小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：乘法原理之染色問題-帶詳解

1、乘法原理之染色問題教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；2 .使學(xué)生分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系.3 .培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問題的習(xí)慣.知識(shí)要點(diǎn)一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課， 首先得從家出發(fā)到長(zhǎng)寧上 8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上下午 1點(diǎn)半的課.如果說(shuō)申老師的家到長(zhǎng)寧有 5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再?gòu)拈L(zhǎng)寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說(shuō)老師從家到黃埔一共有多少條路線？

2、家，飛二長(zhǎng)寧*黃埔,我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長(zhǎng)寧，然后再到黃埔.這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定 要先到長(zhǎng)寧上完課，才能去黃埔的.在沒學(xué)乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數(shù)，把線路找出來(lái)，顯 而易見一共是10條路線.但是要是老師從家到長(zhǎng)寧有 25種可選擇的交通工具， 并且從長(zhǎng)寧到黃埔也有 30種 可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了.這個(gè)時(shí)候我們的乘法原 理就派上上用場(chǎng)了.二、乘法原理的定義完成一件事，這個(gè)事情可以分成n個(gè)必不可少的步驟（比如說(shuō)老師從家到黃埔，必須要先到長(zhǎng)寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長(zhǎng)寧，二是從長(zhǎng)寧到黃埔

3、），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，第n步有N種不同的方法.那么完成這件事情一共有A>BX測(cè)種不同的方法.結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要 2個(gè)步驟，第1步是從家到長(zhǎng)寧，一共 5種 選擇；第2步從長(zhǎng)寧到黃埔，一共 2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5X2個(gè)可選擇的路線了，即 10條.三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題比如說(shuō)老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類問題；2、字的染色問題 一一比如說(shuō)要3個(gè)字，然后有5種顏色可以給每個(gè)字然后，問3個(gè)字有

4、多少種染色方法;3、地圖的染色問題 一一同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國(guó)每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊(duì)問題一一比如說(shuō)6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；5、數(shù)碼問題一一就是對(duì)一些數(shù)字的排列，比如說(shuō)給你幾個(gè)數(shù)字， 然后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)， 有多少種排法.例題精講例1 地圖上有A, B, C, D四個(gè)國(guó)家（如下圖卜現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏 色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答5【解析】A有3種顏色可選；當(dāng)B, C取相同的顏色時(shí)，有 2種顏色可選，此時(shí) D也有2種顏色可

5、選.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3M2M2=12種；當(dāng)B, C取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)D也只有1種顏色可選（與A相同）.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有 3M2父1父1=6種.綜上，根據(jù)加法原理，共有 12+6 =18種不同的涂法.【答案】18【鞏固】 如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都 必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】第一步，首先對(duì) A進(jìn)行染色一共有4種方法，然后對(duì)B、C進(jìn)行染色，如果B、C取相同的顏色，有 三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有3

6、X2=6種方法，D剩下2種方法，對(duì)該圖 的染色方法一共有 4 x （3x3 +3x2x2）=84種方法.【注意】給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問題.【答案】84【例2】 在右圖的每個(gè)區(qū)域內(nèi)涂上 A、B、C、D四種顏色之一，使得每個(gè)圓里面恰有四種顏色，則一共 有 種不同的染色方法.【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】解答【解析】因?yàn)槊總€(gè)圓內(nèi)4個(gè)區(qū)域上染的顏色都不相同，所以一個(gè)圓內(nèi)的4個(gè)區(qū)域一共有4M3M2=24種染色方法.如右圖所示，當(dāng)一個(gè)圓內(nèi)的1、2、3、4四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，由于6號(hào)區(qū)域的顏色不能與 2、3、4三個(gè)區(qū)域的顏色相同

7、，所以只能與1號(hào)區(qū)域的顏色相同，同理 5號(hào)區(qū)域只能與4號(hào)區(qū)域的顏色相同，7號(hào)區(qū)域只能與2號(hào)區(qū)域的顏色相同，所以當(dāng) 1、2、3、4四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有24種不同的染法.【答案】24例3如圖，地圖上有 A, B, C, D四個(gè)國(guó)家，現(xiàn)用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國(guó)家的顏色不相同, 有多少種不同染色方法 ？ABCD【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】為了按要求給地圖上的這四個(gè)國(guó)家染色，我們可以分四步來(lái)完成染色的工作：第一步：給 A染色，有5種顏色可選.第二步：給B染色，由于B不能與A同色，所以B有4種顏色可選.第三步：給C染色

8、，由于C不能與A、B同色，所以C有3種顏色可選.第四步：給D染色，由于D不能與B、C同色，但可以與 A同色，所以D有3種顏色可選.根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，用 5種顏色給地圖染色共有 5父4父3父3 = 180種不同的染色方法.【答案】180【鞏固】 如圖，一張地圖上有五個(gè)國(guó)家A , B, C, D, E ,現(xiàn)在要求用四種不同的顏色區(qū)分不同國(guó)家，要求相鄰的國(guó)家不能使用同一種顏色，不同的國(guó)家可以使用同 一種顏色，那么這幅地圖有多少著色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】第一步，給A國(guó)上色, 第二步，給B國(guó)上色,可以任選顏色，有四種選擇；B國(guó)不能使用A國(guó)的顏色，有三種選擇

9、;第三步，給C國(guó)上色，C國(guó)與B , A兩國(guó)相鄰，所以不能使用A , B國(guó)的顏色，只有兩種選擇;第四步，給D國(guó)上色，D國(guó)與B, 第五步，給E國(guó)上色，E國(guó)與C ,C兩國(guó)相鄰，因此也只有兩種選擇；D兩國(guó)相鄰，有兩種選擇.共有4X32X2X2 = 96種著色方法.【答案】96例4如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區(qū)塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區(qū)塊劃為相等的兩塊，如此進(jìn)行 8步操作，問：如果用四種顏色對(duì)這一圖形進(jìn)行染色，要求相鄰區(qū)塊顏 色不同，應(yīng)該有多少種不同的染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【解析】對(duì)這張

10、紙的操作一共進(jìn)行了【題型】解答8次，每次操作都增加了一個(gè)區(qū)塊，所以8次操作后一共有 9個(gè)區(qū)塊,我們對(duì)這張紙，進(jìn)行染色就需要9個(gè)步驟，從最大的區(qū)塊從大到小開始染色，每個(gè)步驟地染色方法有：4、 3、2、2、 2,所以一共有： 4M3M2M2M2M2M2M2M2=1536種.【答案】1536【鞏固】 用三種顏色去涂如圖所示的三塊區(qū)域，要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，那么共有幾種不同的涂法?ABCDE【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】涂三塊毫無(wú)疑問是分成三步.第一步，涂 A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂 B部分， 由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，A和B相鄰，當(dāng)A確定了一種顏色后，B只

11、有兩種顏色可選擇了；第三步，涂 C部分，C和A、B都相鄰，A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了.然后再根據(jù)乘法原理.3x2 m 1=6【答案】6 例5如圖，有一張地圖上有五個(gè)國(guó)家，現(xiàn)在要用四種顏色對(duì)這一幅地圖進(jìn)行染色，使相鄰的國(guó)家所染的顏色不同，不相鄰的國(guó)家的顏色可以相同.那么一共可以有多少種染色方法?乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】 這一道題實(shí)際上就是例題，因?yàn)閮煞鶊D各個(gè)字母所代表的國(guó)家的相鄰國(guó)家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進(jìn)行直角化就會(huì)轉(zhuǎn)化為原題，所以對(duì)這幅地圖染色同樣一共有 4X3X2X2X2=96種方法.【討論】如果染色步驟為 C - A- B - D -

12、 E ,那么應(yīng)該該如何解答？答案：也是4黑3父2父2父2=96種方法.如果染色步驟為 C-A-D-B-E那么應(yīng)該如何解答？答案： 染色的前兩步一共有 4q種方法，但染第 三步時(shí)需要分類討論，如果 D與A顏色相同，那么B有2種染法，E也有2種方法，如果D與A染 不同的顏色，那么 D有2種染法那么B只有一種染法，E有2種染法，所以一共應(yīng)該有4 3 （1 2 2 2 1 2） =96種方法，（教師應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明第三個(gè)步驟用到了分類討論和加法原理， 加法原理在下一講中將會(huì)講授 ），染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所 染的區(qū)塊相鄰.【答案】96 【鞏固】 某沿海城市管轄7個(gè)縣，這

13、7個(gè)縣的位置如右圖.現(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給右圖染色,要求任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題為了便于分析，把地圖上的【難度】4星【題型】解答7個(gè)縣分別編號(hào)為 A、B、C、D、E、F、G （如左下圖）.AD為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖.那么，為了完成地圖染色這 件工作需要多少步呢？由于有7個(gè)區(qū)域，我們不妨按 A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏 色依次分7步來(lái)完成染色任務(wù).第1步：先染區(qū)域 A,有5種顏色可供選擇;再染區(qū)域B,由于B不能與A同色，所以區(qū)域 B的染色方式有4種； 染區(qū)域C,由

14、于C不能與B、A同色，所以區(qū)域 C的染色方式有3種;第4步第5步第6步第7步染區(qū)域染區(qū)域染區(qū)域染區(qū)域D ,由于D不能與C、 E ,由于E不能與D、 F ,由于F不能與E、 G ,由于G不能與C、A同色, A同色, A同色, D同色,所以區(qū)域 所以區(qū)域 所以區(qū)域 所以區(qū)域D的染色方式有3種;E的染色方式有3種；F的染色方式有3種;G的染色方式有3種.根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，共有5M4M3M3x3x3x3=4860種不同的染色方法.【答案】4860例6用3種顏色把一個(gè)3M3的方格表染色，要求相同行和相同列的3個(gè)格所染的顏色互不相同，一共有 種不同的染色法.【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題

15、型】解答【解析】根據(jù)題意可知，染完后這個(gè) 3父3的方格表每一行和每一列都恰有 3個(gè)顏色.用3種顏色染第一行，有 P；=6種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個(gè)方格，有2種染法;當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤?，再根?jù)每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色對(duì)剩下的方格進(jìn)行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法.所以，根據(jù)乘法原理，共有 3M2 =6種不同的染法.【答案】6 【例7】 如右圖，有 A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不乘法原理之染色問題【題型】解答B(yǎng)染色，有4種方式；第三步給 C染色，有同色，每個(gè)區(qū)域染一色.有多少種不同的染色方式?【解析】先采用分步：第一步

16、給 A染色，有5種方法；第二步給3種方式；第四步給 D染色，有3種方式；第五步，給 E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可 以和C同色.此時(shí)就出現(xiàn)了問題：當(dāng) D與B同色時(shí)，E有3種顏色可染；而當(dāng) D與B異色時(shí)，E有2種顏色可染.所以必須從第四步就開始分類：第一類，D與B同色.E有3種顏色可染，共有5父4父3父3=180 （種）染色方式；第二類，D與B異色.D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有5父4父3父2父2 = 240 （種）染色根據(jù)加法原理，共有180+240 = 420 （種）染色方式.【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決.

17、【答案】420 【鞏固】 如右圖，有 A, B, C, D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色.有多少種染色方法?【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】A有4種顏色可選，然后分類：第一類：B, D取相同的顏色.有 3種顏色可染，此時(shí) D也有3種顏色可選.根據(jù)乘法原理，不同 的染法有4 M3 M3 =36 （種）；第二類：當(dāng)B , D取不同的顏色時(shí)， B有3種顏色可染，C有2種顏色可染，此時(shí) D也有2種顏色 可染.根據(jù)乘法原理，不同的染法有4M3M2M2=48 （種）.根據(jù)加法原理，共有 36+48 =84（種）染色方法.【答案】84 【鞏固】 用四種

18、顏色對(duì)右圖的五個(gè)字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用.問：共有多少種不同的染色方法【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答思”也有2種顏色可選，不同的涂法有【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】第一步給 而”上色，有4種選擇；然后對(duì) 學(xué)”染色，學(xué)”有3種顏色可選；當(dāng) 奧“，數(shù)”取相同的顏色時(shí)，有 2種顏色可選，此時(shí)3M2父2=12 種；當(dāng) 奧“，數(shù)”取不同的顏色時(shí)，奧”有2種顏色可選， 數(shù)”剩僅1種顏色可選，此時(shí) 思”也只有1種顏色可選（與 學(xué)”相同），不同的涂法有3黑2父1父1=6種.所以，根據(jù)加法原理，共有 4 M3父（2m2+2） =72種不

19、同的涂法.【答案】72【例8】 分別用五種顏色中的某一種對(duì)下圖的A, B, C, D, E, F六個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用.問：有多少種不同的染法？【解析】先按A, B, D, C, E的次序染色，可供選擇的顏色依次有5, 4, 3, 2, 3種，注意E與D的顏色搭配有3M3=9（種），其中有3種E和D同色，有6種E和D異色.最后染F,當(dāng)E與D同色時(shí) 有3種顏色可選，當(dāng)E與D異色時(shí)有2種顏色可選，所以共有 5父4父2父（3父3+6父2） =840種染法.【答案】840【例9】 將圖中的 O別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個(gè)相鄰C涂不同的顏色，共

20、有多少種不同涂法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】如右上圖，當(dāng)A, B, C, D的顏色確定后，大正方形四個(gè)角上的C的顏色就確定了，所以只需求A,B, C, D有多少種不同涂法.按先 A,再B, D,后C的順序涂色.按A-B-D-C的順序涂顏色：A有3種顏色可選；當(dāng)B, D取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)C也有2種顏色可選，不同的涂法有3M2M2 = 12種;當(dāng)B , D取不同的顏色時(shí)， B有2種顏色可選，D僅剩1種顏色可選，此時(shí) C也只有1種顏色可選（與A相同），不同的涂法有3父2父1父1 =6（種）.所以，根據(jù)加法原理，共有 12+6 =18種不同的涂法.【答

21、案】18【例10】用4種不同的顏色來(lái)涂正四面體（如圖，每個(gè)面都是完全相同的正三角形）的4個(gè)面，使不同的面涂有不同的顏色，共有 種不同白涂法.（將正四面體任意旋轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色法，才被認(rèn)為是不同的）8【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，第 9題【解析】不旋轉(zhuǎn)時(shí)共有4X3X2X1=24種染色方式，而一個(gè)正四面體有4M=12種放置方法（4個(gè)面中選1個(gè)作底面，再?gòu)氖Ｓ?3個(gè)面中選1個(gè)作正面），所以每種染色方式被重復(fù)計(jì)算了12次，則不同的染色方法有24+12=2種。【答案】2種【例11】用紅、橙、黃、綠、藍(lán)5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在

22、正四面體各個(gè)面上, 一個(gè)面不能用兩色，也無(wú)一個(gè)面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】解答【解析】我們來(lái)看正四面體四個(gè)面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個(gè)側(cè)面的順序有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種（當(dāng)三個(gè)側(cè)面的顏色只有一種或兩種時(shí)，順時(shí)針和逆時(shí)針的顏色分布是相同的）正四面體正四面體展開圖按使用了的顏色種數(shù)分類:第一類：用了 4種顏色.第一步，選 4種顏色，相當(dāng)于選1種不用，有5種選法.第二步，如果取定4種顏色涂于4個(gè)面上，有2種方法.這一類有5M2 = 10 （種）涂法；第二類：用了 3種顏色.第一步，選 3種顏色，相當(dāng)于選 2種不用，有5x4-2=10

23、 （種）選法；第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃3色，涂于4個(gè)面上，有6種方法，如下圖（圖 中用數(shù)字1, 2, 3分別表示紅、橙、黃 3色）.這一類有10M6=60 （種）涂法；第三類：用了 2種顏色.第一步，選 2種顏色，有5X4 + 2 = 10 （種）選法；第二步，取定 2種顏色 如紅、橙2色，涂于4個(gè)面上，有3種方法，如下圖.這一類有10X3 = 30 （種）涂 法；第四類：用了一種顏色.第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定 1種顏色涂于4個(gè)面上，只有1種方法.這一類有5M1=5 （種）涂法.根據(jù)加法原理，共有 10+60 + 30 + 5 = 105 （種） 不同的涂色方式.【答案

24、】105【例12】用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)一個(gè)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對(duì)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去染又有多少種？（注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn) ）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】如果一共只有三種顏色供染色，那么正方體的相對(duì)表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對(duì)立面，所以染色的方法有3M2M1=6種方法.如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對(duì)正方體進(jìn)行染色，一共有4M3M2 =24種.另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對(duì)表面可以染上不同的顏色，選取這組相對(duì)表面并染上不同顏色一共有3x（4 m3） =36種方法，用其余兩種顏色去染其他四個(gè)面只有2種方法，共36x2=72#,所以一共有24+72 = 96種方法.如果有5