中考數(shù)學(xué)方案設(shè)計(jì)型專(zhuān)題

1、1 / 8備戰(zhàn)中考專(zhuān)題一方案設(shè)計(jì)型專(zhuān)題一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題特別是作圖題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)性研究，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用能力和動(dòng)手操作能力的提高，是學(xué)為之用的教改精神的具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教改中的一大熱點(diǎn).這類(lèi)題目不僅要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基知識(shí)，而且要能夠把實(shí)際問(wèn)題中所涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、 抽象成具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 具有很普遍的實(shí)際意義， 是中考熱點(diǎn)之一.創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力的課題， 考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一.近

2、年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目. 這類(lèi)命題以綜合考查閱讀理解能力、 分析推理能力、數(shù)據(jù)處理 能力、文字概括能力、書(shū)面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等能與初中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié).題型 1 設(shè)計(jì)圖形題幾何圖形的分割與設(shè)計(jì)在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，有時(shí)是根據(jù)面積相等來(lái)分割，有時(shí)是根據(jù)線段間的關(guān)系來(lái)分割，有時(shí)根據(jù)其它的某些條件來(lái)分割，做此類(lèi)題一般用尺規(guī)作圖.題型 2 設(shè)計(jì)測(cè)量方案題設(shè)計(jì)測(cè)量方案題滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測(cè)量底部不能直接到達(dá)的小山的高，測(cè)量池塘的寬度，測(cè)量圓的直徑等，此類(lèi)題目解法不惟一，是典型的開(kāi)放型試題.題型 3 設(shè)計(jì)最佳方案題此

3、類(lèi)題目往往要求所設(shè)計(jì)的問(wèn)題中出現(xiàn)路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等詞語(yǔ)，解題時(shí)常常與函數(shù)、幾何聯(lián)系在一起.創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力的課題， 考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一.近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目.這類(lèi)命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書(shū)面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等能與初中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié). 二、知識(shí)運(yùn)用舉例(一)方程、函數(shù)型設(shè)計(jì)題例 1.( 07 茂名市)已知甲、乙兩輛汽車(chē)同時(shí).、同方向從同一地點(diǎn) A 出發(fā)行駛.

4、(1 )若甲車(chē)的速度是乙車(chē)的 2 倍，甲車(chē)走了 90 千米后立即返回與乙車(chē)相遇，相遇時(shí)乙車(chē)走了 1 小時(shí).求甲、乙兩車(chē)的速度；(2)假設(shè)甲、乙每輛車(chē)最多只能帶 200 升汽油，每升汽油可以行駛 10 千米，途中不能再加 油，但兩車(chē)可以互相借用對(duì)方的油，若兩車(chē)都必須沿原路返回到出發(fā)點(diǎn)A,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案使甲車(chē)盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn) A，并求出甲車(chē)一共行駛了多少千米？解：(1)設(shè)甲，乙兩車(chē)速度分別是 x 千米/時(shí)和 y 千米/時(shí)，根據(jù)題意得：x 2yx 1 y 1 90 2解之得：X120y60 即甲、乙兩車(chē)速度分別是120 千米/時(shí)、60 千米/時(shí).(2)方案一：設(shè)甲汽車(chē)盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)A 行駛了

5、 x 千米,乙汽車(chē)行駛了 y 千米，則2 / 8x y200 10 2x y200 10即甲、乙一起行駛到離 A 點(diǎn) 500 千米處，然后甲向乙借油 50 升，乙不再前進(jìn)，甲再前進(jìn) 1000千米返回到乙停止處，再向乙借油50 升，最后一同返回到 A 點(diǎn)，此時(shí)，甲車(chē)行駛了共 3000千米.此時(shí)，甲車(chē)行駛了500 2 1000 2 3000（千米）.方案三：先把乙車(chē)的油均分 4 份，每份 50 升當(dāng)甲乙一同前往，用了 50 升時(shí)，甲向乙借油 50 升，乙停止不動(dòng)，甲繼續(xù)前行，當(dāng)用了 100 升油后返回，到乙停處又用了 100 升油，此 時(shí)甲沒(méi)有油了，再向乙借油 50 升，一同返回到 A 點(diǎn).此時(shí)，

6、甲車(chē)行駛了50 10 2 100 10 2 3000（千米）.例 2. （07 鄂爾多斯）有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話(huà)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖 公司每月通話(huà)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表 3 所示.表 3月租費(fèi)通話(huà)費(fèi)2.5 元0.15 元/分鐘（1） 觀察圖 15,甲公司用戶(hù)月通話(huà)時(shí)間不超過(guò)100 分鐘時(shí)應(yīng)付話(huà)費(fèi)金額是 _ 元;甲公司用戶(hù)通話(huà) 100 分鐘以后，每分鐘的通話(huà)費(fèi)為 _元；（2） 李女士買(mǎi)了一部手機(jī)，如果她的月通話(huà)時(shí)間不超過(guò)100 分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話(huà)時(shí)間超過(guò)100 分鐘，又將如何選擇?解：（1）20;0.2（2）通話(huà)時(shí)間不超過(guò) 100 分鐘選甲公司合算 設(shè)通話(huà)時(shí)間為t分鐘（

7、t 100）,甲公司用戶(hù)通話(huà)費(fèi)為y1元，乙公司用戶(hù)通話(huà)費(fèi)為y2元.則：y :200.2(t100)0.2ty2250.15it當(dāng)y1y2即:0.2t25 0.15t時(shí)，t500當(dāng)出y2即:0.2t25 0.15t時(shí)，t500 2x200 10 3即x創(chuàng)-甲再借油 50 升返回乙行 500 千米15 所示；乙3 / 8當(dāng)yy2即:0.2t250.15t時(shí)，t500答：通話(huà)時(shí)間不超過(guò) 500 分鐘選甲公司；500 分鐘選甲、乙公司均可；超過(guò)500 分鐘選乙公司.例 3. (04 河北省)光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型 20 臺(tái)，乙型 30 臺(tái). 現(xiàn)將這 50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往 A

8、、B 兩地區(qū)收割小麥，其中 30 臺(tái)派往 A 地區(qū)，20 臺(tái)派往 B 地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表:每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金A 地區(qū)1800 元1600 元B 地區(qū)1600 元1200 元(1)設(shè)派往 A 地區(qū) x 臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為 y(元)，求 y 與 x 間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x 的取值范圍；(2)若使農(nóng)機(jī)租賃公司這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600 元，說(shuō) 明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；(3) 如果要使這 50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提

9、出一條合理建議.解：(1)若派往 A 地區(qū)的乙型收割機(jī)為 x 臺(tái)，則派往 A 地區(qū)的甲型收割機(jī)為(30-x)臺(tái)；派 往 B 地區(qū)的乙型收割機(jī)為(30-x)臺(tái)，派往 B 地區(qū)的甲型收割機(jī)為(x- 10) 臺(tái). y= 1600 x+ 1800(30 x) + 1200(30 x) + 1600(x- 10) = 200 x+ 74000 . x 的取值范圍是：10 x 79600 ,解不等式得 x28.由于 10Wxw30 , x 取 28, 29, 30 這三個(gè)值，有 3 種不同分配方案.1當(dāng) x= 28 時(shí)，即派往 A 地區(qū)甲型收割機(jī) 2 臺(tái)，乙型收割機(jī) 28 臺(tái)；派往 B 地區(qū)甲型收割機(jī) 1

10、8 臺(tái)，乙型收割機(jī) 2 臺(tái).2當(dāng) x= 29 時(shí)，即派往 A 地區(qū)甲型收割機(jī) 1 臺(tái)，乙型收割機(jī) 29 臺(tái)；派往 B 地區(qū)甲型收割機(jī) 19 臺(tái)，乙型收割機(jī) 1 臺(tái).3當(dāng) x= 30 時(shí)，即 30 臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往 A 地區(qū)；20 臺(tái)甲型收割機(jī)全部 派往 B地區(qū).(3)由于一次函數(shù) y= 200 x + 74000 的值 y 是隨著 x 的增大而增大的，所以，當(dāng) x=30 時(shí)，y 取得最大值如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50 臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需 x= 30,此時(shí)，y= 6000 + 74000 = 80000.建議農(nóng)機(jī)租賃公司將 30 臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往 A 地區(qū)；20 臺(tái)甲型收割

11、要全部 派往 B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高.(二)統(tǒng)計(jì)型設(shè)計(jì)題例 4. ( 07 江西省)某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10 名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來(lái)確定每個(gè)演講者的最后得分(滿(mǎn)分為10 分)：方案 1 所有評(píng)委所給分的平均數(shù).方案 2 在所有評(píng)委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余給分的平均4 / 8數(shù).方案 3 所有評(píng)委所給分的中位數(shù).方案 4 所有評(píng)委所給分的眾數(shù).5 / 8為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn).得分統(tǒng)計(jì)圖：(1)分別按上述 4 個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分;(2)根據(jù)(1) 中咁勺結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)

12、計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)冋學(xué)演講的最后得分.1解：(1)方案 1 最后得分：(3.2 7.0 7.8 3 8 3 8.4 9.8) 7.7；10方案 2 最后得分：1-(7.0 7.8 3 8 3 8.4) 8；方案 3 最后得分：8;方案 4 最后得分：8或8.4.(2 )因?yàn)榉桨?1中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案 1 不適合作為最后得分的方案.因?yàn)榉桨?4 中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案 4 不適合作為最后得分的方案.例 5.(廈門(mén))某中學(xué)要召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從初三年級(jí)全部的150 名的女生中選 30 人，組成一個(gè)彩旗方隊(duì)(要求參

13、加方隊(duì)的同學(xué)的身高盡可能接近)現(xiàn)在抽測(cè)了 10 名女生的身高，結(jié)果如下(單位：厘米)：166154151167162158158160162162(1) 依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，初三年級(jí)全體女生的平均身高約是多少厘米？(2) 這 10 名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？(3)請(qǐng)你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)， 設(shè)計(jì)一個(gè)挑選參加方隊(duì)的女生的方案.(請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明)解：(1)因?yàn)?166+ 154+ 151+ 167 + 162 + 158+ 158 + 160+ 162+ 162) - 10= 160(厘米)， 所以九年級(jí)全體女生的平均身高約是160 厘米.(2)這 10 名女生的身高的中位數(shù)是161 厘米，眾數(shù)是 1

14、62 厘F面是這個(gè)同學(xué)的6 / 8米.(3) 先將九年級(jí)中身高為 162 厘米的所有女生挑選出來(lái)作為參加旗隊(duì)的女生，如此進(jìn)行下 去，直至挑選到 30 人為止.7 / 8（三）測(cè)量設(shè)計(jì)題例 6. （ 07 潛江等）經(jīng)過(guò)江漢平原的滬蓉（上海一成都）高速鐵路即將動(dòng)工工程需要測(cè)量漢江 某一段的寬度如圖，一測(cè)量員在江岸邊的 A 處測(cè)得對(duì)岸岸邊的一根標(biāo)桿 B 在它的正北方 向，測(cè)量員從 A 點(diǎn)開(kāi)始沿岸邊向正東方向前進(jìn) 100 米到達(dá)點(diǎn) C 處，測(cè)得ACB 68.求所測(cè)之處江的寬度（si n680.93,cos680.37, ta n682.48.）;除（1）的測(cè)量方案外，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量江寬的方案，并在

15、圖中畫(huà)出圖形.(1)(2)圖解：（1 ）在Rt BAC中，ACB AB AC tan 68答：所測(cè)之處江的寬度約為68,100 2.48248 米248(米)圖（2）從所畫(huà)出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的，只要正確即可得分.例 7.（ 07 樂(lè)山）如圖（14）,小山上有一棵樹(shù)現(xiàn)有測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì) 一種測(cè)量方案，在山腳水平地面上測(cè)出小樹(shù)頂端 要求：（1）（2）（3）A到水平地面的距離AB畫(huà)出測(cè)量示意圖；寫(xiě)出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)計(jì)算ABAB圖(14)解：（1 ）測(cè)量圖案（示意圖）如圖示（2）測(cè)量步驟：第一步

16、：在地面上選擇點(diǎn)C安裝測(cè)角儀, 測(cè)得此時(shí)樹(shù)尖A的仰角/AHE, 第二步：沿CB前進(jìn)到點(diǎn)D，用皮尺量 出C, D之間的距離CD m, 第三步：在點(diǎn)D安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)樹(shù)尖A的仰角ZAFE,第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高h(yuǎn)（3）計(jì)算：8 / 8令A(yù)Exxx，則tan，得HE HEtan又tan，得EF,EFtanQ HEFE HF CD m,xxm,tantan解得xm tan gtan tantanABm tan gtan,h.tantan例 8 （ 07 資陽(yáng)）一座建于若干年前的水庫(kù)大壩的橫斷面如圖7 所示，其中背水面的整個(gè)坡面是長(zhǎng)為 90 米、寬為 5 米的矩形.現(xiàn)需將其整修并進(jìn)行美化，方案

17、如下：將背水坡 AB 的坡度由 1 : 0.75 改為 1 :3 : 用一組與背水坡面長(zhǎng)邊垂直的平行線將背水坡面分成 9 塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與 栽花.求整修后背水坡面的面積；如果栽花的成本是每平方米 25 元，種草的成本是每平方 米 20元，那么種植花草至少需要多少元？解：作 AE 丄 BC 于 E.原來(lái)的坡度是 1 : 0.75,.AE _1_ 4EB 0.753設(shè) AE= 4k, BE = 3k,. AB= 5k,又/ AB = 5 米，二 k= 1，貝 U AE= 4 米 設(shè)整修后的斜坡為AB&由整修后坡度為 1 ：73，有些=1,/ ABE= 30EB03AB02

18、AE=8 米.整修后背水坡面面積為90X8= 720 米2.將整修后的背水坡面分為 9 塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80 米2.解法一：要依次相間地種植花草，有兩種方案：第一種是種草 5 塊，種花 4 塊，需要 20X50+ 25X4X80= 16000 元; 第二種是種花 5 塊，種草4 塊，需要 20X480+ 25X5X80= 16400 元 應(yīng)選擇種草 5 塊、種花 4 塊的方案，需要花費(fèi) 16000元.解法二：要依次相間地種植花草，則必然有一種是5 塊，有一種是 4 塊，而栽花的成本是每平方米 25 元，種草的成本是每平方米20 元，兩種方案中，選擇種草 5 塊、種花 4 塊的方案花費(fèi)較少.即:需要花費(fèi) 20X5X80+ 25X4X80= 16000 元.圖（10.1）（1 ）請(qǐng)寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征.特征1: _;特征 2: _ .（2）請(qǐng)?jiān)趫D（10.2 ）中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖