數(shù)學文化與數(shù)學教養(yǎng)

1、數(shù)學文化與數(shù)學教養(yǎng)李大潛（復旦大學教授，中國科學院院士，教育部高等學校教學與統(tǒng)計學教學指導委員會主任委員） 要談數(shù)學文化，首先就碰到“什么是文化”這個問題，與此相關的還有“文化”、“文明”這兩個經常在口頭或書面混用的詞究竟有沒有區(qū)別或究竟有何區(qū)別這樣一些問題。這些問題不弄清楚，立論難免會有偏頗。但這種咬文嚼字的工作，卻不是我們數(shù)學家的強項，邏輯思維再好，也是愈想愈不明白的。無奈之下，只好去查字典。正好手頭有一本辭海，那兒在“文化”這一條目中寫著：“廣義指人類在社會實踐過程中所獲得的物質、精神的生產能力和創(chuàng)造的物質、精神財富的總和。狹義指精神生產能力和精神產品，包括一切社會意識形態(tài)：自然科學、技

2、術科學、社會意識形態(tài)?！睙o論是廣義的還是狹義的，看了以后都有些不得要領。再看“文明”這一個條目，寫得到相當干脆，說“猶言文化。如：物質文明；精神文明”。這就為我們在一定條件下將文化與文明這兩個字眼不斤斤計較它們可能有的區(qū)別而加以混用開了綠燈。但到底什么是“文化”呢?問題還是沒有解決。于是接著查英漢大辭典。其中對“Culture”的中譯為“文化，文明；教養(yǎng)，修養(yǎng)；陶冶，教育”，而對“Civilization”之中譯則為“文明；(特定地區(qū)、國家和時期的)文化、社會和生活方式；開化，教化(過程)”。這進一步說明了文化與文明這兩個字語至少在不少情況下的確可以混用，而具體到底用哪一個，要根據現(xiàn)在約定俗成

3、的語言習慣，也會夾雜著用者個人不同的品味。至于“文化”的含義，綜合這兩個大辭典上的說法，我覺得在精神及意識形態(tài)的層面上，夠得上稱為文化，特別是夠得上稱為先進文化，應該在下面的兩個方面均有所體現(xiàn)：一是在深化人類對世界的認識或推動人類對世界的改造方面，在推動人類物質文明和精神文明的發(fā)展中，起過或(和)起著積極的作用，甚至具有某種里程碑意義的。二是在這一歷史進程中，通過長期的積累與沉淀，自覺不自覺地轉化為人類的素質與教養(yǎng)，使人們在精神與品格上得到升華的。人類在認識世界與改造世界的過程中，也自然會加深認識并不斷改造著自己，向更高更完善的境界前進。因此，這兩方面既有區(qū)別，又密切聯(lián)系，總起來就組成了人類文

4、明的進程，構成了人類文明的發(fā)展史，也形成了現(xiàn)今意義上的文化。 正是基于這樣一個總的認識，下面將主要就三個方面的內容發(fā)表一些不成熟的看法，供大家參考，并歡迎批評指正。 一、數(shù)學是一種先進的文化 先談談對數(shù)學這門學科的看法和認識。 數(shù)學是什么?按照恩格斯的說法，數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系和空間形式的科學。這是對數(shù)學的一個概括、中肯而又相對來說易于為公眾了解和接受的說法。盡管從恩格斯到現(xiàn)在，數(shù)學的內涵已經大大拓展了，人們對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的認識和理解也已今非昔比、大大深化和發(fā)展了，但恩格斯的說法應該說仍然有效，沒有必要從根本上加以改變。 長期以來，在人們認識世界和改造世界的過程中，對

5、數(shù)學的重要性及其作用逐漸形成了自己的認識和看法，而且這種認識和看法隨著時代的進步也在不斷發(fā)展?，F(xiàn)在概括起來，大概有下面這么幾條： 1數(shù)學是一類知識 從小時候識數(shù)開始，經小學、中學到大學，數(shù)學都是必修的重要課程。數(shù)學作為人類必不可少的一類知識，地位已經牢固地確立。和科舉時代只學四書五經相比，時代畢竟是大大地前進了。 2數(shù)學是一種語言數(shù)學是一種科學的語言。伽利略就曾說過：“宇宙這本書是用數(shù)學語言寫成的除非你首先學懂了它的語言這本書是無法讀懂的。”數(shù)學這種科學的語言，如果運用得當，是十分精確的，這是數(shù)學這門學科的特點。同時，這種語言又是世界通用的。加減乘除，乘方開方，指數(shù)對數(shù)，微分積分，常數(shù)等，這些

6、數(shù)學語言和符號一開始雖然可能五花八門、各有千秋，但早已統(tǒng)一為一個固定的樣式，世界各地通用。正因為如此，盡管不怎么精通外文，往往還是可以憑著文中的記號及公式把外文書籍或論文中有關的數(shù)學結論猜個八九不離十。數(shù)學是一種精確的科學語言這一點，應該容易成為人們的共識。 3數(shù)學是一個工具 數(shù)學是一個有力的工具，在人們的日常生活及生產中隨時隨地發(fā)揮著重要的作用，已經是一個不爭的事實。在現(xiàn)代，數(shù)學作為四化建設的重要武器，在很多重要的領域中更起著關鍵性、甚至決定性作用，這一點也愈來愈清楚地為人們所認識。 4數(shù)學是一個基礎 數(shù)學是各門科學的基礎。不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會

7、科學中，為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規(guī)律性認識，數(shù)學都成了必備的重要基礎。現(xiàn)在，很多科學(特別是很多自然科學)中的數(shù)學化趨勢，有的己初見端倪，也已是呼之欲出。 5數(shù)學是一門科學 數(shù)學不僅具有上述那些服務性的功能，而且特色鮮明，自成體系，本身是一門重要的科學。按照恩格斯的說法，自然科學是以研究物質的某一運動形態(tài)為特征的，而數(shù)學則不然，它是忽略了物質的具體形態(tài)和屬性，純粹從數(shù)量關系和空間形式的角度來研究現(xiàn)實世界的。數(shù)學和物理、化學、天文、地學、生物等自然科學不屬于同一個層次，不是自然科學的一種，而是和研究思維規(guī)律的哲學類似，具有超于具體科學之上、普遍適用的特征?，F(xiàn)在的數(shù)學科學已構成包

8、括純粹數(shù)學及應用數(shù)學內涵的眾多分支學科和許多新興交叉學科的龐大的科學體系。好多學校的數(shù)學系改名為數(shù)學科學學院，反映了這一個現(xiàn)狀和趨勢。 6數(shù)學是一門技術 過去一支筆、一張紙就能搞定的數(shù)學，竟然可以成為一門技術，似乎是匪夷所思。但是，數(shù)學的思想和方法與計算技術的結合的確已經形成了技術，而且是一種關鍵性的、可實現(xiàn)的技術，稱為“數(shù)學技術”。它本質上是數(shù)學的內容物化為計算機的軟件及硬件，成為技術的一個重要組成部分和關鍵，從而也可以轉化為先進的生產力?！案呒夹g本質上是一種數(shù)學技術”的觀點現(xiàn)已為愈來愈多的人們所認同。 7數(shù)學是一種文化 數(shù)學是一種先進的文化，是人類文明的重要基礎。它的產生和發(fā)展伴隨著人類文

9、明的進程，并在其中起著重要的推動作用，占有舉足輕重的地位。 遠在古希臘時代，著名的畢達哥拉斯學派的信條就是“萬物皆數(shù)(這兒的數(shù)指的是整數(shù))，他們是通過數(shù)來理解整個世界的。在數(shù)學史上，古希臘的數(shù)學是一個極為輝煌的時期，整個古希臘的文明是與其相伴并以其為基礎的。在古希臘，一個不懂得數(shù)學的人不算一個有文化、上檔次的人，是被人輕視，難以進入大雅之堂的。柏拉圖在雅典學院的門口大書“不懂幾何學的人不得入內”，就充分體現(xiàn)了這一點。在當時，懂不懂數(shù)學是身份、品位和文明的象征，數(shù)學是作為一種高雅的文化得到人們的尊重的。這正像在俄國過去的沙龍中，人們是以說法語為榮的。在俄國的上層社會，懂不懂法語成了有沒有文化上不

10、上檔次的一個標志。托爾斯泰的戰(zhàn)爭與和平中有著大段大段直接用法文寫出的對話，就是一個明證。文藝復興是在中世紀的黑暗統(tǒng)治之后力圖恢復古希臘的文明及傳統(tǒng)，所以稱為文藝復興。這個傳統(tǒng)一直延續(xù)下來，應該說，在西方，數(shù)學作為一種文化、作為一種文明的象征受到尊重，是有悠久歷史的。 在我們國家，情形有很大的不同。在過去，一個人懂得詩詞歌賦，會得琴棋書畫，甚至會寫一點兒八股文，就被尊為文人，就被認為有文化、有知識、有品味，科舉的大門為他們敞開，升官晉爵的機遇也主要向他們提供。而懂得數(shù)學，好的，大體上被視為一個能工巧匠：不好的，甚至視為另類，視為一個不食人間煙火的怪物，恐怕很少會有人把這和文化沾邊、覺得有什么文化

11、的。這種情況現(xiàn)在有了一些轉變，但要在內心深處承認數(shù)學是一種文化，而且是在推動歷史進步、人類文明發(fā)展方面起重要作用的文化，是人類文明重要的支柱；要在內心深處認為對數(shù)學必須大力弘揚，必須努力創(chuàng)造條件使數(shù)學在我國更快的發(fā)展，為人類的文明做出更大的貢獻；要在內心深處承認自己的數(shù)學根底不夠不是一個可以炫耀的資本，而是一個嚴重的缺憾，是一個攔路的障礙，不僅自己要努力學好數(shù)學，而且要鼓勵、推動下一代學好數(shù)學、用好數(shù)學，凡此等等，無疑還需要作很多細致深入的工作，也還需要假以時日。 鑒于對數(shù)學是一種先進的文化這一點，現(xiàn)在認識到的人還不多，在我們國家也似乎一直沒有引起足夠的重視，有必要多作一些說明。其實，只需看下

12、面幾個例子，就足以看到：數(shù)學在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，是人類文明的一個重要支柱。 (1)記數(shù)與進位。 數(shù)學開始于數(shù)數(shù)。原始人大約只能區(qū)分1與多，碰到3就覺得多了，三人為“眾”大概就是這樣來的。后來有了十進制(在巴比倫是六十進制，在古代法國是二十進制，但基本點是相同的)，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0這十個數(shù)字，再加上逢十進一，就可以表示世界上任何一個數(shù)字。這是現(xiàn)在的人們從小就知道的事實，似乎是天經地義的。然而，這卻是數(shù)學給人類文明帶來的一個不可磨滅的巨大貢獻。沒有了它，稍微大一些的數(shù)字就會使人暈頭轉向，更談不上龐大的天文數(shù)字或是極其微小的數(shù)字了，現(xiàn)今金融行業(yè)或科學試驗

13、中種種復雜或高精度的數(shù)學運算根本不可能進行，我們還能有如此高度發(fā)達的文明社會嗎? (2)零。在人們的常識中，似乎O與l，2，3，4，5，6，7，8，9一樣是同時出現(xiàn)并處于同等地位的，但是零的出現(xiàn)與使用，卻要晚得多，它的作用也頗為特殊。中國是最早提出零這個概念的國家，在運算中出現(xiàn)零的地方，留下一個空格來表示，這就不至于引起混淆，而用“0”這一個符號來表示零，則是印度人的貢獻。這是東方文明的一個劃時代的成果。在歐洲，一直到文藝復興初期，還不知道、不承認這一點，并將“O”作為異教的符號而一律加排斥和打擊。因此，直到那個時期，歐洲人很少能順利地進行乘除法，更不用說開方運算了。我們常說祖沖對圓周率精確計

14、算到小數(shù)點后第七位，領先于歐洲近千年。其實，祖沖之計算圓周率的方法本質上還是公元前2世紀多阿基米德提出的割圓術，在方法上并不比歐洲人領先。說祖沖之的結果領先歐洲近千年，本質上應該是中國人比歐洲早近千年使用了零這個符號，從而更早掌握了乘除法及開方的藝術。零的出現(xiàn)和使用，無疑是數(shù)學對人類文明的一個石破天驚的巨大貢獻。 (3)歐幾里得幾何。人們生活著的世界究竟是什么樣子的?究竟具有怎樣的空間形式?這是人類在認識世界與改造世界時所不可回避的大問題。公元前3世紀古希臘的歐幾里得集當時幾何知識的大成所著的“幾何原本”，是后來稱為歐幾里得幾何的經典，一直沿用至今，其中不少內容已經成為人們的常識，并且為人類的

15、基本生活及生產活動提供了可靠的依據。沒有它，不可能有古代的金字塔和萬里長城，也不可能有現(xiàn)代的摩天大樓和三峽工程。幾何學這一歷史悠久的數(shù)學分支，深刻影響著人類文明的進程，至今仍在發(fā)揮著不可替代的重要作用。 (4)對數(shù)。將任何一個正數(shù)用某一個給定正數(shù)的指數(shù)冪來表示，這個指數(shù)冪就稱為這個正數(shù)以此給定正數(shù)為底的對數(shù)。這一個看起來是“概念的游戲”，可以將任何兩個正數(shù)的乘除運算化為相應指數(shù)冪(對數(shù))的加減運算，實現(xiàn)了由乘除到加減這一個驚人的轉換，使人們從大量繁復的乘除運算中解放了出來，無疑是對生產力的一次巨大解放和推動。和其他的數(shù)學發(fā)現(xiàn)不一樣，對數(shù)的發(fā)明事先似乎并無任何征兆，仿佛一下子突然降臨到人間，然而

16、，它是以計算實踐的迫切需要為強烈背景的。正如對數(shù)的創(chuàng)始者納皮爾(JNapier)所說：“要實際應用數(shù)學，我看最大的障礙就是處理數(shù)字的相乘、相除，或且求取二次或三次方根因此我開始思考，有沒有什么方法可以去除這些障礙”。正因為這樣，對數(shù)這一發(fā)明一開始就得到普遍的歡迎和廣泛的應用，又一次顯示了數(shù)學文化的威力。 (5)解析幾何與微積分。解析幾何與微積分作為現(xiàn)代數(shù)學登上歷史舞臺的突出標志，是人類文明的重要瑰寶。正如恩格斯所說，有了它們，“才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅僅表明狀態(tài)，而且也表明過程，即運動?！彼鼈兊陌l(fā)明，是受到產業(yè)革命需要的強烈推動的，盡管當時理論上還很不成熟，甚至有相當大的混亂(特別對微

17、積分是如此)，但由于所得的結果總是對的，仍然得到普遍的采用并迅速得以推廣，至于其嚴格理論基礎的建立則是后來的事了。這說明數(shù)學一旦顯示了了它在人類認識世界和改造世界中的巨大的作用，就必然會作為一種數(shù)學文化顯示出巨大的生命力，推動著人類的進步，改寫著人類的歷史。 這樣的例子可以說不勝枚舉，但就從這些例子已足以看出：數(shù)學過去是、現(xiàn)在是、將來也將是一種先進的文化，它帶領著、推動著、影響著人類的文明進程，深刻地改變著世界的面貌，也改變著人類本身的思維能力和認識水平，改變著人類的本身。人類充分享受著數(shù)學文化的恩惠，但往往渾然不覺，習以為常，對數(shù)學文化重要性缺乏自覺的認識，因而不可能不從消極方面影響到自身的

18、成長及人類社會進一步走向更高級的文明，這是值得認真反思并引起足夠重視的。古人說：“天不生件尼，萬古長如夜?！比绻麤]有數(shù)學，沒有數(shù)學的進步，人們可能還生活在中世紀的黑暗中，過著“長如夜”的生活，我們有什么理由不尊重數(shù)學文化，不重視數(shù)學文比引領和熏陶作用呢?二、自覺接受數(shù)學文化的熏陶，努力增進自身的數(shù)學教養(yǎng) 從小學到中學，從中學到大學，從大學到研究生階段，人們都在學習數(shù)學。那么，為什么要學習數(shù)學，或靜說學習數(shù)學的目的究竟何在呢?答案似乎很簡單：學習數(shù)學，不就是要獲得數(shù)學知識，要學得一大堆重要的致學概念、定理、公式和結論，懂得各種各樣的數(shù)學方去和手段嗎?這種單純以學習知識為目的的觀點，將教爭僅僅看成

19、是知識的傳授，是很片面的，也是很有害的。至于現(xiàn)在中小學的數(shù)學教育中，將完整的數(shù)學知識體系手分割為若干互不聯(lián)系的支離破碎的知識點，孤立地進行講授，甚至還按照考試大綱的要求，在教學中決定這些知識點的取舍或輕重，更是誤人子弟，流毒非淺，等面下之了。 1學習數(shù)學學科的目的 無論是對中小學還是對大學，無論是對理工科還是對文科，無論是對青少年還是對成人，應該努力達到如下三個方面的要求： (1)通過學習數(shù)學，對數(shù)學這個學科有一個基本正確的認識和理解，對數(shù)學的重要性，對數(shù)學在推進人類社會物質文明與精神文明發(fā)展方面的重要作用，對數(shù)學是一種先進的文化，包括對數(shù)學帶來的美感，有一個基本的認同和體會。因而對數(shù)學有一種

20、仰慕和敬重，有一種向往和熱愛，有一種親和力。如果覺得數(shù)學紙上談兵，毫無用處，覺得數(shù)學高不可攀，難以理解，覺得數(shù)學枯燥無味，甚至面目可憎，對其敬而遠之，退避三舍，這樣的數(shù)學教與學，無疑是失敗的。 (2)通過學習數(shù)學，特別是通過數(shù)學嚴格的訓練，能逐步領會到數(shù)學的精神實質和思想方法，在潛移默化中積累起一些優(yōu)良的素質，造就自己的數(shù)學教養(yǎng)，不僅變得更加聰明起來，而且對今后一生的發(fā)展都會起著重要的積極作用。這一點，特別體現(xiàn)了數(shù)學教育本身就是一種素質教育。忽略了這一點，就失去了數(shù)學教育的靈魂。 (3)通過學習數(shù)學，不僅積累數(shù)學的知識和方法，掌握必要的工具和技巧，而且提高了將數(shù)學有效地用于解決現(xiàn)實世界中種種實

21、際問題的自覺性和主動性，并具備一定的能力，今后能夠和他人合作或想到和他人合作，運用數(shù)學思想和工具來解決自己在工作中碰到的一些關鍵問題。在這方面，要求在一定的程度上熟練掌握關鍵的數(shù)學知識和方法，也要求用數(shù)學來解決實際問題的意識和能力，并要求將二者結合起來。 如果達到了上面這三方面的要求，數(shù)學的教與學應該說才是真正完滿地實現(xiàn)了自己的任務，否則，就是不完全的、有缺憾的，甚至是不成功的。當然對不同的情況，這三方面的要求應有不同的側重。例如對文科的學生，學習數(shù)學的目的應更多放在對數(shù)學文化的認同與理解方面，而對數(shù)學知識及方法之掌握要求與熟練程度，不應列為重點。而對理工科的學生，在熟練掌握并靈活運用數(shù)學知識

22、與方法方面就應有更高的要求，但對數(shù)學文化的理解及數(shù)學教養(yǎng)的加強，仍應高度重視。 2數(shù)學素質與數(shù)學教養(yǎng)的問題 強調這一點，是和將數(shù)學的教學僅僅看成是知識的傳授這種觀點相對立的，也是體現(xiàn)素質教育精神的。 如果將數(shù)學教學僅僅看成是知識的傳授(特別是那種照本宣科式的傳授)，那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用；而掌握可數(shù)學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。許多在實際工作中成功地應用了數(shù)學并取得相當突出成績的數(shù)學系畢業(yè)生都有這樣的體會：在工作中真正需要用到的具體數(shù)學分支學科，具體的數(shù)學定理、公式和結論，其實

23、并不很多，學校里學過的一大堆數(shù)學知識很多都似乎沒有派上什么用處，有的甚至已經淡忘，但所受的數(shù)學訓練，所領會的數(shù)學思想和精神，卻無時無刻不在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。因此，如果就事論事，僅僅將數(shù)學作為知識來學習，而忽略了數(shù)學思想對學生的熏陶以及學生數(shù)學素質的提高，就失去了數(shù)學課程最本質的特點和要求，失去了開設數(shù)學課程的意義。 實際上，通過嚴格的數(shù)學訓練，可以使學生具備一些特有的素質。這些素質是其他課程的學習和其他方面的實踐所無法替代或難以達到的，而且，即使所學的數(shù)學知識已經淡忘，這些素質作為一個人的數(shù)學教養(yǎng)仍不會消失，將始終發(fā)揮積極的作用。初步歸納一下，這些素質有： (1)使

24、學生樹立明確的數(shù)量觀念，“胸中有數(shù)”，會認真注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。 (2)提高學生的邏輯思維能力，使他們思路清晰，條理分明，能有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。 (3)培養(yǎng)學生的抽象思維能力，面對錯綜復雜的現(xiàn)象，能抓住主要矛盾，突出事物的本質，有效地解決問題。 (4)數(shù)學上的推導要求每一個正負號、每一個小數(shù)點都不能含糊敷衍，有助于培養(yǎng)學生認真細致、一絲不茍的作風和習慣。 (5)數(shù)學上追求的是最有用(廣泛)的結論、最低的條件(代價)以及最簡明的證明，可以使學生形成精益求精的風格。 (6)使學生知道數(shù)學概念、方法和理論的產生和發(fā)展的淵源和過程，提高他們運用數(shù)學知識處理現(xiàn)實世界中各種復雜問

25、題的意識、信念和能力。 (7)可以增強學生拼搏精神和應變能力，能通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終解決問題。 (8)調動學生的探索精神和創(chuàng)造力，使他們更加靈活和主動，逐步顯露出自己的聰明才智。 (9)使學生具有某種數(shù)學上的直覺和想象力，包括幾何直觀能力，能夠根據所面對的問題的本質或特點，估計到可能的結論，為實際的需要提供借鑒。 數(shù)學知識的傳授，如果不滿足于填鴨式的灌注，而是更多地針對數(shù)學這門學科的特點，采取啟發(fā)、誘導的方式，就可以使學生在學習知識的過程中，逐步地由不自覺到自覺地將這些方面的素質耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，變成他們的數(shù)學教養(yǎng)，終生受用不盡。三、關于開展數(shù)學文

26、化教學的一些建議 如前所述，數(shù)學的教學不能僅僅看成是知識的傳授，而應該使學生在學習知識、培養(yǎng)能力和提高素質諸方面笥得到教益，兼顧數(shù)學文化和數(shù)學教養(yǎng)方面的要求。但是，無論是弘揚數(shù)學文化，還是增進數(shù)學教養(yǎng)，都應該是也只能是學生在學習數(shù)學的過程中實現(xiàn)的，是必須以認真學習數(shù)學知識、嚴格加強數(shù)學訓練作為載體來完成的。我們不應該將弘揚數(shù)學文化作為數(shù)學課堂教學以外的東西，想力設法從外面加進來，相反，應該認識到這是數(shù)學課程教學的內在要求和有機組成。結合數(shù)學的課堂教學，特別是主干數(shù)學課程的數(shù)學教學，在講授數(shù)學知識的同時，將有關數(shù)學的重要發(fā)現(xiàn)與發(fā)明，擺到當時的歷史環(huán)境中來分析，并結合現(xiàn)今的發(fā)展及應用，揭示它們在數(shù)學文化層面上的意義及作用，因勢利導，順水推舟，而達到畫龍點睛的效果，使學生在潤物細無聲之情境中得到深刻的啟示。這樣，日積月累，潛移默化，就能達到應有的效果。 現(xiàn)在，數(shù)學文化的主題已開始引起了大家的注意，一些有關數(shù)學文化的教學活動也逐步開展了起來，這無疑是數(shù)學教學改革的一個進步，值得進一步提倡。但是，除了對文科類學生的數(shù)學課程主要就應該是數(shù)學文化課