初中數(shù)學(xué)經(jīng)典相似三角形練習(xí)題(附參考答案)

1、相似三角形一.解答題(共30小題)1 .如圖，在ABC中，DE/BC,EF/AB,求證：ADEEFC.2 .如圖，梯形ABCD中，AB/CD,點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G.(1)求證：CDFABGF;(2)當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EF/CD交AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長.3 .如圖，點D,E在BC上，且FD/AB,FE/AC.求證：ABCAFDE.4 .如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BFXAE于F,試說明：ABFAEAD.5 .已知：如圖所示，在ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,且點B,A,D在一條直線上，連接

2、BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.(1)求證：BE=CD;AMN是等腰三角形；(2)在圖的基礎(chǔ)上，將4ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立；(3)在(2)的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P.求證：PBDAAMN.6 .如圖，E是？ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC,交AD于點F.在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明.7 .如圖，在4X3的正方形方格中，ABC和4DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.(1)填空：/ABC=,BC=;(2)判斷ABC與

3、4DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.8 .如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的弓?(2)是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.可編輯范本9 .如圖，在梯形ABCD中，若AB/DC,AD=BC,對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形.(1)列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形

4、的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)請你任選一組相似三角形，并給出證明.10 .如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA,/BAC=45,/BDC=60,CEXBD于E,連接AE.(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；(2)圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；(3)求BEC與BEA的面積之比.11 .如圖，在ABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P,交AB于Q.(1)求四邊形AQMP的周長；(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；(3)M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論.12

5、 .已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC,M是CD的中點，試說明：ADMAMCP.13 .如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面積S;(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QELBC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒.問：當(dāng)點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t,使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；在運動過

6、程中，是否存在這樣的t,使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.14 .已知矩形ABCD,長BC=12cm,寬AB=8cm,P、Q分別是AB、BC上運動的兩點.若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？15 .如圖，在ABC中，AB=10cm,BC=20cm,點P從點A開始

7、沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，4PBQ與ABC相似.16 .如圖，/ACB=/ADC=90,AC=V&,AD=2.問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.17 .已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B）,使得CDM與AMAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由.18 .如圖在ABC中，/C=90,BC=8cm,AC=6cm,點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動,點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動.若Q、P

8、分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？19 .如圖所示，梯形ABCD中，AD/BC,/A=90,AB=7,AD=2,BC=3,試在腰AB上確定點P的位置,使得以P,A,D為頂點的三角形與以P,B,C為頂點的三角形相似.20 .AABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，/A=ZD=90,DEF的頂點E位于邊BC的中點上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：BEMCNE;(2)如圖2,將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是，除(1)中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論

9、.21 .如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間，那么當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似.OA所在22 .如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（。點）20米的A點，沿的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？23 .陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達）他們帶了以下測量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平

10、面鏡.請你在他們提供的測量工具中選出所需工具,設(shè)計一種測量方案.（1）所需的測量工具是：;（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x,請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x.24 .問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量.面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.200cm,影長為丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為156cm.任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗

11、桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH與。相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）25 .陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的高BC.26.如圖，李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高AB=h ,燈柱的高 OP=O P =l,兩燈柱之間的距離(1)(2)若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和(DA+AC )是否是定值請說明理由;(3)若李華在點A朝著影子(如圖

12、箭頭)的方向以 V1勻速行走,試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2.二冢27.如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓,其面積分別用，S3表示，則不難證明 S1=S2+S3.(1)如圖，分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用Si, S2, S3表不，那么Si,S2, S3之間有什么關(guān)系;(不必證明)(2)如圖，分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S、S2、S3表不，請你確定，S3之間的關(guān)系并加以證明;(3)若分別以直角三角形 ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用51, S2, S3表示，為使Si,52, S3之間仍具

13、有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論;(4)類比(1), (2), (3)的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論.5工5 口s.可編輯范本若李華距燈柱OP的水平距離OA=a,求他影子AC的長;28 .已知：如圖，ABCsADE,AB=15,AC=9,BD=5.29 .已知：如圖RtAABCRtABDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的長；(2)過B作BEXDC于E,求BE的長.30 .(1)已知上二一，且3x+4z2y=40,求x,y,z的值;23一5(2)已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3:10,且這兩個三角形的周長差為560cm,求它們的周長.可編輯范本參考

14、答案與試題解析一.解答題（共30小題）1 .如圖，在ABC中，DE/BC,EF/AB,求證：ADEEFC.考點：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。專題：證明題。ADEAEFC.分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知/AED=ZC,/A=/FEC,根據(jù)相似三角形的判定定理可知解答:證明：DE/BC,DE/FC,.ZAED=/C.又EF/AB,EF/AD,/A=/FEC.ADEsEFC.點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.2 .如圖，梯形ABCD中，AB/CD,點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G.(1)求證：CDFABGF;（2）當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EF/CD交AD于點E,若A

15、B=6cm,EF=4cm,求CD的長.考點：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。-專題：幾何綜合題。分析：（1）利用平行線的性質(zhì)可證明CDFsbgf.（2）根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件，可得CDFABGF,則CD=BG,只要求出BG的長即可解題.解答：（1）證明：二.梯形ABCD,AB/CD, ./CDF=/FGB,/DCF=/GBF,（2分）.,.CDFABGF.（3分）（2）解：由（1）CDFABGF,又F是BC的中點，BF=FC,.,.CDFABGF,DF=GF,CD=BG,（6分）.AB/DC/EF,F為BC中點， .E為AD中點， .EF是ADAG的中位線，2EF=AG=A

16、B+BG.BG=2EF-AB=2X4-6=2,CD=BG=2cm.（8分）點評：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復(fù)雜.3 .如圖，點D,E在BC上，且FD/AB,FE/AC.求證：ABCAFDE.考點：相似三角形的判定。-專題：證明題。分析：由FD/AB,FE/AC,可知/B=/FDE,/C=/FED,根據(jù)三角形相似的判定定理可知：ABCsFDE.解答：證明：FD/AB,FE/AC,B=/FDE，/C=/FED,ABCAFDE.點評：本題很簡單，考查的是相似三角形的判定定理：(1)如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；(2)如果一

17、個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.4.如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BFXAE于F,試說明：ABFAEAD.考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。-專題：證明題。分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可解.解答：證明：矩形ABCD中，AB/CD,/D=90,（2分） ./BAF=/AED.（4分） BFXAE,/AFB=90. ./AFB=ZD.（5分） .ABFsead.（6分）點評：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)的角.5,已知：如圖所示

18、，在ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,且點B,A,D在一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.（1）求證：BE=CD;AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將4ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P.求證：PBDAAMN.考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。-專題：幾何綜合題。分析：（1）因為/BAC=/DAE,所以/BAE=/CAD,又因為AB=AC,AD=AE,利用SAS可證

19、出BAE0CAD,可知BE、CD是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等，可證AMN是等腰三角形.（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變.（3）先證出ABMACN（SAS）,可得出/CAN=/BAM,所以/BAC=ZMAN（等角加等角和相等），又BAC=/DAE,所以/MAN=/DAE=/BAC,所以AMN,ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以/PBD=/AMN,所以PBDAAMN（兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似）.解答：（1）證明：.一/BAC=ZDAE,ZBAE=ZCAD, AB=AC,AD=AE,ABEAACD,BE=CD.由ABEAACD,得/ABE=

20、/ACD,BE=CD, M、N分別是BE,CD的中點，BM=CN.X/AB=AC, .ABMAACN.AM=AN,即AAMN為等腰三角形.（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立.（3）證明：在圖中正確畫出線段PD,由（1）同理可證ABMACN,/CAN=/BAM/BAC=/MAN.又./BAC=/DAE, ./MAN=/DAE=/BAG. .AMN,ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形. .PBD和4AMN都為頂角相等的等腰三角形， ./PBD=/AMN,/PDB=/ANM,PBDAAMN.點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似三角形的判

21、定（兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）6 .如圖，E是？ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC,交AD于點F.在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明.考點：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。-專題：開放型。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：4AEFsBEC;AEFsDCF;BECsDCF.解答：解：相似三角形有AEFsBEC;AEFsDCF;BECsDCF.（3分）如：AEFABEC.在？ABCD中，AD/BC,./1=ZB,/2=/3.（6分）AEFABEC.（7分）點評：考查了平行線的性質(zhì)及相

22、似三角形的判定定理.7 .如圖，在4X3的正方形方格中，ABC和4DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.(1)填空：/ABC=135。,BC=_2V2_;(2)判斷ABC與4DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.CE DE考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。-專題：證明題；網(wǎng)格型。分析：(1)觀察可得：BF=FC=2,故/FBC=45;貝U/ABC=135,BC=V4+4=2/2；(2)觀察可得：BC、EC的長為2J1凡可得絲理，再根據(jù)其夾角相等；故4ABCDEC.解答：解：(1)/ABC=135,BC=2也;(2)相似；BCj/z+Z2=EC對1+1=&;.AB2r-BC2V2r-奇收心而

23、一亍一厄-一?CEDE又/ABC=/CED=135,ABCADEC.自評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率.8 .如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的日？（2）是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.考點：相似三角形

24、的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專題：動點型。分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，AMN的面積等于矩形ABCD面積的;作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在.解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的貝U有：?。?2x）x=；X3X6,即x2-3x+2=0,（2分）解方程，得Xi=1,X2=2,(3分)經(jīng)檢驗，可知X1=1,X2=2符合題意,所以經(jīng)過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面

25、積的一.(4分)9(2)假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A,M,N為頂點的三角形與ACD相似,由矩形ABCD,可得/CDA=/MAN=90因此有媽口或理口AN EA AN DC（5分）或一4（6分）5- 2t6&-2t3解，得t=W；解，得t= （7分）25經(jīng)檢驗,t= 或t=聲都符合題意,所以動點M, N同時出發(fā)后，經(jīng)過&秒或2豈秒時，以A, M, N為頂點的三角形與 ACD相似.(85分)點評:主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和二次方程的運用以及解分式方程.和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活的運用.注意：一般關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為 所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可.要掌握正方形 x

26、,根據(jù)速度表示出9.如圖，在梯形 ABCD中，若AB /DC, AD=BC ,對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形.(1)列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況, 概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的(2)請你任選一組相似三角形，并給出證明.D考點：相似三角形的判定；概率公式。-專題：開放型。分析：（1）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可求得；與，與相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可證得.解答：解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2分）其中有兩組（，）是相似的. 選取到的二個三角形是相似

27、三角形的概率是P（4分）3證明：（2）選擇、證明.在AOB與COD中， AB/CD,/CDB=/DBA,/DCA=/CAB,AOBACOD（8分）選擇、證明. 四邊形ABCD是等腰梯形，/DAB=/CBA, 在DAB與CBA中有AD=BC,/DAB=/CAB,AB=AB,.-.DABCBA,（6分）/ADO=/BCO.又/DOA=/COB,DOAsCOB（8分）.點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=-,即相似三角形的證明.還考查了相似三角形的判定.n10.附加題：如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA

28、,/BAC=45,/BDC=60,CEXBD于E,連接AE.(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；(2)圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由;(3)求BEC與BEA的面積之比.考點：相似三角形的判定；三角形的面積；含30度角的直角三角形。-專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED,則可寫出相等的線段;(2)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似則可判斷ADEaec；(3)要求BEC與4BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作BEA的邊BE邊上的高即可求解.解答：解：(1)AD

29、=DE,AE=CE. .CEXBD,/BDC=60, 在RtACED中，/ECD=30.CD=2ED. CD=2DA,AD=DE,/DAE=/DEA=30=/ECD.AE=CE.(2)圖中有三角形相似，ADEsaec； /cae=/CAE,/ade=/AEC,.ADEaec；(3)彳AFBD的延長線于F,設(shè)AD=DE=x,在RtACED中，可得ce=V3臬,故ae=5k./ECD=30.在RtAAEF中，AE=/AED=/DAE=30sin/AEF=包AE本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣.11.如圖，在ABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上的任意

30、一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P,交AB于Q.(1)求四邊形AQMP的周長；(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；(3) M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；菱形的判定。i專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長;(2)因為/B=ZC=ZPMC=ZQMB,所以PMCAQMBABC;(3)根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形白判定不難求得四邊形AQMP為菱形.解答：解：(1)AB/MP,QM/AC,，四邊形APMQ是平行四邊形，/B=/PMC,/C=/QMB. AB=AC, ./B=ZC,

31、./PMC=/QMB.BQ=QM,PM=PC. 四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a(2) PM/AB,PCMAACB, .QM/AC, .BMQABCA;(3)當(dāng)點M中BC的中點時，四邊形APMQ是菱形， 點M是BC的中點，AB/MP,QM/AC,QM,PM是三角形ABC的中位線. AB=AC,.QM=PM=3AB=_1aC.22又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ是菱形.點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的綜合運用.12 .已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC

32、,M是CD的中點，試說明：ADMAMCP.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。-專題：證明題。分析：欲證ADMsmcp,通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即/D=ZC,此時，再求夾此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例即可.解答:證明：正方形ABCD,M為CD中點, .CM=MD=AD.可 BP=3PC,PC=BC=AD=CM.442CMAD2 /PCM=/ADM=90MCPAADM.自評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.本題中把若干線段的長度用同一線段來表

33、示是求線段是否成比例時常用的方法.13 .如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面積S;(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QELBC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒.問：當(dāng)點P在B?A上運動時，是否存在這樣的t,使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相

34、似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由.考點:分析:相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。動點型；開放型。(1)求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長，在直角三角形中用勾股定理進行求解,得出高后即可求出梯形的面積.(2)PQ平分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了AD,BC的長，可以用t來表示出AP,BP,CQ,QD的長，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值.本

35、題要分三種情況進行討論:一，當(dāng)P在AB上時，即0t8,如果兩三角形相似，那么/C=/ADP,或/C=/APD,那么在ADP中根據(jù)/C的正切值，求出t的值.二，當(dāng)P在AD上時，即8t10,由于P,A,D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形.三，當(dāng)P在CD上時，即10vtwi2,由于/ADC是個鈍角，因此ADP是個鈍角三角形因此不可能和直角CQE相似.綜合三種情況即可得出符合條件的t的值.(3)和(2)相同也要分三種情況進行討論：一，當(dāng)P在AB上時，即0t8,等月PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ,可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP,PQ的長，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值.二，當(dāng)P在AD上

36、時，即8t10,由于BA+AD=CD=10,因此DP=DQ=10-t,因此DP,DQ恒相等.三，當(dāng)P在CD上時，即10Vtw12,情況同二.綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時，t的取值.解答：解：(1)過D作DH/AB交BC于H點，AD/BH,DH/AB,四邊形ABHD是平行四邊形.DH=AB=8;BH=AD=2.CH=8-2=6.,.CD=10,DH2+CH2=CD2.1.ZDHC=90./B=/DHC=90.梯形ABCD是直角梯形.,.SKbcd=-(AD+BC)AB=-X(2+8)X8=40.(2).一BP=CQ=t,AP=8t,DQ=10-t,AP+AD+DQ=PB+BC+CQ-

37、8-t+2+10-t=t+8+t.當(dāng)t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分.第一種情況：0V18若PADAQEC則/ADP=/C1.tanZADP=tan/C=昌63-8-t.4_16t-233若PADs*CEQ則/APD=/C1.tanZAPD=tan/C=豈.-W638-t372第二種情況：8t10,P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10vtwi24ADP為鈍角三角形與RtACQE不相似; PAD與 CQE相似.第一種情況：當(dāng) 0WtW8時.過Q點作QEXBC, QH XAB,垂足為E、H . AP=8 - t, AD=2 ,PD= AP 2+AD 2=- 16計68 .CE=t,

38、 QE=t,55,BH=QE=PQ=Jqh2+Ph2=JB-箓+64,DQ=1。-1.VSb1:DQ=DP,1。-t=、J七2一6t+68，解得t=8秒.H:DQ=PQ,10-t=J22-h64，VQQ化簡得：3t2-52t+180=0解得：t=26-234t=26+2d瓦8（不合題意舍去）3326-2734 一3第二種情況：8WtwiO時.DP=DQ=10-t. 當(dāng)8Wt10時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立.第三種情況：10VH12時.DP=DQ=t-10. 當(dāng)10VH12時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立.綜上所述，t=%或8Wt10或10vt012時，以DQ為腰的等腰DPQ成AZDAD點評

39、：本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，要注意（2）中要根據(jù)P,Q的不同位置，進行分類討論，不要漏解.14 .已知矩形ABCD,長BC=12cm,寬AB=8cm,P、Q分別是AB、BC上運動的兩點.若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。-專題：幾何動點問題；分類討論。分析：要使以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似，則要分兩兩種情況進行分析.分別是PBQABDC或aBPsBDC,從而解得所需的時間.解答：解：設(shè)經(jīng)x秒后，P

40、BQsbcd,既鳴,DC BC由于/PBQ=/BCD=90(1)當(dāng)/1=/2時，有:即8-直2K_24.艮lJ土，x=8127(2)當(dāng)/ 1=/3 時，有:BC DC匕-生口12一8經(jīng)過1秒或2秒，PBQsbcd.我評：此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用.點Q pbq15 .如圖，在ABC中，AB=10cm,BC=20cm,點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動,從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，與ABC相似.考點：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。動點型。分析:設(shè)經(jīng)過t秒后，PBQ與ABC相似，

41、根據(jù)路程公式可得AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,然后利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可.解答:解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，PBQ與4ABC相似，則有AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,當(dāng)PBQsabc時，有BP：AB=BQ:BC,即(10-2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)當(dāng)aaBPsABC時，有BQ：AB=BP：BC,即4t:10=(102t):20,解得t=1.所以，經(jīng)過2.5s或1s時，PBQ與ABC相似(10分).解法二：設(shè)ts后，4PBQ與4ABC相似，則有，AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t分兩種情況:(1)當(dāng)BP與AB對應(yīng)時,(

42、2)當(dāng)BP與BC對應(yīng)時,解得 t=2.5s,解得t=1s有景累即有胃嚼即所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與 ABC相似.點評:本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學(xué)生平時學(xué)過的知識要會融合起來.16 .如圖，/ACB=/ADC=90,AC=V&,AD=2.問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.考點：相似三角形的判定。專題：分類討論。分析：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，這兩個直角三角形相似.在RtABC和RtAACD,直角邊的對應(yīng)需分情況討論.解答：解：AC=巫，AD=2,CD=痛2-而=后.要使這兩個直角三角

43、形相似，有兩種情況：(1)當(dāng)RtAABCRtAACD時，有=里，.AB=_=3;MlACAD(2)當(dāng)RtAACBRtACDA時，有空=越，.AB=-=3段.CDACCD故當(dāng)AB的長為3或3、段時，這兩個直角三角形相似.自評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.那么B),17 .已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N(不含A使得CDM與AMAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)

44、。-專題：探究型；分類討論。分析：兩個三角形都是直角三角形，還只需滿足一對角對應(yīng)相等或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例即可說明兩個三角形相似.若DM與AM對應(yīng)，則4CDM與MAN全等，N與B重合，不合題意；若DM與AN對應(yīng)，則CD:AM=DM:AN,得AN=a,從而確定N的位置.4解答：證明：分兩種情況討論：若CDMsman,貝（狐二笠.ANO邊長為a,M是AD的中點,AN=-a.4若CDMsnam,則35.AN以邊長為a,M是AD的中點,AN=a,即N點與B重合，不合題意.所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B）,使得CDM與MAN相似.當(dāng)AN=a時，N點的位置滿足條件.我評：此題考查相似三角形的判定

45、.因不明確對應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論.18 .如圖在ABC中，/C=90,BC=8cm,AC=6cm,點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動,點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動.若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？考點：相似三角形的判定。-專題：綜合題；動點型。分析：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解.解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（8-2x）cm,CP=xcm,（1分）./C=/C=90,.當(dāng)黑噌或

46、號塔時兩三角形相似.所以，經(jīng)過秒或笆秒后，兩三角形相似.511（3分）（4分）（5分）（6分）本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法.19 .如圖所示，梯形ABCD中，AD/BC,/A=90,AB=7,AD=2,BC=3,試在腰AB上確定點P的位置,使得以P,A,D為頂點的三角形與以P,B,C為頂點的三角形相似.考點：相似三角形的判定；梯形。一專題：分類討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法.解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解.解答：解：（1）若點A,P,D分別與點B,C,P對應(yīng)，即APDsbcp,.也”臺學(xué)AP2-7AP

47、+6=0,AP=1或AP=6,檢測：當(dāng)AP=1時，由BC=3,AD=2,BP=6,AP_AD-,BCBP又./A=/B=90,APDABCP.當(dāng)AP=6時，由BC=3,AD=2,BP=1,又./A=/B=90,APDABCP.(2)若點A,P,D分別與點B,P,C對應(yīng)，即APDABPC.AP_AD.|AP_2.ap_14=AP-BPBC7-AP35檢驗：當(dāng)AP=工時，由BP=Wi,AD=2,BC=3,55或四BPBC又./A=/B=90,APDABPC.因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、里、6處.5點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；有

48、兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.20 .AABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，/A=ZD=90,DEF的頂點E位于邊BC的中點上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：BEMCNE;(2)如圖2,將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是，除(1)中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論.B E C B國1國2考點：相似三角形的判定；等腰直角三角形。-專題：證明題；開放型。分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要

49、分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45。，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得ECNAMEN.解答：證明：（1）.ABC是等腰直角三角形，/MBE=45,.BME+/MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45 ./NEC+/MEB=135 ./BEM=/NEC,（4分）而/MBE=/ECN=45, .BEMACNE.（6分）（2）與（1）同理BEMsCNE,（8分）又 BE=ECCN NE（10 分）貝SECN 與AMEN中有CN EN又/ECN=/MEN=45,.ECNAMEN.（1

50、2分）我評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似;如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.21.如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似.考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。-專題：幾何動點問題；分類討論。分析：若以點Q、A、P為頂點的三角

51、形與ABC相似，有四種情況：APQsbac,此時得AQ：BC=AP：AB；APQsbca,此時得AQ：AB=AP:BC；AQPsbac,此時得AQ：BA=AP:BC；AQPsbca,此時得AQ：BC=AP：BA.可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出t的值.解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，所以ABCAPAQ或ABCAQAP,當(dāng)ABCAPAQ時,層圖,AP-AQ所以10,2t10-t解得：t=6;當(dāng)ABCAQAP時,堡型,APAQ所以10_ 15解得：t=上;2當(dāng)AQPABAC時,上，即.=-,BABC1510所以t=-；2當(dāng)AQPABCA時，旦旦即=二，BC司1

52、015所以t=30（舍去）.故當(dāng)t=6或t=5時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似.此題主要考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)；當(dāng)相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)線段不明確時，應(yīng)考慮到所有可能的情況，分類討論，以免漏解.22.如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（。點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？考點：相似三角形的應(yīng)用。i專題：應(yīng)用題。分析：如圖，由于AC/BD/OP,故有MACAMOP,NBDNOP即可由相似三角形的性質(zhì)求解.解答：解：./MAC=/MOP=90,/AMC=/OMP,解得，MA=5米；同理，由4NBDsNOP,可求得NB=1.5米，小明的身影變短了5-1.5=3.5米.一I米&0BN且M點評：解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模