第四章 基本體投影和截交線(正式)

1、JixieJixie ZhituZhitu主編主編 劉劉 力力 王王 冰冰高等教育出版社高等教育出版社 【學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求】 1. 1.熟練掌握基本體的投影畫法、立體表面上取點和線；熟練掌握基本體的投影畫法、立體表面上取點和線； 2. 2.掌握平面與立體相交時截交線的投影特點、形狀分析及其求截掌握平面與立體相交時截交線的投影特點、形狀分析及其求截交線的作圖方法；交線的作圖方法； 3. 3.掌握兩立體表面相交時相貫線的投影特點、形狀分析及其求相掌握兩立體表面相交時相貫線的投影特點、形狀分析及其求相貫線的作圖方法；貫線的作圖方法； 4. 4.會用會用autocadautocad繪制立體

2、及其表面交線投影的作圖方法。繪制立體及其表面交線投影的作圖方法。 【重點和難點重點和難點】1.1.重點重點（1 1）回轉(zhuǎn)體的投影及其表面上取點、取線的作圖方法；）回轉(zhuǎn)體的投影及其表面上取點、取線的作圖方法；（2 2）截交線的形狀分析方法，其中圓柱表面截交線形狀的分析）截交線的形狀分析方法，其中圓柱表面截交線形狀的分析與作圖是重點；與作圖是重點；（3 3）兩回轉(zhuǎn)體相交的相貫線的性質(zhì)及其作圖方法，其中圓柱與）兩回轉(zhuǎn)體相交的相貫線的性質(zhì)及其作圖方法，其中圓柱與圓柱相貫是重點。圓柱相貫是重點。 2. 2.難點難點 （1 1）截交線、相貫線形狀的分析與作圖；）截交線、相貫線形狀的分析與作圖； （2 2）

3、輔助平面法求相貫線。）輔助平面法求相貫線。4.1 4.1 基本體的投影及其表面取點基本體的投影及其表面取點4.3 4.3 兩回轉(zhuǎn)體表面的交線兩回轉(zhuǎn)體表面的交線相貫線相貫線4.2 4.2 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線截交線截交線立體表面由若干表面圍成。表面均為平面的立體稱為立體表面由若干表面圍成。表面均為平面的立體稱為平平面立體面立體，表面為曲面或平面與曲面的立體稱為，表面為曲面或平面與曲面的立體稱為曲面立體曲面立體。工。工程制圖中，通常把棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等簡程制圖中，通常把棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等簡單立體稱為基本幾何體，簡稱單立體稱為基本幾何體，簡稱基本體

4、基本體。平面立體的表面都是平面多邊形，繪制平面立體的投影平面立體的表面都是平面多邊形，繪制平面立體的投影就是把組成這個平面立體表面的所有平面多邊形的輪廓線的就是把組成這個平面立體表面的所有平面多邊形的輪廓線的投影都表示出來，可見的投影畫粗實線，不可見的投影畫細投影都表示出來，可見的投影畫粗實線，不可見的投影畫細虛線。虛線。1.1.棱柱棱柱（1 1）棱柱的投影）棱柱的投影棱柱由頂面、底面和稱為棱面的矩形平面所圍成；棱柱由頂面、底面和稱為棱面的矩形平面所圍成；頂面、底面是平行且形狀和大小相等的多邊形；頂面、底面是平行且形狀和大小相等的多邊形；棱面與棱面的交線稱棱線，棱線互相平行。棱面與棱面的交線稱

5、棱線，棱線互相平行。 在平行于棱柱底面的投影面上，棱柱的投影是一平面多邊在平行于棱柱底面的投影面上，棱柱的投影是一平面多邊 形，它反映底面實形。形，它反映底面實形。 在其它在其它的投影面上，的投影面上，棱柱的投影棱柱的投影是一系列矩是一系列矩形或矩形線形或矩形線框。框。1.1.棱柱棱柱（1 1）棱柱的投影）棱柱的投影 作投影圖時，可先畫正六棱柱作投影圖時，可先畫正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)投影規(guī)的水平投影正六邊形，再根據(jù)投影規(guī)律（長對正，高平齊，寬相等）和棱律（長對正，高平齊，寬相等）和棱柱高度作出其他兩個投影。柱高度作出其他兩個投影。adebcabdceecdabADCEBXZYa(b

6、)d(c)eabdcea”b”d”c”XZYHYW（2 2）棱柱表面取點）棱柱表面取點已知棱柱表面已知棱柱表面上點上點M M的正面投影的正面投影mm，求作點，求作點M M的其的其他兩投影他兩投影m m 、m m 已知點已知點N N的水平的水平投影投影n n，求點，求點N N的其的其它兩投影它兩投影n,nn,n 2.2.棱錐棱錐（1 1）棱錐的投影）棱錐的投影棱錐的底面為平面多邊形；棱錐的底面為平面多邊形；棱錐的所有棱線匯交于一點（錐頂）。棱錐的所有棱線匯交于一點（錐頂）。 在平行于棱錐在平行于棱錐底面的投影面上，底面的投影面上，棱錐的投影是多邊棱錐的投影是多邊形線框，它反映底形線框，它反映底面

7、實形；面實形； 在其它投影在其它投影 面面上，棱錐的投影是一上，棱錐的投影是一系系 列三角形或三角列三角形或三角形線框。形線框。2.2.棱錐棱錐（2 2）棱錐的投影）棱錐的投影 作投影圖時先畫出底面三角形的各個投影，再作出錐頂作投影圖時先畫出底面三角形的各個投影，再作出錐頂S S的各個投影，然后連接各棱線即得正三棱錐的三面投影。的各個投影，然后連接各棱線即得正三棱錐的三面投影。（2 2）棱錐表面取點）棱錐表面取點已知棱錐表面已知棱錐表面上點上點M M的正面投影的正面投影mm，求作點求作點M M的其他兩投的其他兩投影影m m 、m m 已知點已知點N N的水平的水平投影投影n n，求點，求點N

8、N的其的其它兩投影它兩投影n,nn,n 平面立體表面取點方法小結(jié)：平面立體表面取點方法小結(jié)：1.1.首先確定點所在的平面，并分析該平面首先確定點所在的平面，并分析該平面的投影特性；的投影特性；2.2.若該平面垂直于某一投影面，則點在該若該平面垂直于某一投影面，則點在該投影面上的投影必定落在這個平面的積投影面上的投影必定落在這個平面的積聚性投影上；聚性投影上；3.3.若該平面為一般位置平面時，可采用輔若該平面為一般位置平面時，可采用輔助直線法求出點的投影。助直線法求出點的投影。平面體投影特性棱柱的投影是 一個多邊形和兩個矩形線框棱錐的投影是一個多邊形線框和兩個三角形線框棱臺的投影是一個同心的多邊

9、形和兩個梯形工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體。最常工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體。最常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、球和圓環(huán)等。在投見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、球和圓環(huán)等。在投影圖上表示回轉(zhuǎn)體就是把組成立體的回轉(zhuǎn)面或影圖上表示回轉(zhuǎn)體就是把組成立體的回轉(zhuǎn)面或平面與回轉(zhuǎn)面表示出來，并表明可見性。平面與回轉(zhuǎn)面表示出來，并表明可見性。1.1.圓柱圓柱（1 1）圓柱的投影）圓柱的投影頂頂 面面底底 面面圓柱面圓柱面圓柱面是由一直線（母線）繞與之平行的圓柱面是由一直線（母線）繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)一周而形成的。母線在圓柱面上的軸線回轉(zhuǎn)一周而形成的。母線在圓柱面上的任一位置稱為圓柱面的素線。任一位置稱為圓柱面的素線。圓柱表面

10、由圓柱曲面和頂面圓、底面圓組成圓柱表面由圓柱曲面和頂面圓、底面圓組成。在垂直于軸線在垂直于軸線的投影面上，投影的投影面上，投影是圓，它反映底面是圓，它反映底面實形。實形。在平行于軸線在平行于軸線的投影面上，圓柱的投影面上，圓柱的投影是形狀、大的投影是形狀、大小相同的矩形。小相同的矩形。1.1.圓柱圓柱（1 1）圓柱的投影）圓柱的投影 作投影圖時先畫出圓柱投影成圓的投影，軸線的三面投作投影圖時先畫出圓柱投影成圓的投影，軸線的三面投影，再根據(jù)圓柱的高度畫出其它兩個投影成矩形的投影。影，再根據(jù)圓柱的高度畫出其它兩個投影成矩形的投影。（2 2）圓柱表面取點）圓柱表面取點已知圓柱表已知圓柱表面上點面上點

11、M M的正面的正面投影投影mm，求作，求作點點M M的其他兩投的其他兩投影影m ,m m ,m 2.2.圓錐圓錐（1 1）圓錐的投影）圓錐的投影底底 面面圓錐面圓錐面 圓錐表面由圓錐面和底圓錐表面由圓錐面和底圓所組成。圓錐面是一直母圓所組成。圓錐面是一直母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)一線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)一周而形成的。母線在圓錐面周而形成的。母線在圓錐面上的任一位置稱為圓錐面的上的任一位置稱為圓錐面的素線。素線。2.2.圓錐圓錐（1 1）圓錐的投影）圓錐的投影u在垂直于軸線的投影面上，投影是圓，它反映底面實形。在垂直于軸線的投影面上，投影是圓，它反映底面實形。u在平行于軸線的投影面上，投影是形狀、

12、大小相同的等在平行于軸線的投影面上，投影是形狀、大小相同的等腰三角形。腰三角形。 作投影圖時，先畫出底面圓和軸線的各個投影，再作投影圖時，先畫出底面圓和軸線的各個投影，再畫出錐頂?shù)耐队?，然后分別畫出圓錐面正面投影和側(cè)畫出錐頂?shù)耐队埃缓蠓謩e畫出圓錐面正面投影和側(cè)面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線，即完成圓錐的各個投影。面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線，即完成圓錐的各個投影。（1 1）圓錐的投影）圓錐的投影（2 2）圓錐表面取點）圓錐表面取點 已知圓錐表面已知圓錐表面上點上點M M的正面投影的正面投影mm，求作點，求作點M M的其的其他兩投影他兩投影m ,m m ,m 方法一：輔助素線法方法一：輔助素線法（2 2）圓錐表面取

13、點）圓錐表面取點 已知圓錐表面已知圓錐表面上點上點M M的正面投影的正面投影mm，求作點，求作點M M的其的其他兩投影他兩投影m ,m m ,m 方法二：輔助圓法方法二：輔助圓法 3. 3.球球（1 1）球的投影）球的投影三面投影是直徑相等的圓。三面投影是直徑相等的圓。 球的表面是球面。球面是由一個球的表面是球面。球面是由一個圓母線繞通過其圓心且在同一平面上圓母線繞通過其圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)的軸線回轉(zhuǎn)180180而形成的。而形成的。作投影圖時，先按投影規(guī)律確定球心的三面投影，作投影圖時，先按投影規(guī)律確定球心的三面投影，即畫出確定球心的三個投影三對中心線，再畫出三個與即畫出確定球心的三個

14、投影三對中心線，再畫出三個與球等直徑的圓。球等直徑的圓。（1 1）球的投影）球的投影（2 2）球表面取點）球表面取點已知球面上點已知球面上點M M的水平投影的水平投影m m，求作點，求作點M M的其他兩投影的其他兩投影mm，m m 4. 4.圓環(huán)圓環(huán)（1 1）圓環(huán)的投影）圓環(huán)的投影環(huán)的表面是由環(huán)面圍成，環(huán)的表面是由環(huán)面圍成，環(huán)面是由一圓母線繞在母線圓環(huán)面是由一圓母線繞在母線圓平面上的母線圓外的軸線回轉(zhuǎn)平面上的母線圓外的軸線回轉(zhuǎn)形成的。靠近軸線的半個母線形成的。靠近軸線的半個母線圓形成的環(huán)面為內(nèi)環(huán)面，遠離圓形成的環(huán)面為內(nèi)環(huán)面，遠離軸線的半個母線圓形成的環(huán)面軸線的半個母線圓形成的環(huán)面為外環(huán)面。為外

15、環(huán)面。作投影圖時，先按投影規(guī)律確定球心的三面投影，作投影圖時，先按投影規(guī)律確定球心的三面投影，即畫出確定球心的三個投影三對中心線，再畫出三個與即畫出確定球心的三個投影三對中心線，再畫出三個與球等直徑的圓。球等直徑的圓。（1 1）圓環(huán)的投影）圓環(huán)的投影（2 2）圓環(huán)表面取點）圓環(huán)表面取點已知環(huán)面上點已知環(huán)面上點M M的正面投影的正面投影mm，求作點求作點M M其他兩投其他兩投影影m ,m m ,m 回轉(zhuǎn)體表面取點方法：回轉(zhuǎn)體表面取點方法：1.1.表面有積聚性的回轉(zhuǎn)體（如圓柱），首表面有積聚性的回轉(zhuǎn)體（如圓柱），首先要在積聚的圓周上找出點的投影，再先要在積聚的圓周上找出點的投影，再根據(jù)投影規(guī)律求出

16、其它面上的投影；根據(jù)投影規(guī)律求出其它面上的投影；2.2.素線是直線的回轉(zhuǎn)體（如圓錐），可采素線是直線的回轉(zhuǎn)體（如圓錐），可采用過錐頂點作輔助素線法求點的投影；用過錐頂點作輔助素線法求點的投影；3.3.所有回轉(zhuǎn)體都可采用作垂直于回轉(zhuǎn)軸的輔所有回轉(zhuǎn)體都可采用作垂直于回轉(zhuǎn)軸的輔助圓法求點的投影。助圓法求點的投影。曲面體投影特性圓柱：一個圓和兩個矩形圓錐: 一個圓和兩個三角形圓臺：同心圓和兩個梯形圓球：三個相同大小的圓圓環(huán)：一個同心圓和兩個相同大小的環(huán)形 用平面與立體相交，截去體的一部分用平面與立體相交，截去體的一部分 截切截切。 截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截交線截交線。 用以截切立

17、體的平面用以截切立體的平面截平面截平面。 平面與立體表面相交，平面與立體表面相交，可以認為是立體被平面截可以認為是立體被平面截切，因此該平面通常稱為切，因此該平面通常稱為截平面截平面。截平面與立體表。截平面與立體表面的交線稱為面的交線稱為截交線截交線。截。截交線圍成的平面圖形稱為交線圍成的平面圖形稱為截斷面。截斷面。截交線的概念截交線的概念截交線的性質(zhì)如下：截交線的性質(zhì)如下：(1)(1)截交線既在截平面上，又在立體表面上，因截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此截交線是截平面與立體表面的此截交線是截平面與立體表面的共有線共有線，截交線上，截交線上的點是截平面與立體表面的共有點（截交點）；的點

18、是截平面與立體表面的共有點（截交點）；(2)(2)由于立體表面是封閉的，因此由于立體表面是封閉的，因此截交線一般是截交線一般是封閉的線框；封閉的線框；(3)(3)截交線的形狀取決于立體表面的形狀和截平截交線的形狀取決于立體表面的形狀和截平面與立體的相對位置。面與立體的相對位置。截交線的投影的形狀取決于截平面與投影面的截交線的投影的形狀取決于截平面與投影面的相對位置。相對位置。截平面截切平面立體所形成的交線為平截平面截切平面立體所形成的交線為平面多邊形，該多邊形的每一條邊都是截平面面多邊形，該多邊形的每一條邊都是截平面與立體表面相交所形成的交線。與立體表面相交所形成的交線。 求截交線的兩種方法：

19、求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點求各棱線與截平面的交點棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面的交分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。線，并連接成多邊形。一、平面體表面的截交線一、平面體表面的截交線 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面

20、的交線。 截交線是一個由直線組成的截交線是一個由直線組成的封閉的平封閉的平 面多邊形面多邊形。 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點求各棱線與截平面的交點棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面的交分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。線，并連接成

21、多邊形。一、平面體表面的截交線一、平面體表面的截交線 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。 截交線是一個由直線組成的截交線是一個由直線組成的封閉的平封閉的平 面多邊形面多邊形。交線的形狀？交線的形狀？截平面與體的截平面與體的幾個棱面相交？幾個棱面相交？ 投影分析投影分析例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 空間分析空間分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性3 3 2 2 1 1 ( (4 4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3

22、 1 12 24 4 3 3 截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！ 注意：注意： 要逐個截平面分析和要逐個截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時，先假想有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交線后再取局部。線后再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 三面共點：三面共點

23、： 、兩點分兩點分別同時位于三個面別同時位于三個面上。上。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 1 8 8 8 8例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 2分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯視圖。

24、截切后的俯視圖。222 211例例4:4:求作俯視圖。求作俯視圖。1 12 2側(cè)垂面?zhèn)却姑嬲姑嬲姑? 1【例例4-14-1】用正垂面用正垂面P P截切正六棱柱，已知正面投影和側(cè)截切正六棱柱，已知正面投影和側(cè)面投影，試畫出六棱柱被截切后的水平投影。面投影，試畫出六棱柱被截切后的水平投影。根據(jù)截平面與六棱柱的相對位置可知，根據(jù)截平面與六棱柱的相對位置可知，P P面與六棱柱的面與六棱柱的五個棱面以及左端面相交，所以形成的截交線為六邊形。六五個棱面以及左端面相交，所以形成的截交線為六邊形。六邊形六個頂點分別為四根棱線與邊形六個頂點分別為四根棱線與P P平面相交以及左端面上的平面相交以及左端面上的兩

25、條邊與兩條邊與P P平面相交的交點。由于截平面平面相交的交點。由于截平面P P為正垂面，且六棱為正垂面，且六棱柱的各個面都平行或垂直于相應(yīng)的投影面，因此，這些平面柱的各個面都平行或垂直于相應(yīng)的投影面，因此，這些平面都具有積聚性投影，可直接利用積聚性作圖。都具有積聚性投影，可直接利用積聚性作圖?！纠?-24-2】已知一帶切口的三棱錐的正面投影和三棱錐未已知一帶切口的三棱錐的正面投影和三棱錐未被接切時側(cè)面投影（未確定在何處被截切斷開的整條左棱線被接切時側(cè)面投影（未確定在何處被截切斷開的整條左棱線的側(cè)面投影暫用雙點畫線畫出），試補全三棱錐被截切后的的側(cè)面投影暫用雙點畫線畫出），試補全三棱錐被截切后

26、的側(cè)面投影，畫出截切后的水平投影。側(cè)面投影，畫出截切后的水平投影。由于切口截平面由水平面和由于切口截平面由水平面和正垂面組成，故切口的正面投影正垂面組成，故切口的正面投影具有積聚性。水平截面與三棱錐具有積聚性。水平截面與三棱錐底面平行，因此它與底面平行，因此它與SABSAB棱面的棱面的交線交線必平行于底邊必平行于底邊ABAB，與，與SACSAC棱面的交線棱面的交線必平行于底必平行于底邊邊ACAC，水平截面的側(cè)面投影積聚，水平截面的側(cè)面投影積聚成一條直線。正垂截面分別與成一條直線。正垂截面分別與SABSAB、SACSAC棱面交于直線棱面交于直線和和 。由于組成切口的兩個截。由于組成切口的兩個截平

27、面都垂直于正投影面，所以兩平面都垂直于正投影面，所以兩截面的交線一定是正垂線，畫出截面的交線一定是正垂線，畫出以上交線的投影即可完成所求的以上交線的投影即可完成所求的投影。投影。截平面與回轉(zhuǎn)體相交時，截交線一般是截平面與回轉(zhuǎn)體相交時，截交線一般是封閉的平面曲線，有時為曲線與直線圍成的封閉的平面曲線，有時為曲線與直線圍成的平面圖形。平面圖形。作圖時，首先分析截平面與回轉(zhuǎn)體的相對作圖時，首先分析截平面與回轉(zhuǎn)體的相對位置，從而了解截交線的形狀。當(dāng)截平面為位置，從而了解截交線的形狀。當(dāng)截平面為特殊位置平面時，截交線的投影就重合在截特殊位置平面時，截交線的投影就重合在截平面具有積聚性的同面投影上，再根據(jù)

28、曲面平面具有積聚性的同面投影上，再根據(jù)曲面立體表面取點的方法作出截交線的其它投影立體表面取點的方法作出截交線的其它投影。先求特殊位置點（大多在回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪。先求特殊位置點（大多在回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)向輪廓線上），再求一般位置點，最后將這些點廓線上），再求一般位置點，最后將這些點連成截交線的投影，并判別可見性。連成截交線的投影，并判別可見性。 作圖方法作圖方法 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。 求截交線的方法：求截交線的方法：求截平面

29、與回轉(zhuǎn)體表面的共有點求截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的 相對位置，以相對位置，以確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面及回轉(zhuǎn)體與投影面的相對位置，分析截平面及回轉(zhuǎn)體與投影面的相對位置，明明 確確截交線的投影特性截交線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。 找出找出截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見未知予見未知投影。投影。二、回轉(zhuǎn)體的截交線二、回轉(zhuǎn)體的截交線 畫出截交線的投影畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步

30、驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為： 將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。見性。 先找特殊點，再補充中間點先找特殊點，再補充中間點。 圓柱體表面的截交線圓柱體表面的截交線 截平面與圓柱面的交線的形狀取決截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。于截平面與圓柱軸線的相對位置。垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜1.1.圓柱的截交線圓柱的截交線【例例4-34-3】求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作截交線的投影。截交線的投影。 1.1.圓柱的截交線圓柱的截交線（

31、1 1）分析：可以先由）分析：可以先由未截切時的圓柱的正面投影未截切時的圓柱的正面投影和水平投影作出它的側(cè)面投和水平投影作出它的側(cè)面投影，然后求作截交線的三面影，然后求作截交線的三面投影。投影。 由于截平面與圓柱由于截平面與圓柱軸線傾斜，且與圓柱面上的軸線傾斜，且與圓柱面上的素線都相交，故截交線應(yīng)為素線都相交，故截交線應(yīng)為橢圓。橢圓。（2 2）找特殊點）找特殊點、。它們是圓柱的它們是圓柱的最左、最右以及最最左、最右以及最前、最后素線上的前、最后素線上的點的正面投影，也點的正面投影，也是截交線橢圓長、是截交線橢圓長、短軸的四個端點的短軸的四個端點的正面投正面投【例例4-34-3】求作圓柱被正垂面

32、截切后的側(cè)面投影并求作求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作截交線的投影。截交線的投影。 （3 3）找一般）找一般點點、【例例4-34-3】求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作截交線的投影。截交線的投影。 （4 4）依次光滑連接并）依次光滑連接并判別可見性判別可見性【例例4-34-3】求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作求作圓柱被正垂面截切后的側(cè)面投影并求作截交線的投影。截交線的投影。 截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線

33、的側(cè)面投截交線的側(cè)面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點找特殊點找中間點找中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 橢圓的長、橢圓的長、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時。時。4545例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截交線的形狀截交線的形狀截交線的投影特性截交線的投影特性解題步

34、驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多個平面截切，要逐個平面截切，要逐個截平面進行截交個截平面進行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截交線的形狀截交線的形狀截交線的投影特性截交線的投影特性解題步驟：解題步驟：例例2 2：求左視圖：求左視圖例例2 2：求左視圖：求左視圖分析、比較分析、比較例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例4 4：求俯視圖：求俯視圖分析、比較分析、比較【例例4-44-4】補全接頭的正面投影和水平投影。補全接頭的正面投影和水平投

35、影。（1 1）分析：該）分析：該接頭的圓柱面的側(cè)接頭的圓柱面的側(cè)面投影有積聚性。面投影有積聚性。接頭左端的槽由兩接頭左端的槽由兩個平行于軸線的正個平行于軸線的正平面平面P P、Q Q和一個垂和一個垂直于軸線的側(cè)平面直于軸線的側(cè)平面R R切割而成。右端的切割而成。右端的凸榫可看作由水平凸榫可看作由水平面和側(cè)平面切割圓面和側(cè)平面切割圓柱而成，且上下對柱而成，且上下對稱，前后對稱。稱，前后對稱。（2 2）截平面）截平面P P、Q Q與圓柱面的交線是與圓柱面的交線是四條平行的素線（側(cè)四條平行的素線（側(cè)垂線），它們的側(cè)面垂線），它們的側(cè)面投影分別積聚成點投影分別積聚成點aa、bb、cc、dd，且位于圓周

36、上；水，且位于圓周上；水平投影中交線分別重平投影中交線分別重合在合在PHPH、QHQH上，根據(jù)上，根據(jù)兩面投影可作出其正兩面投影可作出其正面投影。面投影。【例例4-44-4】補全接頭的正面投影和水平投影。補全接頭的正面投影和水平投影。（3 3）截平面）截平面R R與與圓柱的交線是兩段平圓柱的交線是兩段平行于側(cè)面，且夾在平行于側(cè)面，且夾在平面面P P、Q Q之間的圓弧，之間的圓弧，它們的側(cè)面投影反映它們的側(cè)面投影反映實形，并與圓柱面的實形，并與圓柱面的側(cè)面投影重合，正面?zhèn)让嫱队爸睾希嫱队胺謩e積聚成上下投影分別積聚成上下各一段很短的直線。各一段很短的直線?！纠?-44-4】補全接頭的正面投影

37、和水平投影。補全接頭的正面投影和水平投影。（4 4）整理輪廓）整理輪廓線，表明可見性線，表明可見性. .【例例4-44-4】補全接頭的正面投影和水平投影。補全接頭的正面投影和水平投影。（5 5）接頭右端作法與左端槽口相類似）接頭右端作法與左端槽口相類似【例例4-44-4】補全接頭的正面投影和水平投影。補全接頭的正面投影和水平投影。2.2.圓錐的截交線圓錐的截交線由于截由于截平面與圓錐平面與圓錐軸線的相對軸線的相對位置不同，位置不同，截交線的形截交線的形狀也不同，狀也不同，平面截切圓平面截切圓錐形成的截錐形成的截交線可分為交線可分為五種情況五種情況【例例4-54-5】求圓錐被水平面截切后的水平投

38、影。求圓錐被水平面截切后的水平投影。（1 1）分析：由）分析：由于截平面為水平面于截平面為水平面，與圓錐軸線平行，與圓錐軸線平行，所以截平面與圓，所以截平面與圓錐面的交線為雙曲錐面的交線為雙曲線，其正面投影和線，其正面投影和側(cè)面投影均投影成側(cè)面投影均投影成水平線，只要求作水平線，只要求作其水平投影，水平其水平投影，水平投影反映實形。投影反映實形。（2 2）求出）求出截交線上的特殊截交線上的特殊點點、【例例4-54-5】求圓錐被水平面截切后的水平投影。求圓錐被水平面截切后的水平投影。（3 3）求出）求出截交線上的一般截交線上的一般點點、【例例4-54-5】求圓錐被水平面截切后的水平投影。求圓錐被

39、水平面截切后的水平投影。（4 4）依次）依次光滑連接光滑連接2 2、4 4、1 1、5 5、3 3各點各點，即得截交線，即得截交線的水平投影。的水平投影。【例例4-54-5】求圓錐被水平面截切后的水平投影。求圓錐被水平面截切后的水平投影。3.3.球的截交線球的截交線平面與球的截交平面與球的截交線總是圓。線總是圓。當(dāng)截平面平行于當(dāng)截平面平行于投影面時，截交線在投影面時，截交線在該投影面上的投影反該投影面上的投影反映實形，另兩個投影映實形，另兩個投影積聚成直線。積聚成直線。3.3.球的截交線球的截交線當(dāng)截平面傾斜當(dāng)截平面傾斜于投影面時，截交于投影面時，截交線在該投影面上的線在該投影面上的投影為橢圓

40、。投影為橢圓?！纠?-64-6】補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。（1 1）分析：）分析：球表面的凹槽由兩球表面的凹槽由兩個側(cè)平面?zhèn)€側(cè)平面P P、Q Q和一和一個水平面?zhèn)€水平面R R切割構(gòu)切割構(gòu)成，截平面成，截平面P P、Q Q各各截得一段平行于側(cè)截得一段平行于側(cè)面的圓弧，而截平面的圓弧，而截平面面R R則截得前后各則截得前后各一段水平的圓弧，一段水平的圓弧，截平面之間的交線截平面之間的交線為正垂線。為正垂線。（2 2）求）求側(cè)平面?zhèn)绕矫鍼 P、Q Q的截交線。的截交線。【例例4-64-6】補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。

41、（3 3）求）求水平面水平面R R的截的截交線。交線?！纠?-64-6】補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。（4 4）整理）整理輪廓線，表明輪廓線，表明可見性?？梢娦浴?【例例4-64-6】補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。補全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。4.4.組合回轉(zhuǎn)體的截交線組合回轉(zhuǎn)體的截交線組合回轉(zhuǎn)體是由組合回轉(zhuǎn)體是由若干個同軸的基本回若干個同軸的基本回轉(zhuǎn)體組成，作組合回轉(zhuǎn)體組成，作組合回轉(zhuǎn)體的截交線時，首轉(zhuǎn)體的截交線時，首先要分析各部分的曲先要分析各部分的曲面性質(zhì)，然后按照它面性質(zhì)，然后按照它的幾何特性確定其截的幾何特性確定其截交線的形狀，再分別交

42、線的形狀，再分別作出其投影。作出其投影。兩回轉(zhuǎn)體相交時，表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。兩回轉(zhuǎn)體相交時，表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。 4.3 4.3 兩回轉(zhuǎn)體表面的交線兩回轉(zhuǎn)體表面的交線相貫線相貫線相貫線的一般性質(zhì)如下：相貫線的一般性質(zhì)如下：（1 1）相貫線是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，也是兩相交立體表面）相貫線是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，也是兩相交立體表面的分界線。相貫線上的所有點都是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點。的分界線。相貫線上的所有點都是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點。（2 2）由于立體的表面是封閉的，因此相貫線在一般情況下是）由于立體的表面是封閉的，因此相貫線在一般情況下是封閉的，特殊情況下也可能是不封閉的。封閉的，特

43、殊情況下也可能是不封閉的。（3 3）相貫線的形狀決定于回轉(zhuǎn)體的形狀、大小以及兩回轉(zhuǎn)體）相貫線的形狀決定于回轉(zhuǎn)體的形狀、大小以及兩回轉(zhuǎn)體之間的相對位置。一般情況下相貫線是空間曲線，在特殊情況下之間的相對位置。一般情況下相貫線是空間曲線，在特殊情況下是平面曲線或直線。是平面曲線或直線。求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的投影時，應(yīng)先作出相貫線求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的投影時，應(yīng)先作出相貫線上一些特殊點的投影，如回轉(zhuǎn)體投影的轉(zhuǎn)向輪廓線上一些特殊點的投影，如回轉(zhuǎn)體投影的轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，對稱的相貫線在其對稱面上的點，以及最上的點，對稱的相貫線在其對稱面上的點，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后這些確定相貫高、最低、最左、最

44、右、最前、最后這些確定相貫線形狀和范圍的點，然后再求作一般點，從而作出線形狀和范圍的點，然后再求作一般點，從而作出相貫線的投影。具體作圖可采用表面取點法（積聚相貫線的投影。具體作圖可采用表面取點法（積聚性法）或輔助平面法。要注意的是一段相貫線只有性法）或輔助平面法。要注意的是一段相貫線只有同時位于兩個立體的可見表面上時，這段相貫線的同時位于兩個立體的可見表面上時，這段相貫線的投影才是可見的。投影才是可見的。 作圖方法作圖方法兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個是軸線垂兩回轉(zhuǎn)體相交，如果其中有一個是軸線垂直于某一投影面的圓柱，則相貫線在該投影面直于某一投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影就積聚在圓柱

45、面的積聚投影圓周上。上的投影就積聚在圓柱面的積聚投影圓周上。這樣就可以在積聚的圓周上取一些相貫線上的這樣就可以在積聚的圓周上取一些相貫線上的點，按回轉(zhuǎn)體表面取點的方法作出相貫線的其點，按回轉(zhuǎn)體表面取點的方法作出相貫線的其他投影。他投影?！纠?-74-7】已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。（1 1）分析：由于）分析：由于小圓柱水平投影積聚小圓柱水平投影積聚成圓，所以相貫線的成圓，所以相貫線的水平投影就積聚在該水平投影就積聚在該圓上；大圓柱的側(cè)面圓上；大圓柱的側(cè)面投影積聚成圓，相貫投影積聚成圓，相貫線的側(cè)面投影就積聚線的側(cè)面投影就積聚在該圓有小圓柱貫

46、穿在該圓有小圓柱貫穿進的那段圓弧上。根進的那段圓弧上。根據(jù)相貫線的兩個投影據(jù)相貫線的兩個投影即可按表面取點法求即可按表面取點法求出其正面投影。出其正面投影。（2 2）求特殊點）求特殊點、【例例4-74-7】已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。（3 3）求一般）求一般點點、（4 4）順次連）順次連接各點的正面投影接各點的正面投影，表明可見性。，表明可見性。 以上三種情況中，由于兩相交立體的形狀、大小以上三種情況中，由于兩相交立體的形狀、大小和相對位置均相同，因而相貫線的形狀也是相同的。和相對位置均相同，因而相貫線的形狀也是相同的。兩實心圓柱相交兩實心圓柱相交圓柱孔與實心圓柱相交圓柱孔與實心圓柱相交兩圓柱孔相交兩圓柱孔相交兩圓柱相貫的常見情況兩圓柱相貫的常見情況作兩回轉(zhuǎn)體的相貫線時，可以用與兩回轉(zhuǎn)體都相交（或作兩回轉(zhuǎn)體的相貫線時，可以用與兩回轉(zhuǎn)體都相交（或相切）的輔助平面切割這兩個立體，則兩組截交線（或切線）相切）的輔助