2021中考數(shù)學(xué)_最值問(wèn)題100題(教師版)

1、2021中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題1001.如圖3.1所示，在Rs."C中，44=30。，=4,點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊KC上的動(dòng)點(diǎn)，則尸8+尸Z）的最 小值為（）A.小 B. 2& A. 2。 A. 4/91.解 延長(zhǎng)8C至點(diǎn)8 ,使3c = 5C,連接4P、5 A,如圖4.1所示，：.AC 垂直平分 BB , ： BA = BA，1 C 平分 /BAB.V ZCAB = 3OC,，NB A8 = 60°,； MBB 為等邊三角形.丁點(diǎn)尸為上一點(diǎn)，： PB = PB , ： PB + PD = PB +PDNBD,當(dāng)且僅當(dāng)8、尸、。在同一直線上時(shí)，如圖4.2所示，心+尸。取

2、得最小值.在 R/A405中，AO = 1a8 = 2, ZB AB = 60°,BD = AD tan 60° = J3AD = 25/3 ,2故答案是C.思路點(diǎn)撥：這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問(wèn)題，利用對(duì)稱法將動(dòng)線段構(gòu)造至動(dòng)點(diǎn)P所在直線的兩側(cè)；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線 段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.拓展 若點(diǎn)。為邊.空上任意一定點(diǎn)，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60。特殊角計(jì)算8。的長(zhǎng)度；若點(diǎn)。是邊,43上 的一動(dòng)點(diǎn)，則3。將變?yōu)橐粭l動(dòng)線段，利用“垂線段最短”可確定最值位置還是在中點(diǎn)處.2 .如圖3.2所示，在矩形.138中，48=5,.43,動(dòng)點(diǎn)尸滿足:加

3、=卜.心鳥(niǎo)，則點(diǎn)尸到."兩點(diǎn)距離之和E妊尸8 的最小值為.3 .解令點(diǎn)尸至的距離為d丁 Sx%8 =§S班開(kāi)維e = qx3x5=5=2 4 5 , /. d = 2, 點(diǎn)尸為到48距離為2的直線、4上的點(diǎn).直線4、4關(guān)于結(jié)對(duì)稱，因此選其甫一條進(jìn)行計(jì)算.作點(diǎn)3關(guān)于直線4的對(duì)稱點(diǎn)8,連接AC、BP、AB如圖4.3所示,： PA + PB = PA + PB NAB ,當(dāng)且僅當(dāng)d、P、3三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，如圖4.4所示.在R/AA陽(yáng)中，A3 = 5, BB =2d=4.：.AB =AB2 +BB2 =6 +4?=而， 故以+總的最小值是4T.圖43圖4.4思路點(diǎn)撥：這是典型

4、的“將軍飲馬”型線段和最值問(wèn)題.根據(jù)題目中中給出的而積關(guān)系，可判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為宜線（或稱為 “隱線”）：利用釉對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)3,，再運(yùn)用線段公理獲得不等式：根據(jù)勾股定理計(jì)算最值A(chǔ)4'.4 .如圖3.3所示，在矩形43C。中，切=3,點(diǎn)、E為邊AB上一點(diǎn)、，AE=1,平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)尸滿足5皿=手中吆，則 DP EP|的最大值為.CE圖3.33 .解令點(diǎn)尸至L/的距離為a: SAB = §S矩物se > :, d =2 '點(diǎn)產(chǎn)在到,43距離為2的直線，上，如圖4.5所示.作點(diǎn)E關(guān)于直線4的對(duì)稱點(diǎn)E，連接£力并延長(zhǎng)交直線乙于點(diǎn)尸，連接EP,如圖4.6

5、所示, ： EP = EP.當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上時(shí)，DP EP = DP E P<E D.當(dāng)且僅當(dāng)。、£'、尸三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值+12 =啦.當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上時(shí)，|。尸-七尸|«石。，當(dāng)且僅當(dāng)E、尸三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，如圖4.7所示.在義AIDE中，AD = 3, A£ = l,DE =百 +:=聞, A DP - EP| < ED = V10 ,，當(dāng)點(diǎn)尸為DE的延長(zhǎng)線與直線12的交點(diǎn)時(shí)有最大值 M.思路點(diǎn)撥：解法向題2,需要找出滿足條件的點(diǎn)尸所在的“隱線”，這里兩條直線均要考慮(因?yàn)閳D形不對(duì)稱).由于兩邊之差小 于第三邊，在共線時(shí)取得最大值，

6、故遵循“同側(cè)點(diǎn)直接延長(zhǎng)，異側(cè)點(diǎn)需對(duì)稱后再延長(zhǎng)”的規(guī)律，分別計(jì)算最大值并進(jìn) 行大小比較.特別說(shuō)明筆者認(rèn)為這里的最大值只能取一個(gè)值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的“隱線”，畢竟題中敘述 點(diǎn)尸時(shí)用的是“平面內(nèi)”，而非“矩形內(nèi)二4 .已知y =一 2x + 2 + JF +2x + 2 ,則y的最小值為.5 .解 原式;=(x-1)" +(0-1)' + yl(X +1)* + 0 - (-1).建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,0),5(-1,-1),貝k/在X軸的兩側(cè)，% =+(0-1)2 ,夕8 =小 + 1+0_(_1)了,A y = J(x_lf +(0T)2 + J(

7、x + 1)2 +0_(T)于=PA + PB 之 AB,當(dāng),4、P、8三點(diǎn)共線時(shí)，y值最小,ymln = AB = 272 .思路點(diǎn)撥：若將式子看作函數(shù)，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)解題難度較大.若換個(gè)角度，將每一個(gè)根式都看作是兩點(diǎn)間的距離(距離公式是 平而直角坐標(biāo)系中的勾股定理)，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何最值模型兩點(diǎn)之間線段最短.6 .已知 y =3> +9 «x -1)2 +4 ,則 y 的最大值為.7 .解 原式二J(x-3)2 +(0_3/-/if +(0-2)2建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,0), A(3,3), 8(1,2),A PA = (x-3)2 +(0-3f , P

8、B =- if +(0_2',A)，=+(0_3/+(0-2)2 = PA-PBS AB ,當(dāng),4、尸、8三點(diǎn)共線，即點(diǎn)尸在45延長(zhǎng)線上時(shí)y值最大，I. %ax =A8 = 7T思路點(diǎn)撥：閱讀題目時(shí)需觀察清楚或"一”，切不可盲目下筆.本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同.將代數(shù)式轉(zhuǎn) 化為平面直角坐標(biāo)系中的兩條線段的差；利用三邊關(guān)系中的兩邊之差小于第三邊，共線時(shí)取等找到最大值.8 .如圖3.4所示，在等腰RtzUBC中，ZBAC=90°, AB=AC. BC=4日 點(diǎn)。是邊乂3上一動(dòng)點(diǎn)，連接CQ,以 .1D為直徑的圓交CD于點(diǎn)£則線段BE長(zhǎng)度的最小值

9、為.解：連接HE,取乂。得中點(diǎn)產(chǎn)，連接石產(chǎn)，如圖4.8所示 二4。是圓的直徑，ZAED=900：.ZJEC= 90°：.EF=-AC=22點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)下為圓心的圓弧(圓的定義)：.BE>BF-EF當(dāng)且僅當(dāng)8、E、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，如圖4.9所示 在 RtdABF 中，dF*=2, 43=4：.BF= JafTaB = JR/ =2 y/5 , ，（3% =BF-EF=2 卡-2思路點(diǎn)撥閱讀題目時(shí)要找到三條關(guān)鍵信息：點(diǎn)E為圓周上一點(diǎn)，,如所對(duì)的圓周角是90。，/。石。是平角，連接4E后就 找到了定弦定角（或斜邊上的中線），若一個(gè)角的度數(shù)和其所對(duì)的一條線段均為定值，則這個(gè)角

10、的頂點(diǎn)的軌跡為圓 （根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側(cè)）.因此判斷出點(diǎn)E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)范圍）.根 據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知3、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)BE取得最小值.7.如圖3.5所示，正方形.138的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是邊鋁上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過(guò)點(diǎn)8作5GLCE于點(diǎn)G,點(diǎn)尸 時(shí)邊,48上另一動(dòng)點(diǎn)，則尸D+PG的最小值為.解：取得中點(diǎn)尸，連接GF,作點(diǎn)。關(guān)于,45的對(duì)稱點(diǎn)。，連接。F、DA,如圖4.10所示.：.DP=DfP,/BGC=90。，點(diǎn)F為8c的中點(diǎn)：.GF=-BC=2 2 PD+PG =PD'+PGRG又 D'G+GFD'F：.PD +PG+GF

11、>jDfF- GF如圖4. 11所示，當(dāng)且僅當(dāng)O'、P、G、尸四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.根據(jù)勾股定理得D1F= 斤W =2岳：.PD+PG的最小值為2 JT5 2思路點(diǎn)撥不難發(fā)現(xiàn)N8GC=90。是個(gè)定角，因此點(diǎn)G的軌跡為以3C為直徑的圓（部分），可以通過(guò)斜邊上的中線構(gòu)造長(zhǎng) 度不變的動(dòng)線段，再利用三邊關(guān)系求解.8.如圖3.6所示，在矩形中，乂3=2, JZ>=3,點(diǎn)E、F分別為邊。上的點(diǎn)，且EF=2,點(diǎn)、G為EF 的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊8。上一動(dòng)點(diǎn)，貝ijRt+PG的最小值為.AED解：作點(diǎn)4關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)W,連接尸、DG,如圖4.12所示 ：.PAf=PA：.PA+PG=PAf+P

12、GV ZADC=90 EF=2：.DG=EF=2yPAPG+DGD:.Pf+PGID-DG如圖4. 13所示，當(dāng)且僅當(dāng)、尸、G、。四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立根據(jù)勾股定理得 'D= y/AAf2+AD2 = 42ABy + 心=5，E4+PG的最小值為4思路點(diǎn)撥與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段 成始終不變，線段"所對(duì)的角為直角， 因此斜邊上的中線。G始終不變，從而判斷出點(diǎn)G的軌跡圖形為圓.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段和最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最小值問(wèn)題，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值求解.9.在平面直角坐標(biāo)系中，4（3, 0）, BQ 2）, C（0,

13、，項(xiàng),0）,且加+川=4,若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則H3+3E 的最小值為（）A. 3B. 4C. 5D. 25解：VC（0,機(jī)），。（”，0）,m2+“2=4,：.CD2=4.：.CD=2在RmC。中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，OE=1,即點(diǎn)E在以。為圓心，1為半徑的圓上.作圖4.14,連接。區(qū) 過(guò)點(diǎn)乂作直線尸2的對(duì)稱點(diǎn)/，連接力夙。，（3, 4）:AB+BE=B+BE=4B+BE+EOEglO-EO如圖4.15所示，當(dāng)且僅當(dāng)4、B、E、。四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)勾股定理得$。=釬 =5"4B+3E的最小值為4AvA'AvA'思路點(diǎn)撥根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式/+2=CD2,得到C

14、D的長(zhǎng)度；由己知條件判斷出。石為斜邊上的中線，0石=，8 2(定值)；根據(jù)圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、；CD為半徑的圓：利用對(duì)稱的性質(zhì)將線段和的最值 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值問(wèn)題.10.如圖3.7所示，13=3, 乂。=2,以8C為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD,則.10的取值范圍為解:以,45為邊向上作等邊連接。E,如圖4.16所示:AB=BE, CB=BD, /ABC= /EBD=60°- /CBE在和E3Q中AB = BE,< NABE = NEBD.CB = BD.：41BCdEBD(SAS)：.DE=AC=2點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)石為圓心，2為半徑

15、的圓.：.AE-ED<1D<1E+ED如圖4.如和圖4.1三3518所示，當(dāng)且僅當(dāng)乂、E、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值思路點(diǎn)撥這樣理解.43=3, ,4C=2這個(gè)條件：固定一邊NCAB可以自由變化，因此點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)乂為圓心、 2為半徑的圓.通過(guò)構(gòu)造全等圖形找出點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡.利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來(lái)解決問(wèn)題.拓展本題的解法較多，對(duì)于“定點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)”的最值問(wèn)題，探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形時(shí)直接的方法.11.如圖3.8所示，乂8=3, HC=2,以8c為腰（點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)）向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD貝hm的取值范 國(guó)為:圖3.8解答：以一鋁為腰做等腰直角及"E （乙48丘90。）

16、，連接。七，如圖4.19所示,圖4.19:AEn&B=30, NABC=/EBD=90° NCBE,在aABC和aEBD中AB = BE/.ABC =乙 EBDCB = BD:ABgAEBD （SAS）：.ED=AC=2，點(diǎn)。的軌跡為以點(diǎn)石為圓心、2為半徑的圓：.AE - EDLD mE+ED如圖4.20和圖4.21所示，當(dāng)且僅當(dāng)A,如。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值,，3四一2三33后+2思路克援：鐳咫方讓基本同e延，也聶通過(guò)拘造全等的找出點(diǎn)。的也動(dòng)就達(dá)e, 1利用®外一點(diǎn)初回閶e的距您12.如圖 3.9 所示，AB=4, 4C=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,

17、則AD的取值范圍為D圖3.9解答:圖 4.22以空為底邊構(gòu)造等腰直角aAEB （NAE8=90。），連接。E,如圖4.22所示,:AeEaB=2®, NEBA=NCBD=45。2 處=里=近】EB DB乙ABC =乙EBD = 45° 一（CBE:./XABCsLEBD：.DE=AC=y/2.點(diǎn)。的軌跡為以點(diǎn)E為圓心、V2為半徑的圓AE-EDSADSAE+ED如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值圖4.23圖4.24：.y/2<.lD<3y/2思路立握：與前而高通彳的蠱，由孑旄菇中2彳自是冢建三6超預(yù)保的頂點(diǎn)，0此構(gòu)造全等號(hào)的武成倍道代似例

18、 的，而撥出點(diǎn)。的已動(dòng)氣也，爰后根漏外一點(diǎn)卻閭R的距憊是心條解決向咫13.如圖3.10所示,A8=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P,使AD=PD, 則PB的取值范圍為，圖3.10解答：以,鋁為底邊構(gòu)造等腰直角“反（44七8二90。），連接。E,如圖4.25所示,圖4.25，J£=£43=2技 NEBA=NCBD=45° 2些="=夜 /JEB DB ABC =乙EBD = 45° CBE b:AABCsAEBD：.DEAC=y/2 .點(diǎn)。的軌跡為以點(diǎn)E為圓心、V2為半徑的圓延長(zhǎng)AE至點(diǎn)Q，使A丘EQ

19、,連接PQ、BQ, 9：AD=DP.，OQ=2DE=2萬(wàn)如圖423和圖424所示，當(dāng)A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值 BE 垂直平分 MQ, ：.AB=BQV ZQAB=45% ABQ為等腰直角三角形，,BQ=AB=4 .-.5Q-PQ<P5<5Q+PQ如圖4.26和圖4.27所示,當(dāng)8、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值：.4-2y/2<PB<A+2>/2思路點(diǎn)就：注意打點(diǎn)尸的產(chǎn)生與中點(diǎn)有關(guān)，點(diǎn)p的隹動(dòng)5點(diǎn)2r摑解“左一起，斂可通國(guó)構(gòu)造中色在束赳斷點(diǎn)尸的這 動(dòng)九邊，a利用弱外一點(diǎn)到尚e的距條是3家解貨同咫14.如圖3.11所示，正六邊形A8C£花尸的邊長(zhǎng)為2,兩頂點(diǎn)

20、A、8分別在x軸和v軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)。到坐標(biāo)原點(diǎn) O的距離的最大值和最小值的乘積為:解答：取.43的中點(diǎn)G,連接。G、0G,如圖4.28所示,1ky圖4.28,:乙408= ZxOj=90°, :. 0G= ：AB= 1,連接。8、ODOC5為等腰三角形VZC=120%，NOBC=30。，DB=WDC=26,AZDBA=120°-30°=90°在 RSDGB, GB=1, ：.DG=yjDB2 + GB2 = J(2於)? + M =后:.DG - OG<OD<OG+DG當(dāng)且僅當(dāng)O、G、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值D、G在點(diǎn)O同側(cè)時(shí)取得最大值，在點(diǎn)O

21、異側(cè)時(shí)取最小值，如圖4.29所示,圖4.29.V13-1<OD<V13 + 1.0。的最大值和最小值乘積為(VH -1)(713 + 1)=12號(hào)路正加：過(guò)個(gè)連“端價(jià)”型向跳，寵例孑秘孑夫陳a黑動(dòng)，將他/求為平面金扇生標(biāo)多，過(guò)樣轉(zhuǎn)動(dòng)的星荏步大型 黃方面；利用“繕”盧隹的金自，以己也彳求的繾點(diǎn)，行出043的中點(diǎn)G,利用劍己上的中俵0G初臺(tái)翌囪定 的苻聲.。、G案他遭芮除大J彳衣、C2正我化的凄0.OG、DG,利用司經(jīng)之“與鬲已之去莊到0。的是£魚(yú)“星J 俗；另糜再：利用彳£對(duì)迨動(dòng)的知物，或的偎襤2六邊彩足彳爽的，生杼疑可以俁卷2六已超逵動(dòng)；利用/乂03=90

22、76;, AB=29月所出點(diǎn)0的心動(dòng)凱選為一個(gè)，k04.30所3,02圖4.30利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距憊轉(zhuǎn).便解居OD的量之住加是J保；崔老可以行封"彩門15.如圖3.12所示，A8=4,點(diǎn)O為A3的中點(diǎn)，0O的半徑為1,點(diǎn)P是。O上一動(dòng)點(diǎn)，aPBC是以PB為直角邊 的等腰直角三角形（點(diǎn)P、B、。按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則AC的取值范圍為：圖 3.12解答：如圖4.31所示，以08為腰向上構(gòu)造等腰直角O8Q,連接OP、CQ、AQ：在等腰直角小股和等腰直角產(chǎn)。中，胎=需=技 ZQBO=45°, :./CBQ=45。- /QBP=NPBO, AACBQAPBO點(diǎn)C在以點(diǎn)Q為圓心，

23、心為半徑的圓上, ZOQ=O5=OJ=2, ZQOB=90° AQ=4AQ? + OQ2=2 y/2 AQ-QC<AC<AQ+QC如圖4.32和圖4.33所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、。、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值,圖4.32圖4.33:迎S yj2恩路立旗：出孑aPBC強(qiáng)優(yōu)定，苻個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸、Ca點(diǎn)3的距需之吮能點(diǎn)彳或，過(guò)是地技望型的色似簇酢，出可理 鐳巧立尸、C鬼辨''族超；族據(jù)通程中，點(diǎn)。的就妝多點(diǎn)尸的凱超依似，相例吮為痣：1；利用汽似族出動(dòng)點(diǎn)C %也的® p, AC的貴俗印定立M知定固上一動(dòng)點(diǎn)的距密的錠.住16.如圖3.13所示，0O的半徑為3, RtzUBC

24、的頂點(diǎn)乂、3在。上，Z5=90%點(diǎn)C在。內(nèi)，且tanJ=2 .當(dāng)點(diǎn)4A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0C的最小值為（）答案：連接。3,過(guò)點(diǎn)B向下作8DJ_O8, KlBD=ioB,連接JD,如圖4.34所示.V NCBA = NOBD=90。, ：. ZO5C=90°-ZOBA=ZDBA.££ = ££ = 3, :aocbssab,，空=3. AB BD 4AD 44D>OD-OA = >1OB- + BD2 -OA=2,當(dāng)且僅當(dāng)。、.4、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值， 333A0C=-.W>-x2=_.圖 4.34思路點(diǎn)撥艮是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)問(wèn)

25、題，我們利用相似的性質(zhì)將OC的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為XQ的最值問(wèn)題.通過(guò)旋轉(zhuǎn)型相似構(gòu)造RsOBD,其中/。8。=90。. /ODB=/CAB,因此點(diǎn)。為定點(diǎn).另外，由OCBsaEUB得到OC和之間 的固定比例，從而可利用-W的最值求解。的最值一m的最值即為圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值.另辟蹊徑根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90。，找到直徑乂。，而/乂8=180。一/,4。8為定值，因此由定弦定角得出 點(diǎn)C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖435所示計(jì)算OC的最小值.圖 4.3517 .如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，。(3, 4),點(diǎn)P是以。為圓心、2為半徑的。上一動(dòng)點(diǎn)，乂(1, 0), B(- b 0)，連接刈

26、、尸"則用2+尸爐的最小值是答案：連接0尸、QP、OO.如圖4.36所示.設(shè)尸(x, >).根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得工用2=(丫-1)2+丁，尸爐=(x+l)2+V，：.Rl2+PB2=2x2+2y+2=2(x2+y)+2.：.OP= &2 + y2 ,工。產(chǎn)2=/+科 ,EW+尸產(chǎn)=2。尸?+2,要求E42+尸爐的最小值，即求op的最小值，也就是求。尸的最小值，。&O0P。, 如圖4.37所示，當(dāng)且僅當(dāng)0、P、。三點(diǎn)共線時(shí)取得最值， ，0尸=5-2=3,，上#+尸¥=2。尸2+2*32+2=20.思路點(diǎn)撥根據(jù)小2+尸¥這樣的形式，產(chǎn)生兩個(gè)聯(lián)想，一

27、是勾股定理，二是坐標(biāo)公式.要使用勾股定理，就得把總和尸3 構(gòu)造為兩條直角邊，在題圖中難以實(shí)現(xiàn)，所以轉(zhuǎn)而利用坐標(biāo)公式表達(dá)，我們便發(fā)現(xiàn)23+尸*與OP2的聯(lián)系，而。尸 的最小值即圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最小值.弦外之音 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然點(diǎn)尸在動(dòng)，但。尸始終是.45尸邊上的中線，且乂8是個(gè)定值，我們可以直接利用 中線長(zhǎng)公式得到用2+產(chǎn)爐=2。產(chǎn)+ 且，接下來(lái)的計(jì)算和上面是一致的.公式的應(yīng)用有助于對(duì)思路的拓展，因此學(xué) 4有余力的同學(xué)可以自行推導(dǎo)中線長(zhǎng)公式(僅用勾股定理即可).18 .如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)靠在一起，BC=3, EF=2, G為。E上一動(dòng)點(diǎn).將三角尺QEF繞直角頂 點(diǎn)尸

28、旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B、G兩點(diǎn)的最小距離為.B C（FK /圖3.15 E答案：在 RsD£產(chǎn)中，CE=2, ZCDE=30°,:.DF=2& DE=4.如圖4.38所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，CGmax=DF=2,當(dāng) CG工DE 時(shí)，CGmin=h= 2,DE 4工 V3<CG<2>/3.當(dāng)CG=3時(shí)，以C為圓心、CG為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.在£）由旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)G會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.因此，當(dāng)8G恰好重合時(shí)，8G取得最小值為0.圍路點(diǎn)撥這是個(gè)“特別”的題，點(diǎn)G是。E上一動(dòng)點(diǎn)，因此在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)G的軌跡不是線而是面，這個(gè)而的形狀為 以

29、點(diǎn)。為圓心、分別以CGm力和為半徑的同心圓環(huán)，點(diǎn)3也在這個(gè)“面軌跡”中，因此3G的最小值為0.19 .如圖 3.16 所示，在 RtAJBC 中，乙/C=90。，ZJC5=30°, BC=2 0、與ZU5c 關(guān)于,4C 對(duì)稱，點(diǎn) E、R分別是邊。C、上的任意一點(diǎn)，且DE=C尸，BE、OF相交于點(diǎn)尸，則。尸的最小值為（）A.l B.小 C -D.2D答案：連接3。，如圖4.39所示.JDC 與AlSC 關(guān)于乂C 對(duì)稱，ZACB=30°,:.BC=CD, NBCD=60。.二mC 是等邊三角形,:BD=CD, ZBDC=ZBCD=60在3QE 和QCF 中，BD = CD, Z

30、BDC=ZBCD, DE=CF.：.應(yīng)）四QCF（£均，A ZBED=ZDFC./ ZBED+ ZP£C= 180°, /. ZPEC+ ZZ）FC= 180°,A ZDCF+ ZEPF= NDCF+ NBPD = 180。.V ZDCF= 60°, A /BPD =120°丁點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)中保持N8PD=120。，點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為以H為圓心、,IB為半徑的120。的弧.當(dāng)C、尸、乂三點(diǎn)共線時(shí)，。產(chǎn)能取到最小值，如圖4.40所示，密4。-3尸=2,即線段。尸的最小值為2.思路點(diǎn)撥需要熟悉等邊三角形中的常見(jiàn)全等圖形.因?yàn)辄c(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)中保持/班

31、少=120。，3。又是定長(zhǎng)，所以點(diǎn)尸的路徑 是一段以點(diǎn)，為圓心的弧，于是將CP的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最小值.20.如圖3.17所示，smO= |,長(zhǎng)度為2的線段DE在射線。4上滑動(dòng)，點(diǎn)。在射線。8上，且OC=5,則CDE周 長(zhǎng)的最小值為.答案：過(guò)點(diǎn)C作CCQE且連接"，如圖4.41所示， ，四邊形CC功為平行四邊形，：.CE=CD.作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C”,連接CTE、CD CC,:CE=C"E, ：.CDCE=CE+ CE= CE+ CnE>CC9,當(dāng)且僅當(dāng)C、E、。'三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，如圖4.42所示.YCC關(guān)于CU對(duì)稱，垂直平分CC”

32、，:.9=2CF= 2OC 汕0=6.在 Rs。中，CC”=2加,/. CDE周長(zhǎng)的最小值為2加 + 2.思路點(diǎn)撥因?yàn)镈E為定值，所以CQE周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)镃D+CE的最小值問(wèn)題似收馬“非“飲馬”，注意觀察, 這是一定兩動(dòng)問(wèn)題.利用平移將動(dòng)線段。葉壓縮”為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；軸對(duì)稱后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找到最小值線段，再 根據(jù)勾股定理計(jì)算即可解決問(wèn)題.21、如圖3.18所示，在矩形.188 中，.48=6,在邊乂3上運(yùn)動(dòng)，MN=3, X產(chǎn)=2, BQ=5,則尸M+MN+N0的最小值是>圖 3.18解：作QQ'=MN=3,作點(diǎn)0關(guān)于直線乂3的對(duì)稱點(diǎn)連接P0,連接。九、QM ,作?！?，0

33、4于 點(diǎn)H,如圖4.43所示，二四邊形MV00為平行四邊形，QM =QM ,PM + NQ + MN =PM+QM+3>PQ +3,如圖4.44所示，當(dāng)尸、"、。"三點(diǎn)共線時(shí)，PM+Q M取得最小值。: Q。關(guān) 于 對(duì)稱，=。=28。= 10 , 田三80=5,，PH=AP+AH=2+5=7° 在 RMHQ中,HQ =AB-QQ =3, /. PQPHrHQ? =6+3?=屈, /.尸M+MV+N。的最小值為3+ V58 o圖443圖 4.44思路點(diǎn)撥：作。A8,使得Q0=MN=3,作點(diǎn)。關(guān)于."的對(duì)稱點(diǎn)。，連接尸。“，當(dāng)尸、M、Q三 點(diǎn)共線時(shí)，尸

34、A/+MV+N0的值最小。作。力，DA,利用勾股定理求出尸。即可解決問(wèn)題。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形,48C中，乙4c3=90。，乂3=6,。為，坊的中點(diǎn)，E為8上的點(diǎn)，且CE=2DE,尸。為.鋁上的動(dòng)線段，PQ=L尸為HC上的動(dòng)點(diǎn)，連接E。、FP,則石。+抄的最小值為 0圖 3.19解：過(guò)點(diǎn)E作E?尸0,取上？=尸。=1,作點(diǎn)E快于的對(duì)稱點(diǎn)石，連接ER E"P,如圖4.45所示，二 四邊形 EEF0 為平行四邊形，E'P=E”P, ：.E'P=EQ、，EQ+FP=E'P+FP=E”P+FPNE”F,如圖 4.46 所示，當(dāng)且 僅當(dāng)E“、P、尸三

35、點(diǎn)共線且時(shí)取到最小值。當(dāng)？'FL4c時(shí)，設(shè)？E”與，口的交點(diǎn)為G, E“尸與的交 點(diǎn)為H,如圖4.47所示?與E”關(guān)于,43對(duì)稱，,E”G=E，G=ED=L，AG=2 - NK=45。，/. NFH4 = NE"HG=45。,/T，HG=E”G=1, .AH=AG-HG=lo 在等腰直角切和HGE”中，/田=1, HG=1,，F(xiàn)H=±, E”H=0 /. 2E"F=E"H+FH= 42，二當(dāng) EHF±AC 時(shí)，E"F 取得最小值為。22思路點(diǎn)撥：作EEFPQ,取在=尸。，構(gòu)造平行四邊形，將石。十q的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為EF小沖的長(zhǎng)度來(lái)找

36、最小值. 作對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造“將軍飲馬”模型，再利用“垂線段最短”求出最小值。與題21類似，本題也要將線段尸0壓縮”為一 個(gè)點(diǎn)，屬于平移后求垂線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，23、如圖3.20所示，在正方形X3CZ）中，.13=4, E、F分別為.13、的中點(diǎn)，和尸。分別是邊3C、CD 上的線段，MN=P0=1,依次連接及W、NP、QF、EF,則六邊形EMNP0尸周長(zhǎng)的最小值為。解：分別過(guò)點(diǎn)£尸作8C、8的平行線，截取E?=FF=MV=P0,作點(diǎn)？關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)F關(guān)于 CD的對(duì)稱點(diǎn)尸”，連接EN、E”N、FT、PR 如圖4.48所示，四邊形EENM和四邊形"丁。為平行四邊形， ，EM=

37、E'N,尸。=戶7 .點(diǎn)、E”關(guān)于8c對(duì)稱，N為BC上的點(diǎn)，E，N=E"N,同理，F(xiàn)WP“六邊形EMNPQF 的周長(zhǎng)=EM+M¥+NP+P。+尸0+EK 其中MV、PO.石產(chǎn)為定值，要求周長(zhǎng)最小值即求EM+NP+F。的最小值0. EM+NP+FQ=E“N+NP+F”PNE”F如圖4.49所示，當(dāng)E”、M尸、尸''四點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。嵬立如圖4.50所 示的坐標(biāo)系，由題意得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0, 2）,二？（1, 2）,.E（1, -2）0同理可得產(chǎn)"（6, 3）,二夕尸”=50 .TE=AF=2. EF= 6 AE= 26,，六邊形EKVP0

38、F的周長(zhǎng)最小值為7點(diǎn)+2,思路點(diǎn)撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構(gòu)造平行四邊形EE'MM 和平行四邊形尸F(xiàn)尸。，將六邊形EMVP0F的周長(zhǎng)最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為？W+NP+FT的最小值問(wèn)題（屬于“郵差送信” 問(wèn)題），依舊作出對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值°這里求解最小值時(shí)用到了平面直角坐標(biāo)系，這是“偷 懶”的一種計(jì)算方法，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系的背景下應(yīng)用勾股定理，亦可根據(jù)勾股定理求解與題21,題 22相比，本題是兩次平移后的“兩點(diǎn)之間距離”問(wèn)題。24、如圖3.21所示，在矩形.438中，.鋁=2, 3C=4, £> F

39、分別為，8。上的動(dòng)點(diǎn)，且EFLNC,連接,小、 CE,則NF+CE的最小值為 o解：過(guò)點(diǎn)C作CG/EF,且CG=EF,連接FG、，G,如圖4.51所示，二四邊形ECG尸為平行四邊形，:.EC=FG。 在圖4.52中，過(guò)點(diǎn)B作BHEF,二四邊形3尸即 為平行四邊形，二E尸=8/九,.EALMC,二及45。6/乂/，二 BH： AC=EF:AC=1B:BC.綜上所述，CGJ_HC 且 CG三防二喬，二 G 為定點(diǎn)，乂F*CE=X尸竹GNMG,如圖 4.53 所示，當(dāng)工尸、G三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。在矩形.488中，,48=2, BC=4, .7。=后77 = 2褥，RtACG 中，JG=7aC2+C

40、G2 = 5o1思路點(diǎn)撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對(duì)分開(kāi)的兩線段不易判斷最值的問(wèn)題，所以需要將它們合并起來(lái)， 可采用的方法是全等轉(zhuǎn)換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點(diǎn)F和另一個(gè)固定點(diǎn)G為端點(diǎn)的線段 位置，即可根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決最小值問(wèn)題.25、如圖3.22所示，在三438 中，JD=7,，8=2、6，ZB=60°, E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開(kāi)，將沿8。方向平移到£)中的位置，得到四邊形,回則四邊形.何。周長(zhǎng)的最小值為 0解：如圖 4.54 所示，將，麻：平移，二 aABEqADCF,，AE=DF, BE=CF.在FBCD 中，AD=BC, :

41、.AD=EF, 二四邊形,因D的周長(zhǎng)=Z4P+2J£=14+Z4£。如圖4.55所示，當(dāng)時(shí)，HE取得最小值。在於及鋁。中，Z 8=60。，.J£=，Asin6O°=3,二四邊形IE尸D周長(zhǎng)的最小值=14+6=200圖4 54思路點(diǎn)撥：四邊形,®IX依舊是一個(gè)平行四邊形，周長(zhǎng)等于2 (JZ)+,4E),故將四邊形HEFD周長(zhǎng)的最小值問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為.4E的最小值問(wèn)題°根據(jù)“點(diǎn)到直線，垂線段最短”即可解決問(wèn)題，26.如圖1所示，在R048C中，NA4C=90。，.48=4, ,4C=3,點(diǎn)。、E分別是4c的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊 上(均不與端

42、點(diǎn)重合)，0G七R將BDG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，將尸繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，拼成四邊形MGFN,則四邊形MGEM周長(zhǎng)/的取值范圍是圖1#«圖126 .解：由題意得 :.NM=NDGB,:.AMU/BG,，四邊形MGFN為平行四邊形， ：.1=2 (GF+GM).:GF=MN= BG+CF=BC-GF,： GF= - BC二， 22: GM=2DG,.，當(dāng)OG取得最小值時(shí)，四邊形MGFN的周長(zhǎng)最??；同理，當(dāng)OG取得最大值時(shí)，四邊形MGFN周長(zhǎng)最大. 如圖1和圖2所示，當(dāng)。G,8c時(shí)，OG取得最小值；若點(diǎn)G與點(diǎn)8重合，則OG取得最大值.NB是公共角,： aBDGsbCA,：.BD

43、： BC=DG : AC, 6:.DG= 一 ,56：.-<DG<2,549/. </< 13 5思路點(diǎn)撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而GF為定值，所以將周長(zhǎng)的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段OG (EF) 的取值范圍問(wèn)題，當(dāng)OG1.3C時(shí)OG取得最小值：由于點(diǎn)G、F與端點(diǎn)均不重合，因此最大值取不到.27 .如圖1所示，在RtA48C中，NAC8=90。，CDL4B,若CO=3,則Sm比的最小值為27.解：取45的中點(diǎn)£連接CE,如圖1所示,圖1：.CE=-AB. 29： CD A.AB,.：.CE>CD,"928=6,當(dāng)且僅當(dāng)。為的中點(diǎn)時(shí)取到最小值，

44、Sa.曲的最小值為9.思路點(diǎn)撥8為定值，則當(dāng)乂8最小時(shí)，Smbc取得最小值.根據(jù)“斜邊上的中線等于斜邊的一半''和"垂線段最短“，找到當(dāng)。為 -15的中點(diǎn)時(shí)，.43取得最小值為2G>直角三角形中斜邊上的中線是一個(gè)比較容易被忽略的知識(shí)點(diǎn)，尤其是在需要 主動(dòng)去構(gòu)造的時(shí)候.28 .如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心、2為半徑畫。，尸是。上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)尸在第一象 限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作。的切線與x軸相交于點(diǎn)以與丁軸相交于點(diǎn)名 則線段,45的最小值是.#： 0Q AB. 29：OP<OQ.：.-AB>OP.2：.AB>4,即AB的最小值為4,此時(shí)A

45、08為等腰直角三角形.思路點(diǎn)撥要求A8的最小值，只需取A8的中點(diǎn)，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)“垂線段最短”，48的最小值在0P與斜 邊上的中線重合時(shí)取到.29.如圖1所示，在矩形A8CQ中，BC=8, AB=6,經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)。的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與A3、BC、 A。、0c分別交于點(diǎn)G、H、E、F,則EF+GH的最小值是.圖129.解：設(shè)切點(diǎn)為N,連接。必OM作出乂。邊上的高DW,如圖1所示.圖1 ? Z.WC= 90% 成為。的直徑，JC=762 +82 =10,:.EF=OD+ONDM,當(dāng)且僅當(dāng)切點(diǎn)為點(diǎn)”時(shí)竊取到最小值，:.EF廿 DM=2八一 =4.8.AC 10 :矩形為中心對(duì)

46、稱圖形，同理，GHn-EFmin = 4.8, (EF+GE)mn = 96恩路點(diǎn)撥雖然目標(biāo)式是"+G8的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)線段可獨(dú)立求解最值.由于矩形為中心對(duì)稱圖形，因此成 和GH的最小值顯然是相等的，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 ”的最小值，注意到EF是圓的直徑，根據(jù)“垂線段最短“，可 知圓的最短直徑是,48斜邊上的高線.30.如圖1所示，在中，ZC=90°, AC=4, BC=3點(diǎn)D、E分別為AC、8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，且OE=3,以O(shè)E 為直徑作。O，交AB于M、M則MN的最大值為.圖130.解：過(guò)點(diǎn)O作0GLi5,連接ON、CO,如圖1所示,圖113* ON=r= _

47、DE= _ , 22：.GN=GM=-MN.2在RsOGN中，GO-OG2.其中ON為定值，故當(dāng)OG取最小值時(shí)，GN取得最大值，即取得最大值.過(guò)點(diǎn)C作CH1AB.在 R3.15C 中，4C=4, BC=39 AB 5.： S&ABC= -AC BC= - CH AB, 22：.CH=<CO+OG.5. “ 1239.OG> =, 一 5210.rv _ 尸 296V 210512AdNmax = 2 GNmax =.J思路點(diǎn)撥。上為定值，即。的半徑為定值，故當(dāng)弦MN上的垂徑最短時(shí)，取得最大值，根據(jù)“垂線段最短”找出OG最短 時(shí)垂足的位置.31.如圖3.28所示，在肋ABC中

48、，NA = 90。，AB = 3, AC = 4,。為AC的中點(diǎn)，。為AB上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)尸，連接CP',則線段CP'的最小值為 o22二pf圖 3.28解：如圖4.62所示，過(guò)點(diǎn)/作PE'_LAC于點(diǎn)£,則NA = NPED = 90。 由題意可得QP=P'。，NPDP' = 90°,ZADP = EP D在四和P'Q中ZADP = ZEP'D< ZA = ZP'EDDP = DP' *AAZMPAPTDCAAS)，PE = AD = 2:.CP'NPE當(dāng)AP

49、 = O£ = 2,即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，CP' = P'E = 2, J線段CP的最小值為2 32.如圖3.29所示，已知NA/QN = 30。，B為OM上一點(diǎn)、,8ALQN于點(diǎn)A，四邊形鉆8為正方形，P為射線BM 上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接若AB = 4,則4石的最小值為解：連接也>，如圖4.64所示在正方形 ABC。中，CD = BC, 48 = 90。 由題意得 PC = CE, ZPCE = 90°,:.乙BCE = NDCP = 90' + 4BCP在3CE和£>(¥中BC

50、 = CD< 4BCE = ZDCPCE = CP *.BCEA27CP(SAS)，BE = PD如圖4.65所示，當(dāng)尸D1.QW時(shí)，PQ取得最小值在m ZkAOB 中，ZO = 30°:.OA = EAB = 46在放OOP中，PD = -OD = -(OA + AD) = 2>/3 + 2, 22的最小值為2G+ 233 .已知梯形中，AD! IBC , AB IBC 9 AD= ,3c = 4。若夕為線段AB上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PQ到點(diǎn)E,使DE = 2PD,再以PE、PC為邊作OPCQE,如圖3.30 所示，則對(duì)角線尸。的最小值為>值解：如圖4.66所示V PE

51、 / ICQ. 2PD = DE:.XPFDsXqfc.DF _PD _PF _1正=詼=瓦=?:.PF=：PQ, DF = DC 即尸為。的四等分點(diǎn)(定點(diǎn)) 如圖4.67所示，當(dāng)時(shí)，依取得最小值，PQ也取得最小 如圖4.68所示，過(guò)點(diǎn)。、產(chǎn)分別作3c的垂線段，垂足分別為點(diǎn) :.DM/IFN，四邊形為矩形A DM = AB = 3, BM=AD = ：.MC = 3YF為。四等分點(diǎn)為CM四等分點(diǎn)3:.MN =43 7:.PF = BN = +，= -4 4:.PQ = 4PF = 7，PQ的最小值為7434 .如圖3.31所示，在ABC中，AC = 10, C = 30。，點(diǎn)P是射線AB上的一

52、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，cos ZCm=-,點(diǎn)。是5射線PM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。則。長(zhǎng)度的最小值是B P圖 4.69解：如圖4.69所示，當(dāng)CP«L4V時(shí)，C尸最小同理，當(dāng)CQLPM時(shí)，CQ最小由于cosNCPM為定值，CP、。同時(shí)取得最小值 在用ZkAPC中，AC = 10, NE4c = 30。：.CP = -AC = 5 2：.CQ = yCP2-PQ2 =3C。的最小值為3235 .如圖3.32所示，直線y = 1x + 4與x軸、），軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)3,點(diǎn)。為線段08的中點(diǎn)，點(diǎn)C、夕分別為 AB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC + PD最小時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為圖 3.32解：作點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)沙，連接P

53、£T、O'C,如圖4.70所示/. PD = PD'，PD + PC = PD'+PCND'C如圖4.71所示，當(dāng)。，P、C三點(diǎn)共線且。'C_LA3時(shí)，PD+PC取得最小值:.NCO'5 + ZA3O = 90°:./CD' B = ZBAO : Z4O8 = ZPQ£>' = 90。：.4AB0sAd'P0：.OA:OD' = OB:OP 直線y = gx + 4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B 3(0,4) , A(-6,0)，0（0.2）。、。'關(guān)于X軸對(duì)稱 0'（02

54、）A Ot4 = 6, 。3 = 4, OD' = 2 :.OP =.當(dāng)尸C+尸。最小時(shí)，pj-1,036.在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O到直線2a4的最大距離為（）36 .解 產(chǎn)辰-2M4y=k （x-2） +4.當(dāng)工=2時(shí),）=4,故無(wú)論上為何值，直線必過(guò)（2, 4）.如圖4.72所示，過(guò)點(diǎn)。無(wú)論作直線丸、/）、/；的險(xiǎn)垂足分別為-4、B、C,其中點(diǎn)d為定點(diǎn)（2, 4）.在如ZU3O 中，OA>OB同理，OA>OC.當(dāng)且僅當(dāng)at，/時(shí)，點(diǎn)。到直線/的距離最大，最大值即。乂= 萬(wàn)方=2行.思路點(diǎn)撥題中直線雖然是動(dòng)直線，但是只含有一個(gè)參數(shù)上進(jìn)行化簡(jiǎn)后，可以找到一定點(diǎn)（2, 4）

55、不受k的影響.根據(jù) “直角三角形中斜邊大于直角邊“，所求最大距離為原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.弦外之音動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)定軌跡的問(wèn)題其實(shí)偏向高中的解析幾何，卻又在初中經(jīng)常出現(xiàn)，注意下而兩3 5種形式的點(diǎn)和直"：如A （2?/. -3計(jì)4）,動(dòng)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)直線v=-3x+巳：又如直線/：42息-3什1.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)223（一 . 1）,要學(xué) 見(jiàn)察題目中這些“動(dòng)中有靜”的信息，才能快速找到解題的思路.237 .如圖3.33所示，在直角坐標(biāo)系中，。（0, 0）, A （7, 0）, B （5, 2）, C （0, 2）, 一條動(dòng)直線/分別與8C、OA 交于點(diǎn)E、F,且將四邊形。/C分為面積相等的兩部分，則點(diǎn)

56、C到動(dòng)直線/的距離的最大值為.Ay37.知識(shí)儲(chǔ)備過(guò)梯形中位線中點(diǎn)的直線(經(jīng)過(guò)梯形的上底和下底)將梯形分為面枳相等的兩個(gè)梯形. 證：如圖4.73所示，在梯形中，E、尸分別為3c的中點(diǎn)，連接工廠交。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G VAB/CD.:.NBAF=NG, ZB=ZFCG.在下和aGCF中，ZBAF = ZCGF< ZABF=ZGCFBF = CF：41BFAGCF (£tS), :AB=CG, AF=GF.,:E為AD的中點(diǎn)，J.EF/DG.：.EF=-DG=- (CD+CG) =- (JB-CD),222即梯形的中位線等于1 (上底+卜底).2如圖4.74所示，。為E尸的中點(diǎn)，尸0經(jīng)過(guò)點(diǎn)。分別與上底、下底交于點(diǎn)尸、Q,過(guò)點(diǎn)。作MAUCD /.四邊形APQD和四邊形BPQC也是梯形.5梯除巾0 = )(AP+DQ) MN=EOMN,S梯形即備=；(BP+CQ),MN=FO.MN,又。為EF的中點(diǎn)，:EO=FO, q = q 。梯北訃PC0 一。梯開(kāi)融。C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的直線平分梯形X8CQ的面積.解 取0C和.空的中點(diǎn)G、H,連接GH.取GH的中點(diǎn)M、如圖4.75所示，：.G (0, 1), H (6, 1),：.M (3, 1).當(dāng)直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)河時(shí)，梯形而枳被平分.當(dāng)CMLEF時(shí)，