(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué)母題題源系列專題09空間幾何體的體積與表面積(含解析)

1、專題09空間幾何體的體積與表面積【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】如圖，長方體 ABCD A1B1C1D1的體積是120, E為CG的中點(diǎn),則三棱錐E-BCM體積是 【答案】10【解析】因?yàn)殚L方體 ABCD AB1C1D1的體積為120,所以AB BC CCi 120,1因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以CE CC1, 2由長方體的性質(zhì)知 CC1 底面ABCD,所以CE是三棱錐E BCD的底面BCD上的高， ,八 11所以三棱錐 E BCD的體積V AB BC CE 3 2【名師點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律11_ 1 -1AB BC -CC1120 10.3 2212.在幾何體面積或

2、體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“害與“補(bǔ)”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性 質(zhì)可得三棱錐的體積【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為【解析】由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長等于我，,、 一，,，一 ，1 2 4所以該多面體的體積為 2-12433【名師點(diǎn)睛】解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件 構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式 的幾

3、何體進(jìn)行解決.【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】如圖，在圓柱。1。2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線 均相切.記圓柱 O1Q的體積為M ,球O的體積為V2,則"的值是.V2【解析】設(shè)球半徑為r ,則V1r2 2rV24 r33若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略: 錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn) 換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.【命題意圖】了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，主要考查空間想象能力以及運(yùn)算求解能力【命題規(guī)律】立體幾何問題既是高考

4、的必考點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，主要以柱體、椎體、球、組合體為載體考查常見幾何體的體積或表面積公式，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.提高空間想象能力，熟記柱體、椎體和球體的體積公式是求解此類問題的關(guān)鍵【方法總結(jié)】(一)求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有：(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解.等體積法：一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或

5、等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和；如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積.因此，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法.(3

6、)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的 軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.(二)球的表面積和體積的求解策略：(1)確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.熟記球的表面積公式為 4欣2,體積公式為-r3 .3(2)與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.(3)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：d v R2

7、 r2 .(4)常見結(jié)論：若正方體的棱長為 a,則正方體的內(nèi)切球半徑是 1 a ；正方體的外接球半徑是 Y3 a；與正方體所有棱相切的球的半徑是巨a.2若長方體的長、寬、高分別為 a, b, h,則長方體的外接球半徑是 1 Ja2 b2 h2 . 2若正四面體的棱長為a,則正四面體的內(nèi)切球半徑是 Y6a；正四面體的外接球半徑是 Y6a；與正 亞四面體所有棱相切的球的半徑是a.4球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高.1.【江蘇省蘇州市 2019屆高三下學(xué)期階段測試數(shù)學(xué)試題】四棱錐P ABCD PA，底面AB

8、CD,底面ABCD是矩形，AB 2, AD 3, PA 志，點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐EPAB的體積為【解析】底面 ABC皿矩形，E在CD上,八 11 S>aabe AB AD 2 3 3.22. PAL底面 ABCD1.Ve-pab= Vp-abe S/ABE PA3【名師點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積計(jì)算，線面位置關(guān)系，熟記等體積轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基1礎(chǔ)題.由PAL平面 ABCDT彳導(dǎo)*-pab= V-abe -Saabe PA,求解即可.32 .【江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半， 一一2徑為3,圓心角為2冗的扇形

9、，則該圓錐的體積為32.2【答案】3，一 a ，2，【解析】因?yàn)檎归_圖是半徑為 3,圓心角為一冗的扇形，32所以圓錐的母線l 3,圓錐的底面的周長為一冗3 2%，因此圓錐底面的半徑r 1,3根據(jù)勾股定理，可知圓錐的高 h 。廠” 2H所以圓錐的體積為 1冗12 2.2 22 33【名師點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的體積問題，解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面展開圖與圓錐之間的關(guān)系.求解2時(shí)，通過展開圖是半徑為 3,圓心角為2冗的扇形，可以求出圓錐的母線、圓錐的底面周長及半徑，這3樣可以求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出圓錐的體積3 .【江蘇省徐州市 2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)圓

10、柱的軸截面為正方形，其側(cè)面積為S ,與該圓柱等底等高的圓錐的側(cè)面積為&,則三的值為S1【答案】_154【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r ,則高為2r,圓錐母線長為 Jr2 4r2 J5r，所以 S1 2 4 2r 4<2, S2冗 r l 冗 r J5r 752 ,所以3遮，故填空.S 44【名師點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r,則高為2r ,圓錐母線的長為.5r ,分別計(jì)算圓柱和圓錐的側(cè)面積可得它們的比值4 .【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面， 則此圓錐的體積為.【答

11、案】晅冗31 【解析】如圖，半圓的弧長為：- 2冗4 4冗，4九2式，即圓錐的底面半徑為：r 2,圓錐的高為：h 尸尸 2展,圓錐的體積為：V 1冗22 2，3 8833本題正確結(jié)果為8回冗.3【名師點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積、體積的相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由半圓弧長可求得圓錐的底面半徑，從而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式求得結(jié)果5.【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】某長方體的長、寬、高分別為2cm, 2cm, 4cm,則該長方體的體積與其外接球的體積之比為 .【答案】捉:3冗【解析】因?yàn)殚L方體的長、寬、高分別為2cm, 2cm , 4cm ,3所以長萬體的體積為 V長

12、方體 2 2 4=16（cm）,其外接球直徑為2R J222242 2 J6，故r J6，所以其外接球體積為 V球=4 tR3 8n Xcm3）, 3因此，該長方體的體積與其外接球的體積之比為16.68.6九3冗熟記體積公式即可，屬于?？碱}型.求解時(shí),【名師點(diǎn)睛】本題主要考查長方體的體積及其外接球的體積,根據(jù)題中條件，先求出長方體的體積，再由長方體的體對角線等于其外接球的直徑，求出外接球半徑, 得到外接球體積，即可求出體積之比.6.【江蘇省蘇州市2019屆高三5月高考信息卷數(shù)學(xué)試題】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（

13、如圖所示），則球的半徑是cm.【答案】44322【解析】設(shè)球半徑為r,則由3V球水=17柱可得3 可 4 8 r 6r ,解得r 4.3【思路點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積，考查學(xué)生空間想象能力，解答時(shí)，首先設(shè)出球的半徑，然后再利 用三個(gè)球的體積和水的體積之和等于柱體的體積，求解即可.7.【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級中學(xué)、南京外國語學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖,該幾何體由底面半徑相同的圓柱與圓錐兩部分組成，且圓柱的高與底面半徑相等.若圓柱與圓錐的側(cè)面 積相等，則圓錐與圓柱的高之比為 .【答案】3【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R則圓柱的高h(yuǎn)i = R,圓錐的母線長為 L,因?yàn)閳A

14、柱與圓錐的側(cè)面積相等，1所以2tR R 2 2tiR L,解得：L=2R所以圓錐的高為h2 = J3 R,所以圓錐與圓柱的高之比為 -1R ,3.R故答案為：,3.【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓柱與圓錐側(cè)面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為 R圓錐的母線長為L,由圓柱與圓錐側(cè)面積相等得 L=2R,進(jìn)而得圓車B的高為 J3R,即可求出結(jié)果.2,側(cè)棱與底8 .【江蘇省南通市 2019屆高三下學(xué)期4月階段測試數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長為面所成的角為60。，則該棱錐的體積為 .【答案】2-33【解析】由題意可知： PAO 60°, PA 2,PO PAsin60o J3

15、, AO PA cos60 0 1,AB上二工 cos451VSyabcd PO3本題正確結(jié)果為立3.3【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是利用側(cè)棱與底面的夾角，求得幾何體的高和底面邊長，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)側(cè)棱長和側(cè)棱與底面夾角求得高和底面邊長，利用體積公式求得結(jié)果9.【江蘇省七市（南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港）2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知直角梯形 ABC珅，AB/CDAEJ± BCAB=3 cm,BC=1cm,CI=2 cm.將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為 cm3.【答案】7/3【解析】依據(jù)題意，作出如下直角

16、梯形：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和.其中圓柱的底面半徑為 BC=1,高為CD=2 ,圓錐的半徑為 DE BC=1 ,高為AE = 1.11177由此可知：V V圓柱 V圓錐冗12 2 冗12 1 .33故答案為：?.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間思維能力，還考查了錐體體積公式及圓柱體積公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由題可得：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和，由錐體體積公式及圓柱體積公式計(jì)算得解10.【江蘇省七市2019屆（南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云

17、港）高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)P, AB,C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PAPBPC兩兩垂直，且 PA 2 m, PB 3 m,PC 4 m,則球O的表面積為 m2.【答案】29幾【解析】: P, A, B, C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA PB PC兩兩垂直，則球的直徑等于以 PA PB PC長為棱長的長方體的體對角線長 ., PA 2 m, PB 3 m, PC 4 m,2Rt=、4 9 16,29 ,則球O的表面積S= 4 Tt R2=29兀,故答案為29 7t.【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，及球的內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造長方體，計(jì)算出球O的半徑，是解答本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

18、題.11 .【江蘇省如皋中學(xué)2018-2019學(xué)年高三第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題】如圖，三棱錐A BCD中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且2AF FD ,若三棱錐 A BEF的體積是2,則四棱錐B ECDF的體積為【答案】10【解析】設(shè)zABF的面積為S , 2AF FD , ABD 的面積為 3S .設(shè)點(diǎn)E到平面ABD的距離為d ,則點(diǎn)C到平面ABD的距離為2d ,一一 .1 一 一用有 VA BEF VE ABF - Sd 2 , 3、，1 ， ,'VA BCD VC ABD =(3S) (2d ) 12 , 3四棱錐B ECDF的體積為VC ABD VE ABF 12 2 10 .

19、故答案為：10.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查錐體體積的求法和轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用，同時(shí)也考查計(jì)算能力，屬于中檔題.解答本題的關(guān)鍵是由題意得到三棱錐A BEF與三棱錐C ABD的體積比，進(jìn)而得到三棱錐C ABD的體積，利用兩個(gè)三棱錐的體積之差可得四棱錐B ECDF的體積.12.【江蘇省南通市基地學(xué)校 2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知正四棱柱ABCD ABC1D1中，AB=3,一BP 1AA=2, P, M分別為BD, BC1上的點(diǎn).若一，則三棱錐 M PBC勺體積為 PD12【答案】1【解析】由題意可知原圖如下：11SzXMBC 2 s四邊形 BC1cBi 2 3 23,BP 1 BP 1又,即,

20、PD12D1B 31r一1-1P到面MBC的距離h等于D1到面MBC的距離，即h D1cl -31,333、，、，1c1° 一VMPBC VPMBC Sa MBCh_3 11 .33本題正確結(jié)果為1.【名師點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解，關(guān)鍵在于能夠通過體積橋的方式將原三棱錐進(jìn)行體積變換,找到易求解的底面積和高.三棱錐M PBC體積與三棱錐 P MBC的體積一樣， M為B1C1上動(dòng)點(diǎn),1可知4MBC面積為側(cè)面BCCiBi面積的一半；P到面MBC的距離等于Di到面MBC的距離的，3由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得體積.13 .【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題】如圖，已

21、知正方體ABCD AB1cR 的棱長為1,點(diǎn)P為棱AA上任意一點(diǎn)，則四棱錐 P BDD1B1的體積為 3【解析】連接 AC BD于O點(diǎn)，則有AO 平面BDD1B1 ,所以AO的長等于點(diǎn)P到平面BDDB的距離，即高h(yuǎn) AO又矩形BDD1B1的面積為S J2；所以四棱錐PBDD1B1的體積為V=3【名師點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件證明出AO 平面BDD1B1,進(jìn)而求出AO就是點(diǎn)P到平面BDD1B1的距離，這是本題解答的關(guān)鍵點(diǎn)，此類問題基本解題方法就是先求出高，然后再根據(jù)體積公 式求出體積.14 .【鹽城市2019屆高三年級第一學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，四棱錐 P ABCD的底面ABCD是 矩形，PA 底面ABCD, E為PD上一點(diǎn)，且PE 2ED