高考數(shù)學(xué)重難點探究

1、難點直線方程及其應(yīng)用直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容.應(yīng)達(dá)到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個方面的應(yīng)用，屬教材新增內(nèi)容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學(xué)生比較棘手的.難點磁場()已知|a|1,|b|1,|c|1,求證：abc+2a+b+c.案例探究例1某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為(90180)鏡框中，畫的上

2、、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(ab).問學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？命題意圖：本題是一個非常實際的數(shù)學(xué)問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬級題目.知識依托：三角函數(shù)的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值.錯解分析：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值.如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復(fù)雜起來.技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函

3、數(shù)值.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x0),欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使ACB取得最大值.由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點坐標(biāo)分別為(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直線AC、BC的斜率分別為：kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB為銳角，且x0,則tanACB,當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時，等號成立，此時ACB取最大值，對應(yīng)的點為C(,0),因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳.例2預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但

4、椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用，本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)、準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解，屬級題目.知識依托：約束條件，目標(biāo)函數(shù)，可行域，最優(yōu)解.錯解分析：解題中應(yīng)當(dāng)注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時，應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整，直至滿足題設(shè).技巧與方法：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標(biāo)函數(shù)即為這兩個變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解.解：設(shè)桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由A點的坐標(biāo)為(，)

5、由B點的坐標(biāo)為(25，)所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區(qū)域(如右圖)由圖形直觀可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為(25，)，但注意到xN,yN*,故取y=37.故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.例3拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p0).一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x4y17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所

6、示)(1)設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明：y1y2=p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應(yīng)用.本題是一道與物理中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬級題目.知識依托：韋達(dá)定理，點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程.錯解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時.技巧與方法：點關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵.(1)證明：由拋

7、物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x) 由式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韋達(dá)定理，y1y2=p2.當(dāng)直線PQ的斜率角為90時，將x=代入拋物線方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=p2.(2)解：因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M(x,y)，則解得直線QN的方程為y=1,Q點的縱坐標(biāo)y2=1，由題設(shè)P點的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知：y1y2=p2,則4(1)=p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x.(3)解：將y=4代入y2

8、=4x,得x=4，故P點坐標(biāo)為(4，4)將y=1代入直線l的方程為2x4y17=0,得x=,故N點坐標(biāo)為(，1)由P、N兩點坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y12=0,設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1(x1,y1)又M1(,1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，1)與點M關(guān)于直線PN對稱.錦囊妙計1.對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關(guān)的問題等.2.對稱問題是直線方程的一個重要應(yīng)用，中學(xué)里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點或點關(guān)于直線的對稱.中點坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具.

9、3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用.線性規(guī)劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.4.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進(jìn)行，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()設(shè)M=，則M與N的大小關(guān)系為( )A.MNB.M=NC.MND.無法判斷2.()三邊均為整數(shù)且最大邊的長為11的三角形的個數(shù)為( )A.15B.30C.36D.以上都不對二、填空題3.()直線2xy4

10、=0上有一點P，它與兩定點A(4，1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點坐標(biāo)是_.4.()自點A(3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y24x4y+7=0相切，則光線l所在直線方程為_.5.()函數(shù)f()=的最大值為_，最小值為_.6.()設(shè)不等式2x1m(x21)對一切滿足|m|2的值均成立，則x的范圍為_.三、解答題7.()已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點.(1)證明：點C、D和原點O在同一直線上.(2)當(dāng)BC平行于x軸時，求點A的坐標(biāo).8.()設(shè)數(shù)列a

11、n的前n項和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常數(shù)且b0.(1)證明：an是等差數(shù)列.(2)證明：以(an,1)為坐標(biāo)的點Pn(n=1,2,)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程.(3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍.參考答案難點磁場證明：設(shè)線段的方程為y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中|b|1,|c|1,|x|1,且1b1.f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0線段y=(bc1)x+2bc(1x1)在x軸上方，這就是說，

12、當(dāng)|a|1,|b|1,|c|1時，恒有abc+2a+b+c.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：將問題轉(zhuǎn)化為比較A(1，1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，kABkAC,即MN.答案：A2.解析：設(shè)三角形的另外兩邊長為x,y,則點(x,y）應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)當(dāng)x=1時，y=11；當(dāng)x=2時，y=10,11；當(dāng)x=3時，y=9,10,11；當(dāng)x=4時，y=8,9,10,11;當(dāng)x=5時，y=7,8,9,10,11.以上共有15個，x,y對調(diào)又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9

13、），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個.答案：C二、3.解析：找A關(guān)于l的對稱點A，AB與直線l的交點即為所求的P點.答案：P(5，6）4.解析：光線l所在的直線與圓x2+y24x4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切.答案：3x+4y3=0或4x+3y+3=05.解析：f()=表示兩點(cos,sin)與(2,1)連線的斜率.答案： 06.解析：原不等式變?yōu)?x21)m+(12x)0,構(gòu)造線段f(m)=(x21)m+12x,2m2,則f(2)0,且f(2)0.答案：三、7.(1)證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，由題設(shè)知x11,x21,點A(x1,log8x1),B(x2,l

14、og8x2).因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1）、(x2,log2x2).由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,則由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直線上.(2)解：由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1x2=x13將其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)證明：由條件，得a1=S1=a,當(dāng)n2時，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b.因

15、此，當(dāng)n2時，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b.所以an是以a為首項，2b為公差的等差數(shù)列.(2)證明：b0,對于n2,有所有的點Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通過P1(a,a1)且以為斜率的直線上.此直線方程為y(a1)= (xa),即x2y+a2=0.(3)解：當(dāng)a=1,b=時，Pn的坐標(biāo)為(n,),使P1(1,0)、P2(2,)、P3(3,1)都落在圓C外的條件是由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍是(0，1)(1,)(4+,+).難點 軌跡方程的求法求曲線的軌跡

16、方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點.難點磁場()已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.案例探究例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點代入法”求曲

17、線的軌跡方程，屬級題目.知識依托：利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點的軌跡方程.錯解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2

18、+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.例2設(shè)點A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬級題目.知識依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.錯解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論.技巧與方

19、法：將動點的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,則有,得y12y22=16p2x1x2代入上式有y1y2=16p2代入，得代入，得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2、代入上式，得x2+y24px=0(x0)當(dāng)x1=x2時，ABx軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點.解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=

20、kx+b由OMAB，得k=由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=,消x,得ky24py+4pb=0所以y1y2=，由OAOB，得y1y2=x1x2所以=,b=4kp故y=kx+b=k(x4p),用k=代入，得x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點.例3某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？命題意圖：本題考查“定義

21、法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬級題目.知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點.錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，

22、r=故所求圓柱的直徑為cm.錦囊妙計求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.(2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點法 根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程.(4)參數(shù)法 若動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.殲滅難點訓(xùn)練一、選

23、擇題1.()已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線2.()設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( )A.B.C.D.二、填空題3.()ABC中，A為動點，B、C為定點，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_.4.()高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿

24、頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.三、解答題5.()已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.6.()雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.7.()已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程；(2)當(dāng)mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.8.()已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，

25、F1PF2的外角平分線為l，點F2關(guān)于l的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交l于點R.(1)當(dāng)P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)AOB的面積取得最大值時，求k的值.參考答案難點磁場解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點.則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0

26、.點M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓.殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為.答案：4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+100

27、=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標(biāo)系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點P(x0,y0)在雙曲

28、線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)設(shè)P點的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點坐標(biāo)為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為：y=A2Q的方程為：y=得：y2=又因點P在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)mn時，M的軌跡方程是橢圓.()當(dāng)mn時，焦點坐標(biāo)為(,0)，準(zhǔn)線方程為x=,離心率e=；()當(dāng)mn時，焦點坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=,離心率e=.8.解：(1)點F2關(guān)于l的對稱點為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|

29、PQ|=|PF2|又因為l為F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y0)(2)如右圖，SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB當(dāng)AOB=90時，SAOB最大值為a2.此時弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45，難點23 求圓錐曲線方程求指定的圓錐曲線的方程是

30、高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.難點磁場1.()雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_.2.()如圖，設(shè)圓P滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長比為31，在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程.案例探究例1某電廠冷卻

31、塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m. (1)建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程.(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m2,塔壁厚度不計，取3.14).命題意圖：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積.錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，積分求容積是

32、本題的重點.技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積.解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使AA在x軸上，AA的中點為坐標(biāo)原點O，CC與BB平行于x軸.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0),則a=AA=7又設(shè)B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2y1=20,由以上三式得：y1=12,y2=8,b=7故雙曲線方程為=1.(2)由雙曲線方程，得x2=y2+49設(shè)冷卻塔的容積為V(m3),則V=,經(jīng)計算，得V=4.25103(m3)答：冷卻塔的容積為4.25103m3.例2過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于

33、A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1

34、,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b

35、2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.例3如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬級題目.知識依托：定比分點坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及

36、點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程.錯解分析：利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出P1OP2的面積是學(xué)生感到困難的.技巧與方法：利用點P在曲線上和P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值.解：以O(shè)為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點P1(x1,x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點P分所成的比=2,得P點坐標(biāo)為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2

37、即x1x2=由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.錦囊妙計一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若OPOQ，則m等于( )A.3B.3C.1D.12.()中心在原點，焦點在坐標(biāo)為(0，5)的橢圓

38、被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3.()直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x24y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_.4.()已知圓過點P(4，2)、Q(1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_.三、解答題5.()已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6.()某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐

39、，求其中最長的支柱的長.7.()已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案難點磁場1.解析：設(shè)F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250

40、+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.答案：12.解法一：設(shè)所求圓的圓心為P(a,b），半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|圓P截y軸所得弦長為2，r2=a2+1又由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2a2=1又點P(a,b)到直線x2y=0的距離d=,因此，5d2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有,r2=2b2, r2=2于是所求圓的方程為：(x1）2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=

41、2解法二：設(shè)所求圓P的方程為(xa)2+(yb)2=r2(r0)設(shè)A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點，則y1、y2是方程a2+(yb)2=r2的兩根，y1，2=b由條件得|AB|=2，而|AB|=|y1y2|,得r2a2=1設(shè)點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點，則x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的兩個根，x1，2=a由條件得|CD|=r,又由|CD|=|x2x1|，得2b2=r2,故2b2=a2+1設(shè)圓心P(a,b)到直線x2y=0的距離為d=a2b=d,得a2=(2bd)2=4b24bd+5d2又a2=2b21,故有2b24bd+5d2+1=0.把上式

42、看作b的二次方程，方程有實根.=8(5d21)0,得5d21.dmin=,將其代入2b24bd+5d2+1=0,得2b24b+2=0,解得b=1.從而r2=2b2=2,a=1于是所求圓的方程為(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0.整理得5y220y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又P、Q在直線x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=

43、5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3.答案：A2.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3xy2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解.答案： =14.解析：設(shè)所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2則有由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,

44、|MF|min=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設(shè)橢圓方程為設(shè)過M1和M2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=.代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.6.解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(10，4）、(10，4）設(shè)拋物線方程為x2=

45、2py,將A點坐標(biāo)代入，得100=2p(4),解得p=12.5,于是拋物線方程為x2=25y.由題意知E點坐標(biāo)為(2，4)，E點橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=0.16,從而|EE|=(0.16)(4)=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米.7.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0.化簡得=1,故直線AB的方程為y=x+3,代入橢圓方程得3x212x+182b2=0.有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.難

46、點 直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.難點磁場()已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.案例探究例1如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l

47、的方程，并求AMN的最大面積.命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達(dá)定理法”.屬級題目.知識依托：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.錯解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.技巧與方法：涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡化運算.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(2m4

48、)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時取等號.故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.例2已知雙曲線C：2x2y2=2與點P(1，2)(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.命題意圖：第一問考查直線與雙

49、曲線交點個數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“差分法”，屬級題目.知識依托：二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標(biāo)公式.錯解分析：第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論.第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了.技巧與方法：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (

50、*)()當(dāng)2k2=0,即k=時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當(dāng)2k20,即k時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當(dāng)0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當(dāng)k=,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當(dāng)k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當(dāng)k時，l與C沒有交點.(2)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x

51、1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在.例3如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.命題意圖：本題考查直線、橢圓、等差

52、數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強，屬級題目.知識依托：橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯解分析：第三問在表達(dá)出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系.技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上