初二數(shù)學上學期知識點和典型例題總結

1、全等三角形類型一：全等三角形性質的應用1、如圖， abd ace， ab=ac，寫出圖中的對應邊和對應角 .思路點撥 : ab=ac，ab和 ac是對應邊， a 是公共角， a 和a 是對應角， 按對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊可求解.解析： ab和 ac是對應邊， ad和 ae、bd和 ce是對應邊， a和 a 是對應角， b和 c， aec和adb是對應角 .總結升華： 已知兩對對應頂點，那么以這兩對對應頂點為頂點的角是對應角，第三對角是對應角；再由對應角所對的邊是對應邊，可找到對應邊.已知兩對對應邊，第三對邊是對應邊，對應邊所對的角是對應角.舉一反三：【變式 1】如圖，

2、abc dbe. 問線段 ae和 cd相等嗎？為什么？【答案】證明：由 abc dbe，得 ab=db,bc=b，e則 ab-be=db-b，c 即 ae=cd?！咀兪?2】如右圖，。求證： aecf【答案】第 3 頁 共 16 頁aecf2、如圖，已知 abc def， a=30°， b=50°， bf=2，求 dfe的度數(shù)與 ec的長。思路點撥 :由全等三角形性質可知： dfe=acb，ec+cf=bf+f，c所以只需求 acb的度數(shù)與 bf的長即可。解析： 在 abc中，acb=180°- a- b，又 a=30°， b=50°，所以 a

3、cb=10°0 .又因為 abc def，所以 acb= dfe，bc=ef（全等三角形對應角相等，對應邊相等）。所以 dfe=100°ec=ef-fc=bc-fc=fb。=2總結升華： 全等三角形的對應角相等，對應邊相等。舉一反三：【變式 1】如圖所示， acd ecd， cef bef， acb=90° .求證：（ 1）cd ab；（ 2） efac.【答案】(1 ）因為 acd ecd，所以 adc=edc（全等三角形的對應角相等） .因為 adc+edc=18°0 ，所以adc=edc=9°0 .所以 cdab.(2 ）因為 cef b

4、ef,所以 cfe=bfe（全等三角形的對應角相等） .因為 cfe+bfe=180°，所以 cfe=bfe=90° .因為 acb=9°0所以 efac., 所以 acb=bfe.類型二：全等三角形的證明3、如圖， acbd，df ce， ecb fda，求證： adf bce 思路點撥 :欲證 adf bce，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過acbd而得解析： acbd(已知)ab-bd ab-ac(等式性質 )即 adbc在 adf與 bce中 adf bce(sas)總結升華： 利用全等三角形證明線段 ( 角) 相等的一

5、般方法和步驟如下：(1) 找到以待證角 ( 線段) 為內角( 邊) 的兩個三角形，(2) 證明這兩個三角形全等；(3) 由全等三角形的性質得出所要證的角 ( 線段) 相等 舉一反三：【變式 1】如圖，已知 ab dc，abdc，求證： adbc【答案】 abcd 3 4在 abd和 cdb中 abd cdb(sas) 1 2( 全等三角形對應角相等 )adbc(內錯角相等兩直線平行 )【變式 2】如圖，已知 eb ad于 b，fc ad于 c，且 ebfc， abcd 求證 af de【答案】 ebad(已知) ebd90° ( 垂直定義 )同理可證 fca90° ebd

6、fcaabcd， bcbcacab+bcbc+cdbd在 acf和 dbe中 acf dbe(sas)afde(全等三角形對應邊相等 )類型三：綜合應用4、如圖， ad為 abc的中線。求證： ab+ac>2ad.思路點撥 :要證 ab+ac>2a，d由圖想到： ab+bd>a，d ac+cd>a，d所以 ab+ac+bc>2a，d所以不能直接證出。由 2ad想到構造一條線段等于2ad，即倍長中線。解析： 延長 ad至 e，使 de=ad，連接 be因為 ad為 abc的中線， 所以 bd=cd.在 acd和 ebd中，所以 acd ebd(sas).所以 be=

7、ca.在 abe中， ab+be>a，e 所以 ab+ac>2ad.總結升華： 通過構造三角形全等，將待求的線段放在同一個三角形中。舉一反三：【變式 1】已知：如圖，在 rtabc中， ab=ac,bd的延長線于 e，求證： bd=2ce.【答案】分別延長 ce、ba交于 f.因為 be cf,所以 bef=bac=90° , 1=2，cebec=90° .在 bef和 bec中，第 4 頁 共 16 頁所以 bef bec(asa).第 13 頁 共 16 頁所以 ce=fe= cf.又因為 bac=90° ,becf.所以 bac=caf=90&#

8、176;， 1+ bda=9°0所以 bda=bfc.在 abd和 acf中，所以 abd acf(aas)， 1+bfc=90°.所以 bd=cf所. 以 bd=2ce.5、如圖， abcd，be df， b d，求證： (1)ae cf，(2)ae cf， (3) afe cef思路點撥 : (1) 直接通過 abe cdf而得， (2) 先證明 aeb cfd，(3)由(1)(2)可證明 aef cfe而得，總之，欲證兩邊 ( 角) 相等，找這兩邊 ( 角) 所在的兩個三角形然后證明它們全等解析：(1) 在 abe與 cdf中abe cdf(sas)ae cf(全等三

9、角形對應邊相等 )(2) aeb cfd(全等三角形對應角相等 )ae cf(內錯角相等，兩直線平行 )(3) 在 aef與 cfe中 aef cfe(sas) afe cef(全等三角形對應角相等 )總結升華： 在復雜問題中，常將已知全等三角形的對應角一對三角形全等的條件舉一反三：( 邊) 作為判定另【變式 1】如圖，在 abc中，延長 ac邊上的中線 bd到 f，使 df bd，延長 ab邊上的中線 ce到 g，使 egce，求證 afag【答案】在 age與 bce中 age bce(sas)agbc(全等三角形對應邊相等 )在 afd與 cbd中 afd cbd(sas)afcb(全等

10、三角形對應邊相等 )afag(等量代換 )6、如圖 abac，bdac于 d，ceab于 e，bd、ce相交于 f 求證： af平分 bac思路點撥 :若能證得得 ad=ae，由于 adb、 aec都是直角，可證得 rt adf rtaef，而要證 ad=ae，就應先考慮 rt abd與 rtaec，由題意已知 ab=ac， bac是公共角，可證得 rt abdrt ace解析： 在 rt abd與 rt ace中rt abdrt ace(aas)ad=ae全( 等三角形對應邊相等 )在 rt adf與 rt aef中rt adfrt aef(hl) daf=eaf(全等三角形對應角相等 )a

11、f平分 bac(角平分線的定義 )總結升華： 條件和結論相互轉化，有時需要通過多次三角形全等得出待求的結論。舉一反三：【變式 1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證已知：如圖，在 abc與 abc中 ab=a b， bc=bc， adbc于 d，ad bc于 d且 ad=ad 求證： abc a b c證明： 在 rt abd與 rt a b d中(hl)角相等)rt abd rt abd b=b( 全等三角形對應在 abc與 abc中 abc abc(sas)【變式 2】已知，如圖， ac、bd 相交于 o， ac=bd， c d

12、90° 求證：oc=od【答案】 c=d=90° abd、 acb為直角三角形在 rtabd和 rt abc中 rtabdrt abc(hl)ad=bc在 aod和 boc中 aod boc(aas)od=oc7、abc中， ab=ac， d是底邊 bc上任意一點， deab， dfac，cg ab垂足分別是 e、f、g.試判斷：猜測線段 de、df、cg的數(shù)量有何關系？并證明你的猜想。思路點撥 : 尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析： 結論： de+df=cg方法一：（截長法）板書此種方法（ 3 分鐘） 作 dmcg于 mde ab，cgab， dmcg四邊形 e

13、dmg是矩形 de=gmdm/ab mdc=ab=acb= fcd mdc=bfcd而 dmcg， dfac dmc= cfd在 mdc和 fcd中 mdc fcd（aas） mc=dfde+df=gm+mc=cg總結升華：方法二（補短法）作 cm ed交 ed的延長線于 m（證明過程略）總結：截長補短的一般思路，并由此可以引申到截長法有兩種截長的想法方法三（面積法）使用等積轉化引申：如果將條件“ d是底邊 bc上任意一點”改為“ d是底邊 bc的延長線上任意一點”，此時圖形如何？ de、df和 cg會有怎樣的關系？畫出圖形，寫出你的猜想并加以證明舉一反三：【變式 1】三角形底邊上的任意一點到

14、兩個腰上的距離和等于腰上的高?！敬鸢浮孔C明的過程使用三種證明方法，包括：（ 3）面積法1）截長法（ 2）補短法軸對稱考點一、關于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認識典例 1下列幾何圖形中，1線段2角 3直角三角形4半圓，其中一定是軸對稱圖形的有（）a1 個b2 個c 3 個d 4 個2正 n 邊形有條對稱軸，圓有條對稱軸考點二、軸對稱變換及用坐標表示軸對稱典例： 1、如圖， rt abc，c=90°, b=30°,bc=8， d為 ab中點，p 為 bc上一動點，連接ap、dp,則 ap+dp的最小值是af2、已知等邊abc， e 在 bc的延長線上， cf 平分dce， p

15、為射q線bc上一點， q為bcf上一點，連接 ap、pq.若 ap=pq，求證apq是多少度考點四、線段垂直平分線的性質線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是 pce圖（ 2）線段的垂直平分線上的點到相等歸類回憶角平分線的性質角是軸對稱圖形，其對稱軸是角平分線上的點到 相等典例 1、如圖，abc中，a=90°，bd為abc平分線， debc，e 是 bc的中點，求 c的度數(shù)。2、 如圖，abc中， ab=ac， pb=pc，連 ap并延長交 bc于 d，求證： ad垂直平分 bcaabpeda dcb cedbc3、如圖 ,de 是 abc中 ac邊的垂直平分線，若 bc=8厘米， ab=1

16、0厘米，則ebc的周長為（）a.16 厘米b.18厘米c.26厘米d.28厘米4、 如圖， bac=3°0 ，p 是bac平分線上一點， pm ac， pdac， pd=28 ,則 am=5、如圖，在 rtabc中， acb = 90° ， bac 的平分線交 bc 于 d.過 c點作bmpacgab 于 g，交 ad于 e. 過 d點作 dfab 于 f. 下列結論：adc ced=cde；s aec s aegac ag ； afd=2 ecd；eg s cedsdfb； ce=df. 其中正確結論的序號是 ()fcdbabcd考點五、等腰三角形的特征和識別典例 1、如

17、圖， abc中， ab=ac=，8 d在 bc上，過 d作 de ab交 ac于 e， df ac交 ab于 f，則四邊形 afde的周長為 。a2 、 如 圖 ， abc 中 ， bd 、 cd 分 別 平 分 abc與 acb， eefb)過dd fc且 efbc，若 ab = 7 ， bc = 8 ，ac = 6 ，則aef周長為 (a. 15b . 14c. 13d.18ndfb3、 如圖 , 點 b、d、f 在 an上,c 、e 在 am上，且acemab=bc=cd=ed=ef,a=20 , 則feb= 度o4、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40° ，則它的一個

18、底角的度數(shù)是5、abc中， df 是 ab的垂直平分線，交 bc于 d， eg是 ac的垂直平分線，交 bc于 e，若dae=20 °，則bac等于°6、從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于7、已知，在 abc中，acb=90°，點d、 e在直線 ab上，且 ad=ac，be=bc，則dce =度.a8、如圖：在 abc中， ab=ac，adbc， de ab于點 e, df ac于點 f。試說明 de=df。efdc9、如圖 ,e 在abc的 ac邊的延長線上， d 點在 ab邊上， de交 bc于點 f

19、，adf=ef，bd=ce.求證：abc是等腰三角形 .dbfcbe考點六、等邊三角形的特征和識別等邊三角形的各 相等，各 相等并且每一個角都等于 三個角相等的三角形是三角形有一個角是 60°的三角形是等邊三角形特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線典例 1、下列推理中，錯誤的是()a a b c， abc 是等邊三角形b ab ac，且 b c， abc 是等邊三角形c a 60°， b 60°， abc 是等邊三角形 d ab ac， b 60°，abc是等邊三角形2、如圖，等邊三角形 abc中， d 是 ac的中點， e 為 bc延長線上一點，且

20、 ce cd， dm bc，垂足為 m。求證： m是 be的中點。adbmce考點七、 30°所對的直角邊是斜邊的一半典例bd1、如圖，是屋架設計圖的一部分，點d 是斜梁 ab 的中點，立柱 bc、de垂直aec于橫梁 ac， ab=8m， a=30°，則 de等于（）a1mb 2mc3md 4mc2、如圖：adc中，a = 15 ° ，d=90° ，b 在 ac的垂直平分線上， ab =34，則 cd = ()a. 15b . 17c. 16d.以上全不對abd3、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知ao=bo=40c，m c0=d0=30 cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度 aob剛好為 120°，求桌面到地面的距離是多少？abaoefcd第 14 頁 共 16 頁乙bcd 第 4 題圖甲， bc=6，4、如圖， ab=ac， de ab于 e， dfac于 f， bac=120oa則 de+df=ebfc第 16 頁 共 16 頁5、在 abc 中，abac， a120， ab 的垂