六年級奧數(shù) 和倍、差倍、和差問題

1、第二十三講 和倍問題【知識概述】：已知兩個數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍應(yīng)用題。要想順利解決和倍應(yīng)用題，最好的方法就是根據(jù)題意，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而正確的列式計算。解答和倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出兩數(shù)的和以及與其對應(yīng)的倍數(shù)和。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：和（倍數(shù)1）小數(shù)； 小數(shù)倍數(shù)大數(shù)（幾倍數(shù)）或者：兩數(shù)和小數(shù)大數(shù)如果遇到三個或三個以上的數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，也可用這個公式。（首先找最小的一個數(shù)，再找出另幾個數(shù)是最小數(shù)的倍數(shù)即可）【經(jīng)典例題】：例1.幼兒園的老師和小朋友共有81人在做游戲，小朋友們總是跟著自己的老師轉(zhuǎn)，每位老師身邊都有8個小朋友，問：小朋

2、友有多少個？老師有多少人？練習(xí)1：1、學(xué)校有科技書和故事書共480本科技書的本數(shù)是故事書的3倍，兩種書各多少本？2、一個養(yǎng)雞場有675只雞，其中母雞是公雞的4倍，這個養(yǎng)雞場有公雞、母雞各多少只？3、學(xué)校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得的本書比二年級的2倍還多60本，二、三年級各得圖書多少本？4、爸爸要把140張郵票分給弟弟和妹妹，已知弟弟分得的郵票張數(shù)比妹妹的4倍少10張，弟弟和妹妹各分得郵票多少張？例2、甲、乙、丙3數(shù)和是183,乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三數(shù)各是多少？ 解析：乙數(shù)加上4就是丙數(shù)的2倍，甲數(shù)減少7就是丙數(shù)的3倍。而總數(shù)也就應(yīng)該加上4，再減去7

3、。丙數(shù)1倍數(shù)，乙是2倍數(shù)。甲是3倍數(shù)，先求丙。丙數(shù)=（183+4-7）（1+2+3）=30，乙數(shù)=302-4=56，甲數(shù)=303+7=97。練習(xí)2、 1、三堆糖果共有105顆，其中第一堆糖果的數(shù)量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的數(shù)量又比第二堆的2倍少3顆第三堆糖果有多少顆？2. 甲、乙、丙三個糧倉一共存有109噸糧食其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍問：甲糧倉比丙糧倉多存糧多少噸？5.果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？（）6.某駐軍有三個坦克連，共有115輛坦克，一連坦克數(shù)

4、量比二連的2倍多2，而二連的坦克數(shù)量比三連的3倍多1請問：一連比三連多幾輛坦克？（）【重難點例題】：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍，甲組原來有圖書多少本？解析：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組拿出6本，甲組相應(yīng)的也拿出63=18（本），則甲組仍是乙組的3倍。事實上甲組不但沒有拿出18本，反而接受了乙組的6本，18+6就正好對應(yīng)著后來乙組的（5-3）倍。因此，后來乙組有圖書（18+6）（5-3）=12（本），乙組原來有12+6=18（本），甲組原來有183=54（本）。練習(xí)1.小明原來的畫片是小紅的3倍，后來二人各買了5張，這樣，小明的畫片就是小紅的2倍。二人原

5、來各有多少張畫片？2.幼兒園買來的蘋果個數(shù)是梨的3倍，吃掉10個梨和6個蘋果后，剩下蘋果正好是梨的5倍。原來買來的蘋果和梨共有多少個？3.一個書架上層的書的本數(shù)是下層的4倍。從下層拿5本放入上層后，上層的本數(shù)正好是下層的5倍。原來下層有幾本書？【同步精煉】：1、小明有圓珠筆芯30支，小青有圓珠筆芯15支，問小青把多少支筆芯給小明后，小明的圓珠筆芯支數(shù)是小青的8倍？2、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶的油是乙桶的5倍？3、甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？4、甲書架有圖書1

6、8本，乙書架有圖書8本，班級圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本書是乙書架的2倍？5、某專業(yè)戶養(yǎng)雞、鴨、鵝共有960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。這個專業(yè)戶養(yǎng)雞、鴨、鵝各多少只？6、甲、乙、丙三個數(shù)之和是400，又知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求這三個數(shù)。7、三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各是多少千克？8、甲、乙、丙三個修路隊共修路1200米，甲隊修的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊修的米數(shù)是丙隊的3倍。三個隊各修了多少米？9、甲、乙兩數(shù)的和是112，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙 兩數(shù)各是多少？10、被除數(shù)和

7、除數(shù)的和是120，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？11、被除數(shù)、除數(shù)與商的和是79，已知商是4。被除數(shù)和除數(shù)各是多少？12、兩數(shù)相除商是5，沒有余數(shù)，已知被除數(shù)、除數(shù)與商的和是59。被除數(shù)和除數(shù)各是多少？差倍問題【知識概述:】已知兩數(shù)之差及它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)是多少的應(yīng)用題就叫做差倍問題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用：小數(shù)（1倍數(shù)）兩數(shù)差(倍數(shù)1)。式子中1即“1倍”數(shù)代表小數(shù)。大數(shù)（幾倍數(shù)）小數(shù)差，或 大數(shù)小數(shù)倍數(shù)。解題關(guān)鍵就是抓住倍數(shù)差與對應(yīng)兩數(shù)差。學(xué)會使用線段圖解題例1、王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個零件？解析

8、：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生產(chǎn)零件： 128(31)64(個)，師傅一天生產(chǎn)零件： 12864192(個)或643192(個)?！拘≡嚺５丁?、 兩根電線的長相差30米，長的那根是短的那根的4倍。這兩根電線各長多少米？2、某小學(xué)購買組足球的個數(shù)是排球的3倍，足球比排球多18只，購買足球和排球各有多少只？【例2】 甲、乙二工程隊，甲隊有56人，乙隊有34人。兩隊調(diào)走同樣多人后，甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的3倍。問：調(diào)動后兩隊各有多少人？分析與解答：“1倍”數(shù)是乙隊調(diào)動后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊調(diào)走的

9、人數(shù)相同(不影響他們二隊人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊人數(shù)之差仍是563422(人)。由差倍公式得調(diào)動后乙隊有：(5634)(31)11(人)。調(diào)動后甲隊有： 11333(人)或11(5634)33(人)?！拘≡嚺５丁?、養(yǎng)雞場有公雞和母雞，母雞的只數(shù)是公雞的3倍，把母雞運(yùn)走850只，把公雞運(yùn)走50只以后，公雞與母雞所剩下的只數(shù)相等，公雞和母雞原來各有多少只？2、參加少年宮科技小組的人數(shù)，今年比去年多41人，并且今年的人數(shù)比去年的3倍少35人，今年有多少人參加？【例3】甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？分

10、析與解答：當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的油，差是261440(千克)。由差倍公式知，“1倍”數(shù)(2614)(31)20(千克)。故甲、乙桶原來各有油： 202646(千克)，或 2031446(千克)【小試牛刀】1、小娟和洋洋扎紙花，小娟扎的朵數(shù)是洋洋的4倍。如果小娟送給洋洋36朵，那么兩人扎的朵數(shù)相等，小娟和洋洋原來各扎多少朵花？2、某車間原來有男職工數(shù)比女職工數(shù)多48人，如果調(diào)走2名女職工，男職工數(shù)就是女職工的3倍，求這個車間原有男、女職工各多少人？【同步精練】1、哥哥的圖書本數(shù)比弟弟多60本，哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的3

11、倍，哥哥和弟弟各圖書多少本？2、菜場運(yùn)來的西紅柿是黃瓜的3倍，賣出西紅柿950千克，黃瓜120千克后，剩下的兩種蔬菜重量相等，菜場運(yùn)來西紅柿和黃瓜各多少千克？3、兩袋鹽的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋裝入28千克，這時乙袋的重量是甲袋的3倍 ，甲乙兩袋原來各有鹽多少千克？4、甲、乙兩數(shù)的和是112.甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？5、甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。6、有甲、乙兩輛車，載客人數(shù)相同，在同一站點上，甲車有2人上車，乙車有9人上車，兩車都沒人下車，這時乙車載客人數(shù)是甲車的2倍，原來兩車各有多少人7、小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)

12、競賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？8、三個數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個數(shù)各是多少？9、甲筐有梨400個，乙筐有梨240個，現(xiàn)在從兩筐取出數(shù)目相等的梨，剩下梨的個數(shù)，甲筐是乙筐的5倍，兩筐所剩的梨各有多少個?10、小明和小惠都是集郵愛好者，小明的郵票張數(shù)是小惠的4倍，如果小明送給小惠36張，那么兩人的張數(shù)相等，小明和小惠原來各有多少張郵票？11、甲廠人數(shù)比乙廠少540人，若從兩廠各調(diào)走600人，乙廠人數(shù)恰好是甲廠人數(shù)的4倍，求甲廠原來有多少人？課后鞏固練習(xí)：1、一塊長方形黑板的周長是96分米，長是寬的3倍。這塊長方形黑板的長和寬

13、各是多少分米？2、商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的3倍，鉛筆的支數(shù)與圓珠筆的支數(shù)同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？3、甲、乙、丙三個修路隊共修路1200米，甲隊修的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊修的數(shù)數(shù)是丙隊的3倍。三個隊各修了多少米？4、學(xué)校購買了720本圖書分給高、中、低三個年級，高年級分得的比低年級的3倍多8本，中年級分得的比低年級的2倍多4本。高、中、低年級各分得圖書多少本？5、城東小學(xué)共有籃球、足球和排球共95個，其中足球比排球少5個，排球的個數(shù)是籃球個數(shù)的2倍?；@球、足球、排球各有多少個？6、在一個數(shù)的后面補(bǔ)上兩個“0”，得到的新數(shù)比原來的新增加了1980，這個

14、數(shù)是多少？7、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，幾天后剩下的大米是面粉的3倍？8、甲乙兩人各有若干本書，若甲給乙45本，則兩人的書相等，若乙給甲45本，則甲的本數(shù)是乙的2倍，甲乙原來各有書多少本？9、小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？和差問題【知識概述】：已知幾個數(shù)的和與差，求這幾個數(shù)的應(yīng)用題，叫和差問題。通常采用假設(shè)的方法，就是假設(shè)那個較小的數(shù)和較大的數(shù)相等或者假設(shè)那個較大的數(shù)和那個較小的數(shù)相等，這樣就會引起總數(shù)（和）的變化（增加或減少），求出新的和，平均分就可得其中的一個數(shù)。

15、為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”?；竟剑?（和-差）2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù)（和+差）2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù) 【經(jīng)典例題】：1、兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，兩筐水果各多少千克？解析：讀題，找出條件和問題。根據(jù)條件和問題畫出線段圖 假設(shè)把第二筐多的10千克減掉，看成兩個第一筐的重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？列式：第一筐：（千克） 第二筐：（千克）假設(shè)把第一筐少的10千克補(bǔ)上，看成兩個第二筐的

16、重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？列式：第二筐：（千克） 第一筐：（千克）【小試牛刀】：1、甲、乙兩人同時以相同的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字問甲、乙兩人每分鐘各打多少個？ 2、果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數(shù)比梨樹多20棵桃樹和梨樹各有多少棵？3、有一根鋼管長12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2米每段各長多少米？4、沿長寬相差30米的游泳池跑了5圈，做下水前得準(zhǔn)備活動，已知跑了700米距離，問游泳池的長和寬各是多少？5、兩數(shù)的和是40，甲數(shù)比乙數(shù)大8，求甲、乙兩數(shù)各是多少？6、買一套衣服，共需360元，褲子比上衣便宜136元，那么買一件上衣

17、和一條褲子各需多少元錢？7、甲、乙兩箱共有水果60千克，如果從甲箱中取出5千克放到乙箱中，則兩箱水果一樣重，求兩箱水果原來各有多少千克？8、被減數(shù)，減數(shù)，差之和是900，減數(shù)比差少50，求減數(shù)是多少？9、甲、乙、丙三個零件平均重31千克，甲零件比乙、丙兩個零件重量和少1千克，乙零件是丙零件重量的2倍還多2千克。三個零件各重多少千克？10、一套書有上、中、下三冊，上冊比中冊貴3元，中冊比下冊貴6元，四套這樣的書共300元，求上、中、下每冊各多少元？11、兩箱水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？和倍、差倍、和差問題綜合練習(xí)1、學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)

18、是故事書的3倍。兩種書各有多少本？2、用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？3、果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？4、李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？5、有三個書櫥共放了330本書，第二個書櫥里的書是第一個的2倍，第三個書櫥里的書是第二個的4倍。每個書櫥里各放了多少本書？6、甲、乙、丙三個數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。7、少先隊員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？8、被除數(shù)比除數(shù)大252，商是7，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？9、三個筑路隊共筑路1360米，甲隊筑的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊比丙隊多240米。三個隊各筑多少米？10、三個植樹隊共植樹1900棵，甲隊植樹的棵數(shù)是乙隊的2倍，乙隊比丙隊少植300棵。三個隊各植樹多少棵？11、有兩袋大米，大袋比小袋多56千克，如果將小袋的大米吃掉4千克，這時大袋的大米重量是小袋的4倍，求兩袋大米原來各重多少千克？12、有40個連續(xù)的自然數(shù)，最大的那個數(shù)是最小的那個數(shù)的4倍，那么這列自然數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的和是多少？13、學(xué)校體育室近期用