專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(含答案)

1、專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2019 年1 (2019天津理8)已知c/eR,設(shè)函數(shù)/")=卜一？""'?。，WL若關(guān)于工的不等式 x-alnx, x > 1,/*)。在R上恒成立，則。的取值范圍為A.0,lB.0,2C.0,eD.l,e2. (2019全國川理20)已知函數(shù)/(為=2/ 一(1)討論/*)的單調(diào)性；(2)是否存在a,b,使得/(x)在區(qū)間0,1的最小值為一 1且最大值為1?若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.3. (2019 浙江22)已知實(shí)數(shù)。工0,設(shè)函數(shù)/(#=alnx + J77T,x>0.3(1)當(dāng)。=

2、一一時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4(2)對(duì)任意)均有求。的取值范圍.e-2a注:e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).4 (2019全國I理20)已知函數(shù)/(x) = sinx ln(l + x), /'*)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：TT(1) /'(X)在區(qū)間(一1,一)存在唯一極大值點(diǎn)；2(2) f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).V + 15.(2019全國II理20)已知函數(shù)/(工人5工一:.X - 1(1)討論./U)的單調(diào)性，并證明"r)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x()是負(fù)x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo, Inxo)處的切線也是曲線y = e'的 切線

3、.6. (2019江蘇19)設(shè)函數(shù)/(幻=(工一)*一勿"一0),4也。£11、/3為/(*)的導(dǎo)函 數(shù).(1)若但b=c, f (4) =8,求“的值；(2)若得b, f 且/(x)和r(x)的零點(diǎn)均在集合3,1,3中,求的極小值；4(3)若a = O,Ovgl,c = l,且/&)的極大值為M 求證:Ms .27Z (2019北京理19)已知函數(shù)/(刈./-/+比4(I )求曲線y = /(x)的斜率為1的切線方程；(II )當(dāng) xw|-2,4時(shí),求證：x-64/(x)«x.(IH)設(shè) F(x) = |/(.v)-|x + n|(fl eR),記 F(

4、x)在區(qū)間-2,4上的最大值為 M (a),當(dāng) M (/?)最小 時(shí)，求”的值.8. (2019天津理20)設(shè)函數(shù)/(x) = e'cosx, g(x)為的導(dǎo)函數(shù).(I )求/(X)的單調(diào)區(qū)間；(II )當(dāng)時(shí)，證明/(x) + g(x) g-x >0；L 4 2 -7(III)設(shè)X”為函數(shù)"(x) = /(x)-l在區(qū)間2? + 5,2加+弓內(nèi)的零點(diǎn)，其中 eN,證7Te-2"明2萬+ 乙v.2 sinj -cosAq2010-2018 年一、選擇題1 . (2017新課標(biāo)II)若工=-2是函數(shù)/(x) =，+“x l)ei的極值點(diǎn)，貝IJfW = (x2 +

5、 ax -l)ex-l錯(cuò)誤!未找到引用源。的極小值為A . -1 B . -2e3C . 5/3D . 12 .(2017浙江)函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)十=/(")的圖像如圖所示,則函數(shù)y = /(x)的圖像可能是4 . (2015 四川)如果函數(shù)/(x) = i(w-2)x2+(«-8)x + l(w>0, 之0)在區(qū)間2 22單調(diào)遞減，那么?的最大值為A . 16B . 18C . 25D .25 .（2015新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)/"（x）是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，/（-1）=0,當(dāng)x>0時(shí),<0,則使得.f（x）0成立的x的取值范圍是A . (-

6、l)U(OJ)B . (TO)U(L")C . («,-l)U(T0)D . (O,1)U(1,-KX>)6.(2015新課標(biāo)|)設(shè)函數(shù)/(工)=/(2工-1)一批+ %其中avl,若存在唯一的整數(shù)小,使得/（?。?lt;。，則。的取值范圍是7 . （2014新課標(biāo)II）若函數(shù)/（幻=6一 Inx在區(qū)間（1,2）單調(diào)遞增，則攵的取值范圍是A .（-0,一2 B .C . 2,+oc） D .1，M）8. （2014陜西）如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)（相切）, 已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為C . y = -x3

7、-xD . y = -x3+-x2-lx,4'429 . (2014新課標(biāo)II)設(shè)函數(shù)x) = 6sin管.若存在的極值點(diǎn)與滿足V+x0)丁 <加，則小的取值范圍是A . (-<50,-6)kj(65-+<o)B .(o，T) J(4,+o)C . (-co,-2)kJ(2,-H50)D . (o,-1) = (1,+oo) 10. （2014陜西）如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處下降，已知下隆飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為A.m12553 ，C . V =JT -X125»i-2地而跑道B.y“125

8、4x5D.xJ125511 .（2014遼寧）當(dāng)xe-2,l時(shí)，不等式火3一/+4工+ 320恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是9A . -5,-3 B . C . -6,-2 D , -4,-3812 . （2014 湖南）若0cx貝1JA . eX1 - e” > In x2 - In % B . eX1 - e" < In x2 - In xC . x2eXl > xxeX1D . x2eXl < xeX213.（2014江西）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y =-x +'與y = a，3-2cu；2+x + a2（4 wR）的圖像不可能的是 14 . （2

9、013新課標(biāo)II ）已知函數(shù)/（x） = f+ox*+x + c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A . 3 xoe/?,/（xo） = OB .函數(shù)y = /（x）的圖像是中心對(duì)稱圖形C.若%是/（工）的極小值點(diǎn)，則/（X）在區(qū)間（p/o）單調(diào)遞減D .若是f(x)的極值點(diǎn),則/(小)=015 .(2013四川)設(shè)函數(shù)/(x) = &'+x。(awR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若曲線y = sinx上存在點(diǎn)(凡，光)使得/(凡)=%，則。的取值范圍是A . l,e B . e-1 -1,1 C . 1, e + 1 D .e + 116. . (2013福建)設(shè)函數(shù)/*)的定義域?yàn)镽, %(,

10、% W0)是/(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一 定正確的是A . Vx e R,以x) « /o)B . -x0 是 f(-x)的極小值點(diǎn)C . /是一/0)的極小值點(diǎn)D ./是_/(_為的極小值點(diǎn)17. (2012遼寧)函數(shù)Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為A . (- 1J B . (0,1 C . 1,+ oc) D . (0,+ oo)18. (2012 陜西)設(shè)函數(shù)/(x) = xe 貝ijA . x = 1為f(x)的極大值點(diǎn)B . x = 1為/(x)的極小值點(diǎn)C .工=-1為/a)的極大值點(diǎn)D . x =-1為/(幻的極小值點(diǎn)19. (2011 福建)若 a>0, b>0

11、,且函數(shù)/*) = 4%3-。二2-2 + 2 在 x = l 處有極值， 則 <必的最大值等于A . 2B.3 C . 6D . 920. . (2011 浙江)設(shè)函數(shù)f (X)= aP+X + C(4,C£R),若X = -l 為函數(shù)/(X)N的一 個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y = /(x)的圖象是21 .(2011湖南)設(shè)直線與函數(shù)/*) = /, g(x) = nx的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)/的值為二、填空題22 . （2015安徽）設(shè)/+辦+。= 0,其中。力均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是（寫出所有正確條件的編號(hào)）1。= -

12、3,Z? = 3 ； =- 3,b = 2 ；。=-3,b >2 ； 4 a = 0, = 2 ；23. （2015四川）已知函數(shù)/（x） = 2 g（x） = x2+ax （其中a e R） .對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)王，占，設(shè)?=/3）一/'3,L0,現(xiàn)有如下命題：- x2xi -x2對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)M,占，都有 7>。；對(duì)于任意的。及任意不相等的實(shí)數(shù)$,/，都有 >0 ;對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)使得?= ；4對(duì)于任意的4,存在不相等的實(shí)數(shù)占,2，使得?=- .其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號(hào)）.q0,0 <x<、24 .（2015 江蘇）已知函

13、數(shù)/（x）=llnxl, g（x） =（） 41。 一則方程I 廠 一41一2,1> 1l/（x） + g（x）l=l實(shí)根的個(gè)數(shù)為.25 . （2011廣東）函數(shù)f（x） = F - 3/ +1在x =處取得極小值.三、解答題26 . （2018 全國卷 I ）已知函數(shù) fM = -x + anx .X（1）討論/（X）的單調(diào)性；（2）若/（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)%，占，證明：/（»）-/（£）<_2.-內(nèi)27 . （2018 全國卷 II ）已知函數(shù)/'（x） = e'-ax2 .若。=1,證明：當(dāng)xNO時(shí)，；若在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求.28

14、 . (2018全國卷川)已知函數(shù)/) = (2 +工+。/)11】(1 +刈-2x .(1)若4 = 0,證明：當(dāng)一 1VXV0時(shí)，/(x)V。；當(dāng)X>0時(shí)，/(A)>0 ;(2)若x = 0是/(X)的極大值點(diǎn)，求”.29 .(2018北京)設(shè)函數(shù)/(幻=«/-(4。+ 1)X + 44 + 36”.若曲線y = /'(x)在點(diǎn)(1J)處的切線與X軸平行，求；(2)若/(A-)在x = 2處取得極小值，求a的取值范圍.30 . (2018 天津)已知函數(shù)/。)=4 g(x) = logfl x,其中”>1 .(1)求函數(shù)/?(x) = /(x)-xlna

15、的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y = f(x)在點(diǎn)區(qū)J (%)處的切線與曲線y = g (x)在點(diǎn)(%，g (士)處的切線平行，證明玉+晨修)=一平上； Ina(3)證明當(dāng)丁時(shí)，存在直線/，使/是曲線y = /(幻的切線，也是曲線y = g(x)的 切線.31 . (2018江蘇)記/'(x),g'a)分別為函數(shù)x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x°eR ,滿足/(%) = 8*。)且:*。)=且'(4),則稱為函數(shù)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.證明：函數(shù)/(幻=X與8*) = /+2工-2不存在“S點(diǎn)”；(2)若函數(shù)/一 1與g(x) = In x存在" S點(diǎn)”

16、，求實(shí)數(shù)”的值；be*(3)已知函數(shù)/0)= 一/+4, g(x) =.對(duì)任意。>0,判斷是否存在。>0,使函 X數(shù)/(X)與g(x)在區(qū)間(。，)內(nèi)存在"S點(diǎn)”，并說明理由.32 . (2018 浙江)已知函數(shù)/(x) = J7 lnx .(1)若/")在1=內(nèi)，一(%處導(dǎo)數(shù)相等,證明：/(苔)+ /()>8-812 ;若c/W341n2,證明：對(duì)于任意攵>0,直線)，=公+ a與曲線y =/*)有唯一33 . (2017 新課標(biāo) I )已知函數(shù) f(x) = ae2x+(a-2)ex-x .(1)討論/*)的單調(diào)性；(2)若錯(cuò)誤!未找到引用源。有

17、兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.34 . (2017 新課標(biāo) II)已知函數(shù)/(x) = "r-4x-xlnx,且/(x)2O .求；(2)證明：/3)存在唯一的極大值點(diǎn)且</(/)< 2-2錯(cuò)誤!未找到引用源。.35 . (2017新課標(biāo)川)已知函數(shù)/(x) = x-l alnx .若x)，0,求。的值;設(shè)”為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，(i+3(i+L)(1 + !)<機(jī)，求小的最小值. 22-2”36. (2017 浙江)已知函數(shù)/(x) = (x 07=.(I )求/(X)的導(dǎo)函數(shù)；(II)求/(X)在區(qū)間J,2)上的取值范圍.37 .(2017江蘇)已知函數(shù)/(幻=.

18、/+戊2+以+ 1(>0/eR)有極值，且導(dǎo)函數(shù)/，*.)的極值點(diǎn)是/*)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2 > 3a ；7(3)若/'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-，求“的取值范圍.38. (2017天津)設(shè)4CZ,已知定義在R上的函數(shù)/3) = 2%4+3_?-3/-6'+ ”在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)g(x)為/*)的導(dǎo)函數(shù).(I )求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(II )設(shè)?el,Xo)U(x()，2,函數(shù)力*) = 8(幻(相一,%)一/。)，求證：/(w)/?(x0)<0

19、;(III)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對(duì)于任意的正整數(shù)m，且el,Xo)U*o,2, q滿足 12 x。2. q Aq39. (2017 山東)已知函數(shù) 7(x) = /+2cosx, g (x) = ex (cos x - sin x + 2x - 2),其中e = 2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I )求曲線 = /(”在點(diǎn)5J5)處的切線方程；(II)令"(x) = g(x)-4(x)(aeR),討論/?*)的單調(diào)性并判斷有無極值.有極值 時(shí)求出極值.2 V- - 140 . (2016 年山東)已知/(x) = a(x-lnx) +二e R .(I)討論/(X)的單調(diào)性

20、；(II)當(dāng)。=1時(shí)，證明/。)/'3 +不對(duì)于任意的工«1,2成立.41 .(2016 年四川)設(shè)函數(shù)/(x) = ax2a - lnx,其中 “wR.(I)討論/(x)的單調(diào)性；(II)確定的所有可能取值，使得在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.718 X為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).42 . (2016年天津)設(shè)函數(shù)/(X)= (x- 1尸一G-。，X £ H 其中。力£ R 9求/(X)的單調(diào)區(qū)間；(II)若/(幻存在極值點(diǎn)與,且/(內(nèi))= /(%),其中占W.%,求證：耳+2%=3;(川)設(shè)。0,函數(shù)g*)="(x)|,求證：g(x)在區(qū)間上的最

21、大值不小于;錯(cuò) 誤!未找到引用源。.43 . (2016年全國I )已知函數(shù)/(x) = (x - 2)/+a(x-1)2錯(cuò)誤味找到引用源。有兩個(gè)零 點(diǎn).(I)求“的取值范圍；(II)設(shè)內(nèi)，是/(X)錯(cuò)誤!未找到引用源。的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：司十馬2.44 . （2016 年全國 II ）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)%>0時(shí)，(x-2£+x + 2>0 ；(II)證明：當(dāng)”日0.1)時(shí)，函數(shù)g(x)-j="(x>0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為 h(a),求函數(shù)力(“)的值域.45 . (2016 年全國川)設(shè)函數(shù)/(x) = ecos2x +(2 l)(co

22、sx + l),其中 a>0,記I/WI的最大值為A .(I )求八幻；(II )求 A ；(III)證明|f(x)IW2A .46 . (2016年浙江高考)已知“23,函數(shù)尸(x) = min2lx-ll,x2 -2+ 4。-2,其中.1 fp, pWgmin /“=<g，p>q(I)求使得等式/")=爐-2,戊+ 4"-2成立的x的取值范圍；(II) (i)求尸(x)的最小值(/)；(ii)求尸(x)在區(qū)間。6上的最大值MQ).47. (2016 江蘇)已知函數(shù) “X)= "+/( >02 >0,a = l,方工1).(1)設(shè)。

23、=2, = g .求方程/(x) = 2的根；若對(duì)于任意xeR,不等式f(2x)2""x)-6恒成立，求實(shí)數(shù)小的最大值；(2)若0v“vl,函數(shù)g(x) = x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求"的值.48 . (2015 新課標(biāo) II )設(shè)函數(shù) /(x) = e+-nvc .(I )證明：/(幻在(,0)單調(diào)遞減，在(0,+。)單調(diào)遞增；(II)若對(duì)于任意玉，-1,1.都有1/(內(nèi))一/(公)1<6-1,求機(jī)的取值范圍.49 . (2015 山東)設(shè)函數(shù)f(x) = ln(x + l) + a，-x),其中wR(I )討論函數(shù)/(X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；(I

24、I)若Vx>0, /*)力0成立，求的取值范圍.50 .(2015湖南)已知。>0,函數(shù)/(x) = *sinMxe0，+s) .記/為/")的從小到大 的第(eN”)個(gè)極值點(diǎn).證明： 數(shù)列/(七)是等比數(shù)列；(2)若，下二，則對(duì)一切七 <"(七)1恒成立.&2-151 . (2014新課標(biāo)II)已知函數(shù)=3/+內(nèi)+ 2,曲線)，= /")在點(diǎn)(0, 2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2 .(I )求“；(II)證明：當(dāng)<1時(shí)，曲線y = /(x)與直線了 =丘一2只有一個(gè)交點(diǎn).x o52 . (2014山東)設(shè)函數(shù)/(x)=(二+

25、 Inx) (k為常數(shù)，e = 2.71828是自然對(duì)數(shù) X' X的底數(shù)).(I )當(dāng)時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；(II)若函數(shù)“X)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求攵的取值范圍.53 . (2014 新課標(biāo) I )設(shè)函數(shù) f(x) = anx + -x2 -bx(a W 1),曲線 y = /(a)在點(diǎn)(1J)處的切線斜率為0.(I )求b ；(II)若存在與21,使得/(/)<冬，求。的取值范圍.6/-154 . (2014山東)設(shè)函數(shù)/(x) = 0nx +=,其中。為常數(shù).x+(I )若=。，求曲線y = /(外在點(diǎn)(1J)處的切線方程；(H)討論函數(shù)/*)的單調(diào)性.55

26、. (2014 廣東)已知函數(shù)/(幻=,+犬+ax + l(aeR).(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(II )當(dāng)<0時(shí)，試討論是否存在Xo£(°，J)U(；/)，使得/(%) = /(：) -56 . (2014江蘇)已知函數(shù)/*) = e，+cT,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I )證明：/(X)是R上的偶函數(shù)；(II)若關(guān)于x的不等式!f(x)WeT+?-1在(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；(III)已知正數(shù)。滿足：存在.厘1,+8),使得/(.”)<a(-焉+3/)成立.試比較與I的大小，并證明你的結(jié)論.57. (2013新課標(biāo)I )已知函數(shù)3(

27、幻="(必:+知一爐一4小曲線)，= /(x)在點(diǎn)(0J(0) 處切線方程為y = 4x+4 .(I )求的值；(H)討論f*)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.58. . (2013新課標(biāo)II)已知函數(shù).(I )求/(x)的極小值和極大值；(II)當(dāng)曲線)，= /«的切線/的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求/在x軸上截距的取值范圍.59. (2013福建)已知函數(shù)/(x) = x l + = (awR, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). e(I )若曲線y = /(x)在點(diǎn)(1J)處的切線平行于x軸，求”的值；(II)求函數(shù)/(X)的極值；(III)當(dāng)4 = 1的值時(shí)，若直線/：,，=依1與曲線y

28、= /(x)沒有公共點(diǎn)，求k的最大 值.60 . (2013 天津)已知函數(shù)/(x) = x勺nx .(I )求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；(II)證明：對(duì)任意的，>0,存在唯一的使，= /($) .(Ill)設(shè)(II)中所確定的$關(guān)于/的函數(shù)為5 =2。),證明：當(dāng)時(shí)，有:<年.5 Inr 261 .(2013江蘇)設(shè)函數(shù)/") = lnx - aj g(x) =婷一 or,其中“為實(shí)數(shù).(I )若在。，)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,)上有最小值，求的取值 范圍；(II)若g")在(-1,«力)上是單調(diào)增函數(shù).試求/*)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.6

29、2 . (2012 新課標(biāo))設(shè)函數(shù)/(x) = "ai 2 .(I )求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II )若a = l, k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)，(xA)/'(x) + x+l>0,求k的最大值.63 . (2012安徽)設(shè)函數(shù)/(x) =,/+仇。>0).ae(I )求/(X)在0,)內(nèi)的最小值；3(II)設(shè)曲線)，= /*)在點(diǎn)(2,7(2)的切線方程為曠=5- 求的值.64 .(2012山東)已知函數(shù)/(幻=生吆(k為常數(shù)，e = 2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))， e曲線)'=fW在點(diǎn)(I，/(D)處的切線與戈軸平行.(I)求我的值；(II)求/

30、W的單調(diào)區(qū)間;(no設(shè)ga)=，+x)ra),其中尸(幻是/(幻的導(dǎo)數(shù).證明：對(duì)任意的x>0, g(x)< + e-2 .65 .(2011新課標(biāo))已知函數(shù)/(幻=也)+ 9,曲線)，= /(x)在點(diǎn)(1J)處的切線方程 x + x為x+2y3=0.(I)求。，的值；(II)證明：當(dāng)x>0,且xwl時(shí)，里.X-166 . (2011 浙江)設(shè)函數(shù)/(X)= t/2 lnx-x2 + axt a >0 .(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)求所有實(shí)數(shù)。，使e lW/(x)</對(duì)xel,e恒成立.注：。為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).67 . (2011 福建)已知“，Z?為常數(shù)，

31、且ciWO,函數(shù)/(x) =-O¥ + Z? + 4XInx, /(e) = 2 (e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(I )求實(shí)數(shù)的值；(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(III)當(dāng)4 = 1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)用和加(7 vM ),使得對(duì)每一個(gè)/£直線y =，與曲線y = /(x)(x0l, 8)都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù) e，和最大的實(shí)數(shù)M ;若不存在，說明理由.68. (2010新課標(biāo))設(shè)函數(shù)x) = x(eX-1)-0?(I )若 =1,求/(幻的單調(diào)區(qū)間；2(II )若當(dāng)x20時(shí)/(x)20,求”的取值范圍.專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用答案部分20

32、19 年1 .解析當(dāng)x = l 時(shí)，/(1) = 1-2 + 2. = 1>0恒成立：當(dāng) x < 1 時(shí)，f(x) = x2 - 2ax + 2a20 <=>/ / / X2(17 -1)2令小)二1 一一一一一二(j)+ j 2目(1 X).一22"一恒成立， x-1(1-x)2-2(1-x) + 11-x-2 =0，Z所以 2a2 g (x)gx = 0，即 > 0 ,Y當(dāng)x > 1時(shí)，/ (x) = x 。In x20 o a恒成立,1nxI1,lnx-x- 令，貝=7A = 212_,Inx(lnx)(Inx)'當(dāng)工,e時(shí)，/?r(

33、x)>0, (x)遞增，當(dāng) 1 <x<e時(shí)，/?'(x)<0, (x)遞減,所以當(dāng)x = e時(shí)，取得最小值(e) = e.所以=e綜上，的取值范圍是0,e.2 .解析(1) ff(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3x - a).令/'(x) = 0,得 x=0 或 x = j若00,則當(dāng)xe(-s,0)U 二 3+sj時(shí)，r(x)>0：當(dāng)xe(o句時(shí)，f,(x)<0.故/(x)在(一8,0),/a<3,+s單調(diào)遞增，在0,gJ單調(diào)遞減:若4=0, /(X)在(,+O0)單調(diào)遞增;一sq；U(°、y)時(shí)，/'(x

34、)>0：當(dāng)xe彳。)時(shí)，r*)vo.故/a)在(一叫三J,(0,+s)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)滿足題設(shè)條件的“，b存在.(i)當(dāng)時(shí)，由(1)知，/")在0,1單調(diào)遞增，所以/*)在區(qū)間0,1的最小值為/(0)=6 , 最大值為/(1) = 2-。+ .此時(shí)小滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b = 1, 2。+ = 1,即=0, b = -.(ii)當(dāng)心3時(shí)，由(1)知，/(X)在0, 1單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間0, 1的最大值為 /(0)=6,最小值為/= 2 a + b.此時(shí)“，滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-1"=1,即。=4, b=l.(iii)當(dāng)0<，<3時(shí)，

35、由(1)知，/*)在0, 1的最小值為/5)= 一冬+，最大值為。或2-a+b.若幺+ = 一1，H則a = 3庶，與0<<3矛盾.27若一 §y + Z? = -l，2-a+b = » 則。= 3jJ 或。=一36或"=。，與。<<3 矛盾.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)"=O, b = 1或a=4, =1時(shí)，/3)在0, 1的最小值為-1,最大值為1.3 .解析：(I )當(dāng)。=一±時(shí)，/(X)= -31nx +0.4 431(Jl + x - 2)(2>/1 + x +1)t (x) =+ 7= =7=，4x2>J +

36、x4xy/+x所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3, +00).(II)由得走.2a4當(dāng)立時(shí)，/&)工立等價(jià)于土 MH 21nxN0.42a cr a令，=1,貝也. a設(shè) g(f) =，C-2f Jl + x -21nxJ 2 2a/T ,則g(f) > (2/2) = 8«-4點(diǎn)Jl + x - 21n x .(i)當(dāng) xe ",+°° 時(shí)，Jl +。4 2正，則g。) > g(2>/?) = 8>/x-45A+-21n x .記(x) = 4/72應(yīng)Jl + x In x, x 之&qu

37、ot;，則“（X）0+pMp(;)單調(diào)遞減極小值P單調(diào)遞增所以，p(x)2(l) = 0 .因此，g(t) > g(2>2) = 2p(x) > 0 .(ii)當(dāng)令g(x) = 2>fx nx + (a +1),x e-2-V71nx-(x+l)時(shí)，g«）g，則/（刈="匚+ 1>0,所以，q（x）vO.上單調(diào)遞增，所以2a11 2小7)P(1) = O因此g（，）g由（i） （ii）得對(duì)任意，e2&,+8),g(，)20,即對(duì)任意Xt均有/OK正2a綜上所述，所求，的取值范圍是4.解析：設(shè) g(x) = /'(x),則 g(*

38、°sx-± g") fnx +擊.71JTTT當(dāng)xe - 1,一 時(shí)，g'(x)單調(diào)遞減，而g'(O)>O,g'()<0 , <2/2兀可得g'（x）在-1，5有唯一零點(diǎn)，設(shè)為a. 2）則當(dāng)xw(-l,a)時(shí)，g'(x)>0：當(dāng)時(shí)，g'(x)vO.所以g(x)在(-1。)單調(diào)遞增，在a單調(diào)遞減，故g(x)在-1,-存在唯一極 ' 2 )2 y大值點(diǎn)，即廣(X)在，1,存在唯一極大值點(diǎn).12)(2) /(X)的定義域?yàn)?i)當(dāng)xe(l,O時(shí),由 知，尸在(-1,0)單調(diào)遞增,而r(0)

39、= 0,所以當(dāng)xw(TO)時(shí),尸(x)vO,故/(X)在(-1,0)單調(diào)遞減,又/(0)=0,從而x = 0是/(X)在(-1,0的唯一零點(diǎn).(ii)當(dāng)入。5 時(shí)，由(1)知,.(x)在(0。)單調(diào)遞增,而尸(0)=0,<0,所以存在，使得廣(0 = 0,且當(dāng)xe(o,時(shí),/V)>0；當(dāng)p.-時(shí)，/(x)<0,故/(x)在(0,夕)單調(diào)遞增，在|?一單調(diào)< 2 / 2 ；遞減.又/(0)=0, f - = l-lnl + ->0,所以當(dāng) xejo,q 時(shí)，f(x) > 0 .< 2 /2 /V 2 I從而/(X)在og沒有零點(diǎn).(iii)當(dāng)71時(shí)，/&

40、#39;(x)v0,所以/(x)在，兀單調(diào)遞減.而/ yj>0,/(兀)<0,所以/(X)在 3兀有唯一零點(diǎn). < 2(iv)當(dāng) xw(兀 *o)時(shí)，ln(x + l)>l ,所以/(x)v0,從而/(x)在(wxo)沒有零點(diǎn).綜上，/(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).5 .解析：(1)/00的定義域?yàn)?0,l)U(L+8).因?yàn)?'（X）= L + !T>0,所以/（X）在（0, 1） , （1, +00）單調(diào)遞增.因?yàn)? (e) =1-/(/)=2_ : + 1 =-> 0, e-Ie-l e-l所以/(x)在(1, +00)有唯一零點(diǎn)為，即/(川)=0.

41、又0<L<i, /(_L)= _inX|+F = /(石)= 0,XX% 11故/（x）在（0, 1）有唯一零點(diǎn)一.再綜上，/（X）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（2）因?yàn)長(zhǎng) = e-*,故點(diǎn)8（-hu,b ）在曲線），*上. 玉）*0xn + 11 / + % 4-1_ 1_/+1_ 丫 /1。%-1由題設(shè)知/(%)=。，即lnx0 =7, % - In/故直線AB的斜率k = T-lnx0-x0曲線盧H在點(diǎn)B（-ln.r0,）處切線的斜率是,曲線y = Inx在點(diǎn)A（x0,ln.r0）處切線的 王）玉）1 斜率也是一, X。所以曲線）' = lnx在點(diǎn)A（%/nx。）處的切線也是曲

42、線產(chǎn)已為勺切線.6 .解析(1)因?yàn)椤? /? = c,所以/'(x) = (x-a)(x )(x-c) = (x-a)L因?yàn)閒(4)=8,所以(4 -“)3=8,解得。=2.(2)因?yàn)閆? = c,所以 /(X)= (x-6/)(x-/?)2 = %3 -(a + 2b)x2 +b(2a + b)x-ab2,從而:(x) = 3(x )x 等2.令(x) = 0,得x = 或x =因?yàn)?,仇美也都在集合一3,3中，且awb,所以 2" + 卜=1,。= 3, Z? = -3 3此時(shí) /'(x) = (x 3)(x + 3)2,r(x) = 3(x + 3)(x-1)

43、.令廣（乃=0,得"=一3或x = l.列表如下:X(-oo,-3)-3(-3.D1(12f'M+00+fM/極大值極小值/所以/（X）的極小值為/'=（1一3）（1 + 3尸=一32.(3)因?yàn)閍 = O,c = l,所以/(x) = x(x-Z?)(x-l) = x* S + 1)/+法, ff(x) = 3x2 -2(b + l)x+b .因?yàn)?<b«l,所以。=4(6 + 1)21抄= (26- 1y+3>0,則:。）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為斗（玉 ）少b + l-加-b + lb + T + 后 一b + 1由/。）= 0，得石=;,&#

44、163;=; 列表如下:X（一8，$）再（和乙）X2Cq,+s)+0一0+fW/極大值極小值/所以/（X）的極大值M=f（xx）.解法一：A/=/（xJ = x；_（。+l）x；+如S 2 2 八/N"1、2伊-b + 1)帥 + 1) =3x -2(/7 +1)%I +Z?1 - J再 + ="/L)s+D+111+2(77)， 27927 V)272727 vb(b +1) 2 442727 2727解法二：因?yàn)樗詢?nèi)e(O,l).(x-1).當(dāng) X W (0,1)時(shí)，f(x) = X(X - b)(x-1)< X(X _ 1)2 .令g(x) = x(x-l)2

45、,xe(0,1),則gx) = 3令g'(x) = 0,得x = 1.列表如下:所以當(dāng)x = 2時(shí)，g(x)取得極大值，且是最大值，故g(X)m”1<3427X(0,1)13中)g'(x)+0g(x)/極大值X44所以當(dāng) xe (0,1)時(shí)，f(x) < g(x) <，因此M < 一 . 2727137.解析：(I)由制=一/一/+工，得(的=二/一2工+1. 443X令/，*)= ,即“/-2工 + 1 = 1,解得x =。或xQ Q又八0)=。，八?=萬， 所以曲線>，= /*)的斜率為1的切線方程是y =工與丁一3 =工一64即y = x與y

46、 = x 一萬(II)令g(x) = /(x)-x, xe-2,4.i3由 g(x) =-I 得 g，=二/ 一 2x.448 令g'(x) = 0得工=0或1=一.g '(x), g(x)隨X的變化情況如表所示X-2(-2,0)0838)4g 3+-+g(x)-6/064 27/0所以g(x)的最小值為-6,最大值為0,所以一6Kg(x)K0,即x 6K/(x)Kx. (III)由(II)知,當(dāng) 時(shí)，M > E(O) = |g(O)_q =_ >3 ：當(dāng)3時(shí)，M (a) > F(-2)= |g(2)£/| = 6 + 6/ > 3 ：當(dāng) =一

47、3時(shí)，M(a) = 3.綜上，當(dāng)M(a)最小時(shí)，a = -3.8.解析 (【)由己知，有f Xx) = ev (cos x - sin x) .因此，當(dāng) 2攵兀+ ：,2兀+微1(攵e Z)時(shí)，有sinx>cosx,得尸(x)v0,則單調(diào)遞減;當(dāng)xe 2攵兀一,2女兀+工| (攵eZ)時(shí)，有sinxvcosx,得/'(x)>0，則/(x)單調(diào)遞增. 所以，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為2攵兀一個(gè)，2攵兀+ ： (keZ)J(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 2k + , 2kn + ( e Z).44(II )記萬(x) = /(x) + g(x),依題意及(I ),有 g(x) = e&q

48、uot;(cosx-sinx),從而g x) = -2ev sin x.當(dāng)xe %外時(shí)，gx)vO, I 4 L )<0.故 h x) = f x) + g '(x) ( g - x ) + g (%)(-1) = g x)因此,(x)在區(qū)間7T 714,2上單調(diào)遞減，進(jìn)而(x)/«gj = /(|) = o.所以,k n 42時(shí),/(x) + g(x)('|-X>。.(III)依題意，(x“) = /(Z)1 = 0,即e%cosx=l.記上 =%-2兀，則% en n4,2;且 f (")=e" cos yn = e % -溫cos

49、 (七2hti) = e-2"" ( £ N ).由/(")= e-2m4=/(%)及< I)，得尤為。由(H)知，當(dāng) xe :gj 時(shí)，g'(x)<0，所以 g(x)在兀兀42上為減函數(shù)，因此/ qig(y)g(y()vg 匕=。 又由(H)知，/G，J + g()，“)Q y”卜0,故冗*/()'")_ e* </"_ in <而2 .“、 g(yj g(y”)、g(y。) eV|>(sin y0-cosy() sinA0-cosx0-2/rX所以，2mi + - -xn <.2

50、 sin -cosx02010-2018 年1. A【解析】V fM = x2 +(a + 2)x + a- lex , V f(-2 = 0 > Aa = -1,所以/(x) = (/x l)ei，f(x) = (x2+x-2)e , 令/0) = 0,解得工=-2或x = l,所以當(dāng)xe(y>, - 2), fx > 0 , /")單調(diào)遞 增；當(dāng)xe (-2,1)時(shí)，fx) < 0, f(x)單調(diào)遞減;當(dāng) xe(l,+s), fx) > 0, f(x) 單調(diào)遞增，所以/(x)的極小值為/=(1-1-1)-=-1,選A.2. D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可

51、知，)，=/(幻的單調(diào)性是減f增一減f增，排除A、C： 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，)，=/(好的極值點(diǎn)一負(fù)兩正，所以D符合，選D.3. D【解析】當(dāng)x20時(shí)，令函數(shù)/0) = 2/一",貝ijr(x)=4x ，易知廣")在0, ln4)上單調(diào)遞增，在ln4, 2上單調(diào)遞減，又/r(0) = -l<0,廣(1) = 2 J7>0,2廣=4 e > 0 ,廣(2) = 8 -> 0 ,所以存在與 £ (0,；)是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn), 即函數(shù)/(外在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(/,2)上單調(diào)遞增，且該函數(shù)為偶函數(shù)，符合 條件的圖像為D.4. B【解

52、析】(解法一)團(tuán)工2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x =-上史.據(jù)題意，當(dāng) ?>2時(shí)， 機(jī)一 2-> 2 即 2/? + /<12 ./ y/2mn < ,u + n <5 ,？ 418 .由 2加=且 "7 - 22 _ X 1+ = 12得m=3, = 6,當(dāng)?<2時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，一<-m-2 2即 m + 2n < 18 . / yjhn - n <"< 9 /. mn < ,由 2 = m 且 m+2n = 18 得 22w=9>2,故應(yīng)舍去.要使得機(jī)取得最大值，應(yīng)有團(tuán)+ 2 = 18 (?

53、<2/>8).所以 加 =(18 2)<(18-2x8)x8 = 16,所以最大值為 18.選 B.(解法二)由已知得/'(x) = (? 2)x + 8,對(duì)任意的工£己,2,廣(x)W0,所 21m 0, n 0f心W 0以2,即彳7 + 2 W 18.畫出該不等式組表示的平而區(qū)域如圖中陰影部分J'(x) . 0 2m + W 2所示,7,解得 =6,令mn=t,則當(dāng) =0時(shí)，=0,當(dāng)工0時(shí)，加=,由線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí),只有 n當(dāng)直線2- =12與曲線機(jī)=-相切時(shí)，取得最大值，由 n- 18,所以("0m =18,選 B.5. A【解析】

54、令/?(x)="U,因?yàn)镴(v)為奇函數(shù)，所以(x)為偶函數(shù)，由于 X,當(dāng)工>0 時(shí)，xfx)f(x) <0,所以/心,)在(0,+s)上單調(diào)遞減，根據(jù)對(duì)稱性力。)在(一。0)上單調(diào)遞增，又/(一1) = 0, /(1)=。,數(shù)形結(jié)合可知，使得/(x)>0成立的式的取值范圍是(-8,i)U(0，i)6. D【解析】由題意可知存在唯一的整數(shù)小,使得設(shè)g(x) = e'(2x-l), h(x) = ax-a ,由 g'(x) = e'(2x +1),可知 g(x)在(,一) 2上單調(diào)遞減，在(-,-)上單調(diào)遞增，作出g(x)與(X)的大致圖象如圖

55、所示, 2故陽)>?。)/?(l)Wg(-l)3即 一3，所以一1.一2。 一一 2e7. D【解析】= ，/'(x) = kL,/(x)在(l,*o)單調(diào)遞增，x所以當(dāng)X>1時(shí)，/(幻=女一120恒成立，即女2,在(1,2)上恒成立， XXVx>H AO<-<1,所以故選 D. x8. A【解析】法一由題意可知，該三次函數(shù)滿足以下條件：過點(diǎn)(0, 0), (2, 0),在(0,0)處的切線方程為y = -X,在(2,0)處的切線方程為y = 3x 6 ,以此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).A113選項(xiàng)，y = -X3 f-X,顯然過兩個(gè)定點(diǎn)，又)，'=二/一工一

56、1, ,222則Wd=T，)'1.2=3,故條件都滿足，由選擇題的特點(diǎn)知應(yīng)選A.法二 設(shè)該三次函數(shù)為 f (x) = ax3 + bx2 + ex + cl,則 fx) = 3ax2 +2bx + c/(0) = 0由題設(shè)有/'(2) = 0r(o)=-i故該函數(shù)的解析式為一工,選A. 229. C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知：/(x)的極值點(diǎn)與滿足/(%)= 土并，JTY 71則一 = 一 + 2女萬(Z$Z),從而得4=(女+ )7(keZ),所以不等式 m 22君+"(7)V 八 即為(攵+ ,)2，+3</，變形得力1一(攵+ !)>3, 22其中攵eZ.由題意，存在整數(shù)攵使得不等式力1一(女+ 1)>3成立.2當(dāng)女W-1且攵工0時(shí)，必有(攵+ _1)2>1,此時(shí)不等式顯然不能成立， 2故女=-1或攵=0,此時(shí)，不等式即為>3,解得?<一2或>2. 410. A【解析】設(shè)所求函數(shù)解析式為y = /(x),由題意知/(5) = -2,/(-5)