第二章(2)MATLAB課件

1、第二章 MATLAB數值計算功能2.1 MATLA的數據類型2.2 向量及其運算2.3 矩陣及其運算2.4 數組及其運算2.5 多項式運算三、矩陣的基本函數運算 1. 特征值函數 矩陣的特征值可以由兩個函數eig和eigs計算得出。eig給出特征值和特征向量的值，eigs是使用迭代法求解特征值和特征向量的函數。 如： A=7 3 2;3 4 1;-2 1 3; x,y=eig(A)x,y=eig(A)x = 0.5774 -0.0988 -0.8105 -0.5774 0.6525 -0.4908 0.5774 0.7513 0.3197y = 2.0000 0 0 0 2.3944 0 0

2、0 9.60562. 秩函數 矩陣的秩的求解可由函數rank實現。 如： e=3 6 7 ;8 76 0;7 9 3 rank(e) ans=33. 跡函數 矩陣所有對角線上元素的和稱為矩陣的跡， 可由trace函 數計算得出。 如： trace(A) ans =144. 通用函數形式 在MATLAB中使用通用函數的格式為funm(A,funname),其中A為輸入矩陣變量，funname為調用的函數名。 如： funm(a,log) %其作用同于logm(a); funm(a,sqrt) %其作用同于sqrtm(a); 基本函數表（見下表） 四、矩陣分解函數 1. 特征值分解 調用函數 ei

3、g 矩陣分解為X*V=V*D 調用格式為： V，D=eig(X) % D：X矩陣的特征值對角矩陣； V： 其列為對應特征值的特征向量矩陣。 矩陣A和B作廣義特征值分解 A*V=B*V*D，調用格式為： V，D=eig(A,B) 如： a=-149 50 154;537 180 546;-27 9 -25 b=2 10 2;10 5 8;2 8 11v,d=eig(a)v = 0.3162 -0.4041 -0.1391 -0.9487 0.9091 0.9740 -0.0000 0.1010 -0.1789d = 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 3.0000v,d=eig(

4、a,b)v = -1.0000 -0.3305 -0.0202 0.4204 1.0000 -1.0000 0.5536 -0.0046 0.3485d = 12.9030 0 0 0 -0.0045 0 0 0 0.07062. 其它分解 （自看） 五、特殊矩陣的生成 1. 空陣 定義 為空陣，一個被賦空陣的變量具有以下性質： 在MATLAB工作內存中確實存在被賦空陣的變量； 空陣中不包括任何元素，它的階數是0*0； 空陣可以在MATLAB的運算中傳遞； 可以用clear從內存中清除空陣變量； 空陣不是“0”,也不是“不存在”，它可用來使矩陣按要求進行縮維。 如： a=1:18 a=resh

5、ape(a,3,6) a=1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 a1=a(:,1 3 4 6) a1 =1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 a(:,2 5)= a =1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 用空陣縮維后的a 陣與用坐標標識所得的a1陣相同。2. 幾種常用的工具陣 全0陣 由函數zeros生成 ，調用格式為； zeros(N) %生成N*N階的全0陣； zeros(M,N) %生成M*N階的全0陣； zeros(M,N,P ) %生成M*N*P 階的全0陣； zeros(size(A)

6、 %生成與A同階的全0陣； 單位陣 由函數eye生成，調用格式為： eye(N) %生成N*N階的單位陣； eye(M,N) %生成M*N階的單位陣； eye(size(A) %生成與A同階的單位陣； 全1陣 由函數ones生成，調用格式為： ones(N) %生成N*N階的全1陣； ones(M,N) %生成M*N階的全1陣； ones(M,N,P ) %生成M*N*P 階的全1陣； ones(size(A) %生成與A同階的全1陣； 隨機陣 由函數rand產生，調用格式為： rand(N) %產生一個N*N階均勻分布的隨機陣，元素 值在（0.0,1.0)區(qū)間內； rand(M,N) %生成

7、M*N階的隨機陣； rand(M,N,P ) %生成M*N*P 階的隨機陣； rand %無變量輸入時，只產生一個隨機數量； rand(size(A) %生成與A同階的隨機陣； randn(N) %生成一個N*N階的正態(tài)分布N（0，1）的隨 機陣； 3. 其它特殊矩陣的生成（見下表）六、矩陣的一些特殊操作 1. 變維 實現矩陣變維有兩種方法： “ ：” 兩個矩陣之間運算實現變維； 函數“reshape”對一個矩陣的操作。 例如： a=1:12 a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b=reshape(a,2,6) b =1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12

8、c=zeros(3,4) c =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c(:)=a(:) c(:)=a(:)c = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12說明：1）若使用“：”進行變維操作，兩個矩陣必須預先定義維 數； 2）這兩個命令對于數組同樣適用，并且有更廣泛意義。 2. 矩陣的變向 矩陣的變向操作包括矩陣的旋轉、左右翻轉、上下翻轉，分 別由函數rot90、fliplr、flipup來實現。flipdim用來對指定維數 進行翻轉。 其調用格式為： rot90(A) %將A逆時針方向旋轉900 rot90(A,K) %將A逆時針方向旋轉（900*K），K值可正可負 f

9、liplr(X) %將X左右翻轉 flipup(X) %將X上下翻轉 flipdim(X,dim) %將X的第dim維翻轉，dim=1時，對行翻轉， dim=2時，對列翻轉。 例如：矩陣變向示例。 c=1 2 3 4;3 4 5 6;4 5 7 9;3 5 8 0 flipdim(c,1) ans =3 5 8 0 4 5 7 9 3 4 5 6 1 2 3 4 flipdim(c,2) ans =4 3 2 1 6 5 4 3 9 7 5 4 0 8 5 3 flipdim(c,3)ans = 1 2 3 4 3 4 5 6 4 5 7 9 3 5 8 03. 矩陣的抽取 對角元素抽取函數d

10、iag diag(X,k) 抽取矩陣X的第k條對角線的元素向量。k為0時抽取 主對角線，k 為正值時為上方第k條對角線，k 為負 值時為下方第k條對角線。 diag(X) 相當于diag(X,0)，即抽取主對角線元素。 此函數還可以用來建立對角矩陣，其形式如下： diag(v,k) 使得向量v為所得矩陣的第k條對角線元素。 diag(v) 使得向量v為矩陣的對角線元素。例如：矩陣抽取示例。 a=pascal(4) %4階pascal矩陣 a =1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 v=diag(a) ; v v=1 2 6 20 v=diag(a,2); v v

11、=1 4 v=diag(diag(a) v =1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 6 0 0 0 0 20 上三角矩陣和下三角矩陣的抽取 tril(X) 提取矩陣X的主下三角部分 tril(X,k) 提取矩陣X的第k條對角線下面的部分（包括第k條對角 線），其中k的含義與diag函數中k的含義相同。triu(X) 提取矩陣X的主上三角部分triu(X,k) 提取矩陣X的第k條對角線上面的部分(包括第k條對角線)例如：對上例中a進行三角抽取。 a1=tril(a,-1) a1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 a1=triu(a,2) a1 =0 0 1

12、1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4. 矩陣的擴展 矩陣的擴展有兩種方法： 利用對矩陣標識塊的賦值命令X(m1:m2,n1:n2)=a生成大矩陣。其 中，（m2-m1+1）必須等于a的行維數，（n2-n1+1）必須等于a的列 維數。生成的（m2*n2）維的矩陣X，除賦值子陣和已存在的元素 外，其余元素都默認為0。 如：x(2:5,2:5)=a x = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 1 3 6 10 0 1 4 10 20y(2:5,3:6)=ay = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6

13、10 0 0 1 4 10 20 利用小矩陣的組合來生成大矩陣。 例：用3 種方法建立多項式的伴隨矩陣。 v=1 2 6 20 v =1 2 6 20 a1=compan(v) a1 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 a2=-v(2:4);eye(2),zeros(2,1) a2 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 a3=-v(2:4); a3(2:3,1:2)=eye(2) a3 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 03、對于大規(guī)模的數據，可以通過數據表格方式來輸入， 此時可以單擊選擇工作空間的圖標，選中已經編好的矩陣數據文件后，導入到工作空間中。4、可以通過所提

14、供的其他函數來生成二維數組。 ans = 1.0000 0.5000 0.3333 1.0000 0.6667 0.5000 1.0000 0.7500 0.6000ans = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 1.3333 1.66672. 數組與常數間的運算 數加、數減運算 如：4.+b1 數乘運算 如: 3.*a1 數除運算 如： b1.9 b1.9ans = 9.0000 9.0000 9.0000 4.5000 4.5000 4.5000 3.0000 3.0000 3.00003. 數組的冪運算 運算符：“.”，同矩陣

15、冪運算不同，它表示每個數組元素的冪運 算。 如： a=2 1 3 1;3 1 0 7;-1 2 4 2;1 0 1 5 a.3 a3ans =8 1 -27 -1 27 1 0 343 -1 8 64 -8 1 0 -1 125ans =32 -28 -101 34 99 -12 -151 239 -1 49 93 8 51 -17 -98 139 4. 數組的指數運算、對數運算和開方運算 運算符為： exp log sqrt a=2 4;3 1 exp(a) expm(a) ans = 7.3891 54.5982 20.0855 2.7183 三、數組函數運算 對于數組運算的通用函數運算，

16、只要把所有運算的數組當數字一樣帶入函數中，不需要做什么變形。其通用形式為funname(A),其中funname為常用函數名，函數名見表2.6和表2.7 如：sin(a) log(a) exp(a)ans = 84.8655 84.7302 63.5476 63.6830四、數組邏輯運算 1. 基本邏輯關系運算 下表為基本邏輯運算表：說明： 在關系比較中，若比較的雙方為同維的數組，則比較的結果也是同維數組。它的元素值由0和1 組成。當比較雙方對應位置上的元素值滿足比較關系時，它的對應值為1，否則為0。 當比較對方中一方為常數，另一方為一數組，則結果與數組同維，且其值為已知數組與常數依次比較的結

17、果； 在算術運算、比較運算、邏輯與或非運算中，它們的優(yōu)先級關系先后為：比較運算 、 算術運算、邏輯與或非運算。 例：數組的邏輯運算演示 a=1 2 3;2 3 4;3 4 5 x=5 y=ones(3)*5 ax=x=a %等同于ax=y b=0 1 0;1 0 1;0 0 1b = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 ab=a&bab = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 n_b=bn_b = 1 0 1 0 1 0 1 1 02. 邏輯關系函數運算（二）、低維數組的排序例： a=1 2 3;2 3 4;3 4 5 p1=poly(a) p1 = 1.0000 -9.0000 -6

18、.0000 -0.0000 poly2sym(p1)ans = x3-9*x2-6*x-3.3130e-015 說明： 1） 由特征多項式生成多項式的首項系數一定是1； 2） n 階矩陣一般產生 n 次多項式3. 由根創(chuàng)建多項式 由給定的根也可產生其對應的多項式，此功能由函數poly實現。 例：由給定的根向量生成其對應的多項式 root=-5 3+4j 3-4j p=poly(root) p = 1 11 55 125 poly2sym(p)ans = x3+11*x2+55*x+125 二、多項式運算 1. 求多項式的值 方法： 計算函數polyval: 以數組為輸入變量值代入多項式計算； 計算函數polyvalm：以矩陣為計算單元，進行矩陣式運算， 以求多項式的值（變量矩陣為方陣）。 例： p=1 11 55 125 b=1 1;1 1 polyval(p,b) ans = 192 192 192 192 polyvalm(p,b) ans =206 81 81 206 2. 求多項式的根 方法： 直接調用函數roots , 求解多項式的根； 通過建立多項式伴隨矩陣再求特征