【2020年高考數(shù)學(xué)】三角函數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1、【2020年高考數(shù)學(xué)】三角函數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)類型對(duì)應(yīng)典例以解三角形為背景借助正余弦定理建立函數(shù)關(guān)系典例1以三角形面積為背景借助基本不等式求解最值典例2以三角函數(shù)圖象為背景探求實(shí)際問題的最值典例3以組合圖形為背景考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題典例4以三角探究性問題研究方案的可能性問題典例5以實(shí)物為背景建立三角函數(shù)關(guān)系借助導(dǎo)數(shù)求最值典例6以實(shí)際方位為背景考查三角函數(shù)求值與三角實(shí)際問題典例7【典例1】【山東省泰安市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC, A 90°, BC長2千米，現(xiàn)對(duì)這塊地進(jìn)行綠化改造，計(jì)劃從BC的中點(diǎn)D引出兩條成4

2、5°的線段DE和DF,與AB和AC圍成四邊形區(qū)域 AEDF ,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域種植草坪；設(shè) BDE，試求花卉種植面積 S的取值范圍.【典例2】【江蘇省鹽城中學(xué) 2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】我校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為 S （平方米）的11 / 33AMPN矩形健身場地，如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上，已知 ACB 60 ,AC 30 米，AMx米，x 10,20 .設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價(jià)為37k 75兀，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為12kY兀（k為正

3、吊數(shù)）試用x表小S ,并求S的取值范圍;(2)求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T f S ;（3）如何選取 AM ,使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）【典例3】【遼寧省普通高中 2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試卷】OSM,該曲線段如圖，某市擬在長為 8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段為函數(shù)y Asin x(A 0,0) , x 0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S(3,2 J3);賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定 MNP 120°.(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長?【典例4】【河北省邢

4、臺(tái)市 2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】某生態(tài)農(nóng)莊有一塊如圖所示的空地，其中半圓。的直徑為300米，A為直徑延長線上的點(diǎn)，OA 300米,B為半圓上任意一點(diǎn)，以 AB為一邊作等腰直角 VABC ,其中BC為斜邊.，2. 一 一 1若 AOB ；，求四邊形OACB的面積； 32現(xiàn)決定對(duì)四邊形 OACB區(qū)域地塊進(jìn)行開發(fā)，將VABC區(qū)域開發(fā)成垂釣中心， 預(yù)計(jì)每平方米獲利10元,將VOAB區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預(yù)計(jì)每平方米獲利20元，則當(dāng) AOB為多大時(shí)，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大？【思路點(diǎn)撥】21計(jì)算 AOB 時(shí)VAOB和VABC的面積，求和得出四邊形 OABC的面積； 32設(shè)

5、AOB ,求出VAOB和VABC的面積和，得出目標(biāo)函數(shù)的解析式，再求該函數(shù)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng) 的值.【典例5】【廣東省汕頭市金山中學(xué) 2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期期末】汕頭市有一塊如圖所示的海岸，OA, OB為岸邊，岸邊形成120角，現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個(gè)養(yǎng)殖場，現(xiàn)有以下兩個(gè)方案：方案1：在岸邊OA, OB上分別取點(diǎn)E, F ,用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形 EOF （ EF為圍 網(wǎng)）.方案2：在 AOB的平分線上取一點(diǎn) P，再從岸邊OA,OB上分別取點(diǎn) M , N，使得 MPO NPO用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形 PMON （ PM , PN為圍網(wǎng)）.記三角形EOF的面

6、積為Si,四邊形PMON的面積為S2.請(qǐng)分別計(jì)算8的最大值，并比較哪個(gè)方案好.【思路點(diǎn)撥】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面積最值，方案 2中，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積最值，然后比較大小，即可得哪種方案好【典例6】【江蘇省蘇州市 2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】如下圖所示，某窯洞窗口形狀上部是圓弧CD ,下部是一個(gè)矩形 ABCD ,圓弧CD所在圓的圓心為 O,經(jīng)測量AB 4米，BC Y3米， COD 120 ,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH ,其中3E, F在邊AB上，G, H在圓弧CD上.設(shè) OGF ,矩形EFGH的面積為S.(1)求矩形EFGH

7、的面積S關(guān)于變量 的函數(shù)關(guān)系式；(2)求cos為何值時(shí)，矩形 EFGH勺面積s最大？【思路點(diǎn)撥】EFGH的面積S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式；S 0時(shí)的cos的值，三角計(jì)算即可得出結(jié)(1)結(jié)合幾何圖形計(jì)算的直角三角形勾股定理，找出矩形(2)對(duì)S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)思路點(diǎn)撥，算出 果.O (如圖)的東偏南【典例7】在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市2(cos ;5)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北 45萬向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為 60km,并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?1km的扇形EAF

8、,中心角1.【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題】某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設(shè)計(jì)成半徑為EAF .為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域H）和休閑區(qū)（區(qū)42域出），并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是ABCD,其中點(diǎn)E , F分別在邊BC和CD上.已10萬元、20萬元、20萬元.（1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，求的最大值;（2）試問：當(dāng) 為多少時(shí)，年總收入最大?2.【河北省衡水市深州市長江中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)】PAQ始如圖，有一塊邊長為1 （百米）

9、的正方形區(qū)域 ABCD.在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角終為45 （其中點(diǎn)P, Q分別在邊BC, CD上），設(shè)BP= t （百米）.（1）用t表示出PQ的長度，并探求 CPQ的周長L是否為定值;（2）設(shè)探照燈照射在正方形 ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為 S （平方百米），求S的最大值.3 .如圖，摩天輪上一點(diǎn) P在t時(shí)刻距離地面高度滿足 y Asin（ t ） b,，已知某摩天輪的半徑為50米，點(diǎn)。距地面的高度為 60米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)P的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.（i）根據(jù)條件寫出y （米）關(guān)于t （分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)p距離地面超

10、過85米？4 .【山西省長治市第二中學(xué) 2019-2020學(xué)年高三11月月考】如圖，在VABC中，已知AB 1,BC 2, ABC 60 , M為BC中點(diǎn)，E, F分別為線段AB, AC上動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），記 EMB .（1）當(dāng) EM FM 時(shí)，求證：EM J3FM ;（2）當(dāng) EMF 60時(shí)，求四邊形 AEMF面積S關(guān)于 的表達(dá)式，并求出 S的取值范圍5 .平潭國際 花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深y （米）是隨著一天的時(shí)間t 0 t 24,單位小時(shí) 呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：t03691215182124y1

11、.52. 41.50. 61.42.41.60.61.5（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）.觀察散點(diǎn)圖，從 y Asin t ， y Acos t b, y Asin t b（A 0,0,0）中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（2）為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的518時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全6.在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間相距12h,低潮時(shí)水的深度為 8.4m,高潮時(shí)為16m, 一次高潮發(fā)生在10月10日4:00,每天漲潮落潮時(shí)，水的深度 d

12、(m)與時(shí)間t(h)近似滿足關(guān)系式d Asin t h A 0,0,-.2(1)若從10月10日0:00開始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系.(2) 10月10日17:00該港口水深約為多少？(精確到0.1m)(3) 10月10日這一天該港口共有多長時(shí)間水深低于10.3m?7.【河北省衡水中學(xué) 2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA 3km, OB 3 J3km , AOB 90o .當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)， 擬在中間挖一個(gè)人工湖OMN，其中M , N都在邊AB上，且 MON 30°

13、;,挖出的泥土堆放在OAM地帶上形成假山，剩下的 OBN地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在 OAN的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).3(1)當(dāng)AM km時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長度； 2(2)為節(jié)省投入資金，人工湖 OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使 OMN的面積最小?最小面積是多少？8.12019屆四川省成都市高三第一次診斷性檢測】某大型企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量(單位：萬千瓦時(shí))關(guān)于時(shí)間(，單位：小時(shí))的函數(shù)近似地滿足，下圖是該企業(yè)一天中在 0點(diǎn)至12點(diǎn)時(shí)間段用電量與時(shí)間的大致圖象.（I）根據(jù)圖象，求，的值；（n）若某日的供電量（萬千瓦時(shí)）與時(shí)間（小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式=+（）.當(dāng)該日內(nèi)供電量小

14、于該企業(yè)的用電量時(shí)，企業(yè)就必須停產(chǎn).請(qǐng)用二分法計(jì)算該企業(yè)當(dāng)日停產(chǎn)的大致時(shí)刻（精確度0.1）.參考數(shù)據(jù)：（時(shí)）10111211.511.2511.7511.62511.6875（萬千瓦時(shí)）2. 252.4332.52.482.4622.4962.4902.493（萬千瓦時(shí)）53.522.753. 1252.3752.5632.469三角函數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【典例1】如圖所示，有一塊等腰直角三角形地塊ABC, A 90°, BC長2千米，現(xiàn)對(duì)這塊地進(jìn)行綠化改造，計(jì)劃從BC的中點(diǎn)D引出兩條成45。的線段DE和DF,與AB和AC圍成四邊形區(qū)域 AEDF ,在該區(qū)域內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域

15、種植草坪；設(shè) BDE，試求花卉種植面積 S 的取值范圍.12/33.3【解析】在4BDE中，/ BED=4BE 1,由正弦定理得sin3sin 4BEsin.3sin 4在ADCF中,FDCCFDFC ,由正弦定理得3- sin 41sin ，sinCFsinS BDES DCFBEBDsin 一4CD sin 一4BF CFsin.3sin 一4sin4sin二4. 3sin cos42.5sin4 cos sinsin3.cossin4cos sin, 2 sin.33.sin - cos cos- sin44sin、2 2sin2 4 2 sin1 sin 2cos sin42 / 33

16、2 sin2 cos2 24 2sin cos ,2 sin21 sin 2cos 222 sin 2cos 211 1 12 sin 2 cos2 12 22sin 224ABCBDEDCF2,2 sin 224AEDF為四邊形區(qū)域,4 244 4sin 2 一4取值范圍是1-2,1 42花卉種植面積S【典例2】【江蘇省鹽城中學(xué) 2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】我校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為 S （平方米）的AMPN矩形健身場地，如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上，已知 ACB 60 ,一 . 37k _ AC 30米，A

17、M x米，x 10,20 .設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價(jià)為 香兀，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為12k元（k為正常數(shù)）H(1)試用x表小S ,并求S的取值范圍；(2)求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T f S ;(3)如何選取 AM ,使總造價(jià)T最低(不要求求出最低造價(jià))【解析】(1)在 Rt PMC 中，顯然 MC 30 x, PCM 60 ,PM MC tan PCM 百 30 x ,矩形 AMPN 的面積 S |PM| |MC| 相x 30 x ,x 10,20于是200。S 22573為所求(2)矩形AMPN健身場地造價(jià)T 37k VS.12k -又 AB

18、C的面積為450 J3,即草坪造價(jià)丁2 店 450V3S 225、373x30 x 216/3 解得 x 12 或 x 18由總造價(jià)T T1 T2, T 25k S 型四,200.3SRS 216S3 12 益 當(dāng)且僅當(dāng) 相組包即S 21673時(shí)等號(hào)成立，此時(shí),、S答：選取 AM的長為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低.【典例3】【遼寧省普通高中 2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試卷】如圖，某市擬在長為 8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y Asin x(A 0,0) , x 0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S(3,2j3);賽道的

19、后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定 MNP 120°.(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長?【思路點(diǎn)撥】(1)利用圖象分別求得周期和 A的值，進(jìn)而求得最后得到函數(shù)解析式，即可求得 M的坐標(biāo).(2)設(shè) PMN,利用正弦定理表示出 NP10.3 . sin3MN-n 60 3,即可表不出NP MN ,用兩角和差的正弦公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值解：(1)由題意知A 2J3, T4y 273sin -x .當(dāng) x 4 時(shí)，y 63, T -22 - 3 sin 3'-6 '3, M (4,3).(2)連接MP,如圖所示

20、.又 P(8,0) , MPJ( 4)2 32 5-在 AMNP 中，MNP 120 , MP 5.設(shè) PMN ，則 060 ,MP NP MNsin120 sin sin 6010 3NP -sin , MN 310 3sin 603NP MNin 60 310 331 .一sin 23cos 2"sin6036 6060120 ，10 3sin36010 .3330時(shí)，折線段賽道MNP最長.所以將 PMN設(shè)計(jì)為30時(shí)，折線段賽道 MNP最長.【典例4】【河北省邢臺(tái)市 2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】。的直徑為300米，A為直徑延長線上的點(diǎn)，OA 300米,某生態(tài)農(nóng)莊有

21、一塊如圖所示的空地，其中半圓VABC，其中BC為斜邊.1若 AOB ；，求四邊形 OACB的面積;32現(xiàn)決定對(duì)四邊形 OACB區(qū)域地塊進(jìn)行開發(fā)，將VABC區(qū)域開發(fā)成垂釣中心， 預(yù)計(jì)每平方米獲利10元,將VOAB區(qū)域開發(fā)成親子采摘中心，預(yù)計(jì)每平方米獲利20元，則當(dāng) AOB為多大時(shí)，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大?【思路點(diǎn)撥】21計(jì)算 AOB 時(shí)VAOB和VABC的面積，求和得出四邊形 OABC的面積;2設(shè) AOB ,求出VAOB和VABC的面積和，得出目標(biāo)函數(shù)的解析式，再求該函數(shù)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng) 的值. 2解：1當(dāng) AOB 時(shí)， 311J3SVAOB -OA OB AOB 300 150 1

22、1250石（平萬米）； 222在VOAB中，由余弦定理得，AB2 OA2 OB2 2OA OBcos AOB 157500；12S7ABe AB 78750（平萬米）， 21125073 78750（平方米）;四邊形OABC的面積為0,-1 ，AOB 300 150 sin 22500sin ，2Sg邊形 OACB SVAOB SVABC2設(shè) AOB ,則1 一 所以 SVAOBOA OBsin2在VOAB中，由余弦定理得，AB2 OA2 OB2 2OA OBcos AOB 112500 90000cos ;c1r2SVABc AB 56250 15000cos , 2不妨設(shè)垂釣中心和親子中心

23、獲利之和為y元，則有 y 20SVAOB 10SVABC ；化簡得 y 450000sin56250 450000cos450000 V2sin562500 ；43因?yàn)?0,所以當(dāng) 時(shí)，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大. 4【典例5】【廣東省汕頭市金山中學(xué) 2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期期末】汕頭市有一塊如圖所示的海岸，OA, OB為岸邊，岸邊形成120角，現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個(gè)養(yǎng)殖場，現(xiàn)有以下兩個(gè)方案：方案l：在岸邊OA, OB上分別取點(diǎn)E, F ,用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形EOF （ EF為圍網(wǎng)）方案2：在 AOB的平分線上取一點(diǎn) P,再從岸邊OA,OB上分別取點(diǎn) M ,

24、 N，使得 MPO NPO用長度為1km的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形 PMON （ PM , PN為圍網(wǎng)）.記三角形EOF的面積為S,四邊形PMON的面積為S2.請(qǐng)分別計(jì)算S, S2的最大值，并比較哪個(gè)方案好.【思路點(diǎn)撥】方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面積最值，方案2中，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積最值，然后比較大小，即可得哪種方案好解：方案 1：設(shè) OE a km, OF b km ,在 EOF中，由余弦定理得：EF2 OE2 OF22OE OF cos EOF，即12b2 2ab cos -3 1b2 a b2abab3ab （當(dāng)且僅當(dāng)ab 立時(shí)等號(hào)成立）3 Si1absin

25、2312（當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)等號(hào)成立）3一、3°-S取大值為km .12方案2：在 MPO中，由正弦定理得:POsin PMOPOsin POM sin 1201_2_sin 60PO 旦in3120,S2 PM PO sin立sin 120 6sin13 ''3 sinsin sin2621. 2cos -sin23 ,3 .1 cos 2sin 21222二 &in2 1cos2312 22243 sin 212,333.362412 24 -8(當(dāng)且僅當(dāng)不時(shí)等號(hào)成立)，與最大值為 吏km2, g Y3, 方案2好. 38128【典例6】【江蘇省蘇州市 20

26、19-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題】如下圖所示，某窯洞窗口形狀上部是圓弧CD ,下部是一個(gè)矩形 ABCD ,圓弧CD所在圓的圓心為 O,經(jīng)測量AB 4米，BC Y3米， COD 120，現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形EFGH ,其中3E, F在邊AB上，G, H在圓弧CD上.設(shè) OGF ,矩形EFGH的面積為S.(1)求矩形EFGH的面積S關(guān)于變量 的函數(shù)關(guān)系式;(2)求cos為何值時(shí)，矩形 EFGH的面積S最大？【思路點(diǎn)撥】EFGH的面積S關(guān)于變量。的函數(shù)關(guān)系式;S 0時(shí)的cos的值，三角計(jì)算即可得出結(jié)(1)結(jié)合幾何圖形計(jì)算的直角三角形勾股定理，找出矩形(2)對(duì)S關(guān)于變量。的函數(shù)

27、關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)思路點(diǎn)撥，算出果.解：(1)如圖，作OP CD分別交AB , GH于M, N,由四邊形 ABCD, EFGH是矩形，O為圓心，COD 120 ,所以 OM AB, ON GH , P, M, N 分別為 CD , AB , GH 中點(diǎn)， CON 60 ,在 Rt COP 中，CP2, COP60 ，所以 OC 4J3, OP3所以O(shè)M OPPMOPBC在Rt ONG中,GONOGF所以GN4V3sin 3ON4V3 cos 3所以GH2GN3 3 3 sin3GF MN ONOM443 cos3所以GF GH一 3 cos 3一 3 sin 38一 (4cos 31)sin所以S

28、關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為:8- (4cos31)sin9?(2)由（1）得:8- 4cos324sincos因?yàn)??所以cos28cos cos160,，且 cos 03112916'0,即S在0, 0單調(diào)遞增,S 0,得0，即S在 0,一單調(diào)遞減33所以當(dāng) 0時(shí)，S取得最大值，所以當(dāng)cos 1 9時(shí),矩形EFGH的面積S最大. 16【典例7】在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O （如圖）的東偏南2（cos ；1）萬向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北 45萬向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的氾圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為 60km,并以10km/h的速度不斷增大，問

29、幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?【解析】設(shè)在t時(shí)刻臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)Q,此時(shí)|OP|=300, |PQ|=20t,北臺(tái)風(fēng)侵襲范圍的圓形區(qū)域半徑為10t+60,由cos 2 ,可知sin10.1 cos27 .2"Tc-，cos/ OPQ=cos( -45o)= cos 0cc 4coS+5in 0 sin45 一5在4PQ中，由余弦定理,|OQ|2 |OP|2|PQ|22|OP| |PQ|cos OPQ= 3002 (20t)22 30020t2=400t9600t90000若城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則有|OQ|Wr(t)即2400t2 9600t 90000(10t整理，得t2 36t

30、 2880,解得 12<t<24,答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲【針對(duì)訓(xùn)練】1.【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題】1km的扇形EAF ,中心角某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設(shè)計(jì)成半徑為EAF-.為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域H）和休閑區(qū)（區(qū)域出)，并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形ABCD,其中點(diǎn)E, F分別在邊BC和CD上.已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10 萬元、20萬元、20 萬元.(1)要使觀賞區(qū)的年收入不低于 5萬元，求 的最大值;(2)試問：當(dāng) 為多少時(shí)，年總收入最大?

31、【思路點(diǎn)撥】(1)由 AF AE 1, AD AB , D花B 一,所以 ADF與ABE全等. 2可得 DAF1 BAE2兀 . 一 ,根據(jù)面積公式,2 1可求得觀賞區(qū)的面積為 g 2 -DF ?AD21一 cos ，2要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求 41(2)由題意可得種植區(qū)的面積為 & - AF AE入為W( )萬元，則1 ,解不等式即可求出結(jié)果.20 412 1 sin 一 一，正萬形面積為 S AD ,設(shè)年總收22W( ) 10s 20Sn 20Sm 10 10sin5 ,利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【解析】(1) AF AE 1, AD AB , D花

32、B 一，所以 ADF與ABE全等. 2_1 冗，,一，所以 DAFBAE ，觀賞區(qū)的面積為2 21111Sn 2 DF ?AD sin DAF ?cos DAF sin 2 DAF sin -cos22222.一 51_1兀 兀 兀的年收入不低于5萬兀，則要求Sn一，即cos 一 ,結(jié)合一一可知一2042424大值為.31 1(2)種植區(qū)的面積為 Si AF AE , 一,2 2,要使得觀賞區(qū)花一,則的最3正方形面積為S AD2 cos2 DAF1 cos2 DAF1 sin設(shè)年總收入為W()萬元，則W( ) 10s 20Sn 20Sm 10s 20(S S) 5201 sin10 10sin

33、-. TTTT_其中-求導(dǎo)可得 W( ) 10cos 5.42, 冗冗冗當(dāng) 時(shí)，W( ) 0 , W()遞增；當(dāng)433時(shí)，W( ) 0, W()遞增. 2 冗 .所以當(dāng) 時(shí) W()取得最大值，此時(shí)年總收入最大 32.【河北省衡水市深州市長江中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)】如圖，有一塊邊長為1 (百米)的正方形區(qū)域 ABCD.在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角PAQ始BC , CD 上)，設(shè) BP= t (百米).終為45 (其中點(diǎn)P, Q分別在邊(1)用t表示出PQ的長度，并探求 CPQ的周長l是否為定值;(2)設(shè)探照燈照射在正方形 ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為 S (平方

34、百米)，求S的最大值.【思路點(diǎn)撥】(1)求出CP 1 t ,設(shè) PAB ,表示出DQ和CQ ,由勾股定理即可求出 PQ ,再求出周長L,即 可判斷是否為定值；(2)由S SE方形 ABCD S ABP S ADQ 求出面積S,由基本不等式即可求出面積的最大值.解：(1)由 BP t,得 CP 1 t , 0 t 1 ,設(shè) PAB,則 DAQ 451 tt2t22DQ tan 45, CQ 1 1二，PQ JcP2 CQ21 t1 t 1 t(1 t)222t1 t2CP CQ PQ2t1 t2(2)SE方形 ABCDS ABPS ADQ1t 21由于1 t時(shí)等號(hào)成立,故探照燈照射在正方形ABC

35、D內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為2J2平方百米.,已知某摩天輪3.如圖，摩天輪上一點(diǎn) P在t時(shí)刻距離地面高度滿足y Asin（ t的半徑為50米，點(diǎn)。距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每 3分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)P的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.（1）根據(jù)條件寫出y （米）關(guān)于t （分鐘）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過【解析】，一2（1）由題設(shè)可知 A 50, b 60,又T 3,所以 2，從而>'=50皿=力+ 中） + 80 3-再由題設(shè)知t 0時(shí)y 10 ,代入= 50sin（一工+中）+ 60 ,得血卡=一, 丁.27r 人從而。=一一，因此 下 二

36、 60 50cs 丁心"> 0）；23(2)要使點(diǎn)P距離地面超過85米，2 1則有 v=60-50co5f>85 ,3即 ".一，.一 ,：.，；：- 1 ,323解得主二主jc三,即：14£2 ,333所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過85米的時(shí)間有1分鐘.如圖，在VABC中，已知AB 1,BC4.【山西省長治市第二中學(xué) 2019-2020學(xué)年高三11月月考】2, ABC 60 , M為BC中點(diǎn)，巳F分別為線段AB, AC上動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，記 EMB(1)當(dāng) EM FM 時(shí)，求證：EM 73FM ;(2)當(dāng) EMF 60時(shí)，求四邊形 A

37、EMF面積S關(guān)于 的表達(dá)式，并求出 S的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】(1)用余弦定理和勾股定理逆定理證得ABC是直角三角形，然后用正弦定理求得 EM,FM后可證結(jié)論成立；(2)用正弦定理求出 BE,CF ,求出 BEM和 CFM的面積，四邊形 AEMF的面積就等于直角三角形ABC的面積減去這兩個(gè)三角形的面積，從而得S(的單調(diào)性，得其取值范圍.解：(1)在VABC中，根據(jù)余弦定理得 AC2 1故 BC2 AB2 AC2,因此 BAC 90 , ACBBM當(dāng)EM FM時(shí)，在4BEM中，.”sin 60 ._兀),在直角三角形中得出 0< 9<一，用導(dǎo)數(shù)可求得S() 34 2 12 cos60

38、 3,30 .EMsin60 '即EMsin60sin 603 cos sin '在 ACFM 中，CMF90CFM60CM,sin 60FMsin30，sin 30即FM - sin 601.3 cos sin故 EM 、3FM(2)當(dāng) EMF60時(shí),在zBEM中,BE sinBEsinsin 60sin 60在ACFM中,CMF120, CFM 30CF,sin 120sin 30sin 120即CF.sin 30，一 一 11 一 .一故 SVBEM SVCFMBE sin60 CF sin30221. 3sinsin1204sin 60sin30=173sinsin12

39、04 sin 60sin303 2 1 8s24、3 2sin2所以四邊形AEMF面積S()、3SvBEMSVCFM、31cos2 1-0.42.3 2sin23S()0,2(cos2_1)3sin2(“3 2sin2 )2故S()在0,-上單調(diào)遞減，S(0),-,S -，34385 .平潭國際 花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深y (米)是隨著一天的時(shí)間t0 t 24,單位小時(shí) 呈周期性變化，某天各時(shí)刻 t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表:t03691215182124y1.52. 41.50. 61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)

40、據(jù)畫出散點(diǎn)圖(坐標(biāo)系在答題卷中).觀察散點(diǎn)圖，從 y Asin t ， y Acos t b, y Asin t b(A 0,0,0)中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的518時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)(1)中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全【思路點(diǎn)撥】(1)先畫出散點(diǎn)圖，可知選作為函數(shù)模型，同時(shí)可求出各參數(shù), max min 八 max min .2代入最值點(diǎn)可求b, A,T -229 .3(2)由(1)知：y sin t 一，令y 1.05,結(jié)合t的范圍5 t 18,

41、可解得5 t 7或11 t 18 1062解：(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示:依題意，選y Acos tb做為函數(shù)模型,2.4 0.6A 22910'2.4 0.6 3T 12 2y Icos -t106又Q函數(shù)圖象過點(diǎn)(3,2.4),即 2.49 cos10cos 一 21,sin1；0,9cos10-t 6sin2 10(2)由(1)知：，1.05 ,10sin2k12k又Q59即一sin101.05-t 2k 6t 12k187或11 t，這一天可以安排早上185點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全6.在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間相距

42、12h,低潮時(shí)水的深度為 8.4m,高潮時(shí)為16m, 一次高潮發(fā)生在10月10日4:00,每天漲潮落潮時(shí)，水的深度 d(m)與時(shí)間t(h)近似滿足關(guān)系式d Asinh A 0,0,(1)若從10月10日0:00開始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系.（2） 10月10日17:00該港口水深約為多少？（精確到0.1m）（3）10月10日這一天該港口共有多長時(shí)間水深低于10.3m?【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)d Asin th ,利用低潮時(shí)入口處水的深度為8.4m ,高潮時(shí)為16m ,求出h, A,利用兩次高潮發(fā)生的時(shí)間間隔12h,求出周期，從而求出，再求

43、出 ，即可得到這個(gè)港口的水深 d m和時(shí)間t h之間的函數(shù)關(guān)系；（2） 10月10日17:00,t 17 ,代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式 d 3.8sin t 612.2 610.3,即可求出10月10日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于10.3m.解析：（1）依題意知T =12,= 12.2,A= 16-12.2 = 3.8,所以 d= 3.8si-y/+ +12.2.又因?yàn)閠=4時(shí)，d=16,所以 sin（M+1,所以(f)= ,所以 d= 3.8sin(+ 12.2.(2)t=17 時(shí),d= 3.8sin)7 Ji 工-1+ 12.2 = 3.8sin+ 12.2 = 15.

44、5(m)<-n,一 了龍 工 工 一因此 2k %+：< _-t-'：r< 2k tt+ b 6 b(3)令 3.8sin GhV)+ 12.2v 10.3,有 sin ：一 一、，調(diào) 兀 _ 一(kC Z),所以 2k7t+ <1< 2kjt+ 2兀，kC 乙 J h所以 12k+8vtv12k+12.令 k=0,得 tC(8,12)；令 k= 1,得 te (20,24).故這一天共有 8 h水深低于 10.3 m.7.【河北省衡水中學(xué) 2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地OAB,其中OA 3km, OB 373km, AOB 90o.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)， 擬在中間挖一個(gè)人工湖 OMN，其中M , N都在邊AB上，且 MON 30°, 挖出的泥土堆放在 OAM地帶上形成假山，剩下的 OBN地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在 OAN 的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).3(1)當(dāng)AM km時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長度；2(2)為節(jié)省投入資金，人工湖 OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計(jì)施工方案，可使 OMN的面積最小?最小面積是多少？【思路點(diǎn)撥】(1)證明 OAN為正三角形，可得OAN的周長為9,即防護(hù)網(wǎng)的總長度為 9km；(2)設(shè) AOM=,在 OAM和 OAN中使用正弦定理求