2020年高二數(shù)學上冊單元復習訓練題22

1、一、選擇題1. (2021聊城模擬)關于直線的傾斜角與斜率，以下說法正確的選項是 ()A .所有的直線都有傾斜角和斜率B .所有的直線都有傾斜角但不一定都有斜率C.直線的傾斜角和斜率有時都不存在D .所有的直線都有斜率，但不一定有傾斜角答案B解析所有的直線都一定有傾斜角，而傾斜角為90 °勺直線不存在斜率.2.直線的方程分別為們在坐標系中的關系如下圖，那么11: x+ay+ b = 0, 12 : x + cy+ d = 0,它()A. b>0, d<0, a<cC. b<0, d>0, a>c答案C1 1解析由圖像可知一a>c>0,a

2、 cB. b>0, d<0, a>cD. b<0, d>0, a<cbdb<0, d>0,從而 c<a<0, b<0, acd>0.3. 假設直線 2ax + by+ 4= 0(a、b R)始終平分圓 x2 + y2+ 2x 4y+ 1=0的周長，貝S ab的取值范圍是()A. (s, 1B. (0,1C. (0,1)D. (s, 1)答案A解析由題意知直線過圓心(一1, 2), 2a 2b+4= 0,. a+ b= 2,a2+ b2a+ b 2 2ab ,“ab 2=2，ab< 1.4. 直線11 : y = x,

3、 12 : axy = 0,其中a為實數(shù)，當這兩條直 線的夾角在(0, n內變動時，a的取值范圍是()A. (f,嘰(1,3)B. (f,3)C.(彳，1)D. (1,3)答案A解析因為k1 = 1,k2 = a,由數(shù)形結合知，直線12的傾斜角a (g, nu(n n，所以直線12的斜率a (f, 1) U (1,3).5. 過點P( 1,2)且方向向量為a= ( 1,2)的直線方程為()A. 2x+ y = 0B. x 2y+ 5= 0D. x+ 2y 5= 0C. x 2y = 0解析因為方向向量a= (- 1,2),所以直線的斜率k=-2,又過點P(-1,2),所以由點斜式求得直線方程為

4、 2x+ y= 0.6. (2021 山東濟寧)點 A(1,3), B( 2,- 1),假設直線 I : y = k(x2)+ 1與線段AB相交，貝S k的取值范圍()1A. k2B. kw 21 1C. k虧或 kw-2D.- 2< kJ答案D解析如圖，I 過 P(2,1), kPAw kw kP,3-1十1kPA= 1 _ 2= - 2,而 kPB= 2 2 w7. 過拋物線y2 = 4 3x的焦點，且與圓x2 + y2 2y= 0相切的直線方程是A. 3x + y-3= 0, y = 0B. 3x-y 3 = 0, y= 0C/. 3x + y + 3 = 0, f 3x y +

5、3 = 0D. . 3x + 3y 3= 0, *：3x 3y 3 = 0解析拋物線焦點F(,3 0),圓的方程X2+ (y- 1)2= 1,由圖知過 焦點F且與圓相切的直線有兩條，其中一條是 y= 0故排除C、D.另 一條斜率小于0，應選A.大小關系是()A.fB.C.D.c答案B f x解析作函數(shù)f(x) = Iog2(x +1)的圖像，易知表示直線的斜率.f c f bf ac > b > a，應選B.fcha"x二、填空題9.一條直線I過點P(1,4)，分別交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點,O為原點，那么 AOB的面積最小時直線l的方程為.解析設 l: a+b=

6、1(a b>0).因為點p(1,4)在l 上,4- b+1- a-11=4- b+1- a1所以 SAAOB = qab > 8.1_ 4_ 1 a= b= 2,即a= 2, b= 8時取等號.故直線I的方程為4x+ y 8= 0.10. (2021 江西理)設直線系 M : xcos + (y 2)sin =1(0 <0<,2M)以下四個命題：A . M中所有直線均經(jīng)過一個定點B .存在定點P不在M中的任一條直線上C. 對于任意整數(shù)n(n >3)存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線 上D. M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是 (寫出所有真命

7、題的代號).答案BC 解析考查直線系方程及直線恒過定點問題.因為xcos + (y 2)sin = 1,所以點P(0,2)到M中每條直線的距離d1.cos2 + sin2=1.0即M為圓C: x2 + (y 2)2= 1的全體切線組成的集合，從而M中存在兩條平行直線，所以A錯誤.又因為點(0,2)不在任何直線上，所以B正確 對任意n?3,存在正n邊形使其內切圓為圓C,故C正確M中的直線能組成兩個大小不同的正三角形ABC和AEF，故D錯誤，故命題中正確的序號是B, C.11 . a R,直線(1 a)x + (a+ 1)y 4(a + 1) = 0 過定點 P,點 Q 在曲線x2 xy + 1

8、= 0上，貝S PQ連線斜率的取值范圍是 .答案3,+乂)x2 + 1y 一 41解析P(0,4),設 Q(x, y)，那么 y = (x 工Q) k=* =】2 1 14x + 1= x 2 2 3> 3.三、解答題12. 過點P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線11 : 2x y 2 = 0與12 : x + y + 3 = 0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程.分析設點A(x , y)在l1上，那么點A關于點P的對稱點B(6 x, y)在12上，代入12的方程，聯(lián)立求得交點，從而求得直線方程.解析方法一 設點A(x , y)在l1上，x+ xB2 =3由題意知寧=0，點 B

9、(6 x， y),解方程組2x y 2 = 0+ 3= 01116y= 316門空0，k= 8.T 3二所求的直線方程為y = 8(x 3)，即8x y 24 = 0.方法二設所求的直線方程y = k(x 3),那么y = k x 32x y 2= 0，解得xA3k2k 2A 4kyA = k2y = k x 3 由x+y+3=0，解得xB =3k 3k + 16kyB = k+1T P(3,0)是線段AB的中點，4k 6k小yA + yB = 0,即 k2+ k+7= 0,二 k2 8k= 0,解得 k= 0 或 k=8.xA + xB2 k=0 舍去,又t當 k= 0 時，xA = 1,

10、xB = 3,此時所求的直線方程為y = 8(x 3),即 8x y 24= 0.方法三 設點A(x1 , y1)在11上，點B(x2 , y2)在12上，那么2x1 y1 2= 0x2 + y2+ 3= 0x1 + x2 = 6y1 + y2= 016，解得x1 =16 y1 = ex2 = 316y2=163可k = kAB = 7 11 = 8,3 T二所求的直線方程為8x y 24= 0.以u= i + mj為方向向量的13. i = (1,0), j = (0,1),經(jīng)過原點直線與經(jīng)過定點A(0,1)，以V = mij為方向向量的直線相交于點 P,其中m R,當點P變動時，試問是否存

11、在一個定點 Q,使得|PQ為定值？假設存在，求出Q的坐標，假設不存在，說明理由.解析u= i + mj = (1,0) + m(0,1)= (1, m), v= mi j = m(1,0) (0,1)= (m, 1),設 P(x, y),那么OP= (x, y), AP = (x, y 1).t OP/ u, AP / v,. mx y= 0, m(y 1)+ x = 0,消去m得x2 + y 2 2 = 1，即 x2 + y *2 = 丁，故存在一點1 1Q 0, 2，使得|PQ為定值2.14. 拋物線y2 = 4x的焦點為F,過F作兩條相互垂直的弦 AB、 CD,設弦AB、CD的中點分別為

12、M、N.求證：直線MN必過一定點.解析由題設知F(1,0),直線AB的斜率存在且不為零，設1AB : y =k(x 1)(k 工 0)代入 y2 = 4x,得 k2x2 2(k2 + 2)x + k2= 0,xA + xB k2 + 22k2 + 22得 xM = 2= k2，又皿=k(xM 1) = k，故 M( k2 ，R)-1 因為CD丄AB，所以kCD= k，同理可得N(2k2 + 1, 2k).k2 + 22所以直線 MN 的方程為(2k2 + 1k廠)(y + 2k) = ( 2k r)(x 2k21),整理得yk2 + (x 3)k y= 0,因為該方程對任意的k(k工0恒成立，

13、故y= 0x 3= 0,解得 x = 3, y = 0.y=0,故直線MN恒過定點(3,0).點評有些題目在解答時要引入?yún)?shù)，參數(shù)的個數(shù)可以是一個，也 可以是多個，根本的原那么是在便于解答問題的前提下， 參數(shù)的個數(shù)越 少越好.15. 有一個附近有進出水管的容器，每單位時間進出的水量是一定的， 設從某時刻開始10分鐘內只進水，不出水，在隨后的30分鐘內既進 水又出水，得到時間x(分)與水量y(升)之間的關系如下圖，假設 40 分鐘后只放水不進水，求y與x的函數(shù)關系.1fi加104In的抽鐘5卜分析此題是一個實際應用問題，綜合性較強，通過分析題意可知 是一個分段函數(shù)問題，每一段都是一次函數(shù)，即直線的方程.因此， 由直線的點斜式方程即可求出.解析當OWxv1C時，直線段過點0(0,0), A(10,20),所以 kOA2010=2,可得點斜式方程為y = 2x.當 10W XV40B寸，直線段過點 A(10,20), B(40,30)，所以 kAB = 40二和=扌，可得點斜式方程為y 20=£(x 10),即y = fx +譽當0W x<10或x>40時，由物理知識可知，直線的斜率就是相應注水或放水的速度.設注水的速度為V1，放水的速度為V2,在第段中， 是只注水，所以V1 = 2,在第段中，是既注水又放水的