正交試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理

1、第一講：正交試驗第二講：方差分析(ANOVA)第三講：正交試驗的方差分析第四講：穩(wěn)健設(shè)計第五講：可靠性設(shè)計第一節(jié)：實驗設(shè)計的意義及其發(fā)展過程第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計Design of Experiment為什么要進行試驗設(shè)計？這里有27個球， 其中有且只有一個球質(zhì)量為9克, 其它26個都為10克。給你一架天平，請找出重為9克的那個球。請問，你至少要稱幾次？這里有9框球(每框100個)， 其中有且只有一框里的球質(zhì)量全為9克, 其它8框里的球都為10克。給你一架天平，請找出里面的球重為9克的那個框。請問，你至少要稱幾次？Desi

2、gn of Experiment為什么要進行試驗設(shè)計？實驗設(shè)計的意義:應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本知識，討論如何合理地安排試驗、取得數(shù)據(jù)，然后進行綜合科學(xué)分析，從而盡快獲得最優(yōu)組合方案。在工程學(xué)領(lǐng)域是改進制造過程性能的非常重要的手段。在開發(fā)新工序中亦有著廣泛的應(yīng)用。在工序開發(fā)的早期應(yīng)用實驗設(shè)計方法能得出以下成果：1. 提高產(chǎn)量；2. 減少變異性，與額定值或目標(biāo)值更為一致；3. 減少開發(fā)時間；4. 減少總成本；通過實驗通過實驗進行優(yōu)化設(shè)計進行優(yōu)化設(shè)計實驗設(shè)計的發(fā)展過程:試驗設(shè)計始于20世紀(jì)20年代，其發(fā)展過程大致可分為三個階段：1. 早期的方差分析法: 20世紀(jì)20年代由英國生物統(tǒng)計學(xué) 家、數(shù)學(xué)家費歇(

3、R.A.Fisher)提出的，開始主要應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、生物學(xué)、遺傳學(xué)方面，取得了豐碩成果。二戰(zhàn)期間，英、美采用這種方法在工業(yè)生產(chǎn)中取得顯著效果；2. 傳統(tǒng)的正交試驗設(shè)計法：以日本的田口玄一為代表；3. 信噪比試驗設(shè)計與三階段設(shè)計：1957年，田口玄一提出信噪比 設(shè)計法和產(chǎn)品的三階段設(shè)計法。他把信噪比設(shè)計和正交表設(shè)計、方 差分析相結(jié)合，開辟了更為重要、更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。為什么要進行正交試驗:在實際生產(chǎn)中，影響試驗的因素往往是多方面的，我們要考察各因素對試驗影響的情況。在多因素、多水平試驗中，如果對每個因素的每個水平都互相搭配進行全面試驗，需要做的試驗次數(shù)就會很多.比如對3因素7水平的試驗，如果3因

4、素的各個水平都互相搭配進行全面試驗，就要做73=343次試驗，對6因素7水平，進行全面試驗要做76=117649次試驗。這顯然是不經(jīng)濟的。我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗效果的前提下，盡可能地減少試驗次數(shù)。正交設(shè)計就是解決這個問題的有效方法。正交設(shè)計的主要工具是正交表。右圖是一個比較典型的正交表.“L”L”表示此為正交表, “8”“8”表示試驗次數(shù), “2”“2”表示兩水平, “7”“7”表示試驗最多可以有7個因素 (包括單個因素及其交互作用).正交表:正交表的表示方法:一般的正交表記為Ln(mk)，n是表的行數(shù)， 也就是要安排的試驗數(shù);k 是表中的列數(shù)，表示因素的個數(shù)；m 是各因素的水平數(shù)；常見的正交表

5、:2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211), L16(215)等；3水平的有 L9(34), L27(313)等；4水平的有 L15(45);5水平的有 L25(56);正交表的兩條重要性質(zhì):1) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)中，每列中不同的 數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次；2) 在任意兩列中，將同一行的兩個 數(shù)字看成一個有序數(shù)對，則每一數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)中有序數(shù)對共有9個: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), 它們各出現(xiàn)一次。所以，用正交表來

6、安排試驗時，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點。例1：(單指標(biāo)的分析方法)某煉鐵廠為提高鐵水溫度，需要通過試驗選擇最好的生產(chǎn)方案經(jīng)初步分析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度， 每個因素都 考慮3個水平，具體情況見表。問對這3個因素的3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?解：如果每個因素的每個水平都互相搭配著進行全面試驗，必須做試驗33=27次。現(xiàn)在我們使用L9(34)正交表來安排試驗。我們按選定的9個試驗進行試驗，并將每次試驗測得的鐵水溫度記錄下來：為了便于分析計算，我們把這些溫度值和正交表列在一起組成一個新表。另外，由于鐵水溫度數(shù)值較大，我們把每一個鐵

7、水溫度的值都減去1350，得到9個較小的數(shù)，這樣使計算簡單。分析表解釋：K1這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第1水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K2這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第2水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K3這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第3水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;k1, k2, k3這3行的3 個數(shù)，分別是K1, K2, K3這3行中的3個數(shù)的平均值；極差是同一列中， k1, k2, k33個數(shù)中的最大者減去最小者所得的差。極差越大，說明這個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，就是那個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影

8、響最大，那個因素就是我們要考慮的主要因素.通過分析可以得出：各因素對試驗指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序應(yīng)當(dāng)是C (底焦高度) A (焦比) B (風(fēng)壓)；最好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2。與此結(jié)果比較接近的是第9號試驗。為了最終確定上面找出的試驗方案是不是最好的，可以按這個方案再試驗一次，并同第9號試驗相比，取效果最佳的方案。例2：(多指標(biāo)的分析方法- 綜合平衡法)為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進行配方試驗。要檢驗3項指標(biāo)：抗壓強度、落下強度 和裂紋度，前2個指標(biāo)越大越好，第3個指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗，配方中有3個重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個水平。試進行試驗分析，找出最

9、好的配方方案。解：我們選用正交表L9(34)來安排試驗。024681012789 0246810789 00.511.522.533.54789 02468101214164680246810121446800.511.522.533.5468024681012141.11.31.502468101.11.31.500.511.522.533.51.11.31.5分析：1) 粒度B對抗壓強度和落下強度來講，極差都是最大的，說明它是影響最大的因素，而且以取8為最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，不是影響最大的因素，而且也以取8為最好；2) 堿度C對三個指標(biāo)的極差都不是最大的，是次要的因素。對

10、抗壓強度和裂紋度來講，堿度取1.1最好；對落下強度，取1.3最好，但取1.1也不是太差，綜合考慮堿度取1.1；3) 水分A對裂紋度來講是最大的因素，以取9為最好；但對抗壓強度和落下強度來講，水分的極差都是最小的，是影響最小的因素。綜合考慮水分取9；最后較好的試驗方案是B3C1A2例3：(多指標(biāo)的分析方法- 綜合評分法)某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗兩下指標(biāo)：核酸統(tǒng)一純度和回收率，這兩個指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個，各有3個水平。試通過試驗分析找出較好的方案解：這是4因素3水平的試驗，可以選用正交表L9(34)。試驗結(jié)果如表。第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法分析：1) 根據(jù)綜合評分的結(jié)果

11、，直觀上第1號試驗的分?jǐn)?shù)最高，應(yīng)進一步分析它是不是最好的試驗方案；2) 通過直觀分析法可以得知，最好的試驗方案是A1B3C2D1。A，D 兩個因素的極差都很大，是對試驗影響較大的兩個因素；3) 分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個試驗中是沒有的?？梢园催@個方案再試驗一次，看能不能得出比第一號試驗更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗方案；綜合評分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計算總分的方法化成一個綜合評分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計算總分的方法化成一個指標(biāo)的問題，使對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單。指標(biāo)的問題，使對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單。利用正交表進行試驗的步驟：1) 明確試驗?zāi)康?，確定

12、要考核的試驗指標(biāo)；2) 根據(jù)試驗?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平；要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素；3) 選用合適的正交表，安排試驗計劃；4) 根據(jù)安排的計劃進行試驗，測定各試驗指標(biāo)；5) 對試驗結(jié)果進行計算分析，得出合理的結(jié)論；6)若最佳組合方案在試驗中未出現(xiàn)，如果條件允許，應(yīng)安排一次驗證試驗，進行確認(rèn)。混合水平正交表及其用法:混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。譬如：L8(41 x 24)就是一種混合水平的正交表。例4：(直接利用混合水平正交表)某農(nóng)科站進行品種試驗，共有4個因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀比例)、D(規(guī)格)。因素A是4

13、水平的，另外3個因素是2水平的。試驗指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。解：分析結(jié)果見下表。例5：(擬水平法)今有一試驗，試驗指標(biāo)只有一個，它的數(shù)值越小越好，這個試驗有4個因素，其中因素C是2水平的，其余3個因素都是3水平的，試安排試驗。解：我們從第1、第2兩個水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。一般應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。分析結(jié)果見下表?？偨Y(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗的方法。它不僅可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平。什么是交互作用：

14、在多因素試驗中，各因素不僅各自獨立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗指標(biāo)也有影響。這后一種影響就叫做因素的交互作用。因素A和因素B的交互作用記為A X B.交互作用表（以正交表L8(27)為例）：用正交表安排有交互作用的試驗時，我們把兩個因素的交互作用當(dāng)成一個新的因素來看，讓它占有一列，叫交互作用列。例6：(水平數(shù)相同)我們用一個3因素2水平的有交互作用的例子來說明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個因素A，B，C，每個因素都有兩個水平。每兩個因素之間都有交互作用，試驗指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。具體如下：解：這是3因素2水平

15、的試驗。3個因素A, B, C要占3列，它們之間的交互作用A x B, B x C, A x C 又占3列?？捎谜槐鞮8(27).分析：從極差大小看，影響最大的因素是C，以2水平為好；其次是AxB，以2水平為好，第3是因素A，以1水平為好，第4是因素B以1水平為好。列出A和B進行組合的幾種效果表：從此表可知，A和B的最佳組合為A1B2。AxC 和 BxC的極差很小，對試驗的影響很小，忽略不計。綜合分析，最好的方案應(yīng)是A1B2C2，這與試驗4相吻合。1216973.527265.5BAAXB1. 按照正交試驗(直觀分析法)的原理，解決你實際工作中的一個問題，并總結(jié)成實驗分析報告。2. 補充作業(yè)

16、(另附)第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析先看一個例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗，測得結(jié)果如下：要分析溫度的變化對得率的影響從平均得率來看，溫度對得率的影響?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次65oC比70oC 好，而后二次70oC比65oC 好。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗誤差的干擾。由于試驗誤差的存在，對于不

17、同溫度下得率的差異自然要提出疑問，這差異是試驗誤差造成的，還是溫度的影響呢?1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部15個數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差)。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗誤差，一是條件變差。2) 方差分析解決這類問題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示；b. 用條件變差和試驗誤差在一定意義下進行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標(biāo)影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進一步試驗的方向；變差的數(shù)量表示：有n個參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, , xn, 它們之

18、間的差異稱為變差。如何給變差一個數(shù)量表示呢?1) 一個最直觀的想法是用這n個數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來表達，用R記之；2) 變差平方和，以S記之。S是每個數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。21)(xxSniiniixnx11對變差平方和的進一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為: 4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其變差平方和。043484. 0)558. 455. 4()558. 472. 4()558. 452. 4()558. 453. 4()558. 444. 4()558. 459. 4(222222S558. 4635.

19、27)55. 472. 452. 453. 444. 459. 4(61x第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論(2)：我們看到S的計算是比較麻煩的，原因是計算x時有效位數(shù)增加了因而計算平方時工作量就大大增加。另外，在計算x時由于除不盡而四舍五入，在計算S時，累計誤差較大。為此常用以下公式:043483. 0)55. 4.44. 459. 4(61)55. 4.44. 459. 4(2222S第一節(jié)：問題的提出自由度的提出：例2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它們是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原來的六爐共十爐，求其變方和。559. 41059.4

20、5)54. 4.59. 4(61x第一節(jié)：問題的提出自由度的提出(2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推知這不是一個最好的辦法，而應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫做自由度。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出(3)：設(shè)有n個數(shù)y1, y2, , yn, 它們的平方和 的自由度是多少呢? 這就看yi 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有m個(0m F (a - 1, n - a)，則說明試驗條件的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；若F 4.43=F0.01(4, 20)說明棉花的百分比對人造

21、纖維的抗拉強度有影響。無交互作用的方差分析:設(shè)兩因素A，B，A有a個水平A1，A2, , Aa，B有b個水平，B1，B2, , Bb, 在每一個組合水平(Ai, Bj)下，進行一次無重復(fù)試驗，得到試驗指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè)XijN(ij , 2 )，各xij相互獨立。總離差平方和的分解:記在水平Ai 下的樣本均值為記在水平Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將ST改寫并分解得記為ST = SA (效應(yīng)平方和)+ SB (效應(yīng)平方和)+ SE (誤差平方和)bjijixbx1.1aiijjxax1.1aibjijxabx111aibjijTxxS112)(aibjaibjji

22、ijjiTxxxxxxaxxbS11112.2.2.)()()(自由度:ST的自由度為 ( ab - 1);SA的自由度為 ( a - 1);SB的自由度為 ( b - 1);SE的自由度為 ( a - 1)(b-1);均方:.)1)(1(,1,1baSMSbSMSaSMSEEBBAAF檢驗法:統(tǒng)計量對于給出的，查出F(a - 1, (a - 1)(b-1), F(b - 1, (a - 1)(b-1)的值， 由樣本計算出F1, F2值。從而有如下判斷：若F 1 F (a - 1, (a-1)(b-1)，則說明因素A的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；若F2 F (b - 1, (a-1)(b-1)，

23、則說明因素B的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：)1)(1( , 1()1)(1( , 1(21babFMSMSFbaaFMSMSFEBEABATEbjjBaiiAaibjijTSSSSabxaxSabxbxSabxxS ,12.2.12.2.112.2方差分析表:例2：(雙因素?zé)o交互作用的方差分析)使用4種燃料，3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料(Ai)與各種推進器(Bj)對火箭射程有無顯著影響(=0.05)解:這里a=4, b=3, ab=12731982238515759111342223851268

24、74)204823792432(4112415759126874)1827170215481797(31123111342126874487.582123122222.2.41222222.2.41312222.2BATEjjbiiAijijTSSSSxxSxxSxxS解(2):給出的=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14因為F1=0.434.76, F2=0.92 F(f因，fE)，說明該因素對試驗結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。例1 (無交互作用):磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大

25、于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗，取試驗因素和相應(yīng)水平如下表：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析解：(選用正交表L9(34)表頭設(shè)計：試驗計劃與試驗結(jié)果：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析詳細(xì)計算如下：2 .1162 .765278.3028663105196 .4279 .56866 .14213 .303294)328329273529308025(317 .308553)260100430336235225(313 .304288)252004352836308025(3178.302866

26、)1651(919122CBATEkkTTCCBBAACBASSSSSPyPQSPQSPQSPQSQQQP第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平，對不顯著因子的水平可以任意選??；在實際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇，上面的例子中對因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析驗證試驗：對A2B2C1進行三次試驗，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3. 此結(jié)果是滿意的例2(有交互作用):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度。每個因素都取3

27、個水平，具體數(shù)值見表。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，找出最好的工藝條件。解：(選用正交表L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計算：22.375)23.3443.3398.32(91,22.375)27.3404.3333.33(91,20.375)30.3313.3321.34(91,33.375)04.3366.3494.32(91,68.375)61.3473.3130.34(91,89.375)93.3208.3263.35(91,00.531)16.5921.3527.6(91,29.376)88.3530.3146.33(91,17.377)21.3370.3073

28、.36(91,13.375)64.100(271222)(222)(222)(222)(222)(222)(2222222222212121BXCBXCAXCAXCAXBAXBCBAQQQQQQQQQP由此得出類似地最后計算總平方和，得出32. 12,87.155,17. 1,04. 22121)()()()(PQQSSSPQSPQSPQSAXBAXBAXBAXBAXBCCBBAA18. 0228. 022121)()()()(PQQSPQQSBXCBXCBXCAXCAXCAXC34. 0(20.16113.37533.53633.536)2712BXCAXCAXBCBATTETTkkTSSS

29、SSSSSSSPQSSxQ交因用公式計算自由度：再用公式計算平均離差的平方和，然后計算F值，再與F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值F(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若F F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若F F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若FF0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示。81826,261271, 422, 213交因總總fffnfxffffffEBXCAXCAXBCBA方差分析表：因為SAXC和SBXC都很小，和誤差項合并，作為誤差項。通過F值與臨界值比較看出，因素A,B

30、,C和交互作用AXB對試驗的影響都是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為A，B，AXB方差分析(2)：由于這里的試驗指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試驗結(jié)果對照起來分析。從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時，試驗結(jié)果為13.17，是所有結(jié)果中的最大值，因此取A1B3。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3.混合型正交設(shè)計的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計的方差分析相同，只要在計算時注意

31、到各水平數(shù)的差別就行了?，F(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：281812)(81kkkkTTxxPQS221)(81KKS28124232221)(81)(21kkxKKKKS例4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越好。試驗的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個： 退火溫度A，保溫時間B，冷卻介質(zhì)C。解：625.1,500.0)10.12410.126(81,125.1)60.

32、12660.123(81,18.0)70.12550.124(81,645.2)80.12240.127(81)(81,445.0005.7825)89.400684.386841.385676.3918(21)(21,895.4,005.7825)04.62600(818,20.250,90.78295425242222124232221281812SSSSSSKKSPKKKKSPQSTPxTxQECBATTkkkkT方差分析表：從F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來，SE就變成SA + SC

33、+ S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。方差分析表(2)：臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75從F值和臨界值的比較來看，因素B就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序為BCA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1例5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗?？疾熘笜?biāo)是酸洗時間。在除銹效果達到要求的情況下，酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個水平。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平

34、并安排在第1列。解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：546624167876241)56169(919237,6787291912PQSTPxTxQTTkkkkT5 .406241)22201(61)7744(3196322221TKKSC67.4026241)3721476111449(31786241)490082815776(3167.206241)608472255476(319)(312232221DABSSTKKKS16. 4)(DABCTESSSSSS方差分析表：從F值和臨界值比較看出，各因素均無

35、顯著影響，相對來說，因素D的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方和為SE= SE + SB，再列方差分析表方差分析表(2)：由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要性的順序為DCAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3.第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計第三節(jié)：信噪比穩(wěn)健性：穩(wěn)健性(robustness), 也叫魯棒性，是指因素狀況發(fā)生微小變差對因變量影響的不敏感性。換句話說，產(chǎn)品性能與某個因素有關(guān)，因素狀態(tài)變化時，產(chǎn)品的性能也隨之變化。如果因素狀態(tài)的變化對產(chǎn)品性能的影響不大，我們就說產(chǎn)品性能對該因素的變化是不敏感的，又稱是穩(wěn)健性的，或說產(chǎn)品性能

36、對該因素的變化具有穩(wěn)健性。如使產(chǎn)品性能對所用材質(zhì)變差不靈敏，就能在一些情況下使用較低廉的或低等級的材料；使產(chǎn)品對制造尺寸變差不靈敏，可以提高產(chǎn)品的可制造性、降低制造費用；使產(chǎn)品對使用環(huán)境變化不靈敏，就能保證產(chǎn)品使用的可靠性和降低操作費用；穩(wěn)健設(shè)計：在實際問題中存在不少誤差因素，它們影響著產(chǎn)品質(zhì)量。對這些誤差因素可以采取兩種辦法：1) 消除這些因素: 實際上往往很難做到，有的情況下，即使能做到,也要花費很大力氣和很高的費用，這是不值得的；2) 盡量降低誤差因素的作用，使產(chǎn)品性能因誤差因素變化而變化的敏感性最小。根據(jù)這種指導(dǎo)思想，對產(chǎn)品的性能、質(zhì)量和成本綜合考慮，選擇出最佳設(shè)計，既提高了產(chǎn)品質(zhì)量，

37、又降低了成本，這種設(shè)計方法叫做穩(wěn)健設(shè)計；穩(wěn)健設(shè)計是一種最優(yōu)化設(shè)計方法，它的兩個主要工具是信噪比和正交表，用信噪比作為特征數(shù)衡量質(zhì)量，用正交表安排試驗。何謂三階段設(shè)計：三階段設(shè)計就是在專業(yè)設(shè)計的基礎(chǔ)上，用正交設(shè)計方法選擇最佳參數(shù)組合和最合理的容差范圍，盡量用價格低廉的、低等級的零部件來組裝整機的優(yōu)化設(shè)計方法。三階段設(shè)計由以下三個階段組成：1) 系統(tǒng)設(shè)計 (system design)2) 參數(shù)設(shè)計 (parameter design)3) 容差設(shè)計 (tolerance design)系統(tǒng)設(shè)計的設(shè)計質(zhì)量由設(shè)計人員的專業(yè)技術(shù)水平和應(yīng)用這些專業(yè)知識的能力所決定。三階段設(shè)計的重點是參數(shù)設(shè)計和容差設(shè)計。

38、參數(shù)設(shè)計：在系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)上，對影響產(chǎn)品輸出特性值的各項參數(shù)及其水平，運用DOE方法，找出使輸出特性值波動最小的最佳參數(shù)水平組合的一種優(yōu)化設(shè)計方法。根據(jù)實踐經(jīng)驗，零部件、元器件全部采用優(yōu)質(zhì)品，裝出的整機不一定就是優(yōu)質(zhì)品，這是因為整機質(zhì)量不僅與元器件、零部件本身的質(zhì)量有關(guān)，更主要的是取決于參數(shù)水平的組合。參數(shù)設(shè)計就是要找出參數(shù)水平的最佳組合，它是設(shè)計的重要階段、核心階段。參數(shù)設(shè)計所用的主要方法就是正交設(shè)計法。具體步驟如下：1) 分析、明確問題的要求，選擇出因素及水平；2) 選擇正交表，按表頭設(shè)計確定試驗方案；3) 具體進行試驗，測出需要的特性值；4) 進行數(shù)據(jù)分析；5)確定最佳方案；容差設(shè)計：容

39、差設(shè)計又叫公差設(shè)計，是在參數(shù)設(shè)計完成之后再進行的一種設(shè)計.容差設(shè)計是對產(chǎn)品質(zhì)量和成本(包括市場情況)進行綜合考慮，通過試驗設(shè)計方法找出各因素重要性的大小，據(jù)此給予各參數(shù)更合理的容差范圍。在容差設(shè)計中，為減少用戶的損失，需要計算質(zhì)量損失，以便對容差設(shè)計方案的優(yōu)劣進行評價。容差設(shè)計的步驟：1) 針對參數(shù)設(shè)計所確定的最佳參數(shù)水平組合，根據(jù)專業(yè)知識設(shè)想出可以選用的低廉的元器件進行試驗設(shè)計和計算分析；2) 為簡化計算，通常都選取和參數(shù)設(shè)計中相同的因素為誤差因素，3) 選取正交表，安排誤差因素，進行試驗，測出誤差值；4) 方差分析：為研究誤差因素的影響，對測出的誤差值進行方差分析；5) 容差設(shè)計：根據(jù)方差

40、分析的結(jié)果對各因素選用合適的元件。A. 影響不顯著的因素，可選用低等級。低價格的元件；B. 對影響顯著的因素要綜合考慮；總之要使質(zhì)量損失最小，成本盡可能低，按這個原則確定各因素的容限。信噪比的概念：信噪比的概念首先是在無線電通信中提出來的。接收機輸出功率可分成兩部分：信號功率和噪聲功率。理論上和實踐中經(jīng)常要考慮信號功率與噪聲功率的比值，這個比值就叫做信噪比，通常用表示 = 信號功率/噪聲功率 = S/N在試驗設(shè)計中采用信噪比是田口玄一于1957年提出來的。譬如在測量中經(jīng)常把(2/2)作為信噪比，這里是質(zhì)量特征值的平均值，是樣本方差。為使用方便，通常把這些量取常用對數(shù)再放大10倍作為信噪比，仍記

41、為，但這時的單位是分貝(dB)，把說成為信噪比的分貝值。譬如信噪比這個量，通常都是越大越好。22lg10第一節(jié)：可靠性和可靠度概念第二節(jié)：故障的統(tǒng)計分布函數(shù) 第三節(jié)：可靠度的計算第四節(jié)：可靠度函數(shù)與故障率第五節(jié)：可靠性設(shè)計第六節(jié)：可靠性試驗第一節(jié)：可靠性和可靠度概念產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)可分為兩類:性能指標(biāo)-產(chǎn)品完成規(guī)定功能所需要的指標(biāo) 例如：電視機的圖象、彩色、音質(zhì)、選擇性能等可靠性指標(biāo)-產(chǎn)品性能隨時間的保持能力 例如：電視機的平均壽命 元器件的失效率100臺計算機開始工作 仍有95臺在工作t=0 t=1000第一節(jié)：可靠性和可靠度概念可靠性:產(chǎn)品在規(guī)定條件下和規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力，稱為產(chǎn)

42、品的可靠性。(可靠性的概率度量稱為可靠度。)規(guī)定的條件：規(guī)定的條件：常指使用條件、維護條件、環(huán)境條件和操作技術(shù)等。不同條件下，產(chǎn)品的可靠性不同；規(guī)定的條件是比較可靠性高低的條件；規(guī)定的時間：規(guī)定的時間：這是可靠性的核心，不談?wù)摃r間就無可靠性可言，可靠性是關(guān)于時間的質(zhì)量。例如：火箭發(fā)射系統(tǒng)，只要在十分鐘內(nèi)把火箭送上軌道即可；海底電纜，要求在幾十年內(nèi)可靠；家用電器，有幾萬小時可靠，顧客也就滿意了?？煽慷?是指元器件、設(shè)備或系統(tǒng)在給定條件下和規(guī)定的時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率。1) 工作可靠度Ro(Operational Reliability): 這是實際使用時，機器的可靠度。2) 固有可靠度Ri(I

43、nherent Reliability): 這是產(chǎn)品內(nèi)在的可靠度，是廠家在生產(chǎn)過程中已經(jīng)確立下來的可靠度，它是系統(tǒng)、產(chǎn)品從企業(yè)規(guī)劃階段就已確立的指標(biāo)，是綜合其它指標(biāo)后的可靠性指標(biāo)。3) 使用可靠度Ru(Use Reliability): 它與產(chǎn)品的使用有關(guān)，與包裝、運輸、保管、環(huán)境、操作情況、維修等因素有關(guān)。uioRRR設(shè)：設(shè)：N0: 參加產(chǎn)品試驗的總數(shù); N0=Nf(t)+Ni(t)Nf(t): t 時刻累積故障數(shù)；Ni(t): t 時刻未失效仍正常工作的數(shù)目；Nf(t): t 到t+ t 時間間隔內(nèi)發(fā)生的故障數(shù);則：則： 單位時間內(nèi)失效產(chǎn)品數(shù)占參加產(chǎn)品試驗總數(shù)的頻率為：產(chǎn)品在t 時刻的故障

44、概率密度f(t)為：可靠度可靠度R(t):R(t): 即產(chǎn)品至?xí)r刻t 不發(fā)生故障的概率累積故障概率累積故障概率F(t):F(t): 即產(chǎn)品至?xí)r刻 t 累積發(fā)生故障的概率故障率故障率 ( (t):t): 產(chǎn)品至?xí)r刻t , 單位時間內(nèi)發(fā)生故障的產(chǎn)品數(shù)和仍在正常工作的產(chǎn)品數(shù)之比，即產(chǎn)品工作到某個時間后，單位時間內(nèi)發(fā)生故障的概率。關(guān)系：關(guān)系：可靠度的計算:設(shè)可靠度為R，累積故障概率為F，R+F=1.我們就元件構(gòu)成系統(tǒng)的不同類型，討論系統(tǒng)與元件之間可靠度的關(guān)系。假設(shè)各元件故障的發(fā)生是獨立的，記Ei為元件i成功運轉(zhuǎn)事件，Ri = P(Ei) 為元件i 的可靠度，F(xiàn)i=P(Ei)為元件i 的累積故障概率，R

45、s為系統(tǒng)的可靠度，F(xiàn)s為系統(tǒng)的累積故障概率?？煽慷鹊挠嬎?2):串聯(lián)方式:設(shè)系統(tǒng)由多個元件構(gòu)成，如果其中任一元件發(fā)生故障，都會導(dǎo)致整個系統(tǒng)發(fā)生故障，這種構(gòu)成方式稱為串聯(lián)方式。假設(shè)系統(tǒng)由n個元件串聯(lián)而成，則有由于事件的獨立性，有由于Ri1(I=1,2,n), 所以系統(tǒng)的可靠度隨著元件個數(shù)的增加而下降計算串聯(lián)方式可靠度的近似方法：1) 假設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的n件元件的故障率都相等，記為q,則假定q很小，利用二項式展開，再忽略q的高次項，則2) 假設(shè)各元件的累積故障率為qi, 則有).(21nSEEEPRnnSRRREPEPEPR.)().()(2121nSqR)1 ( nqRS 1niiSqR11可靠度的

46、計算(3):要提高系統(tǒng)的可靠度RS，可以從兩方面考慮：1) 減少串聯(lián)元件個數(shù)；2) 提高各元件的可靠度；由于元件數(shù)目增加而引起系統(tǒng)可靠度的降低在圖上表現(xiàn)得很明顯，對同樣數(shù)量的元件，元件可靠度的提高，可使系統(tǒng)的可靠度提高?？煽慷鹊挠嬎?4):并聯(lián)方式:設(shè)系統(tǒng)由多個元件構(gòu)成，如果其中某一元件發(fā)生故障，系統(tǒng)仍能正常工作，只有當(dāng)所有元件都發(fā)生故障時，系統(tǒng)才不能正常工作，這種構(gòu)成方式稱為并聯(lián)方式。假設(shè)系統(tǒng)由n個元件并聯(lián)而成，則有由于事件的獨立性，有而 所以有由于Fi0) 可靠度函數(shù)為故障率為即指數(shù)分布的故障率是常量。對于指數(shù)分布，串聯(lián)系統(tǒng)的故障率等于各元件故障率之和。這就是指數(shù)分布中故障率的可加性。0,

47、)(tedtetRttttteetRtft)()()(幾個重要分布的可靠度函數(shù)和故障率(2):2) 正態(tài)分布: 密度函數(shù)故障分布函數(shù)它的可靠度函數(shù)為故障率為tetft,21)(222)()(21)(222)(tetFtdt)(1)(1)(ttFtR)(1)()()()(tFtftRtft幾個重要分布的可靠度函數(shù)和故障率(3):3) 威布爾分布: 密度函數(shù)故障分布函數(shù)它的可靠度函數(shù)為故障率為0,0,0,exp)()()(1ttttf tdftFtexp1)()(0 ttFtRexp)(1)(1)()(tt幾個重要分布的可靠度函數(shù)和故障率(4):4) 離散型的可靠度函數(shù)和故障率: 類似于連續(xù)型分布

48、，若離散型的分布律為pk(二項分布為 泊松分布為)則可靠度函數(shù)為 故障率為knkknkppCp)1 (! kepkkkiipkR)(kiikkppkRpk)()(第五節(jié)：可靠性設(shè)計一般概念:事前考慮可靠性的一種設(shè)計方法。進行可靠性設(shè)計首先要考慮的幾個問題：1) 仔細(xì)調(diào)查了解能夠得到的元件的可靠度。2) 根據(jù)總目標(biāo)要求和實際狀況，正確地分配各元件的可靠度。3) 必要時采用適當(dāng)?shù)氖侄螐浹a元件可靠度的不足，譬如采用冗余度連接方式，甚至改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)等。4) 實在不行時，要重新研究和開發(fā)可靠度更高的元件。 第五節(jié)：可靠性設(shè)計平均壽命：產(chǎn)品投入使用到發(fā)生故障的平均工作時間。不可修復(fù)系統(tǒng)MTTF (Mea

49、n Time To Failure): 失效前平均工作時間若產(chǎn)品的故障概率密度f(t)按指數(shù)分布，且(t)=常數(shù)時，MTTF=1/第五節(jié)：可靠性設(shè)計可修復(fù)系統(tǒng)MTBF (Mean Time Between Failure)對一系統(tǒng)，在發(fā)生故障后，如果經(jīng)過維修能夠恢復(fù)到正常狀態(tài)，這種系統(tǒng)稱為可修復(fù)系統(tǒng)?？尚迯?fù)系統(tǒng)的維修工作難易不同，表征維修難易程度的量叫維修度，記作M, 即可修復(fù)系統(tǒng)在規(guī)定條件下和在規(guī)定時間內(nèi)完成維修的概率。系統(tǒng)維修后恢復(fù)正常工作,工作一段時間以后又會發(fā)生故障，兩次故障之間的時間 叫故障間隔，它是一個隨機變量，各故障間隔的平均值，叫平均故障間隔，記為MTBF。.若系統(tǒng)的可靠度為R

50、(t)，則有若T服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 0)( dttRMTBF10dteMTBFt第五節(jié)：可靠性設(shè)計例:一系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)A，B，C串聯(lián)而成，它們的壽命都服從指數(shù)分布。要求系統(tǒng)的MTBF在 50h 以上，已知A，B 的 MTBF 分別為 200h，400h，試求C的MTBF。 第五節(jié)：可靠性設(shè)計解:設(shè)A，B，C的故障率分別為A，B，C，系統(tǒng)的故障率為。已知(MTBF)A=200h, (MTBF)B=400h，根據(jù)公式得知： (MTBF)A=1/A, (MTBF)B = 1/B所以A= 1/200 = 0.005, B= 1/400 = 0.0025又 = A + B + C = 1/50

51、= 0.02所以 C = - A - B = 0.02 - 0.005 - 0.0025 = 0.0125因此 (MTBF)C = 1/ C= 1/0.0125 = 80 (h)這就是說，應(yīng)將子系統(tǒng)C的平均故障間隔定在80h以上。 第五節(jié)：可靠性設(shè)計元器件的選用:系統(tǒng)的可靠性受多方面因素的影響，最關(guān)鍵的是元器件的可靠性。在篩選合格的元器件時，有的元器件參數(shù)、性能并不穩(wěn)定，其原因主要是參數(shù)飄移。這些元器件需要放一段時間或工作一段時間后才能穩(wěn)定。這種使參數(shù)性能穩(wěn)定的過程叫老煉。元器件是否要進行老煉，主要取決于這種元器件的參數(shù)飄移是否影響產(chǎn)品使用的可靠性,如果沒有影響，就可以不進行老練；反之，就要進

52、行老煉。 第五節(jié)：可靠性設(shè)計元器件的正確使用:元器件選好之后，下一步就是如何在設(shè)計中正確使用這些元器件。設(shè)計人員必須對元器件的質(zhì)量、使用方法和關(guān)鍵的技術(shù)指標(biāo)有充分的了解，不要超負(fù)荷工作。為了使元器件的使用壽命進一步提高，對關(guān)鍵的指標(biāo)必須降額使用。為了提高系統(tǒng)的可靠性，必須盡量減少元器件的數(shù)目，盡可能地簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。 第五節(jié)：可靠性設(shè)計固有可靠度的設(shè)計:我們知道產(chǎn)品的工作可靠度近似地等于固有可靠度與使用可靠度的乘積。我們所說的可靠度設(shè)計就是為實現(xiàn)固有可靠度的目標(biāo)值而進行的設(shè)計。在設(shè)計中應(yīng)當(dāng)注意：1) 要對類似的系統(tǒng)進行調(diào)查研究，了解過去發(fā)生故障的情況，分析 故障的原因及該故障對系統(tǒng)的影響；2)

53、 盡量使用標(biāo)準(zhǔn)化元件，因為標(biāo)準(zhǔn)化元件性能可靠；3) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)要盡量簡單、合理。一般來說結(jié)構(gòu)越簡單，故障率越低4) 分配元件的可靠度要適當(dāng)，特別是元件較多時；5) 元件的可靠度達不到一定標(biāo)準(zhǔn)時，適當(dāng)采用冗余結(jié)構(gòu)；6) 設(shè)計的結(jié)構(gòu)要便于使用、檢查和維修； 固有可靠度的設(shè)計(2):7) 明確使用的環(huán)境條件和功能限度；8) 確定貯存條件(如溫度、濕度的要求)和貯存的期限；9) 確定適當(dāng)?shù)陌b(包裝材料、包裝方法等)；10) 明確指出任務(wù)時間；11) 指明預(yù)防保養(yǎng)，確定元件的更換期，在進入磨損期前，就要把 元件換下來； 第五節(jié)：可靠性設(shè)計第六節(jié)：可靠性試驗(壽命試驗)目的:1) 弄清產(chǎn)品的壽命分布；2)

54、 估計產(chǎn)品的各項可靠性指標(biāo)。說明產(chǎn)品可靠性是符合定量要求；3) 研究產(chǎn)品失效機理，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品設(shè)計、零部件、原材料和工藝方面 的缺陷，以便采取有效的糾正措施，提高產(chǎn)品可靠性；可靠性試驗：從一批產(chǎn)品中隨機抽取n個產(chǎn)品，在一定應(yīng)力水平或一定環(huán)境下進行試驗，觀察工作狀態(tài)，對照事先確定的失效判據(jù)，發(fā)現(xiàn)有樣品失效，立即記錄其失效時間，最后用統(tǒng)計方法對失效數(shù)據(jù)進行處理，對失效原因進行分析。 第六節(jié)：可靠性試驗可靠性試驗1) 現(xiàn)場壽命試驗：它是把產(chǎn)品放在實際使用條件下來獲得失效數(shù)據(jù)的試驗，如飛機的操縱桿，汽車的行駛里程等都是在現(xiàn)場壽命試驗中進行的。如此得到的壽命數(shù)據(jù)是珍貴的、最有說服力的。但此種試驗的組織管理工

55、作繁重，投資大，時間長；2) 模擬壽命試驗：又稱實驗室壽命試驗。它是將現(xiàn)場使用的主要工作條件在實驗室內(nèi)模擬，并受到人工控制，便利在實驗室內(nèi)參試樣品都在相同工作條件下進行壽命試驗。如電子元件在恒溫箱內(nèi)作壽命試驗，電纜在一定電壓下作壽命試驗等等。此種試驗管理簡便，投資小，有重復(fù), 便于產(chǎn)品間的比較；第六節(jié)：可靠性試驗壽命試驗1) 完全壽命試驗：把n個投試樣品試驗到全部失效(包括故障，以后不再一一說明)才停止的試驗，稱為完全壽命試驗，所獲得的 n 個失效時間稱為完全樣本。在完全樣本基礎(chǔ)上進行統(tǒng)計分析獲得的可靠性指標(biāo)也較為可靠，但此種試驗常需要較長的時間，譬如100 只晶體管組成的壽命試驗，若要獲得完全樣本，那需要很長時間，起碼幾年，甚至幾十年，等它們?nèi)渴?，新的晶體管可能已設(shè)計出來了，所以這種試驗不適應(yīng)產(chǎn)品更新?lián)Q代的要求，常不被采用。第六節(jié)：可靠性試驗2) 截尾壽命試驗：把n個投試樣品試驗到部分失效就停止的試驗，稱為截尾壽命試驗。在截尾壽命試驗中，依先后記錄的失效