2018-2019學(xué)年上海市金山中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1616 頁2018-2019 學(xué)年上海市金山中學(xué)高二上學(xué)期12 月月考數(shù)學(xué)試一、單選題1 1 .拋物線寸4ax的準(zhǔn)線方程（）A A.xaB B.xaC C.x 2aD D.x 2a【答案】B B【解析】 根據(jù)拋物線的幾何特征，對a的正負(fù)值分類討論，即可求解 【詳解】拋物線y 4ax，當(dāng)a 0時，準(zhǔn)線方程為x a,當(dāng) a a 0 0 時，此時p2a，準(zhǔn)線方程為x - a,2所以拋物線寸4ax的準(zhǔn)線方程為x a. .故選: :B.B.【點睛】本題考查拋物線簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 umv Luv，亠上的動點，貝U BQ CP的最小值為（A A.4【答案】B B2 2 .已知ABC中

2、,A 2，AB AC1，點P是AB邊上的動點，點Q是AC邊B B.2C C.1D D. 0 0【解析】 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,A 0,0,B 1,0,C 0,1，設(shè)P m,0,Q 0, n,umv0 m, n 1,BQ第2 2頁共 1616 頁CP第3 3頁共 1616 頁故選: :B B【詳解】請在此輸入詳解！I J 73 3 . P P 是雙曲線善*器=1 1 的右支上一點，M M、N N 分別是圓(苦斗+ = = 4 4 和(斗一、)1 1 + + yy = = I I上的點，則- 的最大值為A A . 6 6B B. 7 7C C. 8 8D D . 9 9【答案】D D【解析】可

3、得雙曲線匚 =的焦點分別為巧(-5 5, 0)0)，巧(5(5, 0)0)，由已知可得當(dāng)且僅當(dāng) P P9161與 M M、 三點共線以及 P P 與 N N、$三點共線時所求的值最大，可得答案. .【詳解】解：易得雙曲線匸.1=的焦點分別為 F F(-5(-5, 0)0), F,F,5 5, 0)0),且這兩點剛好為兩圓的圓心，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)P P 與 M M、 三點共線以及 P P 與 N N、勺三點共線時所求的值最大，此時憐碉八詞込 7)宀 =6+3=9=6+3=9【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，判斷 P P 與 M M、 三點共線以及 P P 與 N N、 三點共線時

4、所求的值最大是解題的關(guān)鍵 2 24 4 .已知橢圓 C C: 仏1的左右頂點分別為 A A、B B, F F 為橢圓 C C 的右焦點，圓43的取值范圍是()3小3cc 3A A ., 0,B B.,0 o,444C C .,1 1 U U 0,10,1D D.,0 01【答案】 D D【解析】 橢圓焦點在x軸上，由P在圓x22y4，貝U PA PB，有1,1,1kpB13 sin )，求出kPBkpAkQFk k，設(shè)Q(2coskQFkPA, ,- -4上有一個動點P P, P P 不同于 A A、B B 兩點,直線 PAPA 與橢圓 C C 交于點 Q,Q,則嚴(yán)0F第4 4頁共 1616

5、頁常數(shù)，求解得出結(jié)論 【詳解】2 2橢圓 C C：x y1的左右頂點分別為A( 2,0), B(2,0),43設(shè)Q(2cos,、3sin ),.3 sin、 、3sin3(12、cos )QFPA2cos2 2cos1 4cos22cos 2令tcos ( 1,1),kPB24t22t 22 2(t21) t 142 1kQF3(1 t2)3t2133 t 11 t1, 2 t 10,11t 12kpBkQF(,1)且不等于 0.0.故選 : :D.D.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、換元方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題

6、二、填空題丄丄-5 5.雙曲線小丫的焦點坐標(biāo)為_ .【答案】(區(qū) 0).0).代弘)【解析】試題分析：雙曲線中的 a a : :t t ,所以 f 護(hù)+F香.所以焦點為【考點】雙曲線的焦點坐標(biāo). .23(1cos)，令t cos2?4cos 2cos 2(1,1),4t22t 223(1 t )分離右焦點F(1,0)，點P圓x2y24上且不同于A, B，PA PB, kpBkpA1, kpB1kPAkPBkQFkQFkQF第5 5頁共 1616 頁6 6 若直線x y 6 0的一個方向向量為d a,a 2，則實數(shù)a _【答案】1.1.【解析】求出直線的斜率，即可求解 【詳解】x y 60斜率為

7、1，直線一個方向向量為da, a 2，1,解得 a a 1.1.故答案為：1.1.【點睛】本題考查直線方向向量與直線方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題1 1 27已知一個關(guān)于X、7的二元一次方程組的增廣矩陣是0 1 2，則x y _【答案】6 6【解析】根據(jù)關(guān)于X、y的二元一次方程組的增廣矩陣，寫出方程組，求出方程組的解,即可得到結(jié)論 【詳解】解：由題意關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是11 20 1 2故答案為：6. .【點睛】 本題主要考查二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，計算量小，屬于基礎(chǔ)題型8 8.在平面直角坐標(biāo)系中，若點2，t在直線x 2y 4 0的上方，則t的取值范圍是_ . .【答案】t

8、1. .【解析】 根據(jù)點與直線的位置關(guān)系，可得出關(guān)于t的不等式，即可求解可得關(guān)于x、y，可得第6 6頁共 1616 頁【詳解】點2,t在直線x 2y 40的上方,所以2 2t 40,t1. .故答案為: :t 1. .【點睛】本題考查平面上點與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題1239 9 行列式114中兀素 2 2 的代數(shù)余子式的值是146【答案】2. .【解析】 根據(jù)元素代數(shù)余子式定義，求出對應(yīng)的行列式，即可求解【詳解】2314中元素 2 2 的代數(shù)余子式為行列式:4 61 2111故答案為：2. .【點睛】 本題考查行列式元素的代數(shù)余子式，屬于基礎(chǔ)題21010 拋物線y4x上的兩點 A A、B

9、B 到焦點 F F 的距離之和為 5 5,則線段 ABAB 的中點的橫坐標(biāo)是_. .3【答案】.2【解析】根據(jù)焦半徑公式，將兩點 A A B B 到焦點 F F 的距離之和，轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)關(guān)系，即可求解 【詳解】2拋物線y 4x焦點坐標(biāo)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x 1,1行列式116 42. .第7 7頁共 1616 頁設(shè)A% yj, B(X2, y2),| AF | |BF |治他25，x1x23，線段 ABAB 的中點的橫坐標(biāo)是x1x23. .2 2第8 8頁共 1616 頁3故答案為：-2【點睛】本題考查拋物線焦半徑長公式，注意定義在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題頂點的雙曲線的方程是22y彳x14

10、【詳解】2Q雙曲線經(jīng)過橢圓x21右頂點（1,0）4【點睛】本題考查求雙曲線方程，屬于中檔題在COC方向上的投影相同，則實數(shù)a與b滿足的關(guān)系式為1111.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線y2x為漸近線,且經(jīng)過橢圓22yx1右4【答【解根據(jù)漸近線方程y2x，設(shè)雙曲線方程為4x2y2(0），將橢圓22y x41右頂點（1,0）代入雙曲線方程，求，即可. .由題意可知，設(shè)雙曲線方程為4x2y20). .故答案為:2y_4則雙曲線方程為4x2y24，即x21212 .設(shè)A a,1、B 2,b、C 4,5為坐標(biāo)平面L.-JHuurr uuuO為坐標(biāo)原點，若OA與OB第9 9頁共 1616 頁【答4a 5b

11、 3 0. .【解uuuuuuAB與OC垂直，即可求解 【詳uuu一uuuuuu,OA與OB在OC萬向上的投影相同，則uuuABuuuOC，uuu uuurAB OC (2 a,b 1) (4,5) 4a5b 3即4a 5b 3 0第1010頁共 1616 頁故答案為：4a 5b 3 0. .【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題. .1313.設(shè)直線ax y 30與圓(x 1)2(y 2)24相交于 A,BA,B 兩點，且弦 ABAB 的長為2 J5，則a =_. .【答案】0 0【解析】由已知可得圓心(1,2)到弦的距離為 1 1，利用點到直線的距離公式可得a

12、a 的值. .【詳解】解：由直線axy30與圓(x 1)2(y 2)24相交于 A,BA,B 兩點，且弦 ABAB 的長為2.3，可得圓心(1,2)到弦的距離為 1 1,故答案：0 0【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)及點到直線的距離公式，相對簡單 1414.在直角坐標(biāo)平面中，已知兩定點F, 1,0)與F2(1,0)位于動直線l：ax by c 0的同側(cè)，設(shè)集合P l |點R與點F?到直線l的距離之和等于2,Q二，則由Q中的所有點所組成的圖形的面積是 _ . .【答案】【解析】試題分析：因為F1F2的中點為坐標(biāo)原點O,由點F1與點F2到直線l的距離之 和等于2,可知坐標(biāo)原點O到直線l的距離

13、為1，則直線l即為單位圓的切線， 這樣所有 單位圓的切線就構(gòu)成了集合P，根據(jù)Q表示可知它是由單位圓內(nèi)部的所有的點所組成 的集合，面積即為單位圓的面積【考點】集合語言及直線與圓的知識 X2V2X2V21515.已知橢圓1和雙曲線1,其中Ovmv12,若兩者圖像在第二16 m4 12 m象限的交點為 A A，橢圓的左右焦點分別為B B、C C, T T ABCABC 的外心，則AT?BC的值可得I a=2=31、.a211, a第1111頁共 1616 頁為_ . .第1212頁共 1616 頁【答案】16.16.【解析】由已知可得兩曲線焦點相同，設(shè)B( c,0), c、16 m，利用橢圓和雙曲線

14、的定義求出|AB|，用利用兩點間的距離公式求出A點的橫坐標(biāo)，因為O為BC中點,【詳解】8，因為O為BC中點,c ABCABC 的外心T在丫軸上，將ATOT OA，代入所求式，即可求解已知橢圓16 m2 2 2-1禾廿雙曲線412 m1,焦距相等所以焦點相同，設(shè)B(c,0), C(c,O), c 16A為兩曲線在第二象限的交點,|AB| | AC|,ABACABAC8,|AB|4設(shè)A(xo, yo),4Xo2yom2m16Xo，|AB| ,(xoc)2y216 m2Xo162cxoXo2cXo1616(4xo4)2c4XoXoABC的外心T在y軸上,uuuOTuuuBCuuu/ uuv uuu

15、uuu uuurAT ?BC (OT OA) BCuunuuurOA BC8,yo)c(2c,O)16【點本題考查求橢圓與雙曲線交點的坐標(biāo)，考查向量數(shù)量積運算, 考查計算求解能力，屬于中檔題 1616 .設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A, B兩點，與圓2 2y r r 0相切于點M，且M為線段AB的中點 若這樣的直線I恰有 4 4 條，則r的取值范圍是【答案】(2 2, 4 4)【解析】 設(shè)直線I的方程為x ty m,A x-i,y1,B x2,y2把直線l的方程代入拋物線方程y24x，整理可得：y24ty 4m 0第1313頁共 1616 頁則n16t216m0,yi牡4t,yy4m則xx2

16、ty1mty2m 4t22m2線段AB的中點M 2tm,2t由題意可得直線AB與直線MC垂直，且C 5,0當(dāng)t 0時，有KMCKAB12t 01即 f f0 011，整理得m 3 2t22t m 5 t把m 3 2t2代入到n 16t216m0可得3 t20，即0 t23由于圓心C到直線AB的距離等于半徑1 t .1 t2 r 4，此時滿足題意且不垂直于x軸的直線有兩條當(dāng)t 0時，這樣的直線I恰有2條，即x 5 r，0 r 5綜上所述，若這樣的直線I恰有4條，則r的取值范圍是2,4點睛：本題主要考查的知識點是直線與拋物線，圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題設(shè)直線I的方程為x

17、 ty m,A X1, %,B x?,y，把 直線I的方程代入拋物線方程y24x,根據(jù)判別式求得線段AB的中點M的坐標(biāo)，分 別討論t 0時，t 0時r的取值范圍，即可得到答案三、解答題2 21717 如果實數(shù)滿足x 2 y3,求：29(1)x y的最大值；(2)2x y的最小值. .【答案】(1 1)7 4,3; (2 2)415. .【解析】(1 1 )實數(shù)滿足x 22y23,即點(x,y)(x,y)在圓上，x2y2表示圓上的點與原第1414頁共 1616 頁點距離的平方，利用幾何法求出原點到圓上點距離最大值，即可求解；第1515頁共 1616 頁(2(2)設(shè)2x y m，即y 2x m，直

18、線過圓上的點且斜率為2，利用直線圓的位置關(guān)系，即可求解 【詳解】2o(J實數(shù)滿足x 2 y23的解為坐標(biāo)的點為M(X, y)，則M在圓上，圓心C( 2,0), r 3，222x y表示圓上的點與原點距離的平方即為IOM |2，|OM |最大值為|OC| . 32、3，QQ_所以x y的最大值為743；(2 2)設(shè)2x y m，即y 2x m，即直線2x y m 0與圓有公共點，解得415 m 4.15，2x y的最小值為4 .15. .【點睛】本題考查方程與曲線的關(guān)系， 以及直線與圓的位置關(guān)系， 考查點到直線距離公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵理解所求表達(dá)式的幾何意義，考查計算求解能力，屬于中檔題 18

19、18 .已知圓 丫+之(1(1)求過點Q(3,0)的圓 C C 的切線|的方程;(2(2)如圖，定點A(1,0),M為圓 C C 上一動點，點 P P 在 AMAM 上，點 N N 在 CMCM 上，且滿圓心到直線的距離d第1616頁共 1616 頁【答案】(1)，二-(2 2) _2【解析】【詳解】(1)(1) 由題意知所求的切線斜率存在，設(shè)其方程為.-,即 _ 一-一 -；I I-k-3kI I - 由，一，得 I I 勺-，解得.- _.，+1從而所求的切線方程為、，；，“一 -.(2)(2) - - _ _ - - - NPNP 為 AMAM 的垂直平分線， |NA|=|NM|NA|=

20、|NM| .又十. - _ /_- - -動點 N N 的軌跡是以點 C C (- 1 1, 0 0), A A (1 1 , 0 0)為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為一 -_ . 一焦距 2c=22c=2 . _二- -q點 N N 的軌跡是方程為一21919 .設(shè)拋物線 C C：y 2px p0的焦點為 F F，經(jīng)過點 F F 的動直線I交拋物線 C C 于A X1,如、B X2,y2兩點，且yy4.(1) 求拋物線 C C 的方程；(2) 若點 M M 是拋物線 C C 的準(zhǔn)線上的一點，直線 MFMF、MAMA、MBMB 的斜率分別為 如k,、k2,求證：當(dāng)ko1時，k1k2為定值. .【答

21、案】(1 1)y24x； (2 2)k1k22. .【解析】(1 1)設(shè)直線I方程為x my號，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，即可求解；uuuv足AMuuv uuv uuuv2AP, NP AM0,求點N的軌跡.第1717頁共 1616 頁(2(2)根據(jù)條件求出 M M 點坐標(biāo),k1k2用力，y2表示，再利用根與系數(shù)關(guān)系，即可證明結(jié)論. .【詳解】(1 1)拋物線 C C：y22px p 0的焦點2第1818頁共 1616 頁設(shè)直線1方程為Xmy子,px my上2聯(lián)立2，消去x得，y 2pmyy22px2 24p (1 m )0, yiy22 pm, yyP 2，所以拋物線方程為y24x

22、;(2 2)拋物線準(zhǔn)線方程為x 2，設(shè)M( 1,y),ko1, yo2,1 1直線|方程為x my 1, % y24m, % y2p24力2討22% 2y22x-i1 x21my12my222c2y22 mm?(2 1)m(ym(y1 y y2)4)4m m (my-i2)( my22)2 (2勻m(% y2)4 m m m2y1y22m(% y2) 44m242 24m 8m 4所以k1k2為定值. .【點睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，要注意根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求的應(yīng)用，屬于中檔題. .2 2 _2020.給定橢圓C :xy匕1(a b 0).稱圓心在原點

23、 O O,半徑為,a2b2的圓是a b橢圓 C C 的 準(zhǔn)圓”.若橢圓 C C 的一個焦點為F(J2,0)，其短軸上的一個端點到F F 的距離為3.(1)(1)求橢圓 C C 的方程和其 準(zhǔn)圓”方程；點 P P 是橢圓 C C 的 準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點 P P 作直線h,l2,使得h,l2與橢圓 C C 都 只有一個交點，試判斷 -J 是否垂直？并說明理由.y1my12my222, ,第1919頁共 1616 頁2【答案】( (I ) y21,x2y24； ( (n) )垂直. .3【解析】 試題分析：(1 1 )由 橢圓 C C 的一個焦點為F(.2,0)，其短軸上的一個端點到 F F

24、 的距離為3”知：c .2,ab . a2c21 J b22從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)圓”的方程；(2 2)分兩種情況討論： nJ當(dāng)中有一條直線斜率不存在；直線li,l2斜率都存在.對于可直接求出直線li2的方程并判斷其是不互相垂直；對于設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)圓上點P Xo,yo,與橢圓只有一個公共點的直線為y t x X。yoy txyotxo與橢圓方程聯(lián)立組成方程組x22消去y得到關(guān)于x的方程:Ty 112 23t x 6t y0tx0 x23 yotxo3 o由0化簡整理得：32 2x t 2xyt 12yo0 x2 y2 43223X。t 2x)yot xo3 o而直線li,l2的斜率正是方程的兩個

25、根ti,t2，從而tit21llI2(1)Qc、.2,a, 3, b 12橢圓方程為y213準(zhǔn)圓方程為x2y24(2)li2當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)li無斜率，因為li與橢圓只有一個共公點，則其方程為x . 3當(dāng)l1方程為x 3時，此時l1與準(zhǔn)圓交于點、3,1 ,、3, 1此時經(jīng)過點3,1(或,3, 1)且與橢圓只有一個公共瞇的直線是y 1(或y 1)即l2為y 1(或y1)，顯然直線li,l2垂直；同理可證li方程為x .3時，直線li2也垂直.第2020頁共 1616 頁2 2當(dāng)li,l2都有斜率時，設(shè)點P Xo,yo,其中xoyo4因為xo y 4，所以有3 xo t22xyt設(shè)ll2

26、的斜率分別為ti,t2，因為J 與橢圓只有一個公共點223所以ti,t2滿足上述方程3 Xot2xyot xo3 o所以t1t21，即h,l2垂直，綜合知, ,|1,|2垂直.【考點】1 1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 2、直線與圓錐曲線的綜合問題.22121.如圖，直線l : y kx b與拋物線x 2py（常數(shù)p o）相交于不同的兩點A（X1, %）、Bg, y2），且x?為h（h為定值），線段AB的中點為D，與直線l:y kx b平行的切線的切點為C（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只 有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）（）用k、b表示出C點、D點的坐標(biāo)，并證明CD垂直于

27、x軸；（2 2）求ABC的面積，證明ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)；（3 3） 小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后， 小張連AC、BC,再作與AC、BC平行的切線，切點分別為E、F,小張馬上寫出了ACE、BCF的面積，由此小張 求出了直線l與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請你說出理由.設(shè)經(jīng)過點P xo,yo,與橢圓只有一個公共點的直線為y t x Xoyoy則由x23txyoy21消去y，得1 3t2x26t yo2txox 3 yotx。3由0化簡整理得:2 23 Xot 2x)yot 12yo3Xo第2121頁共 1616 頁12h3【答案】(1 1)C(pk,竺),D(pk, pk2b), (2 2),(3 3)能. .216p【解析】 試題分析：（1 1）因為 D D 點為直線與拋物線的交點 A A，B B 中點，所以求 D D 點坐 標(biāo)就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解，即由y kx b2x 2 pkx 2pb 0,得x1x22pk,x1x22 pb，點x 2pyD（pk, pk2b）. .因為 C C 點為切點，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別y kx m22 2式為零進(jìn)行求解，即由2x 2pkx 2pm 0，得4p k 8pm 0,x