上海市高三數(shù)學(xué)直線綜合

1、輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年 級(jí)：高二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：授課類型T （直線的方程）T （直線的傾斜角和斜率） T （直線的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離）授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容一、直線的方程知識(shí)點(diǎn)1：直線的點(diǎn)方向式方程 =1二二* ,其中（人,比）為直線所過(guò)定點(diǎn)，7=（/，）為直線的方向向量 UV（注意方程中,1，不能為0）,若 =0,直線為x = x°：若u = O,直線為），=九；分別表示兩條特殊直線。知識(shí)點(diǎn)2：直線的點(diǎn)法向式方程+仇其中（兒,先）為直線所過(guò)定點(diǎn)，1 =（。力）為直線的法 向量知識(shí)點(diǎn)3：直線的點(diǎn)斜式方程），-比=4*-%）,其中（見(jiàn),先）為直線所過(guò)定點(diǎn)

2、，k為直線的斜率（斜率必須存在）， 當(dāng)斜率不存在時(shí)，方程為x = %知識(shí)點(diǎn)4：直線的斜截式方程丁 =，其中k為斜率（存在），b為直線在y軸上的截距知識(shí)點(diǎn)5：直線的一般式方程ax + b + c = 0（/+HO）二、直線的傾斜角1、傾斜角的定義：若直線/與x軸相交于點(diǎn)M ,將x軸繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至與直線/重合時(shí)所成的 最小正角a叫做直線/的傾斜角.【注】：當(dāng)直線/與x軸平行或重合（即/與y軸垂直）時(shí)，規(guī)定其傾斜角a = O。所以根據(jù)定義，直線/的傾斜角 a的取值范圍是0,1）.特別地，/與X軸垂直時(shí)，a = -.22、斜率：當(dāng)a ¥工時(shí)，記。的正切值為A ,把攵=tan。叫做直線

3、/的斜率 2【注】：當(dāng)時(shí)，直線/的斜率不存在.23、直線/的傾斜角。、斜率攵的計(jì)算公式：acr tan A, A >0傾斜角。斜率攵不存在時(shí).（注意反正切函數(shù)表示的理解）2 笈 + arctan k或;r-arctanO，k < 0斜率k = tan a = - = - =上二上 （斜率存在時(shí)） u b x2 - x4、傾斜角a和斜率k的變化關(guān)系（正切函數(shù)圖象）理解作出正切函數(shù)y = tanx在0,工）U（£，/）的圖像，參照?qǐng)D形如下： 22得到以下結(jié)論：（l）0<a<-,隨著傾斜角a的不斷增大，直線斜率不斷增大，£0,*O）. 2（2） -<

4、a<9隨著傾斜角a的不斷增大，直線的斜率不斷增大，女£（-8,0）. 2三、直線與直線的位置關(guān)系1、兩直線的位置關(guān)系（1）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種：重合、平行、相交（垂直）。（2）判別方法:法一：系數(shù)行列式判別解的個(gè)數(shù)方法。工00相交；。:=0且。 4至少有一個(gè)不等于零o平行； D =D=Dx=0 O 重合法二：當(dāng)直線不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，直線與直線的位置關(guān)系可根據(jù)下表判定條、方 飛h ： y = kx + b12 ： y = k2x + b2/j ： alx + bly + c = 0l2 ： a2x + b2y + c2 = 0平彳亍kt =心且仇W b2重合kt =七且

5、4 = b2相交垂直2、相交直線交點(diǎn)與夾角（1）交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立方程求解（2）夾角公式：向量 表示：cos a =l cos 0 l=l三-1= JJ.ui.qi斜率表示：同樣地，由于不是所有的直線都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分類討論.(1)若兩直線的斜率都存在，當(dāng)。三時(shí)，有公式tana ="二%; 2l+k*2(2)如果直線L和中有一條斜率不存在，“夾角”可借助于圖形，通過(guò)直線的傾斜角求出.3、點(diǎn)到直線的距離(1)點(diǎn)到直線的距離|Ax0 + By。+ Cl點(diǎn)P(x0，汽)到直線/: Ax+ C = 0的距離"=尸=!yJA2+B2(2)點(diǎn)在直線的同側(cè)或異側(cè)的

6、問(wèn)題另3 = 生普£,當(dāng)兩點(diǎn)在直線/的同側(cè)，則它們的5同號(hào)；當(dāng)兩點(diǎn)在直線/的異側(cè)，則它們的5異號(hào).(3)平行直線間的距離若兩條平行線直線小 為x +仇y + q=O, /,： a,x + /%y + c, =0的距離4=?一"，(，/+從工。) '"-y/a2 s(4)兩點(diǎn)間的距離公式：4q=J(七一/+(.一為產(chǎn)四、對(duì)稱問(wèn)題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱若A(占j), B(x2,y2),則A8的中點(diǎn)坐標(biāo)是(上手,弓為)：P(x, y)關(guān)于M(,b)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(2a x,2b y).(2)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題P(x, >-)關(guān)于x =。的對(duì)稱點(diǎn)為(2“ 一x

7、, y)P(x, 丁)關(guān)于y = b的對(duì)稱點(diǎn)為(x, 2b- y)P(x,y)關(guān)于丁 = x+。的對(duì)稱點(diǎn)為(y-Z?,x+Z?)(巧記：代入x求y,代入y求x)尸(x,y)關(guān)于y = -x + Z?的對(duì)稱點(diǎn)為(Z?-y,-x+Z?)(巧記：代入x求y,代入)，求x)求解P(x, y)關(guān)于/: Ar + By + C = 0的對(duì)稱點(diǎn)一般步驟:i設(shè)對(duì)稱點(diǎn)P（4,加ii列方程,a + xh+y -（PP中點(diǎn)在/上）（PP與/垂直）AF B- + C = 0iii求解（3）線關(guān)于線的對(duì)稱思路：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題.求解。：Aj +用y + C = 0關(guān)于/: A + C = 0的對(duì)稱直線一般步驟:

8、i在/上取一點(diǎn)P（x,y）ii設(shè)P(x, y)關(guān)于I: Av + By + C = 0對(duì)稱點(diǎn)為P"iii列方程+ C = 0 （尸P中點(diǎn)在/上）8( - x) A(b-y) = 0(尸尸'與/垂直)iv求解五、圓的方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x 4）2 +（y-b）2=/，其中圓心為（。/）,半徑為r；>>D F Id2 + E2 -4F圓的一般方程為廠+ >J+。才+怎，+/=0,圓心坐標(biāo)（-上，一三），半徑為'.方程表示圓的充要222條件是。？ + £2-4廠>0. 、；二元二次方程A.r2 + Bxy + Cy

9、2 +Dx+ Ey + F = 0表示圓的充要條件是A = CwO且8 = 0 ;!且。2十七244 / >0） .；I、 一 一 一 一 一 一 一 «0 一 一 一 一 «»«» 一 一 一 «» 一 «0一 一 一 一 一 一 一 一一«0 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一«» 一 一 一 一 .1【注意】圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：.Ax1 + y2 = r2 - x = rcos6,y = rsin6：x2 +y2 <t > x = r cos

10、3, y = r sin （0 < r < >jt ）.M 在圓內(nèi)o玉)2 + %2 +D% + E)b + F<0M 在圓上 o+ ,v02 + Dq + Ey0 + F = 0M 在圓外o %)2 + y02 + Dxq + Ey0 + F>03 .判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：(1)幾何法：通過(guò)圓心到直線的距離與半徑的大小比較來(lái)判斷，設(shè)圓心到直線的距離為4,圓半徑為，.若直線與圓相 離，則d>r：若直線與圓相切，則1 =不；若直線與圓相交，則dvr.(2)代數(shù)法：通過(guò)直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，即通過(guò)判別式來(lái)判斷，若>(),則

11、直線與圓相離: 若 =(),則直線與圓相切；若<(),則直線與圓相交.4 .兩圓的的位置關(guān)系設(shè)兩圓半徑分別為圓心距為”若兩圓相外離，則d>H + r,公切線條數(shù)為4若兩圓相外切，則d = R + r,公切線條數(shù)為3若兩圓相交R r<d<R + r,則公切線條數(shù)為2若兩圓內(nèi)切，則1 = /?一廠，公切線條數(shù)為1若兩圓內(nèi)含，則d<R r,公切線條數(shù)為0典型例)題型一：直線的方程例1：若直線4：2x + iy + l=O與直線4：y = 3x l平行，則?=.2【答案】, 3例2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1,0)且法向量為 =(2,-1)的直線/的方程是【答案】2xy 2 = 0例

12、3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓爐+ ()1)2=4上存在A, B兩點(diǎn),且弦A8的中點(diǎn)為。(1,2),則直線A3的方程為.【答案】x+y-3 = 0例4：已知點(diǎn)A(2,3)、8(1,-4),則直線A8的點(diǎn)法向式方程是【答案】7"+2) + 3(>-3) = 0 也可以是 7(x-l)+3(y+4)=0：型二：直線的傾斜角例1：已知直線的方向向量7 = （1,-2）,則直線的斜率為，傾斜角為答案：斜率為一2,傾斜角為九一arctan2例2：若直線的斜率為2,則直線的一個(gè)法向量為 （答案不唯一）答案：（2,-1）例3：直線4X+勿=時(shí)（<0/vO）的傾斜角為（）（./baA

13、. arctan - * B. arctan - C,乃一arctan-D 4一arctan色泠案：D1 a） b）ab例4：設(shè)8是直線/的傾斜角，且cos6 = av0,則6的值為（）A 九一 arccos a ； B. arccos a C. 一 arccos a D.4+arccos a解析：理解反三角表示及傾斜角范圍對(duì)應(yīng)答案：B例5：已知。£（0, 則直線x-tanQ + y + l =。的傾斜角 （用a的代數(shù)式表示）2解析：三角誘導(dǎo)關(guān)系及傾斜角范圍問(wèn)題答案：汽一a例6：已知直線的斜率攵£一出,三,則傾斜角的范圍為解析：用正切函數(shù)圖像去分析可得答案：工 36例7：已

14、知直線的傾斜角夕££,3且6。三，則直線的斜率的取值范圍為3 42解析：用正切函數(shù)圖像去分析可得答案：例8：求直線y = xsina + l的傾斜角的范圍說(shuō)明本題主要涉及傾斜角和斜率關(guān)系的應(yīng)用.解：設(shè)傾斜角為夕，由題意知斜率A=sinae1；當(dāng)攵 e-l,O）時(shí)，P 為鈍角，P = 7T + arctank ,由arctank e-0）,4,3得 P = zr + arctan k £一乃,乃）：4當(dāng)Ae（O,l時(shí)，夕為銳角,得一 = arctan&w（0,.：4當(dāng) = 0時(shí)，/=0：綜上所述，傾斜角的取值范圍是。三5二，乃）44檢測(cè)題：1 .已知直線2x

15、 + y + =0的傾斜角大小是0,則tan26 =.4【答案】一32.直線工+1 = 0的傾斜角的大小為.【答案】 63.已知直線/的一個(gè)法向量是3 = (1,-/),則此直線的傾斜角的大小為【答案】三題型三：直線與直線的位置關(guān)系例1： %=1”是“直線小or+2y 1=0與直線出x+(a+l)y+4=0平行”的(A)充分不必要條件(8)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充zxxk分也不必要條件【答案】A 例2：已知直線小2x+)，-1 = 0, /2： x 3)，+ 5 = 0,則直線與乙的夾角的大小是.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)【答案】arccos (g£arctan

16、7) 10例 3：已知直線/：ax-y + 2« + l = 0 和/?:2 工一 (a l)y + 3 = 0(aeR),若/i，/?，則=【答案】- 3題型四：直線的對(duì)稱例1：已知點(diǎn)41,2),8(3,4),點(diǎn)用,汽滿足：為48中點(diǎn)，8為4N中點(diǎn),(1)求"的坐標(biāo)。(2)求N的坐標(biāo)?！敬鸢?1) M為A8中點(diǎn)，坐標(biāo)為(匕士)，即(2,3)；22+( 2 + 丫(2)解法一：設(shè)N(x,y),則(一，工) = (3,4),所以 22fx = 5解得， ，所以N的坐標(biāo)為(5,6)y = 6解法二：因?yàn)?為AN中點(diǎn)，所以N的坐標(biāo)為(2x3 1,2x4 2),即為(5,6)例2：

17、已知尸為直線/:2x+y 3 = 0上的動(dòng)點(diǎn)，尸關(guān)于M (3,2)的對(duì)稱點(diǎn)為P,記N(2,l),當(dāng)線段NP的長(zhǎng)度 為5的時(shí)候，求尸的坐標(biāo).【答案】：設(shè)答(x,3-2x),則P(6x,l + 2x),:NP' 1= J(4 一 + (2 + 2x)2 = 5,求得 x = ±1所以尸的坐標(biāo)為(1,1)或(1,5)例3：求直線2x + Uy + 16 = 0關(guān)于點(diǎn)P(0,l)對(duì)稱的直線方程.【分析：本題可以利用兩直線平行，以及點(diǎn)P到兩直線的距離相等求解，也可以先在已知直線上取一點(diǎn)，再求該點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，代人對(duì)稱直線方程待定相關(guān)常數(shù)】解法一由中心對(duì)稱性質(zhì)知，所求對(duì)稱直線與已知

18、直線平行，故可設(shè)對(duì)稱直線方程為2x+lly+c=0.由點(diǎn)到直線距離公式，得RPlll+cl=27,得c=16 (即為已知直線，舍去)或c=-38.22+n2 V?TIF例4 ：求直線4 : x - y -1 = 0關(guān)于直線。：x y +1 = 0對(duì)稱的直線/的方程.【分析：由題意，所給的兩直線伍心為平行直線，求解這類對(duì)稱總是，我們可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱 問(wèn)題，再利用平行直線系去求解，或者利用距離相等尋求解答】解根據(jù)分析，可設(shè)直線/的方程為x-y+c=0,在直線A x-y-l=0上取點(diǎn)M (1, 0),則易求得M關(guān)于直線上x-y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)N (-1, 2),將N的坐標(biāo)代入方程x-y+c

19、=0,解得c=3,故所求直線I的方程為x-y+3=0.故所求對(duì)稱直線方程為2x+lly-38=O.題型五：含參數(shù)的直線例1：不論m為何實(shí)數(shù)，直線(in- l)x-y+ 2m + 1 = 0恒過(guò)定點(diǎn)解析：方程轉(zhuǎn)化為?(x + 2) (x + y 1)=0,要恒過(guò)定點(diǎn)則參數(shù)取任意值都不影響，則x + 2 = 0和x+y l=。得x = -2, y = 3答案：(-2,3)例2：已知點(diǎn)(。力)在直線2x 3y + 6 = 0上，則直線or +電v + 2 = 0必過(guò)定點(diǎn) L22解析：由題則 2« 3 + 6 = 0,對(duì)比 ax + Z?y + 2 = 0,可將 2/ 3。+ 6 = 0 化

20、為一。一/? +2 = 0 ,則過(guò)定點(diǎn)（；,一1 ）2答案：（一二1 ） 3例3： （1）已知直線/:），=6+ 1與兩點(diǎn)4一1,5）、5（4,-2）,若直線I與線段AB相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是解析：直線Ly =丘+ 1恒過(guò)（0.1）,數(shù)形結(jié)合，可以找到兩邊界直線即可得3答案：（一 s,-4 = - - ,+s） 4（2）已知直線= x 與兩點(diǎn)A（1,5）、8（4,-2）,若直線/與線段A8相交，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是.解析：直線/代表一系列斜率為1平行直線族，兩邊界分別為過(guò)A,8點(diǎn)是，則w-6,6例4:已知/（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe0,l時(shí)，f（x） = x,那么在區(qū)間1,3內(nèi)，關(guān)

21、于x的方程f（x） = kx + k + （%£氏且工1）恰有4個(gè)不同的根，則攵的取值范圍是解析：直線恒過(guò)定點(diǎn)（-1,1）再數(shù)形結(jié)合找到兩個(gè)邊界即可得出。答案：（»0）3課后練習(xí)1 .直線/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)及兩直線x 3y 2 = 0與2x y 1 = 0的交點(diǎn)，則直線I的方程為.2 .直線y =中x與直線x = 1的夾角為.33 .過(guò)點(diǎn)（-4,3）且平行于直線3x + 2y50的直線方程是.4 .直線2x + 3y + =0與3x 3y + 6 = 0 的夾角為.5 .若直線ax + 2y + 2 = 0與3x y - 2 = 0垂直，則。=.6 .直線后+丁-3 = 0與直線x+2 = 0的夾角是（）n汗25A B C 乃D 463367,下列各組直線中，兩條直線相互平行的是（）A y = 3x +1 與 2y 6x + 4 = 0B y = x 與 2x 2y + 5 = 0C 4x-3y = 5與8x-6y = 10D 1 =0與/5x + 3y + 6 = O8 ,直線2工一），+ % =。和4x 2y + l = 0的位置關(guān)系是（）A平行B平行或重合C重合D既不平行也不重合9若直線21+），-2 = 0和"優(yōu)