計算機控制理論第三章

1、Chapter 3 Analysis of Discrete-time System3.1 3.1 幾個穩(wěn)定性概念幾個穩(wěn)定性概念3.2 3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的幾個常用方法系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的幾個常用方法3.3 3.3 能控性與能觀性能控性與能觀性3.1 幾個穩(wěn)定性概念幾個穩(wěn)定性概念定義定義3.1.1 3.1.1 自治系統(tǒng)自治系統(tǒng): :零輸入作用的系統(tǒng)零輸入作用的系統(tǒng) 其中，其中，x x為為n n維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量，f(.,.)f(.,.)為維向量函數(shù)。為維向量函數(shù)。定義定義3.1.2 3.1.2 受擾運動受擾運動：系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng).定義定義3.1.3 3.1.3 平

2、衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：如果對于所有的總存在著如果對于所有的總存在著(, )0ef x t 則稱則稱 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。ex，且，且A A非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一如果如果(, )ef x tAx的平衡狀態(tài)的平衡狀態(tài)，定義定義3.1.43.1.4 歐氏范數(shù)歐氏范數(shù)：定義定義3.1.5 3.1.5 穩(wěn)定穩(wěn)定0對對 , ,若若0( , )0t 使得使得00( , ) ,exxt 0tt時時 ,有有00e( ;,-x t x t）則稱則稱 為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。ex稱之為向量稱之為向量x x的歐式范數(shù)。的歐式范數(shù)。 ( )S( )S0 x

3、ex( )b( )S( )S0 xex( )a圖圖3.1（a a）、）、(b)(b)、(c)(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時初始擾動所引起的典型軌跡。漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時初始擾動所引起的典型軌跡。The Model is or (1)( )( )( )C ( )x kx ku ky kx k B(q)u(k)A(q)y(k) 1Y zH zC zIU z3.2 Stability Analysis in Z DomainI、Conditions of Stabilityj0s-planes-planeIm01Rez z- -p pl la an ne e1

4、00 ( )1,2.ikiiikay ka pkzpIm01ReIm01ReII、Several Stability Approach計算方程特征值的直接數(shù)值計算方法計算方程特征值的直接數(shù)值計算方法以特征多項式的性質(zhì)為基礎(chǔ)的方法以特征多項式的性質(zhì)為基礎(chǔ)的方法根軌跡法根軌跡法奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù)李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法3. Jurys stability Criterion1010nnnF(z)a za zaL主要思路：主要思路：判定該式的全部零點是否都在單位圓內(nèi)。判定該式的全部零點是否都在單位圓內(nèi)。1010nnnF(z)a za zaL0a1a1nanana1na1a 0a0aann1

5、0na11na11nna00aann11nna12nna10na11110nnnnaaM 00awherekkkkkikkkikiaaaaa01 ,If If ，then has all roots then has all roots inside the unit disc inside the unit disc if and only if if and only if all are all are positivepositive. If no is zero, . If no is zero, then the number of negative is then the num

6、ber of negative is equal to the number of roots outside equal to the number of roots outside the unit disc.the unit disc.00aka00)(zFka0ka0穩(wěn)定性檢驗的依據(jù)：穩(wěn)定性檢驗的依據(jù)：Example: 0)(212azazzF1a2a2a1a2221aa221a)1 (21aa2111aa)1 (21aa221a 1 1 2221221)1 (1aaaa 120022022212202212210(1)11(1)011knaaaaaaaaaaaa 21222)1 (1

7、aaa12122111aaaaa1-121-1-2a2a14. The Nyquist CriterionH(z)yucDetermining the stability of the systems from the systems. 1clcY zH zHzUzH z,j hH eh NZ Pwhere Z and P are the number of zeros and poles, respectively, of 1+H(z) outside the unit disc Example and 0.25( ) 1(1)(0.5)KH zhzz110.250.51.5Kzzzsinc

8、osjej When , the crossing point is (-0.5,j0)5 . 1sin5 . 0cos5 . 0sincos)sin(cosK25. 0)(0jjjeHjsin5 . 05 . 1cos5 . 1sin5 . 05 . 1cos5 . 1 sin5 . 05 . 1cos5 . 1)sin(cosK25. 0jjjj)cos25. 1)(cos22()5 . 1cos2(sinsin2)cos1 (5 . 1 K25. 02j 01K H0=tf(0.25,1 -1.5 0.5,1);nyquist(H0);5. Root Locus Method )164)

9、(1() 1(2sssssK H0=tf(1 1,1 3 12 -16);rlocus(H0);6 李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法 定理定理1 1 假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為( , )V x t如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)如果存在一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：并且滿足條件：( , )V x t1 1） 是正定的；是正定的； 2 2） 是負(fù)定的。是負(fù)定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。6 李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法( , )0V x t 0t定理定理2 2 如果如果并且對于任意并且對于任意( , )0V

10、x t 定理定理3 3 如果如果則原點則原點不穩(wěn)定不穩(wěn)定00 x 和和不恒等于零則系統(tǒng)在不恒等于零則系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定原點漸近穩(wěn)定. . 6 李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法 6 李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法 6 李亞普諾夫方法李亞普諾夫方法1 1）對于一給定系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。）對于一給定系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。2 2）對于非線性系統(tǒng)能給出在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息。）對于非線性系統(tǒng)能給出在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息。3 3）關(guān)于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。）關(guān)于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。4 4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)）若不能找到合適的李雅普

11、諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結(jié)論。定性方面的任何結(jié)論。5 5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6 6）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。 討論：經(jīng)典控制理論中的系統(tǒng)穩(wěn)定性與李雅普諾夫意義下的穩(wěn)討論：經(jīng)典控制理論中的系統(tǒng)穩(wěn)定性與李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性有什么區(qū)別？定性有什么區(qū)別？（1）經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定指的是輸入輸出穩(wěn)定性，與系統(tǒng)狀）經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定指的是輸入輸出穩(wěn)定性，與系

12、統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)；而李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性指系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性，態(tài)無關(guān)；而李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性指系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)狀態(tài)在偏離平衡狀態(tài)后，是否仍能保持在平衡狀態(tài)反映了系統(tǒng)狀態(tài)在偏離平衡狀態(tài)后，是否仍能保持在平衡狀態(tài)附近、甚至回到平衡狀態(tài)的系統(tǒng)能力。附近、甚至回到平衡狀態(tài)的系統(tǒng)能力。 （2） 經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性是利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義的，經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性是利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義的，因此要假定系統(tǒng)的初始條件為零。對象是線性時不變單輸入單因此要假定系統(tǒng)的初始條件為零。對象是線性時不變單輸入單輸出系統(tǒng)，采用的方法是判斷系統(tǒng)的極點位置等，僅適用于系輸出系統(tǒng)，采用的方法是判斷系統(tǒng)的極點位置

13、等，僅適用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。統(tǒng)穩(wěn)定性分析。 （3） 李雅普諾夫意義穩(wěn)定性理論適合于線性和非線性系統(tǒng)，時李雅普諾夫意義穩(wěn)定性理論適合于線性和非線性系統(tǒng)，時變和時不變系統(tǒng)，多變量系統(tǒng)；通過分析系統(tǒng)能量的變化來判變和時不變系統(tǒng)，多變量系統(tǒng)；通過分析系統(tǒng)能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；方法不僅適合于分析，而且是可用于控制系斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；方法不僅適合于分析，而且是可用于控制系統(tǒng)的設(shè)計。統(tǒng)的設(shè)計。3.3 系統(tǒng)的能觀性和能控性系統(tǒng)的能觀性和能控性(1)( )( )( )C ( )x kx ku ky kx k )()()()() 1(kCxkykBukAxkx兩個概念：能控性與能觀性兩個概念：能控性與能觀性

14、兩個基本問題：兩個基本問題： 在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？要求的狀態(tài)？指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀態(tài)的態(tài)的能控性能控性問題。問題。 在有限時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)在有限時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)？的初始狀態(tài)？系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的，稱之為狀態(tài)的能觀性能觀性問題。問題。 橋形電路橋形電路(a)(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀態(tài)變量兩個電容相等。選各

15、自的電壓為狀態(tài)變量，且設(shè)電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)，且設(shè)電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖分量恒相等。相平面圖(b)(b)中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線, ,顯然，它是顯然，它是不不完全能控完全能控的。的。例例例例 選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量。當(dāng)電橋平衡時，電感中的電流作為電路的

16、一個狀態(tài)是。當(dāng)電橋平衡時，電感中的電流作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是不能觀測不能觀測的。的。定常離散系統(tǒng)的能控性定義定常離散系統(tǒng)的能控性定義線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程)()() 1(kBukAxkx(3.3.1)定義定義3.3.1 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng)(3.3.1)，如果存在控制向量序列，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),u(N-1)，使系統(tǒng)從第，使系統(tǒng)從第k步的狀態(tài)向量開始，在步的狀態(tài)向量開始，在第第N步到達(dá)零狀態(tài)，其中步到達(dá)零狀態(tài)，其中N是大于是大于k的有限數(shù)，那么就稱此系的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)

17、在第統(tǒng)在第k步上是能控的。如果對每一個步上是能控的。如果對每一個k，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。單輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件單輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)( )( )x kAx kbu k(3.3.2)定理定理3.3.1 單輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充單輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣分必要條件是，矩陣b, Ab, An-1b的秩為的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以U

18、Uc c表示，于是表示，于是此能控性判據(jù)可以寫成此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rank b , Ab,An-1b=n. (3.3.3)(101)(011220001) 1(kukxkx例例2111rankArank 0223113bAbb 滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件多輸入離散系統(tǒng)能控性的判定條件多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)( )( )x kAx kBu k定理定理3.3.2 多輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的多輸入線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是，矩陣充分必要

19、條件是，矩陣B,AB,An-1B的秩為的秩為n。該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以Uc表示表示，于是，于是此能控性判據(jù)可以寫成此能控性判據(jù)可以寫成rankUc=rankB,AB,An-1B=n. 多輸入與單輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)形式上完全相多輸入與單輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)形式上完全相同。同。但多輸入系統(tǒng)有以下特點：但多輸入系統(tǒng)有以下特點：(1)多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個nnp矩陣。根據(jù)判矩陣。根據(jù)判據(jù)，只要求它的秩等于據(jù)，只要求它的秩等于n，所以在計算時不一定需要，所以在計算時不一定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要條件已滿足將能控性矩

20、陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。就可以停下來，不必再計算下去。(2) 為了把系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，存在著許為了把系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，存在著許許多多的方式，因此我們可以在其中選擇最優(yōu)的控制許多多的方式，因此我們可以在其中選擇最優(yōu)的控制方式。例如選擇控制向量的范數(shù)最小。方式。例如選擇控制向量的范數(shù)最小。)()(100001)()()(110201121) 1() 1() 1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例例1011rankrank 011230000BAB只要計算出矩陣只要計算出矩陣 B B, ,ABAB 的秩，即可的秩，

21、即可 定理定理3.3.3 3.3.3 系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣是能控性矩陣1CnUBABABL的秩為的秩為n n，即，即1ranknBABABn L線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù) 注注 對照一下定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控性判別條對照一下定常連續(xù)系統(tǒng)與定常離散系統(tǒng)能控性判別條件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，這有其內(nèi)在聯(lián)系。件，發(fā)現(xiàn)兩者是一致的，這有其內(nèi)在聯(lián)系。 如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)的系矩陣和控制矩陣與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同。矩陣和控制矩陣相同，則它們的能控性相同

22、。 對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。 利用利用MatlabMatlab判定系統(tǒng)能控性判定系統(tǒng)能控性可以利用可以利用Matlab來進行系統(tǒng)能控性的判斷。來進行系統(tǒng)能控性的判斷。Matlab提供了各種矩陣運算和矩陣各種指標(biāo)（如矩陣提供了各種矩陣運算和矩陣各種指標(biāo)（如矩陣的秩等）的求解，而能控性的判斷實際上就是一些矩的秩等）的求解，而能控性的判斷實際上就是一些矩陣的運算。陣的運算。Matlab中的求矩陣的秩是通過一個函數(shù)得中的求矩陣的秩是通過一個函數(shù)得到的，這個函數(shù)是到的，這個函數(shù)是rank(M)。

23、01000001010001000502xxu&1000yx A=0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,1;0,0,5,0; B=0; 1; 0; -2; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 401000300210001002000 xxu &1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 3定常離散系統(tǒng)的能觀性定常離散系

24、統(tǒng)的能觀性)()()()() 1(kCxkykBukAxkx定義定義 對于上述系統(tǒng)，在已知輸入對于上述系統(tǒng)，在已知輸入u(t)的情況下，若能的情況下，若能依 據(jù) 第依 據(jù) 第 i 步 及 以 后步 及 以 后 n - 1 步 的 輸 出 觀 測 值步 的 輸 出 觀 測 值y(i),y(i+1),y(i+n-1)，唯一地確定出第，唯一地確定出第i步上的狀態(tài)步上的狀態(tài)x(i)，則稱系統(tǒng)在第，則稱系統(tǒng)在第i步是能觀測的。如果系統(tǒng)在任何步是能觀測的。如果系統(tǒng)在任何i步上都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，步上都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。簡稱能觀測。 考慮離散系統(tǒng)考慮離散系統(tǒng) 定理定理3.3.4 3.3.4 對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣能觀測的充分必要條件是矩陣 1nCACAC的秩為的秩為n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為O。O1rankranknCCAUnCA例例 判斷下列系統(tǒng)的能觀測性判斷下列系統(tǒng)的能觀測性1012(1)021( )1( )3.021010( )x kx ku kyx k 010C 2021 , 340CACA于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為O10100213