本章將學(xué)習(xí)矩陣的基本知識以及利用矩陣求解線性方程組

1、 本章將學(xué)習(xí)矩陣的基本知識以及利用矩陣求解線性方程組。它屬于線性代數(shù)的一部分，是進行網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、電路分析的強有力的數(shù)學(xué)工具，也是利用計算機進行數(shù)據(jù)處理與分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它不僅在經(jīng)濟模型中有著很實際的應(yīng)用，而且目前國際認可的最優(yōu)化的科技應(yīng)用軟件MATLAB就是以矩陣作為基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，從矩陣的數(shù)據(jù)分析、處理發(fā)展起來的被廣泛應(yīng)用的軟件包。 內(nèi)容簡介內(nèi)容簡介 6.1 矩陣的概念與運算 6.1.1 矩陣的概念 6.1.2 矩陣的運算6.1.1 矩陣的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 在物資調(diào)運中，某物資（如煤）有兩個產(chǎn)地（分別用1，2表示），三個銷售地， （分別用

2、1，2，3表示） ，調(diào)運方案見下表：12312銷售地銷售地數(shù)量數(shù)量產(chǎn)地產(chǎn)地172520263223案例 1 物資調(diào)運方案其中第i(i=1,2)行第j(j=1,2,3)列的數(shù)表示從第i解這個調(diào)運方案可以簡寫成一個2行3列的數(shù)表233226202517個產(chǎn)地運往第j個銷售地的運量。三元線性方程組333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa將其未知量的系數(shù)與常數(shù)項按照順序組成一個矩形表333323122322211131211baaabaaabaaa 在實際問題的研究中，常用這種表達式表達各種某種狀態(tài)或數(shù)量關(guān)系在實際問題的研究中，常用這種表達

3、式表達各種某種狀態(tài)或數(shù)量關(guān)系案例 2 線性方程由mn個數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡稱為mn矩陣。其中aij表示矩陣第i行第j列的元素，i稱為aij的行標，j稱為aij的列標。 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣矩陣 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211或mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 通常用大寫黑體字母A,B,C,，或(aij)，(bij)，表示矩陣，有時為了標明矩陣的行數(shù)m與列數(shù)n，常記作Amn或(aij) mn 下面介紹幾種特殊的矩陣 :(1) 方陣：當矩陣A的行數(shù)與列數(shù)相等，即m=

4、n時，矩陣A稱為n階方陣，記作A或AnA的左上角到右下角稱為主對角線，其元素a11,a22,ann稱為主對角線元素（簡稱主對角元） 如矩陣3124就是一個2階方陣，其中元素3,-4是主對角元素 (2) 零矩陣：元素都是零的矩陣，記作0 (3)行矩陣：只有一行的矩陣 11121naaa列矩陣：只有一列的矩陣 11211maaa(4)對角矩陣：除主對角元外，其他元素均為零的方陣為了方便，采用如下記號：nnaaaA2211(未注明的元素均為零) 如 3004是一個對角矩陣 (5) 單位矩陣：主對角線上的元素都是1，其它元素都是零的方陣，記作I或In，即 100010001I如1001是一個2階單位矩

5、陣 (6) 上（下）三角矩陣：主對角線以下（上）的元素全為零的方陣，即 形如為上三角矩陣； nnnnaaaaaa00022211211形如為下三角矩陣； nnnnaaaaaa21222111000 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 藥品庫存某倉庫中維生素C和維生素E的庫存量見下表131518維生素E161922維生素C300片/瓶200片/瓶100片/瓶 數(shù)量品種它可用矩陣表示為 131518161922A 練習(xí)練習(xí)2 2 產(chǎn)值表 某企業(yè)生產(chǎn)5種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值（單位：萬元）見下表 產(chǎn)品產(chǎn)品季度季度一一78 5 87 57 86 4二二9 07 08 58 47 6三三9 57

6、59 09 08 0四四8 9708 28 07 6這個季度產(chǎn)值可排成一個4行5列的產(chǎn)值矩陣 7680827089809090759576848570906478755878它具體描述了這家企業(yè)各種產(chǎn)品在各季度的產(chǎn)值，同時也揭示了產(chǎn)值隨季節(jié)變化規(guī)律的季增長及年產(chǎn)量等情況 練習(xí)3 線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣n元線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111n元線性方程組的系數(shù)可以組成一個m行n列矩陣 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211（6.1.1）稱A為線性方程組（6.1.1）的系數(shù)矩陣由線性方程組（6

7、.1.1）的系數(shù)與常數(shù)項也可以組成一個行列矩陣 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣將用于研究線性方程組的解因此矩陣不僅廣泛地應(yīng)用于處理各種實際問題，而且成為求解線性方程組的重要工具 稱A為線性方程組（6.1.1）的增廣矩陣線性方程6.1.2 矩陣的運算 6.1.2.1 矩陣的相等 6.1.2.2 矩陣的加法 6.1.2.3 矩陣的數(shù)乘 6.1.2.4 矩陣與矩陣的相乘 6.1.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置6.1.2.1 矩陣的相等 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 受力分析受力分析 作用在一靜止物體上的力如圖所示，

8、我們將物體所受的力沿水平方向和鉛直方向進行分解，可以得到如下關(guān)系：水平方向：垂直方向：120.980.888.0FF120.220.473.5FF以上的等式能否用矩陣表示呢？由矩陣的定義不難看出，我們可以用矩陣表示為 12120.980.888.00.220.473.5FFFF如果A=(aij) mn與B=(bij) mn都是m行n列 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣相等矩陣相等 的矩陣，并且它們對應(yīng)的元素相等，即 aij = bij（i=1,2,m, j=1,2,n）則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 矢量的合成與分解如圖所示，已知兩個

9、速度v1,v2的方向，其合速度為v=71.8，顯然，這兩個速度在水平方向和鉛直方向的分解速度之和應(yīng)該等于合速度在水平方向和鉛直方向的分解速度，即 0001200012cos35cos5171.8cos75sin35sin5171.8sin75vvvv它可以用矩陣表示為 0001200012cos35cos5171.8cos75sin35sin5171.8sin75vvvv通過求解此矩陣，可以得到v1 , v2的大小 練習(xí)2 線性方程組的矩陣表示n元線性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111可用矩陣相等表示為 11 11221

10、121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb6.1.2.2 矩陣的加法 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 藥品庫存總量藥品庫存總量 如某藥業(yè)公司有A、B兩個倉庫，三種包裝規(guī)格的維生素C和維生素E的庫存量分別如下：A倉庫兩種藥品的庫存量為100片/瓶 200片/瓶 300片/瓶 維生素C維生素E413128362932用矩陣表示為 322936283141A同樣，B倉庫兩種藥品的庫存量用矩陣表示為 該公司維生素C和維生素E的總庫存量可以用矩陣表示為 上式右邊的新矩陣是由矩陣A與矩陣B對應(yīng)元素相加得到的

11、. 112429183526B412631 3528 183629292432 11435365466667兩個mn矩陣A=(aij ) , B=( bij)的對應(yīng) 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣的加法矩陣的加法 元素相加得到的新的mn矩陣矩陣C稱為矩陣A與B的和，記作C=A+B mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律 （其中A ，B ，C都是mn矩陣）ABBA（1）AA0（2）)()(CBACBA（3）0)(AA（4） 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 調(diào)運方案設(shè)某種物資

12、由3個產(chǎn)地運往4個銷地，兩次調(diào)運方案分別見表1和表2第1次調(diào)運方案（單位：t）表1 銷 地銷 地產(chǎn)地產(chǎn)地S1S2S3S4甲甲3752乙乙0214丙丙1306第2次調(diào)運方案（單位：t）表2 產(chǎn)地產(chǎn)地 銷地銷地S1S2S3S4甲甲1012乙乙3243丙丙0152若分別用A，B兩個矩陣表示各次調(diào)運量 375202143061AB011233240512則兩次從各產(chǎn)地調(diào)運該物資到各銷地的運量之和為 3 1705 122034322141 03 10562A+B764435745814練習(xí)2 庫存清單 矩陣S給出了某家具商店二月份各種沙發(fā)、椅子和餐桌的訂貨量，從生產(chǎn)車間運到商店的家具有三種款式：古式、普

13、通、現(xiàn)代，矩陣T給出了一月末倉庫中家具數(shù)量的清單： (1)矩陣S中10代表什么意思？ 古式 普通現(xiàn)代2011024246S沙發(fā)椅子餐桌121015401517174218T沙發(fā)椅子餐桌古式 普通現(xiàn)代(2)計算T-S，并解釋其實際意義？ 解 (1) S中的10表示二月份古式椅子的訂貨量為10張； TS101014301313153812一月末庫存量二月銷售量(2)它表示二月末倉庫中各種家具的庫存量 6.1.2.3 矩陣的數(shù)乘 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 運輸費用運輸費用 現(xiàn)將甲、乙兩地的產(chǎn)品運銷到三個不同的地區(qū)，已知甲、乙兩地到三個銷地的距離為 11335

14、142957088A若每噸貨物的運費為2.4元/km，那么甲、乙兩地到三個銷地之間每噸貨物的運費為 4 . 21134 . 2354 . 21424 . 2954 . 2704 . 2882 .271848 .3402281682 .211上式右邊的新矩陣是由一個數(shù)乘以矩陣的所有元素得到的. 運費運費= =路程路程每公里的運費每公里的運費數(shù)k乘以矩陣A=(aij )的每一個元素得到的 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘 新矩陣 矩陣C稱為矩陣A與數(shù)k的乘積，記作C=kA nmijcCmnmmnnkakakakakakakakaka212222111211數(shù)與矩陣的

15、乘法滿足下列運算規(guī)律 （其中A ，B 都是mn矩陣，k，l是實數(shù)）kBkABAk)(（1）lAkAAlk )(（2）)()(lAkAkl（3） 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí) 1 房屋開發(fā)計劃一房屋開發(fā)商在開發(fā)一小區(qū)時設(shè)計了A、B、C、D共4種不同類型的房屋每種類型的車庫又有三種設(shè)計：沒有車庫，一個車庫，兩個車庫各種戶型的數(shù)量如下： A B C D無車庫一間車庫兩間車庫860054300356如果開發(fā)商另有兩個與之同樣的開發(fā)計劃，請用矩陣的運算給出開發(fā)商將開發(fā)的各種戶型的總量 解 房屋開發(fā)商正要開發(fā)的一個小區(qū)的戶型可用矩陣表示為 860054300356A因為該開發(fā)商還有兩個與之一樣的開

16、發(fā)計劃，所以該開發(fā)商將開發(fā)的各種房屋的總量可用矩陣表示為 860033 54300356BA241800151290091518練習(xí)2 庫存量若甲倉庫的三類商品4種型號的庫存件數(shù)用矩陣A表示為 325278435121A乙倉庫的三類商品4種型號的庫存件數(shù)用矩陣B表示為 453433121253B已知甲倉庫每件商品的保管費為3（元/件），乙倉庫每件商品的保管費為2（元/件），求甲、乙兩倉庫同類且同一種型號商品的保管費之和 解 甲、乙兩倉庫同類且同一種型號商品的保管費之和由矩陣F表示為 BAF23 32527843512134534331212532961562124129153638106866

17、2424106916717131430271421 16176.1.2.4 矩陣的相等與矩陣的相等 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進一步的練習(xí) 一、案例一、案例 奶粉銷售奶粉銷售 設(shè)有兩家連鎖超市出售三種奶粉，某日銷量（單位：包）見表1，每種奶粉的單價和利潤見表2 貨類超市奶粉奶粉奶粉甲 5810 乙756表1奶粉奶粉數(shù)量數(shù)量單價單價+ +奶粉奶粉IIII數(shù)量數(shù)量單價單價+ +奶粉奶粉IIIIII數(shù)量數(shù)量單價單價單位：元單位：元單價單價利潤利潤奶粉奶粉153奶粉奶粉12奶粉奶粉2042表2求各超市出售奶粉的總收入和總利潤 解 先列表分析： 單位：元單位：元總收入（元）總收入（元）總利潤總

18、利潤( (元元) )超市甲超市甲5 515+815+812+1012+1020205 53+83+82+102+104 4超市乙超市乙7 715+515+512+612+620207 73+53+52 26 64 4解 設(shè) 5810756A153122204BC為各超市出售奶粉的總收入和總利潤，則 5 15 8 12 10 20 5 3 8 2 10 4371 717 15 5 12 6 207 3 5 2 6 4285 55C 矩陣C中第1行第1列的元素等于矩陣A的第1行元素與矩陣B的第1列對應(yīng)元素相乘之和，一般地，矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應(yīng)乘積

19、之和 設(shè)矩陣A=(aij )ml的列數(shù)與矩陣 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣與矩陣的相乘矩陣與矩陣的相乘 B=(bij )ln的行數(shù)相同，則由元素 構(gòu)成的mn矩陣 ljiljijiijbababac2211），（njmi2121nmijcC)(稱為矩陣A與B的乘積，記作C=AB 由矩陣與矩陣相乘的定義可知： (1) 矩陣A的列數(shù)必須等于矩陣B的行數(shù)，矩陣A與矩陣B才能相乘；(2) 矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；(3) 矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應(yīng)乘積之和，即 ljiljijiijbababac2211矩

20、陣乘法滿足以下運算規(guī)律： (1) 結(jié)合律 (2) 數(shù)乘結(jié)合律 (3) 分配律 )()(BCACAB)()()(kBABkAABkBCACCBA)(CABAACB)( 三、三、進一步的練習(xí)進一步的練習(xí)練習(xí)1 商場稅收若用矩陣表示某商場的兩個分場兩類商品的營業(yè)額；用矩陣表示兩種商品的國稅率、地稅率，即設(shè) 22211211aaaaA二一22211211bbbbB家電服裝求各分場應(yīng)該向國家財政和地方財政上交的稅額？ 家電 服裝國稅率 地稅率分析：一分場向國家財政上交的國稅額= 一分場家電應(yīng)上交的國稅額+一分場服裝應(yīng)上交的國稅額= 一分場家電的營業(yè)額家電的國稅率+一分場服裝的營業(yè)額服裝的國稅率，解同理，得各分場應(yīng)該向國家財政和地方財政上交的稅額為 11 1112 2111 1212 2221 1122 2121 1222 22a ba ba ba bCABa ba ba ba b二一國稅地稅 練習(xí)2 電子運動在研究電子的運動時，常用到矩陣 00yiSi這里 1i 試驗證： 2ySI解 200yiSi00ii1001I0 0()0 ()() 000()0 0iiiiiiii 6.1.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置 一、案例 二、概念和公式的