「精品」高考數(shù)學大一輪復習熱點聚焦與擴展專題04函數(shù)的定義域、值域的求法

1、小中高 精選 教案 試卷 選集專題 04 函數(shù)的定義域、值域的求法【熱點聚焦與擴展】 函數(shù)的定義域作為函數(shù)的要素之一，是研究函數(shù)的基礎，也是高考的熱點 . 函數(shù)的值域也是高 考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分. 所以在掌握定義域求法的基礎上，掌握一些求值域的基本方法，當需要求函數(shù)的取值范圍時便 可抓住解析式的特點，尋找對應的方法從容解決 .(一) 函數(shù)的定義域1. 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是：分式的分母不能為零；偶次方根的被開方式其值非負； 對數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1.2. 若 y f x 的定義域為 a,b ，則不等式 a g x b

2、 的解集即為函數(shù) y f g x 的 定義域；若 y f g x 的定義域為 a,b ，則函數(shù) g x 在 a,b 上的的值域即為函數(shù) y f x 的定義域3. 對于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題，應依據(jù)已知條件準確 找出利用哪一段求解 .4. 與定義域有關的幾類問題 第一類是給出函數(shù)的解析式，這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍； 第二類是實際問題或幾何問題，此時除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題或幾何 問題有意義；第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由 f (x) 的定義域確定函數(shù) fg(x) 的定義域或由 fg(x) 的定義域確定函數(shù) f (x)

3、的定義域第四類是已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題，常轉化為恒成立問題來解決(二) 函數(shù)的值域1.利用函數(shù)的單調(diào)性 :若 f ( x)是 a, b上的單調(diào)增 (減)函數(shù),則 f(a), f (b)分別是 f (x) 在區(qū) 間 a, b上取得最小 (大) 值,最大(小)值.22.利用配方法 :形如 y ax2 bx c(a 0)型,用此 種方法,注意自變量 x的范圍 .3. 利用三角函數(shù)的有界性 , 如 sin x 1,1, cosx 1,1.cx d4.利用“分離常數(shù)” 法:形如 y=ax b 或 y ax bx e （ a, c至少有一個不為零 ）的函數(shù), cx d求其值域可用此法 . 一般地

4、，ax b ：換元分離常數(shù)反比例函數(shù)模型 cx da 模型xax bx c ：換元分離常數(shù) y x dx e2dx e ：同時除以分子： y ax2 bx c12 1 的模型 ax2 bx cdx eax2 bx c ：分離常數(shù)的模型dx2 ex f共同點：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)5. 利用換元法 : 在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關的常見的復合函數(shù)分為兩種：fx y af x ,y loga f x ,y sin f x ：此類問題通常以指對，三角作為主要結構， 在求值域時可先確定 f x 的范圍，再求出函數(shù)的范圍 . y f ax , y f loga x ,y f sinx ：此類函數(shù)的解

5、析式會充斥的大量括號里的項， 所以可利用換元將解析式轉為 y f t 的形式，然后求值域即可 .形如 y ax b cx d 型 , 可用此法求其值域 .6. 利用基本不等式法 :7. 導數(shù)法 : 利用導數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復雜函數(shù)的極值和最值, 然后求出值域8. 分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替 使用求值若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的 解析式分別求解， 但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍 數(shù) 形結合法也可很方便的計算值域 .9. 由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是

6、實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的 部分剔除 .10. 數(shù)形結合法：即作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結合 .（ 1） f x 的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐 標系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該 f x 函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的 值域 .（2）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯(lián)系，數(shù)形 結合求得值域，如：分式直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式兩點間距離公式 .（三）常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結合，利用函數(shù)圖像 將值域解出，熟

7、練處理常見函數(shù)的值域也便于將復雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進 行化歸 .（1）一次函數(shù)（ y kx b ）：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來 確定值域 .2（2）二次函數(shù)（ y ax2 bx c ），給定區(qū)間 . 二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M行配方 確定函數(shù)的對稱軸，然后利用圖像進行求解 . （關鍵點：拋物線開口方向，頂點是否在區(qū) 間內(nèi)） .1（ 3）反比例函數(shù)： y 1x（ 1）圖像關于原點中心對稱（2）當x, y 0 ，當 x , y 0（4）對勾函數(shù)：y x a a 0 x 解析式特點：x 的系數(shù)為 1； a 0注：因為此類函數(shù)的值域與4例： y 2x ，

8、并不能直接確定 axa 相關，求 a 的值時要先保證 x 的系數(shù)為 1，再去確定 a 的值24 ，而是先要變形為 y 2 x ，再求得 a 2x 極值點： x a,x a 極值點坐標：a,2 a , a, 2 a 定義域： ,0 U 0, 自然定義域下的值域：2 a U 2 a,精選資料 值得擁有25a5）函數(shù)： y x a 0 函數(shù)的零點： x aa0注意與對勾函數(shù)進行對比 值域： R5）指數(shù)函數(shù)（ y ax ）：其函數(shù)圖像分為 a 1與0 a 1兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域為 0,6）對數(shù)函數(shù)（ y loga x ）其函數(shù)圖像分為 a 1與 0 a 1兩種情況，可根據(jù)

9、圖像求得值域，在自然定義域下的值域為 0,【經(jīng)典例題】例1【2017山東理】設函數(shù) y= 4- x2的定義域 A，函數(shù) y=ln（1-x） 的定義域為 B,則A B=（）（A）（1,2 ）（B）（1,2（C）（- 2,1）（D）-2,1）【答案】 D【解析】試題分析：由 4 x2 0得 2 x 2，由1 x 0得 x 1，故A I B= x| 2 x 2 x|x 1 x| 2 x 1 ，選 D.例 2【2018 屆湖南省邵陽市高三上學期期末】設函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】 的定義域為 , 故 , 所以選 B.例 3【2018 屆河南省中原名校（即豫南九

10、校）高三第六次質(zhì)量考評】已知函數(shù)a 2 x 3a 1,x 3f x x 2（ a 0且 a 1），若 f x 有最小值，則實數(shù) a的取值范2ax 2,x 3圍是（ ）55555A. 0, B. 1, C. 0, 1, D. 0,1 ,64644【答案】 C【解析】 Q f x 有最小值故選 C例 4【2018 屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學期期末】設函數(shù)的定義域為 ，若滿足條件：存在 ，使 在 上的值域為 ，則稱 為“倍縮函數(shù)” 若函數(shù) 為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）A. （， ln2 1） B. （， ln2 1C. （ 1ln2 ，+） D. 1 ln2 ，+）【答案】 C令 g

11、（ x）> 0，解得： x>2，令 g（ x）< 0，解得： 0<x<2，故 g（ x）在（ 0，2）遞減，在（ 2，+）遞增，故 g（ x） g（ 2）=1 ln2 ，故 t >1 ln2 ， 故選 C：【名師點睛】 由于函數(shù) yf x 的零點就是方程 f x 0 的根，所以在研究方程的有關問 題時，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等，都可以將方程問題轉 化為函數(shù)問題解決 . 此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點，結合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結合思 想加以解決例 5. 已知函數(shù) y x2 2x 在閉區(qū)間 a,b 上的值域為 1,3 ，則滿足題意

12、的有序實數(shù)對a,b 在坐標平面內(nèi)所對應點組成圖形為（ ）解析】 y=x 2+2x=（x+1）2 1，可畫出圖象如圖 1 所示故選： C名師點睛】本題考查了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題，值域是確定的，而定義域是變動的，解題關鍵是分辨清楚最大值是在左端點取到還是在右端點取到，問題就迎刃而解了例 6.（1）函數(shù) f x1 x x 31 的值域為（）A.3,1 B.1,C. 2,2 2D.1,2 2 1（2）函數(shù) f x xx1x1 x 的值域為（1x）A. ,1B.,1 C.0,1D.0,1（ 3）函數(shù) f x32x55 的值域為 2x21【答案】（ 1） D（2）B（3）5,6 .2【解析】（1

13、）函數(shù)的定義域為3,1 ，含有雙根式， 所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題， 但 f x的導數(shù) f' x x 3 1 x 較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導數(shù)求出 f x 的單調(diào)區(qū) 2 1 x x 3間，從而求得最值f ' x 1 1 x 3 1 xf x2 1 x 2 x 3 2 1 x x 3令 f ' x 0 即解不等式： x 3 1 x【名師點睛】本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，2 2 1 x 2sin 1 x 0所以想到 1 x x 34 ，從而可設，由 可知x 3 2cos x 3 00, ，所以原函數(shù)的值域轉化為求 y 2s

14、in 2cos 1 的值域，從而有2y 2 2sin 1，由 0, 可求得 y 1,2 2 1 . 由此題可知：含雙根式的42函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉為三角函數(shù)值域問題（2）函數(shù)的定義域為 x 1，從而發(fā)現(xiàn) 1 x 1 x ，所以函數(shù)的解析式為f x x 1 x ，觀察可得 f x 為增函數(shù)，且 x 時， f x ，所以當x ,1 時， f x 的值域為 ,1 【名師點睛】本題中函數(shù)的定義域對解析式的化簡有極大的促進作用 . 所以在求函數(shù)的值域 時，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域 . 本題也可用換元法，設 t 1 x 后即可將函數(shù)轉為二次函數(shù)求值域

15、，但不如觀察單調(diào)性 求解簡便。3）先確定函數(shù)的定義域：3 2x 0x202x31,32 ， f x 為分式且含有根式，求導則導函數(shù)較為復雜 . 觀察分子分母可知：2x 50 且關于 x 單減， 2x 2 1 0 且關于 x1單增，即 1 單減，所以2x 2 1fx3 2x 533 2x 5 為減函數(shù)，由 x 1,3 可知 f x 的2x 2 125值域為 5,6 .2名師點睛】在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增增”，那么如果一個函數(shù)可表示為兩個函數(shù)的乘法，例如 h xf x g x ，則當 f x ,g x均為增（減）函數(shù)，且 f x ,g x 恒大于 0，才能得到h x 為增（減）函數(shù) .例 7

16、：（ 1）函數(shù) y2x2 4x 7x2 2x 3的值域為（A.92,2B.73,0C.73,0D.92,22）函數(shù) ysinx 1 的值域為cosx 2答案】（1）2）43,02x2 4x 7解：由 y 2x2 4x 7 可得:x2 2x 3x2y 2xy 3y 2x2 4x 72 y 2 x2 2y 4 x 3y 7 022Q x2 2x 3 x 1 2 0 函數(shù)的定義域為 Ry 的取值只需讓方程有解即可當y2 時， 130不成立，故舍去當y2時，2y2 3y 7 0即：2y 9 y92 y 2綜上所述：函數(shù)的值域為92,2 .【名師點睛】 對于二次分式，若函數(shù)的定義域為 R ，則可像本例這

17、樣利用方程思想，將值 域問題轉化為“ y取何值時方程有解” ，然后利用二次方程根的判定 0得到關于 y 的不等 式從而求解，這種方法也稱為“判別式法” 若函數(shù)的定義域不是 R ，而是一個限定區(qū)間（例如 a,b ），那么如果也想按方程的思想處 理，那么要解決的問題轉化為： “ y 取何值時，方程在 a,b 有根”，對于二次方程就變?yōu)榱烁?分布問題，但因為只要方程有根就行，會按根的個數(shù)進行比較復雜的分類討論，所以此類問 題通常利用分式的變形與換元進行解決（詳見附）（ 2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含 sin x或cos x的形式， 考慮去分母得： sinx ycosx 2y 1 則 y 的取值只要讓方程

18、有解即可。觀察左側式子特點可想到俯角公式，從而得到y(tǒng)2 sin x2y 1 sin x2y 1 ，可知方程有解的條件為：1 y22y 12y21 ，解出 y 的范圍即為值域解：且yy sinx 1 的定義域為 R cosx 2sinx 1cosx 2ycosx2ysinxsinx ycosx2y2y sin x2y，即 sin21y y12 ，其中 tan02y2122y243,0名師點睛】本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結合進行解決，把分式視為cosx,sin x , 2,1 連線斜率的問題，從而將問題轉化為定點 2,1 與單位圓上點連線斜率 的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方程思想處理的

19、局限性在于輔角公式與 y 的取值相 關，不過因為 x R ，所以均能保證只要 sin x 在 1,1 中，則必有解。但如果本題對 x 的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出 y 的不等式，所以還是用數(shù)形結合比較方便 例 8. 設且 ，函數(shù) 在 的最大值是 14 ，求 的值【答案】考點：二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)方法點晴】本題主要考查了二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中解答中涉及到一元 次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問 題和解答問題的能力，以及分類討論思想和轉化與化歸思想，本題的解得中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解答的關鍵，試題有一定的難度

20、，屬于中檔試題例 9【2018 屆山西省太原市實驗中學高三上學期x9 月月考】已知函數(shù) f x ax 1(a 1) ax 1(1) 判斷函數(shù) f x 的奇偶性 .(2) 求 f x 的值域 .答案】 (1) f x 是奇函數(shù)( 2) 1,1， 的值域為 1,1 .名師點睛】本題考查了利用定義證明函數(shù)奇偶性，利用分離常數(shù)求分式型函數(shù)的值域問題，考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于中檔題例 10【 2018 屆安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考高三上學期期中】已知ax2是定義在,b 3 b 1, 上的奇函數(shù)1）若 f 2 3，求 a,b的值 ;2）若 1是函數(shù) f x 的一個零點，求函數(shù) f x 在區(qū)間 2,4 的

21、值域 .答案】（1） a=1， b=2；（2）-7.5,-3.解析】試題分析： （ 1）由奇函數(shù)定義域關于原點對稱得 （b-3）+（b-1）=0 ，解得 b=2，再由 f 2 3可得 a ；2）由 1是函數(shù) f x 的一個零點，得 a=-2 ，進而得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求值域即可 試題解析： （ 1） 由 f（x） 為奇函數(shù)，則 （b-3）+（b-1）=0 ，解得 b=2，【名師點睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好三個問題：（ 1）定義域關于原點對稱是函數(shù) f（x） 為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件； （2）f（ x） f（x） 或f（ x） f（x） 是定義域上的恒等式；（3）奇函

22、數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y 軸對稱 .【精選精練】1【2018 屆二輪同步（高考題） 】下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y10lg x的定義域1和值域相同的是 （ ）xA. y x B. y lg x C. y 2 D. y【答案】 D【解析】 y10lgxx，定義域與值域均為 (0 ，)，只有 D滿足，故選 D.2【2019 屆高考一輪】已知集合 A= ,B=y|y= , 則 A ( ?RB)=()A. -3,5 B. (-3,1)C. (-3,1 D. (- 3,+ )【答案】 C【解析】由0，解得 3<x5故 A=x| 3<x5 y=， y>1 B=y

23、|y>1 ?RB=y|y 1 A(?RB)=x| 3<x1 選 C【名師點睛】解決集合運算問題的方法(1) 用列舉法表示的集合進行交、并、補的運算，常采用 Venn 圖法解決，此時要搞清 Venn 圖中的各部分區(qū)域表示的實際意義(2) 用描述法表示的數(shù)集進行運算，常采用數(shù)軸分析法解決，此時要注意“端點”能否取到(3) 若給定的集合是點集，則可畫出圖象，采用數(shù)形結合法求解3【2018 屆安徽合肥八高三上學期期中】函數(shù)f x ln x 3 的定義域是 ( )1 2xA. ( 3,0) B. ( 3,0C. ( ， 3) (0 ，) D. ( ， 3)( 3,0)【答案】 A【名師點睛】

24、本題主要考查了具體函數(shù)的定義域問題，屬于基礎題；常見的形式有：1、分式函數(shù)分母不能為 0；2、偶次根式下大于等于 0；3、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于 0；4、0的 0次 方無意義； 5 、對于正切函數(shù) y tanx ，需滿足 x k ,k Z 等等，當同時出現(xiàn)時，取其交集 .4【 2018 屆東北三省三校(哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學)高三第一次模擬】 已知集合 ， ，若 ，則實數(shù) 的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.【答案】 A【解析】由已知得 ，由 ，則 ，又 ，所以 . 故選 A.log2x 的定義域是()5已知函數(shù) y f 2x 的定義域是 1,1 ，則函數(shù) yA. 0

25、, B. 0,1 C. 1,2 D. 2,4答案】 D1解析】函數(shù) y2x 的定義域是 1,1 ，所以 x1,1,2x,22所以函數(shù) y f log2x 中有： log2x 1,2 ，解得 x 2,4 .2即函數(shù) y f log2x 的定義域是 2,4 .故選 D.6【 2018 屆江西省南昌市高三第一輪】 已知函數(shù) y f x 1 的定義域是 0,3 ，則 y f ex 的定義域是( )A. 0,2ln2 B. 1,2ln2 C. ,ln3 D. ,ln2【答案】 A【解析】 Q 0 x 3, 1 x 1 4 ，則1 ex 4 ， 0 x ln4 2ln2 ，則 y f ex 的 定義域是 0,2ln2 ，選 A.x*k&w00)，其中xx 7下列四個函數(shù)： y 3x；y2x1(x>0) ；yx