一階微分方程習(xí)題課 ppt課件

1、一階微分方程一階微分方程 習(xí)題課習(xí)題課基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.可化為齊次可化為齊次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.線性方程線性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;定理定理2定理定理3;定理定理4歐拉方程歐拉方程二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根特征方程的根及其對應(yīng)項(xiàng)及其對應(yīng)項(xiàng)f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方程法特征方程法一、主

2、要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階微分方程的解法、五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階微分方程的解法(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法(2) 齊次型方程齊次型方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法作變量代換作變量代換xyu 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 可化為齊次的方程可化為齊次的方程)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如解法解法，令令kYyhXx ,化為齊次方程化為齊次方程（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）(3) 一階線性微分方程一階線性微分方程)()(xQyxPdxdy 形

3、形如如, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次齊次, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)非齊次非齊次.解法解法齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離變量法）（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）(4) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程.解法解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,1 n

4、yz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn(5) 全微分方程全微分方程形如形如0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 注意：注意：xQyP 全全微微分分方方程程解法解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān). yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy 通解為通解為.),(cyxu 用直接湊全微分的方法用直接湊全微分的方法. 可化為全微分方程可化為全微分方程形如形如0),(),( dyyxQdxyxP).(xQyP 非非全全微

5、微分分方方程程 若若0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成為為全全微微分分方方程程.則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子.公式法公式法:)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfex 則則)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 則則觀察法觀察法:熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過觀察直接找出熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過觀察直接找出積分因子積分因子2。 各類方程的內(nèi)在聯(lián)系各類方程的內(nèi)在聯(lián)系xQyPQdyPdx 0)()(yNxMdxdy )(1yN NMxydxdy

6、 )( xyu yNxM 1 )(111cybxacbyaxfdxdy kyYhxX )()(xQyxPdxdy dxxPexcy)()( dxxPe)( nyxQyxPy)()( nyz 1 dxxPnney)()1(1 三種基本類型三種基本類型變量可分離變量可分離一階線性一階線性全微分方程全微分方程其余類型的方程可借助于變量代換或積其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化成基本類型分因子化成基本類型三種基本類型代表三種典型解法三種基本類型代表三種典型解法分離變量法分離變量法常數(shù)變易法常數(shù)變易法全微分法全微分法變量代換是解微分方程的重要思想和變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法重要方法

7、微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子3 3、一階方程解題程序、一階方程解題程序0 QdyPdx分離變量分離變量Y解方程解方程N(yùn)xQyP Y解方程解方程N(yùn)積分因子積分因子YN),(yxfy 齊次型齊次型 一階線性一階線性 Bernoulli二、典型例題二、典型例題例例1 求一微分方程使其通解為求一微分方程使其通解為321cxcxcy 解解 由由321cxc

8、xcy 213)(cxcycx 求導(dǎo)得求導(dǎo)得13)(cycxy 再求導(dǎo)再求導(dǎo)0)(23 ycxyyycx 2再求導(dǎo)再求導(dǎo)22)(2)( 21yyyy 2)( 32yyy 例例2 2.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解解解解原方程可化為原方程可化為),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu 分離變量分離變量,cos2cossinxdxduuuuuu 兩邊積分兩邊積分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu

9、 ,cos2xCxyxy 所求通解為所求通解為.cosCxyxy 例例3 3.32343yxyyx 求求通通解解解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy 伯努利方程伯努利方程,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即一階線性非齊方程一階線性非齊方程對應(yīng)齊方通解為對應(yīng)齊方通解為,32Cxz 利用常數(shù)變易法利用常數(shù)變易法,)(32xxCz 設(shè)設(shè)代入非齊方程得代入非齊方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解為原方程的通解為.73323731xCxy 例例4 4. 0324223 dyyxydxyx求求通通解

10、解解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程為全微分方程方程為全微分方程.(1) 利用原函數(shù)法求解利用原函數(shù)法求解:,2),(3yxxuyxu 則則設(shè)設(shè)原原函函數(shù)數(shù)為為),(),(32yyxyxu ,求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx (2) 利用分項(xiàng)組合法求解利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為原方程重新組合為, 01)32(2423 dyydyyxdxyx, 0)1()(32 ydyxd即得即得故方程的通解為故方程的通解

11、為.1232Cyyx (3) 利用曲線積分求解利用曲線積分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解為故方程的通解為.1232Cyyx 例例5 5. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求求通通解解解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用積分因子法利用積分因子法:原方程重新組合為原方程重新組合為),(2)(22xdyydxdydxyx 222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解為

12、故方程的通解為.yxyxCeyx 例例6 解方程解方程0)(22 ydydxxyx分析分析 本題看起來簡單本題看起來簡單 但具體求解時(shí)發(fā)現(xiàn)但具體求解時(shí)發(fā)現(xiàn)不是變量可分離不是變量可分離也不是齊次型也不是齊次型不是一階線性不是一階線性也不是全微分方程也不是全微分方程怎么辦？怎么辦？必須對方程進(jìn)行變形必須對方程進(jìn)行變形解一解一 分項(xiàng)組合分項(xiàng)組合0)()(22 ydyxdxdxyx0)(21)(2222 yxdyx0)(22222 yxyxddxcyxxln)ln(222 通解為通解為xceyx222 解二解二 變量代換變量代換)(22xxydxdyy 令令uy 2)( 222xxudxdu 一階非齊

13、次線一階非齊次線性微分方程性微分方程相應(yīng)齊方程相應(yīng)齊方程02 udxduxceu2 令令xexcu2)( xexxxc22)( 2)( cexxcx 22)(22xceux 222xceyx 解三解三 由由2 QyPxQ存在關(guān)于存在關(guān)于 x 的積分因子的積分因子xe2 0)(2222 ydyedxxyxexx為全微分方程為全微分方程 xydyyxQdxxPyxu00),()0 ,(),( yxxxydyedxxxe02022)(xeyx222)(21 通解為通解為cyxu ),(積分因子法積分因子法例例7 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分 Ldyxxxfdxxyf)(2)(2在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)其中其中 f (x) 可導(dǎo)可導(dǎo)且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知)(2)(2xxxfxxyfy )(2)(2)(2xfxxf xxf 即即1)(21)( xfxxf一階線性微分方程一階線性微分方程)32(1)(23xcxxf 代入代入f(