第二型曲面積分

1、n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面8-5 第二型曲面積分第二型曲面積分 1. 雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面動點在雙動點在雙側(cè)側(cè)曲面上連續(xù)移動曲面上連續(xù)移動(不跨越曲面的邊不跨越曲面的邊界界)并返回到起始點時并返回到起始點時,其法向量的指向不變其法向量的指向不變.曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè) 曲面分類曲面分類 雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面單側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分曲面分左左側(cè)和側(cè)和右右側(cè)側(cè)典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 對坐標的曲面積分，必須指

2、定曲面的側(cè)可以通過曲面上法向量的指向來定出曲面的側(cè)如曲面z=z(x,y),若它的法向量n的指向朝上，就認為取定曲面的上側(cè)；對于閉合曲面，若取它的法向量的指向朝外，則認為取定曲面的外側(cè)。曲面曲面法向量的指向法向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè).選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.通常遇到的曲面都是雙側(cè)的曲面.方向余弦方向余弦coscoscos 0 為前側(cè)為前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定 設(shè)設(shè) S 為有向曲面為有向曲面,)(yxSSyxS)(其面元其面元在在 xOy 面上的投影面上的投影,0)(yxyxS)(的面積為的面積為則規(guī)定則規(guī)定,)(yx

3、,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規(guī)定類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(曲面元素的投影曲面元素的投影記為記為上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出2. 第二型曲面積分的概念第二型曲面積分的概念實例實例: 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. 設(shè)有一河道，并假定河道中每一點的水流速度與時間設(shè)有一河道，并假定河道中每一點的水流速度與時間無關(guān)，只與點的位置有關(guān)無關(guān)，只與點的位置有關(guān).設(shè)河道中每一點設(shè)河道中每一點(x,y,z)處的水流處的水流速度向量為速度向量為., kzyxRjzyxQizyxpzyxv由假定在河道中有一雙側(cè)曲面假定在河道中有一雙側(cè)曲面S，并

4、在，并在S上選定一側(cè)上選定一側(cè).求求在單位時間內(nèi)水流沿選定一側(cè)的質(zhì)量即流量在單位時間內(nèi)水流沿選定一側(cè)的質(zhì)量即流量m.xyzoSA Av 0n0cosnvAvAm流量 ., 0如圖的柱體斜高為成一個底面積為通過這閉區(qū)域的流體組則單位時間內(nèi)量如圖為該平面上的單位法向常數(shù)又設(shè)的一個閉區(qū)域且速度為積為如果流體通過平面上面vAanA上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 現(xiàn)在考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速是變量.1. 分割分割則該點流速為則該點流速為 iv單位法向量為單位法向量為 in把曲面把曲面S S分成分成n小塊小塊iS( (, ,第第i小塊曲面的面積）小塊曲面的面積）同

5、時也表示同時也表示iS在在 上任取一點上任取一點iS,iii xyzoSin),(iii iS 2.近似替代近似替代通通過過is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為3. 求和求和通過通過S S流向指定側(cè)的流量流向指定側(cè)的流量1niiiimv nS ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiiiiiiv n Sin =1,2, ,該點處曲面該點處曲面S S的單位法向量的單位法向量coscoscosiiiinijkiiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,

6、()(,(1 4.4.取極限取極限0 .得到流量得到流量 m m 的精確值的精確值1niiiimv nS 01limniiiimv nS 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS第二型曲面積分的第二型曲面積分的定義定義設(shè)設(shè)S是一個分片光滑的雙側(cè)曲面是一個分片光滑的雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)的單位法向量為記選定一側(cè)的單位法向量為 n P假設(shè)在假設(shè)在S上給定了一個向量函數(shù)上給定了一個向量函數(shù), ,Fx y z將將S分割成分割成n個不相重疊的小曲面片個不相重疊的小曲面片1,

7、2,iS in在上任取一點在上任取一點iS,iiiiM 作和式作和式1,niiiiiiiiFnS 令是中直徑的最大者令是中直徑的最大者iS在在S上選定了一側(cè)上選定了一側(cè),若和式對的任意一種分割及中間點若和式對的任意一種分割及中間點,iii 的任意的選取，當時總有極限，的任意的選取，當時總有極限，0則稱此極限為向量函數(shù)在所指則稱此極限為向量函數(shù)在所指定一側(cè)上的定一側(cè)上的第二型曲面積分，第二型曲面積分，也稱為對坐標的曲也稱為對坐標的曲面積分面積分, ,F x y z, , ,SF x y z n x y z dS, ,SF x y z dS或或, ,dSn x y z dS 1,SSF ndSF

8、ndS 其中其中 與與 為同一個曲面的兩個相反的定向為同一個曲面的兩個相反的定向.SS(2)若積分若積分 與與 存在存在, 則則1SF dS2SF dS1 1221122,SSSkFk F dSkF dSkF dS其中為任意常數(shù)其中為任意常數(shù)12,k k第二型曲面積分的性質(zhì)第二型曲面積分的性質(zhì) 123.SSSF dSF dSF dS其中由互不重疊的兩個曲面組成其中由互不重疊的兩個曲面組成S12,S S 第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分的形式第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分的形式和坐標的形式和坐標的形式),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF設(shè)若單位法向量若單位法向量 的

9、方向余弦為的方向余弦為),(zyxncos, ,cos, ,cos, ,x y zx y zx y z第二型曲面積分可寫成第二型曲面積分可寫成.)coscoscos(dSRQpdSnFSS 第一型曲面積分第一型曲面積分),(yxfz SxyzondScosdSxOy為為 在在平面上的平面上的有向投影面積有向投影面積.cosdxdydS0,/2;0,/2; 當0 當(上正下負上正下負) 的幾何意義：的幾何意義：dScosdsxydSdxdyxydSdScosdSzOx為為 在在平面上的平面上的有向投影面積有向投影面積.dScos dSyOz為為 在在平面上的平面上的有向投影面積有向投影面積.(前

10、正后負前正后負)(右正左負右正左負).cosdzdxdS .cosdydzdS 記為記為記為記為.RdxdyQdzdxdydzpdSnFSS所以有所以有第二型曲面積分的坐標形式第二型曲面積分的坐標形式, ,n x y z dS則則coscoscosSPQRdS, ,SF x y zdS, ,n x y z dS第第一一型曲面積分型曲面積分SPdydzQdzdxRdxdy第二型曲面積分的第二型曲面積分的坐標形式坐標形式SF dSSSSyxRxzQzyPdddddd稱為稱為P 在有向曲面在有向曲面S上對坐標上對坐標 y, z 的曲面積分的曲面積分;SzyzyxPdd),(SxzzyxQdd),(S

11、yxzyxRdd),(稱為稱為Q 在有向曲面在有向曲面S上對坐標上對坐標 z, x 的曲面積分的曲面積分;稱為稱為R 在有向曲面在有向曲面S上對坐標上對坐標 x, y 的曲面積分的曲面積分;若以若以 -S 表示曲面表示曲面 S 的另一側(cè)，則由定義可得的另一側(cè)，則由定義可得 SyxRxzQzyPdddddd SyxRxzQzyPdddddd注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出3. 第二型曲面積分的計算第二型曲面積分的計算第二型曲面積分可化成第一型曲面積分計算dSnFSSSdF.)

12、coscoscos(dSRQpS例例1 求求dSnFS.),()(1222223222的外側(cè)為球面其中RzyxSzyxzyxF解解 因為曲面的定向為外側(cè)法向量，故取法向量為（x,y,z),那么單位法向量上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 因因),(1222zyxzyxn,cos222zyxy.cos222zyxy,cos222zyxx即即dSnFSdSzyxzyxS2222222)(dSRS21SdSR21.44122RR上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出dSnFSdSzyxzyxS2222222)(dSRS21SdSR21.44122RR,1 ,x

13、yff 法向量指向上側(cè)時取正，指向下側(cè)時取負法向量指向上側(cè)時取正，指向下側(cè)時取負單位法向量的方向余弦是：單位法向量的方向余弦是：cos,cos,cos2211xyff,1 ,xyff曲面曲面 在點處的法向量為在點處的法向量為, ,x y z,zf x y例如例如將第二型曲面積分直接化成二重積分的關(guān)鍵是正確將第二型曲面積分直接化成二重積分的關(guān)鍵是正確理解曲面理解曲面S的面積元的面積元dS在坐標平面上的在坐標平面上的有向投影有向投影coscoscosSPQRdS2211xySxyPfQfR dSff221xydsff dSPdydzQdzdxRdxdy, ,xDP x y f x yf(8.10)

14、dxdyyxfyxRfyxfyxQx),(,()(,(,(上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 上述就是把第二型曲面積分化為二重積分的公式，上述就是把第二型曲面積分化為二重積分的公式，其中正負號由其中正負號由S的定向決定：法向量指向上側(cè)取正號，的定向決定：法向量指向上側(cè)取正號，指向下側(cè)取負號指向下側(cè)取負號. 公式表明將第二型曲面積分化為二重積分，只需把公式表明將第二型曲面積分化為二重積分，只需把P，Q，R中的中的z換成換成f(x,y,),再將再將P，Q，R 分別乘以分別乘以 然后相加，就構(gòu)成二重積分的被積函數(shù)然后相加，就構(gòu)成二重積分的被積函數(shù) .而二重而二重積分的積分區(qū)域積

15、分的積分區(qū)域D 是曲面是曲面S 在在oxy平面上的投影平面上的投影.再根據(jù)再根據(jù)S的指向，確定取的指向，確定取“+”還是取還是取“-”.xf1 ,yf上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 例例 2 求求 其中其中S為上半球面為上半球面 .zxdxdyyzdzdxIS222yxRz 的上側(cè)的上側(cè).解解 這里P=0，Q=yz，R=zx,zxfx,zyfy于是于是1)()(RfQfPyxzxzyyz.2222yxRxydyxRxyIRyxD222:2222)(drrdrRrrRrD0,20:2222)cossin(上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出drrRr

16、ddrrdRR22202003202cossin202202sin4sindd0cos,4420d注意：注意：.414RI.SxyzdxdyI例例 3 求求 其中其中S是球面：是球面： 部分的內(nèi)側(cè)部分的內(nèi)側(cè).0, 01222yxzyx在上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出zxyo1S2S 解解 S由單位球面在第一掛限及第五掛限的部分組成， 它們的方程分別為, 10 ,1:22221yxyxzS. 10 ,1:22222yxyxzS由題設(shè) 的法向量的指向朝下，的法向量的指向朝上. 與 在oxy平面上的投影為同一區(qū)域1S2S1S2S.0, 0, 1| ),(:22yxyxyxD

17、 被積函數(shù)中P=Q=0，R=xyz,故化為二重積分時，被積函數(shù)為).,(,(1)()(yxzyxRRfQfPyx上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出dyxyzdxIS1dyxyzdxS2Ddyxxy221Ddyxxy)1(22Ddyxxy22121023201cossin2drrrd其中其中20220|sin21cossind,21上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出10231drrr=trsin2023cossintdtt2023)sin1 (sindttt32)541 (.152代入上式得代入上式得.152I由例由例3得出當曲面得出當曲面S由方程由方

18、程z=z(x,y)表出時，可推出表出時，可推出dydxzyxRS),(計算計算 的方法的方法.yxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面（上側(cè)正下側(cè)負）上側(cè)正下側(cè)負）上側(cè)上側(cè)下側(cè)下側(cè) （單值）（單值）上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出若光滑曲面若光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:SyxRxzQzyPddddddzxDxyzxzyxP)(),(,(.)(),(,(),(,(dzdxyzxzyxRzxzyxQz右側(cè)右側(cè)左側(cè)左側(cè)(右側(cè)正左側(cè)負右側(cè)正左側(cè)負) SxzzyxQdd)

19、,(特別有特別有右側(cè)右側(cè)左側(cè)左側(cè) SxzzyxQdd),(zxDdzdxzxzyxQ.),(,(右側(cè)正左側(cè)負右側(cè)正左側(cè)負)xzDxzxzyyS ),( , ),(:上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出若光滑曲面若光滑曲面yzDzyzyxxS),( , ),(:SyxRxzQzyPdddddd前側(cè)前側(cè)后側(cè)后側(cè)yzDzyzyxP),),(.)(,),()(,),(dydzxzyzyxRxzyzyxQzy(前側(cè)正左側(cè)負前側(cè)正左側(cè)負)特別有特別有SzyzyxPdd),(yzDzyzyxxS),( , ),(:前側(cè)前側(cè)后側(cè)后側(cè)SzyzyxPdd),(yzDdydzzyzyxP.),)

20、,(前側(cè)正左側(cè)負前側(cè)正左側(cè)負)上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出小結(jié)小結(jié):yxDyxyxzzS ),( , ),(:曲面曲面上側(cè)上側(cè),下側(cè)下側(cè)SyxRxzQzyPdddddd)(,(,()(,(,(yDxzyxzyxQzyxzyxPxy.),(,(dxdyyxzyxR（上側(cè)正下側(cè)負）上側(cè)正下側(cè)負）曲面曲面zyDzyzyxxS ),( , ),(:前側(cè)前側(cè),后側(cè)后側(cè)SyxRxzQzyPIdddddd)(,),(),),(yDxzyzyxQzyzyxPyzdydzxzyzyxRz)(,),(前側(cè)正后側(cè)負前側(cè)正后側(cè)負)xzDxzxzyyS ),( , ),(:右側(cè)右側(cè),左側(cè)左側(cè)

21、曲面曲面),(,()(),(,(zzxyxQyzzxyxPIzxDx.)(),(,(dzdxyzxzyxRz(右側(cè)正左側(cè)負右側(cè)正左側(cè)負)yxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd光滑曲面光滑曲面（上側(cè)正下側(cè)負）上側(cè)正下側(cè)負）上側(cè)上側(cè)下側(cè)下側(cè) (前側(cè)正后側(cè)負前側(cè)正后側(cè)負)zyDzyzyxxS ),( , ),(:光滑曲面光滑曲面 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(前側(cè)前側(cè)后側(cè)后側(cè)（單值）（單值）（單值）（單值）小結(jié)小結(jié):光滑曲面光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:右側(cè)右側(cè)左側(cè)左側(cè) xzDSx

22、zzxzyxQxzzyxQdd),(,(dd),(右側(cè)正左側(cè)負右側(cè)正左側(cè)負)上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 例例4 求曲面積分,)()(22dxdyzxydzdxxdzdyzxyIS其中S是立方體： 邊界面的外側(cè).azayax0 ,0 ,0解解,61iiSS它們的方程分別為：;0 ,0 ,:1azayaxS;0 ,0 , 0:2azayxS;0 ,0 ,:3axazayS;0 ,0 , 0:4axazyS;0 ,0 ,:5ayaxazS.0 ,0 , 0:6ayaxzS3S4S1S2S5S6Soyxz上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 對曲面 與

23、 應(yīng)用公式（8.13)得 1S2S解解dxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(221dydzzxyxzayyzD0)(0)(22aadzzaydy00)(aydya022.44adxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(222dydzzyyzD)0(aayzdzdy00.44a上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出 對曲面 與 應(yīng)用公式（8.11)得 3S4SdxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(223dzdxzxaxzxazxD0)(0)(22aadxxdz020,34adxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(224dzdxzxxzxD000

24、2aadxxdz020.34a上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出5S6S對曲面 與 應(yīng)用公式（8.10)得dxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(225dxdyaxyxaxyxyD)(00)(22,)(2dxdyaxyxyDdxdyzxydzdxxdzdyzxyS)()(226dxdyyxyxxyD0022.2dxdyyxyD上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出dxdyzxydzdxxdzdyzxySS)()(2265axdxdyxyDaaaxdydx00.24a44aI44a34a34a24a.4a例例5 求求,)()(dxdyyxdzxdy

25、zyIS其中其中S是柱面是柱面 及平面及平面z=0,z=3所圍立體之所圍立體之邊界曲面的外側(cè)邊界曲面的外側(cè).122 yx上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出1Sxyzo2S3S4S13解解,41iiSS它們的方程分別為：; 10 , 3:221yxzS; 10 , 0:222yxzS,1:23yxS.30, 11zy,1:24yxS 曲面曲面 與與 在在Ozy平面及平面及Ozx平面的投影為直線段，投平面的投影為直線段，投影面積為影面積為0，故，故dydz=dzdx=0.又又 取上側(cè)而取上側(cè)而 取下側(cè)，故取下側(cè)，故1S2S1S2S上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回

26、 退出退出dxdyyxdzxdyzyS)()(1,)(1022dxdyyxyxdxdyyxdzxdyzyS)()(2,)(1022dxdyyxyx. 0)()(21dxdyyxdzxdyzySS顯然顯然曲面曲面 與與 在在Oxy平面的投影為曲線，投影面積為平面的投影為曲線，投影面積為0，故故dxdy=0.又又 取前側(cè)而取前側(cè)而 取后側(cè)，故取后側(cè)，故3S3S4S4S上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出dxdyyxdzxdyzyS)()(3,1)(2dzdyyzyyzDdxdyyxdzxdyzyS)()(4,)1)(2dzdyyzyyzD所以所以dxdyyxdzxdyzySS)

27、()(43dzdyyzyyzD21)(2dyydzz112301)(2.29.2941iSiI上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出SyxzSdxdyyx2222z,e為錐面其中計算補例補例1z及平面.2所圍成的立體表面外側(cè)及z1s2s3s 123SSS原式解解41222222yxyxdxdyyxe12222yxdxdyyxe422222yxdxdyyxexyz上一頁上一頁 下一下一頁頁 主主 頁頁返回返回 退出退出2120rdrredr10201rdrrd20201rdrrd.22e.)(x 22zdxdydzdxyI計算曲面積分補例.,) 1(22方向取下側(cè)在第一卦限的部分為錐面其中zyxzdzdxy )(x 22法一解zxD2z dzdx1002 z