北京郵電大學計算機學院高等數學第七章極值與最值

1、 第七章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數的極值一、多元函數的極值 二、最值應用問題二、最值應用問題三、條件極值三、條件極值多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法xyz一、一、 多元函數的極值多元函數的極值 定義定義: 若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值0;在點 (0,0) 有極大值1;在點 (0,0) 無極值.如圖極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數取得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz221-zxyyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內有xyzxyz說明說明: 使偏導數都為 0

2、的點稱為駐點 . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數偏導數,證證:據一元函數極值的必要條件可知定理結論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 時, 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數, 且令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當證明用二元函數的泰勒公式. 時, 沒有極值.時, 不能確定

3、, 需另行討論.若函數的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC例例1.1. 求函數解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導數,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC

4、5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.討論函數及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值

5、.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz二、最值應用問題二、最值應用問題函數 f 在有界閉域上連續(xù)函數 f 在有界閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據例例3 3.解解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水問當

6、長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(c

7、os222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內達到,而在域D 內只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉化,0),(下在條件yx的極值求函數),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)

8、(,(xxfz,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數可確定隱函數的極值問題,極值點必滿足設 記.),(的極值求函數yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入輔助函數輔助函數F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.),(),(yxyxfF推廣推廣拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形

9、. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F例例5. 要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一駐點,2230

10、Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為,340Vxyz思考思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時, 欲使造價最省, 應如何設拉格朗日函數? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .內容小結內容小結1. 函數的極值問題函數的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數的條件極值問題函數的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法,

11、),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(2) 一般問題用拉格朗日乘數法設拉格朗日函數如求二元函數下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數值的大小 根據問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數, 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數的最值問題函數的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設 C 點坐標為 (x , y),思考與練習思考

12、與練習 21031013yxkji)103, 0,0(21yx221 (0,0)94xyxy則 ACABS2110321yx設拉格朗日函數解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx2,3.5,DESS點擊圖中任意點動畫開始或暫停備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內接三角形中面積最大者.解解: 設內接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對應的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,si

13、n2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設拉氏函數)2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標函數和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標函數目標函數 :cos2cos22222dcdcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案:,即四邊形內接于圓時面積最大 .2. 求平面上以作業(yè)作業(yè) P57 思1，2，4，5, 6，7， 8, 11, 12補一、二元函數的泰勒公式

14、補一、二元函數的泰勒公式一元函數)(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數泰勒公式 記號記號 (設下面涉及的偏導數連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示定理定理.),(),(00yxyxfz在點設的某一鄰域內有直到 n + 1 階連續(xù)

15、偏導數 ,),(00kyhx為此鄰域內任 一點, 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項朗日型余項 .時, 具有極值補二、極值充分條件的證明補二、極值充分條件的證明 的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數, 且令則: 1) 當A 0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數的在點),(),(00y

16、xyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分條件)證證: 由二元函數的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導數在點由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(0022221kCkhBhA其中其中 , , 是當h 0 , k 0

17、時的無窮小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時因此當kh.),(確定的正負號可由khQz(1) 當 ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時當從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點yx)(2o22221kkhh,0),(,0khQA時當從而 z0,在點因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當 ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨設 A0, 則 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當時, 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當,),(0000時接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負, 在點因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo+xy),(00yxo若 AC 0