第2章 系統(tǒng)的數(shù)學模型(拉普拉斯變換)

1、數(shù)學工具數(shù)學工具-Laplace變換變換1、Laplace變換定義變換定義 常見函數(shù)的拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換性質(zhì)、拉普拉斯變換性質(zhì)3、拉普拉斯逆變換、拉普拉斯逆變換4、求解微分方程、求解微分方程 拉氏變換是研究線性動力學系統(tǒng)的有力數(shù)拉氏變換是研究線性動力學系統(tǒng)的有力數(shù)學工具，它將時域的微分方程轉(zhuǎn)化為復數(shù)學工具，它將時域的微分方程轉(zhuǎn)化為復數(shù)域的代數(shù)方程，即：域的代數(shù)方程，即： 時域（微分方程）時域（微分方程） 復數(shù)域（代數(shù)方程）復數(shù)域（代數(shù)方程）1. Laplace1. Laplace變換定義變換定義1 1 定義與基本變換定義與基本變換 0stF sL f tf t

2、edt函數(shù)函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換，的拉氏變換，像像原像原像拉氏變換運算符拉氏變換運算符復變量復變量單邊拉氏變換，隱含單邊拉氏變換，隱含著當著當t0t0，f(t)=0f(t)=0例例1 1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) (0)0(0)atAetf tt AL f tsa在復平面上有一在復平面上有一個極點個極點1 1 定義與基本變換定義與基本變換例例2 2 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (0)0(0)A tfttf(t)A0t AL f ts注意：注意：A=1A=1，稱其為單位，稱其為單位階躍函數(shù)，記為階躍函數(shù)，記為 1(t)1(t)。階躍函數(shù)相當于在階躍函數(shù)相當于在 t=0 t=0 處將一個不變信號突然加處將一

3、個不變信號突然加到系統(tǒng)上。到系統(tǒng)上。1 1 定義與基本變換定義與基本變換例例3 3 斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) (0)0(0)At tftt 2AL f tsf(t)t0A1注意：注意：A=1A=1，稱其，稱其為單位斜坡函數(shù)。為單位斜坡函數(shù)。1 1 定義與基本變換定義與基本變換1!nnnL ts 232 L ts例例4 4 正弦函數(shù)正弦函數(shù) sin(0)0(0)At tftt 22AL f ts注意：用到尤拉公式注意：用到尤拉公式1sin21cos2jjjjeejee余弦函數(shù)的拉氏余弦函數(shù)的拉氏變換可類似求得變換可類似求得1 1 定義與基本變換定義與基本變換A22cosAsL Ats例例5 脈沖函數(shù)脈沖

4、函數(shù) 0,0,0ttt 1tL 1dt 01 1 定義與基本變換定義與基本變換單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為 11.線性定理：線性定理： 該定理表示：該定理表示：常數(shù)與原函數(shù)乘積的拉氏變換等于常常數(shù)與原函數(shù)乘積的拉氏變換等于常數(shù)與該原函數(shù)的拉氏變換的乘積。數(shù)與該原函數(shù)的拉氏變換的乘積。若干原函數(shù)之代若干原函數(shù)之代數(shù)和的拉氏變換等于各原函數(shù)拉氏變換之代數(shù)和。數(shù)和的拉氏變換等于各原函數(shù)拉氏變換之代數(shù)和。 tfLktfLktfktfkL22112211 sFksFk22112.延遲定理：延遲定理：3.位移定理：位移定理： sFeatfLas asFtfeLat2 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)微分定

5、理微分定理)0()()(fssFtfdtdL)()(ssFtfdtdL零初始條件下零初始條件下零初始條件下零初始條件下同樣：同樣：222( )( )(0)(0)dLf ts F ssffdt)()(sFstfdtdLnnn由微分方程求由微分方程求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)積分定理積分定理0)(1)(1)(dttfssFsdttfLt零初始條件下零初始條件下)(1)(sFsdttfL2 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)當在當在n重積分，零初始條件下重積分，零初始條件下 ntntssFdttfL00)(初值定理初值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst2

6、 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)終值定理終值定理)(lim)(lim)(0ssFtffst求求穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差若函數(shù)若函數(shù)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)若函數(shù)若函數(shù)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)卷積定理卷積定理)()()()(2121sFsFtftfL卷積卷積dftftftft)()()()(20121則則即：兩個原函數(shù)卷積的拉氏變換等于兩個象即：兩個原函數(shù)卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。函數(shù)的乘積。2 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例 求下面函數(shù)的拉普拉斯變換：求下面函數(shù)的拉普拉斯變換： 3tf tte 2321,13attL tL f t eF sas

7、L tes解：解：2 2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例 已知時間函數(shù)已知時間函數(shù)f(t)f(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換F(s)F(s)為為 tftlim 11sssF試求 的值 0limtf t 01limlimlim01tssf tsF sss s 001limlimlim11tssf tsF sss s3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 對于任何時間連續(xù)的時間函數(shù)來對于任何時間連續(xù)的時間函數(shù)來說，它與拉普拉斯變換之間保持唯說，它與拉普拉斯變換之間保持唯一的對應關(guān)系。一的對應關(guān)系。 一一對應f(t) F(s)3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 sAsBsF sFsFsFsFn21

8、sFLsFLsFLsFLn121111 部分分式展開法：把部分分式展開法：把F(s)拆解成很多簡拆解成很多簡單項的和，而簡單項逆拉普拉斯容易得到單項的和，而簡單項逆拉普拉斯容易得到1) 只包含不同極點的只包含不同極點的F(s)的部分分式展開的部分分式展開 nnmpppnmpspspszszszsKsAsBsF 212121, nnpsapsapsasAsBsF2211 kkpsksFpsa tpkkkkeapsaL 1 tpntptpneaeaeatf 21213 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換求 的拉氏反變換。 3422ssssF 3131221skskssssF21131211sssssk2

9、1331232sssssk ,321121sssF tteesFLtf312121解解:留數(shù)法待定系數(shù)法3132211sskskksk2312121kkkk212121kk常用不常用查表例題例題3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換例：求下列函數(shù)的反拉普拉斯變換例：求下列函數(shù)的反拉普拉斯變換 321221212sF sssssss 323225975971232ssssssF sssss 如果分子階如果分子階次大于分母階次大于分母階次，則可以采次，則可以采用用長除法長除法進行進行化簡化簡2323222232597322772643ssssssssssssss 222ttf tttee例：求下列函數(shù)的

10、反拉普拉斯變換例：求下列函數(shù)的反拉普拉斯變換 521222 ssssF對于特征根為復數(shù)情況，利用衰減正弦函對于特征根為復數(shù)情況，利用衰減正弦函數(shù)和衰減余弦函數(shù)來進行求逆，更為簡單。數(shù)和衰減余弦函數(shù)來進行求逆，更為簡單。2222sin,cosatatsaL etL etsasa3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換2) F(s)有共軛復極點有共軛復極點解：解：22222222110212125*225121212ssssssss2222sin,cosatatsaL etL etsasa 5sin22cos2ttf tetet3) 包含多重極點的包含多重極點的F(s)的部分分式展開的部分分式展開3 拉普

11、拉斯反變換拉普拉斯反變換 , 2 , 122111112113111211121lssksskssksskssksskssksssssssBsFnnlln 11111!11sssssFdsdlklll 1|111sssssFk 3122sssssF 3114312211sksksksksF解：解： 21131212211ssssssk 43131212212ssssssdsdk 32312023ssssssk 1213312324ssssssk )3(1121132) 1(14311212sssssF ttteetetf3121324321拉氏反變換4 求解線性微分方程y(t)( 1)(, 2

12、)()0(, 1)0(),(2)(6)(5)(022求：初始條件：已知系統(tǒng)微分方程例：ttrdttdydtdyytrtydttdydttydt一般步驟是：1.對線性微分方程的每一項進行拉氏變換，使微分方程變成以s變量的代數(shù)方程；2.求解代數(shù)方程，得到輸出變量象函數(shù)的表達式；3.將象函數(shù)展開成部分分式；4.對部分分式進行拉氏反變換，得到微分方程的解。4 求解線性微分方程31410( )3233Y ssss、將輸出變量表達式展開為部分分式（）112134111( )3344210103(3)3ttLtsLesLes、查表求各分式的拉氏反變換212(56) ( )7ssY sss 解： 、對微分方程

13、進行拉氏變換利用微分定理：2272( )(2)(3)ssY ss ss、求系統(tǒng)輸出變量表達式tteetty323104)( 131)(5、整理出方程解f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)11/s1sa22s t1 atesint atef tF sa df tdt 0sF sf tf t dF sds dtdtsnt1!/nnscost22sscosatetsinatet22sa22sasaLaplace變換：變換：小小 結(jié)結(jié) 0stF sL f tf t edt習題習題1.1. 求下列函數(shù)求下列函數(shù)f(tf(t) )的拉氏變換的拉氏變換 1) f(t)=t2 2) f(t1) f

14、(t)=t2 2) f(t)=sin(t/2) )=sin(t/2) 3) f(t)=(tn) 3) f(t)=(tn)* *(e(at(e(at) 4) f(t 4) f(t)=(t-1)2 )=(t-1)2 )* *(e(2t)(e(2t)2. 2. 試求下列函數(shù)的拉氏反變換試求下列函數(shù)的拉氏反變換3.3.試求解下列微分方程試求解下列微分方程 211)1sF ss ss 2522)12sF sss 2730,03,00 xxxxx233)( )22sF sss，第第2 2章章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2 拉氏變換及反變換拉氏變換及反變換2.3 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳

15、遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.4 系統(tǒng)框圖及其簡化系統(tǒng)框圖及其簡化2.1 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程u重點是微分方程、傳遞函數(shù)、拉普拉斯變換及反變換重點是微分方程、傳遞函數(shù)、拉普拉斯變換及反變換、解微分方程、化簡傳遞函數(shù)方框圖；難點是建立微分、解微分方程、化簡傳遞函數(shù)方框圖；難點是建立微分方程及化簡傳遞函數(shù)方框圖方程及化簡傳遞函數(shù)方框圖。22( )( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt22ccdud udiiCCdtdtdtCLRLCT/2，CRLiuuuuLdiuLdtRiuR1ouidtC2222oooid uduTTuudtdt22( )( )

16、( )( )oooid utdutLCRCutu tdtdt彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)的微分方程建立阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)的微分方程建立M M：質(zhì)量質(zhì)量f f：粘性摩擦系數(shù)粘性摩擦系數(shù)( (摩擦摩擦力與物體運動速度的比值力與物體運動速度的比值 ) )k k：彈簧彈性因數(shù)彈簧彈性因數(shù) 1.1.輸入量輸入量F F（ForceForce）, , 輸出量輸出量y y 。yfkytFdttydm)()(222.2.由牛頓第二定律由牛頓第二定律3.3.標準化標準化Fkydtdyfdtydm 22Fkydtdykfdtydkm122kKmkfkmT1,2,令：令：KFydtdyTdtydT2222假設(shè)：

17、假設(shè)：1、忽略物體、忽略物體m所受的重力所受的重力2、阻尼力為干性摩擦、阻尼力為干性摩擦3、彈簧的伸長在彈性限度內(nèi)、彈簧的伸長在彈性限度內(nèi)4、不考慮彈簧質(zhì)量、不考慮彈簧質(zhì)量22( )( )( )( )d y tdy tmBky tF tdtdt)()()()(22tutudttduRCdttudLCCCC)()()()(21220txtyadttdyadttyda2 2階系統(tǒng)階系統(tǒng) 上例的機械平移系統(tǒng)和上例的機械平移系統(tǒng)和RLCRLC電路就可以用同一個數(shù)學電路就可以用同一個數(shù)學表達式分析，具有相同的數(shù)學模型。表達式分析，具有相同的數(shù)學模型。一般一般n階線性定常（時不變）系統(tǒng)微分方程的階線性定常

18、（時不變）系統(tǒng)微分方程的通式為：通式為：)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtyatydtdatydtdatydtdammmmmmnnnnnn其中，其中，y(t)為系統(tǒng)的輸出，為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸入，m num=1,0; den=1,2,10; Sys=tf(num,den)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的數(shù)學模型零極點模型：零極點模型：控制系統(tǒng)的數(shù)學模型用控制系統(tǒng)的數(shù)學模型用零點、極點和增益描述零點、極點和增益描述格式：格式：sys=zpk(z,p,k)說明：說明：z-零點；零點；p-極點；極點； k-增益增益 如沒有零點，則如沒有零點，則z為空數(shù)組為空數(shù)組如如SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)：G(s)=5(s+2)/s(s2+2s+2)k=5; z=-2; p=0, -1+j, -1-j;Sys=zpk(z,p,k)多入多出系統(tǒng)的模型：多入多出系統(tǒng)的模型：如傳遞函數(shù)：如傳遞函數(shù)：G1(s)=-1/sG2(s)=3(s+5)/(s+1)2G3(s)=2(s2-2s+2)/(s-1)(s-2)(s-3)G4(s)=0G(s)=G1(s) G2(s); G3(s) G4(s)z=,-5;1-i 1+i, p=0, -1 -1;1 2 3, k=-1