(word完整版)第08講非負(fù)數(shù)-初二奧數(shù)教材

1、第八講非負(fù)數(shù)所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù).非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處.常 見的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次幕、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和算術(shù)根.1 .實(shí)數(shù)的偶次幕是非負(fù)數(shù)若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n>0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有a2 >0.2 .實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)若a是實(shí)數(shù)，則L當(dāng)時(shí)；I a I 當(dāng)a = 0時(shí)壬 a,當(dāng)3<0時(shí).性質(zhì) 絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零.'3 . 一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)性質(zhì)疆實(shí)效1則，亞=I al4 .非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù).(2)有限個(gè)非 負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若a?,an為非負(fù)數(shù),則ai+a?+ an&

2、gt;0.(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若a,a2, a為非負(fù)數(shù)，且 a+a=0,則必有ai=a2 = = an=0.在利用非負(fù)數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用的最多.(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù).(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒有最大的非負(fù)數(shù).(6) 一元二次方程ax2 + bx+ c=0(a*0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式 =b2-4ac為非負(fù)數(shù).應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決.例1己知I aT I斫1 = 8求絲?的值.解 因?yàn)镮3-3 1 , 衍7

3、均為非負(fù)數(shù)，且其和為零，所以有 ! a-3 I = 0 且 Jb +2 0.解得a=3, b=-2.代入代數(shù)式得”b3kL2)5例2 化簡(jiǎn)；I I 20 t J-(20-向 I +20 L解 因?yàn)?20x-3)2為非負(fù)數(shù)，所以-(20x -3)2<0.又因?yàn)镴-(2(加-保有意義,所以-(20x -3)2>0.由，可得：-(20x-3) 2=0,所以原式= | 20±0 | +20 | =40.說明 本題解法中應(yīng)用了 “若a0且a&0,則a=0"，這是個(gè)很有用 的性質(zhì), xy = -r +- 1 + 71 -4k,求一的值.例3已知x, y為實(shí)數(shù)，且，解

4、 因?yàn)閤, y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有4x -10,* 1 -4 區(qū)30.所以苗-1=: 所以kg 從而¥ =,因此三43 V 4例4已知/斗/ 4 -2b+5=0,求代數(shù)式 尸 的值.J比-2而解因?yàn)?a2+b2-4a-2b+5=0,所以a2-4a+4+t2-2b+1=0,即(a -2)2+(b-1)2=0.(a-2)2=0,且(b -1)2=0.所以a=2, b=1.所以修十b 也十l應(yīng)十1J3b-J3-2V2 42-2至 7應(yīng)+1J2+1=3 + 272,例5已知x, y為實(shí)數(shù)，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時(shí)的x, y的值.解 u=

5、5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y) 2+2.因?yàn)閤, y為實(shí)數(shù)，所以(x-y+1)2>0, (2x-y)2>0,所以 u>2.所以當(dāng)fx - y + 1 = 0T2耳-y -0時(shí)，u有最小值2,此時(shí)x=1, y=2.例6確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).解將原方程化為a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0,即(ax -1) 2+x2+a2+3=0.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,均有(ax-1)2>0, x2>0, a2>0, 3>0,

6、所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于 0,(a 2+1)x 2-2ax+(a 2+4)=0 無實(shí)根.例7求方程41+2xy十/-y+4 = 4版匚/的實(shí)數(shù)根分析 本題是已知一個(gè)方程，但要求出兩個(gè)未知數(shù)的值，而要確定兩 個(gè)未知數(shù)的值，一般需要兩個(gè)方程.因此，要將已知方程變形，看能否出 現(xiàn)新的形式，以利于解題.解方程+2號(hào)-y + 4 = 4j3s? -y可變形為 n2 + 23ty + y" 4 3 -y -4,3宣“丫 + 4 =G-y) 2+ C"3- -y -2)3 -0.因?yàn)樽羰?，Ch解之得經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的解.說明 應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則

7、這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都 為零”，可將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等式，從而增加了求解的條件.例8已知方程組求實(shí)數(shù)Xi, X2,，Xn的值.解顯然，Xl=X2=Xn = 0是方程組的解.由已知方程組可知，在X1, X2,Xn中，只要有一個(gè)值為零，則必 有Xl=X2=Xn=0.所以當(dāng)XiWO, X2W0,，XnW0時(shí)，將原方程組化為將上面n個(gè)方程相加得又因?yàn)閄i為實(shí)數(shù)，所以(-1)Ci = h 2,所以(2-12 = 0. / = 1。= 1， 2,.n).經(jīng)檢驗(yàn)，原方程組的解為F罡1=。，工1 = 1,司=也粹3 = 1,4或T , ! ! ,a=S h = i.例9求滿足方程| a-b | +ab=1的非負(fù)整數(shù)

8、a, b的值.解由于a, b為非負(fù)整數(shù)，所以例10當(dāng)a, b為何值時(shí)，方程x2+2(1+a)x+3a 2+4ab+4t)+2=0 有實(shí)數(shù)根？解 因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以學(xué)0,即- =4(1+a) 2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4- 12a2- 16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4>0,所以2a2-4ab-4b2+2a-1 >0,- a2+2a-1-a2-4ab-4b2>0,- (a-1)2-(a+2b) 2>0.因?yàn)?a-1)2>0, (a+2b)2>0,所以a -1 = 0,a + 2b = 0.解之得a=lb

9、 =.所次= h b = -；時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.例11已知實(shí)數(shù)a, b, c, r, p滿足pr > 1, pc-2b+ra=0,求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實(shí)數(shù)根.證由已知得2b=pc+ra,所以 =(2b) 2-4ac=(pc+ra) 2-4acJ=p2c2+2pcra+r 2a2-4ac=p2c2-2pcra+r 2a2+4pcra-4ac=(pc-ra) 2+4ac(pr-1).由已知 pr-1 >0,又(pc-ra) 20,所以當(dāng) ac >0時(shí)，zX>。；當(dāng)ac<0時(shí)，也有 =(2b)2-4ao0.綜上，總有學(xué)0, 故原方程必有實(shí)數(shù)根.例

10、12對(duì)任意實(shí)數(shù)x,比較3x2+2x-1與x2+5x-3的大小.解用比差法.(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3) >0,所以 3x2+2x-1>x2+5x-3.說明 比差法是比較兩個(gè)代數(shù)式值的大小的常用方法，除此之外，為 判定差是大于零還是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效 地利用了這兩個(gè)方法，使問題得到解決.例13已知a, b, c為實(shí)數(shù)，設(shè)A+ B =b2 - 2c + , C = c2 -2a + .236證明：A, B, C中至少有一個(gè)值大于零.證由題設(shè)有A+B+C=-9 .3每士舞 +236=(a2

11、-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)+ 兀-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(兀-3).因?yàn)?a-1)2>0, (b-1)2>0, (c-1)2>0,冗-3>0,所以 A+B+C0.若 A00, B<0, C<0,則 A+B+俁 0 與 A+B+60 不符，所以 A, B, C 中至少有一個(gè)大于零.例14已知a>0, b>0,求證：，(9+ J (a+b)且代 中匕質(zhì).2 a分析與證明對(duì)要求證的不等式兩邊分別因式分解有(a + bXa + b/* 雷).士r/由不等式的性質(zhì)知道，只須證明5(34垃).廟,a 1+

12、 b + .因?yàn)閍>0, b>0,所以a + b - 2Tab = (Ja - Vb)1(X 所以 g (a + b)又因?yàn)? 廠 a + b-i ja - -Vb所以 d + b +石+ VE.所以原不等式成立.例15四邊形四條邊長(zhǎng)分別為a, b, c, d,它們滿足等式 a4+b4+c4+d=4abcd,試判斷四邊形的形狀.解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,所以(a4-2a2b2+b4)+(c 2-2c2d2+d4)+(2a 2b2-4abcd+2c2d2)=0 ,即(a 2-b2)2+(c2-d2) 2+2(ab-cd) 2=0.因?yàn)閍, b, c, d都是實(shí)數(shù)，所以(a2-b2)2>0, (c2-d2)2>0, (ab-cd)2>0,所以卜"b，卜= Ojah r cd = 0 ,由于a, b, c, d都為正數(shù)，所以，解，有a=b=c=d故此四邊形為菱形.練習(xí)八1 .求x, y的值：(1) I jc-2y I + J2瓦-3y -1 = 0；(HI -2)JyYy” : 0.2 .混實(shí)數(shù)，求多項(xiàng)式白中玄琮取得最小值時(shí)的真的