2'-V1'±V=a*b*m-l1ma1'n2a*1-y-b2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)4.1.5結(jié)果的計算i）當只對第二階段的模型改進時，三個階段的模型分別為：第一階段：V=0l10a12a*1-y-b2b2dydl第二階段：V*=V1-V2±V=0l20a12a*1-y-b2b2dydl'+ml20a1*2a*1-y-b2b2

19、dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)第三階段：V=V2'-V1'=a*b*m-l1ma1'n2a*1-y-b2b2dydl油位高度h取間隔為1cm的值時，罐容值V相應有對應值，如表3中“V/L(只擬合二)”所示現(xiàn)列舉前15組數(shù)據(jù)，如下表4-1-1所示表4-1-1只擬合二前15組數(shù)據(jù)h/cmV/L（一二三都加擬合）V/L(只擬合二)0.00125.9141.6741.00122.4273.5312.00119.8946.2643.00118.4209.9754.00118.09614.75655.00119.00420.6916.0

20、0121.22027.85417.00124.81536.31618.00129.85346.14219.00136.39657.39310.00144.50070.12711.00154.22084.39712.00165.607100.254713.00178.710117.74814.00193.575136.924ii）當對三個階段的模型都改進時，一、三階段用第二階段誤差擬合函數(shù)改進第一階段：V*=V±V=0l10a12a*1-y-b2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)第二階段：V=V1-V2±V=0l20a12a*1-

21、y-b2b2dydl'+ml20a1*2a*1-y-b2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24) 第三階段：V*=V2'-V1'±V=a*b*m-l1ma1'n2a*1-y-b2b2dydl±(-397.39*h2+583.41*h-124.24)油位高度h取間隔為1cm的值時，罐容值V相應有對應值，如表3中“V/L(一二三都加擬合)”所示現(xiàn)列舉后15組數(shù)據(jù)，如下表4-1-2所示表4-1-2 一二三都擬合后15組數(shù)據(jù)h/cmV/L（一二三都加擬合）V/L(只擬合二)101.003471.8883471.

22、887102.003509.3773509.377103.003546.3833546.38302104.003582.87103582.880105.003618.8403618.840106.003654.2333654.233107.003689.0283689.028108.003723.1903723.1908109.003756.6843756.6838110.003789.4673789.467111.003821.4963821.496112.003852.7203852.720113.003883.0833883.083114.003912.5193912.519115.00

23、3940.9483940.9484.2問題（2）模型的建立與求解4.2.1問題的分析首先建立相應坐標軸，利用勾股定理對兩端球冠體所在球的球心進行求解，從而確定球體的方程；然后根據(jù)油面在實際儲油罐中的變化特點，將整個過程分為三大階段，第一三階段分別有兩種情況，求體積時總共為五個區(qū)間；先只考慮縱向變位時的情況，利用微分的思想分別對每一階段的體積進行求解，得到罐容和油高以與的關(guān)系；計算體積時，先對線段積分計算每個截面的面積，再對所有截面的面積進行積分，利用幾何中投影、相似等各種知識，得到相應的體積，第三階段際儲油罐的體積時，將兩端球冠體簡化為球缺，利用球缺公式求解體積；然后考慮橫向變位時的情況，利用

24、幾何中的相似關(guān)系求解罐容和油高以與的關(guān)系式；最后利用matlab軟件根據(jù)所建模型對罐容表進行標定，得到所需油高間隔為10cm的罐容標定表。4.2.2模型的準備1）求儲油罐球冠體的球半徑如下圖4-2-1所示圖4-2-1 求球冠體所在球半徑圖示O'為球冠體所在球體的球心p=1 q=3m2=1.5m在RtEO'B中，由勾股定理有：R12=R1-12+q2解得：R1=1.625則球冠體所在球體的方程為：x2+y2+z2=R122）建立坐標軸原點O-實際儲油罐正面長方形的左下頂點X軸-實際儲油罐正面長方形的下邊長所在的直線Y軸-實際儲油罐正面長方形的左邊長所在的直線Z軸-垂直于XOY面從

25、O點出發(fā)向外的直線如下圖4-2-2所示圖4-2-2 坐標軸圖示R1-1=0.625此時球冠體所在球體的方程變?yōu)椋簒-0.6252+y-1.52+z2=R123）階段說明如下圖4-2-3所示A,B,C,D分別為油罐正視圖的四個頂點K1為過B的水平線，K2為過D的水平線，紅線為任一油面圖4-2-3 分階段圖示因為實際油罐是不規(guī)則的幾何體，同樣地在計算體積時，我們把它分為三個階段水平線K1到AD之間的區(qū)域為階段水平線K1到水平線K2之間的區(qū)域為階段水平線K2到BC之間的區(qū)域為階段4.2.3只考慮縱向偏轉(zhuǎn)變位時的儲油量和油位高度的關(guān)系1）第一階段對罐容的計算為對不規(guī)則幾何體體積V的計算，此處包括球冠體

26、部分和柱體部分，如下圖4-4-4所示圖4-4-4 第一階段圖示i）油在球冠體部分的體積V1計算O'為球冠體所在球的球心油面交AB于H點，過H點作球心O'所在與AB平行直線的垂線，垂足為F點，交AB于G點，連HO'；FI=GA=H1 HF=R2 HO'=R1在FO'H中，由勾股定理，有：R12=R22+H1-1.52同樣地，H為H1的任意長度，H0，H1，對應的與AD平行的直角邊為R，由勾股定理有：R12=R2+H-1.52與第一問一樣，仍用微分的思想求體積先對HG段在XOZ面積分求截面圓面積，R1-1=0.625相對坐標原點高H處的圓截面方程為：x-0.

27、6252+H-1.52+z2=R12S=-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx在HGJ中，cos=HGHJ，通過投影關(guān)系可知，沿著HJ方向以任意H高度截面面積為:S'=1cos*S=1cos*-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx再在Y軸上積分，得到球冠體的體積為：AJ=H-R-0.625*tanV1=0H-R-0.625*tanS'dH=0H-R-0.625*tan1cos*-R-0.62502*R12-x-0.6252+H-1.52dxdHii）油在柱體部分的體積V2計算AL=l1，l為l1任意長度，l0，l1，a1為與l1對

28、應的AB上的長度，a1=l*tan同樣采用微分的思想求體積將a1投影到Y(jié)OZ面上求截面面積S，此時x=1S=0a12R12-y-1.52dy再在X軸上積分，得到柱體體積V2為：V2=0l1Sdl=0l10a12R12-y-1.52dydliii）最后得到油在罐的體積即罐容為:V=V1+V2=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdH+0l10a12R12-y-1.52dydliv）h為油浮子在油中的高度，同時也是油表的讀數(shù)。（a0=l0*tan4.1oa1=l*tan4.1o）h=0, &a1a0a1-a0, &a0&

29、lt;a1m*tan4.1o又將第一階段分為兩個階段2）第二階段對罐容的計算為對不規(guī)則幾何體體積V的計算，此處包括兩個球冠體部分和柱體部分，如下圖4-4-5所示圖4-4-5 實際儲油罐第二階段圖示i）油在左邊球冠體部分體積V1的計算與第一階段一樣的做法，最后得到沿HJ方向以任意H高度截面面積為:S'=1cos*S=1cos*-R-0.62502R12-x-0.6252+H-1.52dx再在Y軸上積分,得到左邊的球冠體體積V1為：V1=0H-R-0.625*tanS'dH=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdHii）

30、油在柱體部分體積V2的計算與第一問中階段二方法一樣，H為H1任意長度，H0，H1得到柱體體積V2為：V2=0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH-0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan-8*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydHiii）油在右邊油冠體部分的體積V3的計算類比于第一階段的方法，L1H1 r2R2，L為L1任意長度，L0，L1V3=1cos0L1-r2-0.625*tan8r2-0.625+82R12-L1-1.52-x-8+0.6252dxdLvi）油在

31、第二階段的總體積V=V1+V2+V3=0H-R-0.625*tan2cos*-R-0.6250R12-x-0.6252+H-1.52dxdH+0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH-0H1-R2-0.625*tantan0H1-R2-0.625*tan-8*tan2R12-0-0.6252-y-1.52dydH+1cos0L1-r2-0.625*tan8r2-0.625+82R12-L1-1.52-x-8+0.6252dxdLv）h為油浮子在油中的高度，同時也是油表的讀數(shù)。通過相似我們可以得到，h和H1 R2的關(guān)系

32、為：h=H1-R2-0.625*tan-2*tanh和L1 r2的關(guān)系為:h=L1+r2+6-0.625*tan3）第三階段i）求罐容即油在罐的體積V與第一問第三階段思想一樣，先算出罐除油面以外的空白部分的體積V1'，再算出實際儲油罐的總體積V1，則罐容即油在罐的體積為：V=V1-V1'以C點為原點，CB為X軸，CD為Y軸建立坐標軸，參照第一階段罐容的計算得：V1'=0H-R-0.625*tanS'dH=0H-R-0.625*tan1cos*-R-0.62502*R12-x-0.6252+H-1.52dxdH圓柱體積計算公式V柱=8R2代入數(shù)據(jù)得到：主體圓柱體積為56.5487一端球缺體積計算公式代入數(shù)據(jù)得到：兩端球缺總體積為，則儲油罐的總體積為V1=V柱+V缺=64.6645最后得到罐容即油在罐的體積為：V=V1-V1'=64.6645-0H-R-0.625*tanS'