4-1【幾何證明選講】第二章《圓錐曲線》課件第二課時(shí)《圓柱面、圓錐面與平面的截面》

1、2009年12月16日法門(mén)高中 姚連省 制作【4-1幾何證明選講】第二章圓錐曲線第二課時(shí)圓柱面、圓錐面與平面的截面一、教學(xué)目標(biāo)1、能夠用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解柱面、旋轉(zhuǎn)面的概念，進(jìn)而掌握?qǐng)A柱面的性質(zhì)。2、在一般截面的幾何性質(zhì)的探究中，體驗(yàn)使用焦球的意義，逐步培養(yǎng)對(duì)幾何圖形中不變量的研究意識(shí)。3、用平面截圓錐面研究所得曲線的基本特征并加以證明，從新的角度認(rèn)識(shí)橢圓、雙曲線和拋物線。4、理解用綜合幾何研究圓錐曲線的思路，掌握進(jìn)行探索的方法。二、重難點(diǎn)：探究平面與圓柱面、圓錐面的截線的證明方法和思想。三、教學(xué)方法：講練結(jié)合、觀察探究歸納。四、教學(xué)過(guò)程（一）、柱面、旋轉(zhuǎn)面、圓錐面、柱面及圓錐面的垂直截面概念

2、。學(xué)生閱讀課本P37、P40并歸納結(jié)論。結(jié)論：1、圓柱面與垂直截面的交線是一個(gè)圓。2、當(dāng)截面與圓錐面的軸垂直時(shí)所得的交線是一個(gè)圓，其半徑為dtanx(x是半頂角）。（二）、探究一般截面1、圓柱面的一般截面提出問(wèn)題：當(dāng)截面與圓柱面的軸不垂直時(shí)，交線是什么圖形呢？學(xué)生觀察課本P38中圖2-18交流討論探究，教師準(zhǔn)對(duì)問(wèn)題講解。*.ABCD1G2G1O2OP1K2K1F2F63圖圖.,:,.,定值定值有有點(diǎn)點(diǎn)對(duì)于截口上任意一對(duì)于截口上任意一要證明要證明我們需我們需為此為此就可能是焦點(diǎn)就可能是焦點(diǎn)、其垂足其垂足截面的垂線截面的垂線分別作斜分別作斜、即過(guò)球心即過(guò)球心面的切點(diǎn)上面的切點(diǎn)上兩個(gè)球與斜截兩個(gè)球與

3、斜截兩個(gè)焦點(diǎn)可能在兩個(gè)焦點(diǎn)可能在我們猜想我們猜想212121PFPFPFFOO?,?,還還有有這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論嗎嗎在在其其他他位位置置時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)可可以以得得到到什什么么結(jié)結(jié)論論重重合合時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)如如圖圖探探究究PGP263*結(jié)論：當(dāng)截面與圓柱面的軸不垂直時(shí)，交線為橢圓。.ABCD1G2G1O2OP1K2K1F2F63圖圖.,.,.,ADPKPKPFPFPKPFPKPFKKPKPKKKPFFPFPFPFPFP21212211212121212121所所以以知知推推廣廣根根據(jù)據(jù)切切線線長(zhǎng)長(zhǎng)定定理理的的空空間間、切切點(diǎn)點(diǎn)為為分分別別是是兩兩球球面面的的切切線線、則則、面面分分別別相相交交于于

4、與與兩兩球球作作母母線線過(guò)過(guò)、切切點(diǎn)點(diǎn)為為分分別別是是兩兩個(gè)個(gè)球球的的切切線線、則則，、連連接接不不在在端端點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn).,的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓故點(diǎn)故點(diǎn)為定值為定值由于由于PAD.橢圓橢圓圓柱形物體的斜截口是圓柱形物體的斜截口是定理定理于是有于是有11A2A2B1B1F2FO73圖圖.,.,.,22212121212121222273bacbaFFBBAAFFBBFF那么焦距那么焦距短軸為短軸為為為如果長(zhǎng)軸如果長(zhǎng)軸叫做橢圓的叫做橢圓的的的叫做橢圓叫做橢圓叫做橢圓的叫做橢圓的把把我們我們的中垂線的中垂線是是橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)是是、如圖如圖長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸短軸短軸焦焦距距幾個(gè)重要結(jié)論和公式要熟記

5、。（1）、圓柱面的截面及其性質(zhì)A.垂直截面與柱面的交線為一個(gè)圓。B.圓柱面的截線定理：不平行于圓柱面母線的平面截割圓柱面，其截線是一個(gè)橢圓，橢圓的短半軸等于圓柱面的半徑r.長(zhǎng)半軸等于sin 是截割平面與圓柱面母線所成的角。C.圓柱面的截面的焦球：a.內(nèi)切球：圓柱面與球面相切，該球叫做圓柱面的內(nèi)切球。b.焦球設(shè)平面m截割圓柱面，與平面m相切的圓柱面的內(nèi)切球叫做截割平面m的焦球。D.確定截線橢圓的參數(shù)：練習(xí)冊(cè)P52。學(xué)生課堂練習(xí)：1、已知半徑為2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45度角，則截線橢圓的焦距為（ ）。2、一平面與圓柱面的母線成45度角，平面與圓柱面的截線橢圓的長(zhǎng)軸為6，則圓柱面的半徑為

6、（ ）。1、圓錐面的一般截面.1F2FP2Q1Q1S2S113圖圖.的證明下面給出交線為橢圓時(shí).,及圓錐均相切與平面并且的下方一個(gè)位于平面的上方一個(gè)位于平面雙球在圓錐內(nèi)部嵌入同的證明相與定理如圖Dandelin1113.,.,2121SSFF、與圓錐相切于圓、點(diǎn)分別為的切設(shè)兩個(gè)球與平面閉曲線與圓錐的交線是一個(gè)封平面由上面的討論可知時(shí)當(dāng)*.1F2FP2Q1Q1S2S113圖圖.,.,1111221121PQPFPPQPFQSQSPPFPFP因此線到上方球的兩條切是從和于是于交于作母線交過(guò)、連接點(diǎn)在截口的曲線上任取一.,.21212122QQPQPQPFPFPQPF所以同理.,為焦點(diǎn)的橢圓、是以由

7、此可知截口的曲線的位置無(wú)關(guān)與點(diǎn)長(zhǎng)度段的所在平行平面間的母線、等于兩圓長(zhǎng)度由正圓錐的對(duì)稱(chēng)性212121FFPSSQQ結(jié)論：1、課本41中的結(jié)論。2、圓錐面截線定理：課本P43頁(yè)中的定理。學(xué)生課堂練習(xí)：1、圓錐的頂角為60度，截面與母線所成的角為60度，則截面所截得的截線是（ ）。2、圓錐的頂角為50度，圓錐的截面與軸線所成的角為30度，則截線是（ ）。（三）、小結(jié)：1、本課主要通過(guò)圓柱與平面的位置關(guān)系，體會(huì)平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）；提高幾何觀察歸納及論證能力。要會(huì)理解和掌握證明方法，會(huì)運(yùn)用結(jié)論解決問(wèn)題。2、在空間中，取直線 為軸 ，直線 與 相交于點(diǎn)o，其夾角為， 圍繞 旋轉(zhuǎn)得到以為o頂點(diǎn)， 為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸 交