理學(xué)定積分的概念與性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)理學(xué)(lxu)定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第一頁(yè)，共36頁(yè)。24.1 定積分定積分(jfn)的概念與性的概念與性質(zhì)質(zhì)定積分定積分(jfn)(jfn)問(wèn)題舉例問(wèn)題舉例定積分定積分(jfn)(jfn)的定義的定義關(guān)于函數(shù)的可積性關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 定積分的定積分的基本基本性質(zhì)性質(zhì)*definite integral第4章 定積分與不定積分第1頁(yè)/共36頁(yè)第二頁(yè)，共36頁(yè)。31. 曲邊梯形(txng)的面積 定積分定積分(jfn)概念也是由大量的實(shí)際問(wèn)題抽象概念也是由大量的實(shí)際問(wèn)題抽象出出一、定積分

2、(jfn)問(wèn)題舉例來(lái)的來(lái)的, 現(xiàn)舉兩例現(xiàn)舉兩例.ab)(xfy Oxy? A求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線 y = f (x) 0及及直線直線 x = a, x = b和和 y = 0所圍所圍的曲邊的曲邊梯形的面積梯形的面積A. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第2頁(yè)/共36頁(yè)第三頁(yè)，共36頁(yè)。4用矩形用矩形(jxng)面積面積梯形梯形(txng)面面積積.(五個(gè)小矩形五個(gè)小矩形(jxng)(十個(gè)小矩形十個(gè)小矩形)habAhxf)(,)()( 矩矩形形面面積積公公式式為為時(shí)時(shí)常常數(shù)數(shù)思想思想以直代曲以直代曲顯然, 小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積O

3、xyOxy 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第3頁(yè)/共36頁(yè)第四頁(yè)，共36頁(yè)。5ab)(xfy 個(gè)個(gè)分成分成把區(qū)間把區(qū)間nba,1iixx 在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間采取下列采取下列(xili)四個(gè)步驟來(lái)求面積四個(gè)步驟來(lái)求面積 A.(1) 分割分割(fng),1210bxxxxxann (2) 取近似取近似(jn s),1為為底底以以iixx ;1 iiixxx,1iixx 小區(qū)間小區(qū)間長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為)(if 為高的小矩形為高的小矩形,面積近似代替面積近似代替Oxyix1x1 ix1 nx,i 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i iA 任意用分點(diǎn)任意用分點(diǎn)的窄曲邊梯形的面積的窄曲邊梯形的面積上對(duì)應(yīng)

4、上對(duì)應(yīng)表示表示,1iiixxA ,iA nixfAiii, 2 , 1,)( 有有 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第4頁(yè)/共36頁(yè)第五頁(yè)，共36頁(yè)。6 A.)(lim10iniixfA (3) 求和求和(qi h)這些這些(zhxi)小矩形面積之和可作為曲邊梯形小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積面積(min j)A的近似值的近似值.(4) 求極限求極限為了得到為了得到A的精確值的精確值,)0(時(shí)時(shí)趨近于零趨近于零 取極限取極限,的面積的面積:分割無(wú)限加細(xì)分割無(wú)限加細(xì),iniixf )(1 極限值就是曲邊梯形極限值就是曲邊梯形,max21nxxx 即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度

5、 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第5頁(yè)/共36頁(yè)第六頁(yè)，共36頁(yè)。72. 求變速(bin s)直線運(yùn)動(dòng)的路程思想思想(sxing)以不變代變以不變代變?cè)O(shè)某物體設(shè)某物體(wt)作直線運(yùn)動(dòng)作直線運(yùn)動(dòng),已知速度已知速度v = v(t)是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔T1, T2上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)連續(xù)函數(shù), 0)( tv且且在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.思路把整段時(shí)間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)求物體求物體第6頁(yè)/共36頁(yè)第七頁(yè)

6、，共36頁(yè)。8(1) 分割分割(fng)212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和(qi h)iinitvs )(1 (4) 取極限取極限(jxin),max21nttt .)(lim10iniitvs 路程的精確值(2) 取近似取近似is 0 令令表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)走過(guò)的路程內(nèi)走過(guò)的路程.,1iitt 某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度), 2 , 1(ni 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第7頁(yè)/共36頁(yè)第八頁(yè)，共36頁(yè)。9二、定積分(jfn)的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh)f (x)在在a, b上有界上有界,在a, b中任意(rny)

7、插入若干個(gè)分點(diǎn)定義定義4.1bxxxxxann 1210把區(qū)間把區(qū)間a, b分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)一點(diǎn)),(iiix 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和.)(1iinixfS 記記,max21nxxx 如果不論對(duì)如果不論對(duì)a, b(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn)上兩例共同點(diǎn):; II2) 方法一樣方法一樣;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 結(jié)果形式一樣結(jié)果形式一樣. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第8頁(yè)/共36頁(yè)第九頁(yè)，共36頁(yè)

8、。10被積函數(shù)被積函數(shù)(hnsh)被積表達(dá)被積表達(dá)式式記為記為怎樣怎樣(znyng)的的分法分法,也不論也不論(bln)在在小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 上點(diǎn)上點(diǎn)i 的取法的取法,只要當(dāng)只要當(dāng),0時(shí)時(shí) 和和S總趨于確定的極限總趨于確定的極限I,稱這個(gè)極限稱這個(gè)極限I為函數(shù)為函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的上的定積分定積分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 積分下限積分下限積分上限積分上限積分變量積分變量a, b積分區(qū)間 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)怎樣怎樣積分和積分和第9頁(yè)/共36頁(yè)第十頁(yè)，共36頁(yè)。11 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iii

9、niixxbaxfS 的分法及在的分法及在是與是與 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 (2) 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)和上、下和上、下限限, 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號(hào)今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號(hào)(j ho)無(wú)關(guān)性進(jìn)行推理無(wú)關(guān)性進(jìn)行推理.定積分(jfn)是一個(gè)數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)的取法取法上上i 有關(guān);注注取法取法上上i 無(wú)關(guān).而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān).t bafd)(u 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)tu第10頁(yè)/共36頁(yè)第十一頁(yè)，共36頁(yè)。12定理定理(dngl)4.(dngl)4.1 1定理定理(dngl)(dngl)4.

10、24.2或或記為記為.,baRf 黎曼黎曼 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家(18261866)三、關(guān)于(guny)函數(shù)的可積性上可積.且只有有限個(gè)可積.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分存在時(shí)上的定積分存在時(shí),可積.黎曼可積,間斷點(diǎn),稱稱 f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上設(shè)設(shè) f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù),則則 f (x)在在a, b設(shè)設(shè) f (x)在在a, b上有界上有界,則則 f (x)在在a, b上上充分條件充分條件 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第11頁(yè)/共36頁(yè)第十二頁(yè)，共36頁(yè)。13, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形曲邊梯形(txng)的的

11、面積面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積(min j)的負(fù)值的負(fù)值 baxxfd)(1. 幾何幾何(j h)意意義義2A 1A 3A 四、定積分的幾何意義和物理意義Oxyab)(xf1A2A3A 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第12頁(yè)/共36頁(yè)第十三頁(yè)，共36頁(yè)。14各部分各部分(b fen)面積的代面積的代數(shù)和數(shù)和.取負(fù)號(hào)取負(fù)號(hào)(f ho).它是介于它是介于(ji y)x軸、函數(shù)軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條直線直線 x = =a, x = = b之間的之間的在在 x 軸上方的面積取正號(hào)軸上方的面積取正號(hào);在在 x 軸下方的面積軸

12、下方的面積Oxyab)(xf baxxfd)(幾何意義幾何意義 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第13頁(yè)/共36頁(yè)第十四頁(yè)，共36頁(yè)。15例例xx d1102 求求解解421xy 2. 物理物理(wl)意意義義,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) tvt = b 所經(jīng)過(guò)所經(jīng)過(guò)(jnggu)的路的路程程 s.oxy11 xx d1102 battvd)(v = v(t)作直線運(yùn)動(dòng)的物體(wt)從時(shí)刻 t = a 到時(shí)刻定積分定積分表示以變速表示以變速 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第14頁(yè)/共36頁(yè)第十五頁(yè)，共36頁(yè)。16解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例

13、用定義用定義(dngy)(dngy)計(jì)算計(jì)算由拋物線由拋物線,2xy ,等分等分n,nixi 分點(diǎn)為分點(diǎn)為分成分成將將 1 , 0 x軸所圍成的曲邊梯形(txng)面積.直線(zhxin) x = 1和ni, 2 , 1 小區(qū)間,1iixx 的長(zhǎng)度,1nxi ni, 2 , 1 取,iix ni, 2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxiniibaxfxxf )(limd)(10 nin1 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第15頁(yè)/共36頁(yè)第十六頁(yè)，共36頁(yè)。17nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211

14、610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim.31 n 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第16頁(yè)/共36頁(yè)第十七頁(yè)，共36頁(yè)。18對(duì)定積分對(duì)定積分(jfn)的補(bǔ)充的補(bǔ)充規(guī)定規(guī)定:,)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)(; 0,)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)(.d)( abxxf五、定積分的基本(jbn)性質(zhì)在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4.14.1 baxd1 baxd.ab 用定積分定義用定積分定義, 即可證得即可證得.第17頁(yè)/共36頁(yè)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。19

15、證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)(.d)( baxxg(此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)(hnsh)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.2()(xngzh)4.2() baxxgxfd)()(.d)(d)( babaxxgxxf 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第18頁(yè)/共36頁(yè)第十九頁(yè)，共36頁(yè)。20證證 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .d)( baxxfk性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.(xng

16、zh)4.2()2()性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.2()(xngzh)4.2()和性質(zhì)和性質(zhì)(xngzh)4.2()(xngzh)4.2()稱為(chn wi)線性性質(zhì). baxxkfd)( baxxfkd)().( 為常數(shù)為常數(shù)k 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第19頁(yè)/共36頁(yè)第二十頁(yè)，共36頁(yè)。21例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定積分定積分(jfn)對(duì)于積分對(duì)于積分(jfn)區(qū)間區(qū)間具有可加性具有可加性)則性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.3(xngzh)4.3 cbxxfd)( cbxxf

17、d)(假設(shè)bca baxxfd)( axxfd)(.d)( bxxfcc不論a, b, c的相對(duì)位置如何, 上式總成立. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第20頁(yè)/共36頁(yè)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。22證證, 0)( xf0)( if ), 2 , 1(ni , 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0d)( baxxf性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.4(xngzh)4.4如果(rgu)在區(qū)間a, b上, 0)( xf則 baxxf0d)().(ba 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)所以(suy)因?yàn)橐驗(yàn)樗运缘?1頁(yè)/共36頁(yè)

18、第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。23性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.4(xngzh)4.4的推論的推論1 1證證),()(xgxf , 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg如果(rgu)在區(qū)間a, b上),()(xgxf 則 babaxxgxxfd)(d)().(ba 于是(ysh).d)(d)( babaxxgxxf性質(zhì)性質(zhì)4.44.4 如果在區(qū)間a, b上, 0)( xf baxxf0d)(則則).(ba 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)所以因?yàn)樗缘?2頁(yè)/共36頁(yè)第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。24).(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf

19、 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.4(xngzh)4.4的的推論推論2 2 babaxxfxxfd| )(|d)(.d| )(|d)( babaxxfxxf baxd baxd baxd由性質(zhì)由性質(zhì)(xngzh)4.4(xngzh)4.4的推的推論論1 1 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第23頁(yè)/共36頁(yè)第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。25解解令令,e)(xxfx 0, 2 x, 0)( xf0d)e (02 xxxxxde02 xxd02 于是于是(ysh)xxde20 .d20 xx 比較比較(bjio)積分值積分值xxde20 和和xxd20 的大小的大小(dxio).例例 4.1 定積分

20、的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)所以因?yàn)樗缘?4頁(yè)/共36頁(yè)第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。26證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d).(d)()(abMxxfabmba (此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致(dzh)范圍范圍)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4.5 (xngzh)4.5 (估值估值性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(xngzh)設(shè)設(shè)M和和m分別分別(fnbi)是函數(shù)是函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上最大值及最小值最大值及最小值, 則則).(d)()(abMxxfabmba 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)所以因?yàn)榈?5頁(yè)/共36頁(yè)第二十六頁(yè)，共36

21、頁(yè)。27解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 .3dsin31403 xx估計(jì)估計(jì)(gj)積分積分.dsin3103的值的值xx 例例 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)).(d)()(abMxxfabmba 第26頁(yè)/共36頁(yè)第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。28解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4x估計(jì)估計(jì)(gj)積分積分.dsin24的值的值xxx 上上在在 2,4)(xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab xxxdsin24422 4

22、222 21,2,4)( Cxf 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)).(d)()(abMxxfabmba 第27頁(yè)/共36頁(yè)第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。29證證Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由閉區(qū)間由閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函數(shù)的介值定理上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)性質(zhì)4.6 (4.6 (定積分定積分(jfn)(jfn)中中值定理值定理) )如果如果(rgu)函數(shù)函數(shù)f (x)在在則在積分區(qū)間a, b上至少存 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 積分中值公式積分中值公式至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , ,d)(1)( baxx

23、fabf 使使即)(d)(abfxxfba ).(ba 在a, b上閉區(qū)間a, b上連續(xù), 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)在一點(diǎn) 所以因?yàn)榈?8頁(yè)/共36頁(yè)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。30積分中值公式的幾何(j h)解釋)(d)(abfxxfba )(ba 在區(qū)間在區(qū)間(q jin)a, b上至少存在一上至少存在一點(diǎn)點(diǎn) , 使得以區(qū)間使得以區(qū)間(q jin)a, b為底為底邊邊,以曲線以曲線y = f (x)為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的一個(gè)矩形的面積的一個(gè)矩形的面積.)(xfy ab )( fOxy 4.1 定積分的概念與性

24、質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)第29頁(yè)/共36頁(yè)第三十頁(yè)，共36頁(yè)。31定理定理(dngl)用用途途 )( f注注a, b上連續(xù)(linx), 使下式成立使下式成立(chngl):)(d)(abfxxfba ).(ba 無(wú)論從幾何上無(wú)論從幾何上, 還是從物理上還是從物理上, 都容易理解平均值公式求求連續(xù)變量的連續(xù)變量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉積分號(hào)來(lái)表示積分值如何去掉積分號(hào)來(lái)表示積分值. baxxfabfd)(1)( )(ba 就是就是 f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的平均值上的平均值. 4.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4.6 4.6 (定積分中值定理定積分中值定理)若函數(shù)若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則在積分區(qū)間a, b上至少存在一點(diǎn) 第30頁(yè)/共36頁(yè)第三十一頁(yè)，共36頁(yè)。32).1( 設(shè)設(shè)解解.2 T周期周期21例例 200dsin2ttE. 0 定積分幾何定積分幾何(j h)意義意義 E2tE sin0td0求電動(dòng)勢(shì)求電動(dòng)勢(shì)在一個(gè)在一個(gè)(y )周期周期上的上的tEE sin0 平均值