高等數(shù)學(xué)第5章多元函數(shù)積分ppt課件

1、高 等 數(shù) 學(xué)第5章 多元函數(shù)微積分主要內(nèi)容: 一、空間幾何簡(jiǎn)介 二、多元函數(shù) 三、偏導(dǎo)數(shù)與全微分 四、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法那么 五、多元函數(shù)極值 六、二重積分一、空間幾何簡(jiǎn)介1、空間直角坐標(biāo)系 規(guī)定：通常：xyzO2規(guī)定：另外如以下圖： yz Ox坐標(biāo)面xOy坐標(biāo)面yOz坐標(biāo)面zOxxyzQRMOPxyz點(diǎn)的坐標(biāo)xyzQRMOPxyz反之，將zyx,分別稱為點(diǎn)M在zyx,軸上的坐標(biāo)。 + +，+ +，+ +- -，+ +，+ +- -，- -，+ + +，- -，+ + + +，+ +，- -+ +，- -，+ +- -，- -，- -+ +，- -，- - 規(guī)律：2、空間恣意兩點(diǎn)間的

2、間隔定義了空間點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以利用坐標(biāo)計(jì)算空間恣意兩點(diǎn)間的間隔. ABP1P2xyz由圖：2222121BPABAPPP,21221xxAP,2122yyAB21222zzBP21221221221zzyyxxPP根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的間隔公式可知：從而有：此即為空間恣意兩點(diǎn)間的間隔公式. 222zyxOP),(zyxP)0 , 0 , 0(O特別地，任一點(diǎn)與原點(diǎn)的間隔為：證明：22221123147MM1422232231275MM622213312354MM61332MMMM例1解MBMA )914, 0 , 0(M點(diǎn)例2定義：xyzO3、曲面與方程例3) 1 , 2 , 1 (1P) 3 ,

3、 1 , 2(2P求與兩定點(diǎn)和等間隔點(diǎn)的軌跡方程.222222312121zyxzyxPPPP21和等間隔的點(diǎn)為，由空間兩點(diǎn)間的間隔公式得：1P2P),(zyxP解：設(shè)與點(diǎn)解：設(shè)與點(diǎn)依題意有042zyx化簡(jiǎn)得： 可以證明，一切空間平面都可以用三元一次方程表示； 反過來，任何一個(gè)三元一次方程的圖形都是空間的一個(gè)平面。 由此稱三元一次方程：0DCzByAx為平面的普通式方程。 幾種常見的曲面方程： 2202020Rzzyyxx),(0000zyxM以點(diǎn)為球心，以R為半徑的球面方程為：1球面方程：2橢圓柱面：方程12222byax表示橢圓柱面，當(dāng) a=b=R 時(shí)， 222Ryx中不含z，即z可任取，

4、在空間直角坐標(biāo)系中該方程表示母線平行于z軸的圓柱面. 3橢圓拋物面：22yxz4圓錐面：5雙曲拋物面：6雙曲柱面：7拋物柱面：222yxz22yxz12222byax022pyx二、多元函數(shù)1、多元函數(shù)的概念自變量的取值稱為定義域；對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合稱為值域。類似地，由于三元及三元以上函數(shù)的許多性質(zhì)及其微分法與二元函數(shù)完全類似，所以，在此主要研討二元函數(shù)。并先引見一些相關(guān)概念。 其定義域：留意區(qū)域：由平面上一條曲線或多條曲線圍成的 一部分平面稱為區(qū)域.邊境：圍成區(qū)域的曲線稱為邊境. 鄰域： ),(000yxp0),(yxp0p),(0pN把以點(diǎn)為圓心，為半徑的組成的區(qū)域稱為點(diǎn)的鄰域，記為圓內(nèi)一

5、切的點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)：假設(shè)點(diǎn) p 的某個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都屬于區(qū)域 D， 那么稱點(diǎn) p 為區(qū)域 D 的內(nèi)點(diǎn). 外點(diǎn)：假設(shè)點(diǎn) p 的某個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于區(qū)域 D ，那么稱點(diǎn) p 為區(qū)域 D 的外點(diǎn). 邊境點(diǎn)：假設(shè)點(diǎn) p 的任一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)，既有屬 于區(qū)域 D 的點(diǎn)，又有不屬于區(qū)域 D 的 點(diǎn)，那么稱點(diǎn) p 為區(qū)域 D 的邊境點(diǎn). 閉區(qū)域：由一切內(nèi)點(diǎn)和以閉曲線為邊境的一切 邊境點(diǎn)組成的區(qū)域稱為閉區(qū)域.開區(qū)域：只需內(nèi)點(diǎn)組成的區(qū)域稱為開區(qū)域. 求函數(shù)21yxz的定義域. 例4解：欲使函數(shù)z有意義，自變量x，y必需滿足 不等式： 02 yx2 xy即：所以，其定義域D為： 2,xyyxD例5 求函數(shù)的定義域. )ar

6、csin()ln(22yxyxz解：欲使函數(shù)z有意義，自變量x，y必需滿足 不等式組： 1022yxyx所以，其定義域D為： 1, 0,22yxyxyxD例6解：函數(shù)z在點(diǎn) 0 , 0處的函數(shù)值為： 函數(shù)z在點(diǎn) aln, 0處的函數(shù)值為： 9800)0 , 0(00ef88ln0)ln, 0(ln0aaeafaxyzxyzOMP二元函數(shù)的幾何意義：2、二元函數(shù)的極限與延續(xù)性1二元函數(shù)的極限1上述極限的定義實(shí)踐上是一元函數(shù)極限定義的推廣，所以有關(guān)一元函數(shù)的極限運(yùn)算法那么同樣可以推行到二元函數(shù).留意3上述極限定義不能用以求二元函數(shù)的極限，但可以用該定義斷定二元函數(shù)的極限不存在，即：只需有兩條途徑極

7、限不同，該函數(shù)極限就不存在. 求.11lim00 xyxyyx 例7解：一元函數(shù)求極限的方法中有分子解：一元函數(shù)求極限的方法中有分子(母母)有理化有理化的方法，該方法也適用于二元函數(shù)求極限的運(yùn)算。的方法，該方法也適用于二元函數(shù)求極限的運(yùn)算。211lim1111lim11lim000000 xyxyxyxyxyxyyxyxyx例8kxxxkxkxxyxyxyxyxyx222002200limlimkkkxkkyx111)1 (1lim200待續(xù)續(xù)yxyxyxz222二元函數(shù)的延續(xù)性),(),(lim0000yxfyxfyyxx二元延續(xù)函數(shù)也具有一元延續(xù)函數(shù)的一樣性質(zhì)，如延續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、

8、復(fù)合仍是延續(xù)函數(shù)；多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是延續(xù)函數(shù)等。因此，要求多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)處的極限值，只需求求出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。 求極限.32lim2221yxyxyx 例9解：1232212132lim222221yxyxyx 2yxxyz三、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1、偏導(dǎo)數(shù)若xzxx0lim存在，則稱此極限為zyxf,在點(diǎn)00, yx處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù) 計(jì)算方法：一元函數(shù)的求導(dǎo)法那么及其公式同樣適用于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。顯然，解xfxfxzxyx2 , 12 ,1lim021xxxx4164116lim208例10待續(xù)yfyfyzyyx2 , 12 , 1lim021法二yyyy41621

9、23lim207yxxz32 yxyz23 821yxxz， 721yxyz續(xù)解xxyxyz22cos2xyx2cos23yxyxxyxxz22cos2sin22xyyxxyx2cos22sin22例11留意xzdxdy等為一整體記號(hào)，不象可視為分子分母之商解1yyxxz， xxyzylnyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxxz2例12xyzOyxfz,0M0y0, yxfz xT0 xyTyxfz,0幾何意義過點(diǎn)0M的切線有無窮多條，即一個(gè)平面，在這里僅兩個(gè)方向的切線 留意由于：可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系：又如：0 , 0 xf如：對(duì)于二元函數(shù)yxfz,，由于其偏導(dǎo)數(shù)仍是yx,的函

10、數(shù)，如果它們?nèi)匀粚?duì)yx,可導(dǎo)，則稱其為函數(shù)yxfz,的二階偏導(dǎo)數(shù) 定義：,22xxxxzyxfxzxzxyyyyzyxfyzyzy,22xyxyzyxfyxzxzy,2,2yxyxzyxfxyzyzx2、高偏導(dǎo)數(shù)解yyyxxz32233xxyyxyz239222xz26xyxyz219622yyxyxz219622yyx22yzxyx182333xz26y例13例14求函數(shù)xyxyzln2的二階偏導(dǎo)數(shù). ,12xyxzyxyyz12,1222xxzyyxz22,12222yxyzyxyz22解： 定理5.1：對(duì)于更多元或更高階依然成立.yxz2xyz2由上例，兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)雖然求導(dǎo)次序不同，其

11、結(jié)果卻相等，但是并非在一切情況下這個(gè)結(jié)論都成立。關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)，有以下定理： 證明22yxyyz22xz222222yxxxyx22222yxxy22yz222222yxyyyx22222yxyx例15全增量：3、全微分若函數(shù)yxfz,在點(diǎn)yx,處的全增量可表示為： OyBxAz 解yxyz22xyxeyz212exzyx， 2122eyzyxdyedxedzyx221, 22:所以例17解例16例18解yzzeyyu2cos21， yzyezuyyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(運(yùn)用全微分進(jìn)展近似計(jì)算：yyxfxyxfyxfyyxxfyx,dzz (1)(2)(3)這

12、三個(gè)是常用的近似計(jì)算公式. 解, 2y,04. 0 x02. 0y,1yxyxf,lnxxfyy02 , 1, 22 , 1ffx02. 0004. 02108. 1例19四、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法那么),(),(yxvvyxuu若 函 數(shù) tvtu,在 點(diǎn)t可 導(dǎo) ，vufz,在點(diǎn)t對(duì)應(yīng)點(diǎn)vu,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) ttfz,在點(diǎn)t可導(dǎo)，且： 定理dtdvvzdtduuzdtdzzuvt1、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么鏈法那么若函數(shù) )(,twwtvvtuu在點(diǎn)t可導(dǎo)，wvufz,在點(diǎn)t對(duì)應(yīng)點(diǎn)wvu,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) )(,twtvtufz 在點(diǎn)t可導(dǎo)，且 有：zuvtwdtd

13、wwzdtdvvzdtduuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz同理設(shè)vufz,，yxuu,，yxvv,，則其復(fù)合函數(shù) yxvyxufz,的偏導(dǎo)數(shù)有： zuvxyxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz推行留意答：zuvxywxwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz練習(xí)答：xymzuvnxmmuuzxzxnnuuzxmmvvzxnnvvzymmuuzyzynnuuzymmvvzynnvvz練習(xí)：答：xyzuxuuzxzxfyuuzyzyf記號(hào)在右邊用f對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不用z以免混淆 練習(xí)：留意解xvvzxuuzxz1cossinveyveuuyxyxyexycos

14、sinyvvzyuuzyz1cossinvexveuuyxyxxexycossinzuvxy例20解xzzuxuxfyxzezyxsin222222222zyxxeyxyxeyxx2422sin22sin212yzzuyuyfyxzezyxcos222222222zyxyeyxyxeyyxy2422sin4cossin2xyuz例21解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossin ttetettcossincostttetcossincoszuvt例22解21fyzfwuvxyz例23續(xù)212fyzfzzxwzfyzf yzf221zuufzf11zvvf11211fxyf z

15、uufzf22zvvf22221fxyf 1211fzxyf 2222f yf zxy 解xywuxfxuuwxwxuufxxw22xfxxuufxxuxufxfx例24續(xù)xuxufxuuf 22222xuuf222xfxuuxfxuufyyxw2xfyxuufyxuyufxfyxuyufyuuf 222yxuuf2yxfyuuxf22dxxvvzxuuzdyyvvzyuuzdvvzduuzdzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzdvvzduuz全微分方式的不變性即：dyyzdxxzdzdvvzduuzdz解veddzusinvdvevdueuucossinxdyydx yxddv,dyd

16、x dydxveucosdxvevyeuucossindyvevxeuucossindxyxyxyexycossindyyxyxxexycossin例25多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)方法類似，其本質(zhì)都是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么。 2、多元隱函數(shù)求導(dǎo)方法 0 xyzez求由方程所確定的隱函數(shù)),(yxfz .,yzxz的偏導(dǎo)數(shù)例26下面經(jīng)過實(shí)例來求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。xzxyyzxzezxyeyzxzzxyexzyzz所以同理可得例2704222zzyx求由確定的函數(shù)),(yxfz yzxz,的偏導(dǎo)數(shù) 0422xzxzzxzxxz2zyyz2求偏導(dǎo)數(shù)得：x解：方程兩邊同時(shí)對(duì)所以：同理可得：

17、五、多元函數(shù)極值函數(shù)的極值對(duì)于許多實(shí)踐問題有著重要的意義，在一元函數(shù)微分學(xué)中，用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的極值。如今將借助于偏導(dǎo)數(shù)來討論多元函數(shù)的極值問題。由于三元以上的多元函數(shù)的極值與二元函數(shù)類似，為此只討論二元函數(shù)的極值問題。1、極值xyzOxyzO類似地，證明xf00, yx0 定理5.3CAyxfxx00,，Byxfxy00,，Cyxfyy00,， 定理5.4 (充分條件) 從上述定理得求極值的步驟：解2426yyxfxyxxfy24620 , 0、4 , 0、2 , 3、0 , 6、4 , 6 yxfxy234,262xxfyy例28續(xù)解0 , 1、2 , 1、0 , 3、2 , 3 ，0 xy

18、f ，66yfyy 例28續(xù)解題的步驟和斷定的方法留意：2、最值解例29續(xù)引例 xOyDz),(yxfz 曲頂柱體的體積 六、二重積分xOyDz),(yxfz i、分割化整為零xOyDz),(yxfz i、取近似不變代變xOyDz),(yxfz i、求和積零為整xOyDz),(yxfz 、取極限無限逼近定義5.10f x y dD,=lim, 01fiiiin (max, , ,ii12 3) 即：了解DdyxfV0,DdyxM0,幾何意義：2.(,),f x yg x y df x y dg x y dDDD 二重積分的性質(zhì)：DDdyxfdyxf,MdyxfmD,iiDfdyxf,xyOa x1 x2bxyO x1 x2ab二重積分的計(jì)算：xyO y2 y1dcxyO y2 y1dc假設(shè)zxyOyxfz,ab0 x x1 x20 xA01x02xyxfz,0如圖：0201,00 x