初三數(shù)學(xué)秋季講義第1講.圓中三大基本定理教師版

1、-fl1,圓中三大基本定理7圓4級(jí)圓中三大基本定理圓5級(jí)圓中三大切線定理暑期班第九講秋季班第八講火手班第林婁麗第去世兀是什么?匚大的是如禺-G中考考點(diǎn)分析中考內(nèi)容中考要求ABC圓的有關(guān)概念理解圓及其有關(guān)概念會(huì)過(guò)小在同一直線上的二 點(diǎn)作圓；能利用圓的有關(guān) 概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題圓的性質(zhì)知道圓的對(duì)稱性，了解弧、弦、 圓心角的關(guān)系能用弧、弦、圓心角的關(guān) 系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題能運(yùn)用圓 的性質(zhì)解 決有關(guān)問(wèn) 題圓周角了解圓周角與圓心角的關(guān)系； 知道直徑所對(duì)的圓周角是直角會(huì)求圓周角的度數(shù)，能用 圓周角的知識(shí)解決與角有 關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題能綜合運(yùn) 用幾何知 識(shí)解決與 圓周角有 關(guān)的問(wèn)題垂徑定理會(huì)在相應(yīng)的圖形中確定垂徑定 理的條

2、件和結(jié)論能用垂徑定理解決有關(guān)問(wèn) 題點(diǎn)與圓的位置關(guān)系了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān) 系了解直線與圓的位置關(guān)系；了 解切線的概念，理解切線與過(guò)切 點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系；會(huì)過(guò)圓 上一點(diǎn)圓圓的切線；了解切線 長(zhǎng)的概念能判定直線和圓的位置關(guān) 系；會(huì)根據(jù)切線長(zhǎng)的知識(shí) 解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；能利用 直線和圓的位置關(guān)系解決 簡(jiǎn)單問(wèn)題能解決與 切線有關(guān) 的問(wèn)題圓與圓的位置關(guān)系了解圓與圓的位置關(guān)系能利用圓與圓的位置關(guān)系 解決簡(jiǎn)單問(wèn)題弧長(zhǎng)會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)能利用弧長(zhǎng)解決有關(guān)問(wèn)題扇形會(huì)計(jì)算扇形面積能利用扇形面積解決有關(guān) 問(wèn)題圓錐的側(cè)面積和全 面積會(huì)求圓錐的側(cè)面積和全面積能解決與圓錐有關(guān)的簡(jiǎn)單 實(shí)際問(wèn)題，每年的第20題都會(huì)考查圓

3、是北京中考的必考內(nèi)容，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計(jì)算知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 一 回中二人用本定理中林定理卜弧,弦、艮心角、皺心版的美茅定理1戰(zhàn)周拓定理垂徑定理反映的是經(jīng)過(guò)圓心的直線和圓中弦的關(guān)系，“要求弦長(zhǎng)，先求弦長(zhǎng)的一半”，注意對(duì)由半徑、半弦長(zhǎng)和弦心距構(gòu)成的直角三角形模型的理解和應(yīng)用暑期知識(shí)點(diǎn)回顧：第1小題一般是切線的證明，第2小題運(yùn)用圓與三角形相似、解直角三角形等知識(shí)求線段長(zhǎng)度問(wèn)題,有時(shí)也以閱讀理解、條件開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放探索題作為新題型。要求同學(xué)們重點(diǎn)掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì) ，掌握求線段、角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識(shí) 之間的相互轉(zhuǎn)化，理解直線和圓的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定方法，會(huì)根據(jù)條

4、件解決圓 中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題。年份2011 年2012 年2013 年題號(hào)20,258,20,258,20,25分值13分17分17分考點(diǎn)圓的有關(guān)證明，計(jì) 算（圓周角定理、 切線、等腰二角形、 相似、解直角三角 形）；直線與圓的 位置關(guān)系圓的基本性質(zhì)，圓 的切線證明，圓同 相似和三角函數(shù)的 結(jié)合；直線與圓的 位置關(guān)系圓中的動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖 像，圓的基本性質(zhì) （垂徑定理、圓周角 定理），圓同相似和 三角函數(shù)的結(jié)合； 直線與圓的位置關(guān) 系定理示例剖析1 .垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩 條弧.2 .平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖，AB是OO的直徑，CD是弦A C上B1

5、 .若 AB CD 于 E,則 CE DE ;Ac Ad ； Bc Bd .2 .若 CE DE,則 AB CD;Ac Ad ； Bc Bd .典題精練* *【例1】 如圖,BD是O O的弦，點(diǎn)C在BD上，以BC為邊作等邊三角形 ABC,點(diǎn)A在圓內(nèi)，且AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。淇中BC=12,OA=8,則BD的長(zhǎng)為（）A. 20B. 19C. 18D. 16（2012通州一模 如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90,AC=3,BC=4,以點(diǎn) C 為 圓心,CA為半徑的圓與 AB交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為.（2013黃石）【解析】A;185【例2】 如圖，AB是e O直徑，弦CD交AB于E, AEC 4

6、5 ,AB 2 .設(shè) AE x,CE2 DE2 y .下列圖 如圖,圓心在y軸的負(fù)半軸上，半徑為5的。B與y軸的正半軸交于點(diǎn) A 0,1，過(guò)點(diǎn)P0, 7的直線l與OB相交于C、D兩點(diǎn).則弦CD長(zhǎng)的所有可能的整象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）數(shù)值有（D.4個(gè)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)（2013樂(lè)山）【解析】A；: A0,1，圓的半徑為5,，B 0, 4 ,又 P 0, 7 , . BP 3,當(dāng)CD垂直圓的直徑 AE時(shí),CD的值最小，連接 BC,在 RtA BCP 中,CP，BC2 BP2 4 ,故 CD 2CP 8,當(dāng)CD經(jīng)過(guò)圓心時(shí),CD的值最大，此時(shí)CD AE 10；綜上可得：弦 CD長(zhǎng)

7、的所有可能的整數(shù)值有：8,9,10，共3個(gè).故選C.【備選1】如圖，AB是。的直徑，且AB 10,弦MN的長(zhǎng)為8若弦MN的 兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A、B到MN的距離分別為 ' ,h2，則 h1 h21等于.【解析】 解法一：設(shè)AB、MN相交于P，過(guò)。點(diǎn)作OH MN于H，連結(jié)NO .5,.,. OH 3,AEMN ,BFMN , OHMN ,. AEAEAP 一,BF空，即h1”一一OHOPOHOP 3OP 31/ OH-14, NO -AB2BPOP由垂徑定理NH 1MN 2/ BF ,. h h2 AP BP2OPOP當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，APBP, APBP當(dāng)P點(diǎn)在O

8、點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AP BP, AP BPAOOPBOOPAO OPBO OP 2OPh26.解法二：極端假設(shè)法當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與 A點(diǎn)重合時(shí)，AE打0, BF h2 BM此時(shí)4ABM是直角三角形，BM VAB2 MN 2 6,，幾h2 6.當(dāng)MN與AB垂直時(shí)，AE打 AP, BF h? BP,. MN 8,由垂徑定理知 MP NP 4,，OP 3, AP 5 3 2, BP 5 3 8,，1% h2 6 .解法三：連接EO并延長(zhǎng)交BF于G易證AOEA BOG , BG AE h1,/. FG h2 h1,由解法一可知OH 3,Oh2 GNh2 h1 2OH 6,B9當(dāng)MN在圓心O的另外一側(cè)時(shí) 小 h2

9、6,6.解法四：連接BE,作OH MN易得I是BE的中點(diǎn)，于H，延長(zhǎng)HO交BE于I則HIiBF 21 八-h2 ,OI 21 -AE212hlOHHIOI|hl2OH1 h226 .打3,解法五：延長(zhǎng) BF交。O于G，連接AG ,作OHMN于H交AG于J易證 GF AE h1,OJ1 1BG 2OH OJ JH| hi h2| 2OH【點(diǎn)評(píng)】此題還有其它解法2 h16 .h21卜h hih2 ,2h1 hhhi h2 h1 ,2，老師在講解時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生拓展思路：弧、弦、圓心角、弦心距的關(guān)系定理思路叫y漱在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角、弦心距四個(gè)量中，只要有一組量對(duì)應(yīng)相等，那么其它三組量也分

10、別相等。利用這個(gè)定理，我們可以把四組量的相等關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，做到有的放矢。暑期知識(shí)點(diǎn)回顧：定理弧、弦、圓心角之間的關(guān)系:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì) 的弧相等，所對(duì)的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心 角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么 它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.A示例剖析""D如圖，由定理可知：若 AOB COD，則 AB CD、Ab典題精練/ 若 AB CD，則 AOB若 Ab (?D,則 AB CD、【例3】 如圖，AB是半圓，0為AB中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在AB上，且AD/OC,連接 BC、BD,若 CBD 31，則 ABD 的度數(shù)為何？（）A.

11、 28B. 29C. 30D. 31cod、AbAOB(?D ；C?D ；COD .11（2013臺(tái)灣） 已知：如圖，MN是。O的直徑，點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是 An的中點(diǎn) 下是MN上一動(dòng)點(diǎn)，。0的半徑為1,則PA PB的最小 值是.（北大附中月考） 如圖，半圓O的直徑 AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分/ BAC,則AD的長(zhǎng)為（）A. 4j5cmB. 3d5cmC. 545cmD. 4cm13（2013內(nèi)江）如圖所示，在。中，AB 2CD,那么（）a. Ab 2Cdb. Ab 2Cdc. Ab 2Cdd. Ab與2Cd的大小關(guān)系不能確定【解析】A. 作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B&#

12、39;,連接AB'與MN交于點(diǎn)P , 易證得，此時(shí)PA PB取得最小值.根據(jù)圓的對(duì)稱性，B'點(diǎn)在。上,且B n ?N , A是半圓的三等分點(diǎn)， l An 1MAN ,. aon 60 , 3 B是An的中點(diǎn), 一 1 一-一 BON AON 30 ,. B ON 30 , 2AOB' AON BON 90 ,OO半徑為 1,，OA OB' 1,. .AB，720A a , PA PB的最小值為石. 連接 OD,OC,作 DE LAB 于 E,OF，AC 于 F, . Z CAD = Z BAD （角平分線的性質(zhì)），CD BD , ./ DOB = Z 0AC=2

13、/ BAD,AOFA OED, -1 - . OE AF AC 3cm, 2在 RtA DOE 中，DE v'OD 2 OE 2 4cm在 RtA ADE 中，AD JDE 2 AE 2 4石cm .故選A.如圖所示，作De Cd,則Ce 2Cd.在 ACDE 中，CDDE CE ,2CD AB AB Ab 故選A.CE, 2CD , CE , Ce ,即 Ab2CD .例4 （1）如圖，在O。中,AD、求證：AB=CD;BC相交于點(diǎn)E,OE平分/AEC. 如果。O的半徑為5,AD，CB,DE=1,求AD的長(zhǎng).（2013普陀模擬）【解析】 過(guò)點(diǎn)。作OM，AD ,ON ± BC

14、,. OE 平分/AEC,，OM=ON,，ADCB, AD BD CB BD ,即 AB CD ,-.OM±AD,.-.AM=DM, .AB=CD; AD，CB,OE 平分 /AEC,'/ OEM =45° ,.Z OME=45°, ./ OEM=Z EOM,. .OM=ME,在 RtAAOM 中,OA2 OM 2 AM 2 ,即 25 AM 12 AM 2解得：AM 4或AM 3 （舍去），故AD的長(zhǎng)為8. 如圖，已知AB是半圓O的直徑，C為半圓周上一點(diǎn)，M是Ac的中點(diǎn)，MN1【解析】MN -AC .2AB于N，試判斷MN與AC的數(shù)量關(guān)系并證明.解法一：

15、連接OM，交AC于D M 是 Ac 的中點(diǎn)，. OM AC ,即 ADO 90 ,AD OA OM , AODMON ,. AAOD MON ,. AD MN ,. MN解法二：補(bǔ)全圓延長(zhǎng)由垂徑定理可知,EN1 c-AC .2MN交。O于E-1 _MN,即 MN -ME 2.1. Me 2MA,又m 是 Ac 的中點(diǎn)，. Ac 2Ma,Ac Me ,，ac me ,1 . MN -AC .2才題型三圓周角定理MOABECOA NBEC17思路/二南典題精練.二對(duì)P【例5】如下左圖,4ABC內(nèi)接于OO, AB那么BD .BC , ABC 120 ,AD為OO的直徑，AD 6 ,如下中圖，AB是。

16、的直徑，點(diǎn)C、D在。上，BOC110 , AD / OC，貝U DCAA. 70 B. 60 C. 20 D. 40 如下右圖，。0的半徑為1,AB是。的一條弦，且ABBJ3,則弦AB所對(duì)圓周角的度拿到圓周角，先觀察它的位置，對(duì)于位置不合適的，可以利用弧把它轉(zhuǎn)化為圓心角或相等的 圓周角，除此之外，由半徑和弦構(gòu)成的等腰三角形也是常用的轉(zhuǎn)化角的工具，應(yīng)該熟練應(yīng)用.暑期知識(shí)點(diǎn)回顧：定理示例剖析圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的 圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角 的T.推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角 相等，它們所對(duì)的弧f相等.推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 直角，90的圓周

17、角所對(duì)的弦是直徑.C 役 AOB 2 ACB 選 A若 acbaed ,則 Ab AdaQT、直徑【解析】3邪；C;60或120【例6】 如圖,面積為2的四邊形ABCD內(nèi)接于。對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)圓心，若 BAD 45 , CD 夜，則AB的長(zhǎng)等于 .如圖，已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD中AB 11, BC 9, CD 3,若Ab Cd Bc Ad,則 ad .【解析】強(qiáng).連接AC、BD1 Ab Cd Bc Ad,.-. Ab Cd 1803 ACB CBD 90° 22224 ACBD , . ADBCABCD,._22225 AD311949 ,.AD7 .另外還有一種解法：過(guò)點(diǎn) C作CE

18、 II BD交。0于點(diǎn)E .【例7】在 ABC中，AC BC , M是它的外接圓上包含點(diǎn) C的弧AB的中 點(diǎn),AC上的點(diǎn)X使得MX AC，求證：AX XC CB .（三帆中學(xué)期中）D【解析】 解法一：過(guò)點(diǎn)M作MN / AC交。于N，過(guò)點(diǎn)N作NE An Cm , ae cx ,Am ?m ,. Mn ?cMN BC,，BC EX ,. AX XC CB解法二：如圖，在XA上取一點(diǎn)D,使得XD XC,連接 MC ,MB, MD ,MA由 XC XD, XM CD , MD MC又 M是圓上包含點(diǎn) C的弧AB的中點(diǎn)6 MA MB又 MBC MAD , MDC MCD BAM ,7 AMD BMC ,

19、 MAD MBC , AD BC8 AX AD DX , AX XC BC解法三：如圖，過(guò)M點(diǎn)作ME BC交BC延長(zhǎng)線于E,連結(jié) MA MB、MC ,AC 于 E .9 M是圓上包含點(diǎn) C的弧AB的中點(diǎn)， MA MB ,10 MX AC , ME BC ,AXM BEM 90又 MAX MBE, ,. AAMXABME,MX ME , AX BE .MCE MAB MBA MCA,11 AMCX AMCE ,CX CE,12 AX BE BC CE BC CX .（類似此方法還可以“延長(zhǎng) BC到E ,使CE CX，連結(jié)ME ”）解法四：如圖，延長(zhǎng)AC到F，使FX AX,連結(jié)MA、MB、MC、M

20、F ,MA MB ,MABMBA,MX AC ,AXFX ,MA MF ,MB MF ,MAFMFA,MACMBC , MBCMFC,MCAMFCCMF ,MCAMBAMABMFCCMF ,BACBMC ,CBMCAM ,MABBACCAMBMCCBMMFCCMFBMCCBM ,BMCCMF , MBCAMFC,CFBC,AX FXXC CF XCBC .M是圓上包含點(diǎn) C的弧AB的中點(diǎn)，MAB ,19C此法還可以連接 FB,利用等腰三角形的性質(zhì)可以證得結(jié)論.【點(diǎn)評(píng)】此題還有很多種不同的解法，老師們可以引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，多總結(jié)方法 第01講精講：圓中垂直弦的相關(guān)結(jié)論探究；【探究對(duì)象】圓中垂直弦

21、所組成的四邊形的性質(zhì)【探究目的】垂直弦是圓的題型中常見(jiàn)條件之一，以垂直弦為對(duì)角線的四邊形非常特殊，具有很多自己特有的性質(zhì)和結(jié)論，探究并掌握垂直弦所帶來(lái)的性質(zhì)和結(jié)論對(duì)于加強(qiáng)對(duì)圓的認(rèn) 識(shí)和加深對(duì)解題技巧的掌握都有很大的幫助；【探究1】角的相關(guān)性質(zhì)探究：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)：BAD BCD 180 ;ABC ADC 180 ;【探究2】邊的相關(guān)性質(zhì)探究：對(duì)邊平方和相等：AB2 CD2 AD2 BC2 4r2 ;分析：連接CO,延長(zhǎng)CO與圓。相交于點(diǎn)E,連接AE、BE;則 EAC 90，從而AE / BD ；易得 12 3;所以 BE AD,AD2 BC2 BE2 BC2 CE2 4r2；【探究3】面

22、積的計(jì)算探究:1四邊形ABCD的面積等于對(duì)角線的乘積的一半：酶邊形ABCD AC BD ；2【探究4】面積的性質(zhì)探究：相對(duì)頂點(diǎn)同圓心的連線段平分四邊形的面積: 一 1一.S四邊形AOCD SI邊形ABCO 八SI邊形ABCD，2分析：過(guò)O作OE AC ,垂足為E ;過(guò)O作OF BD ,垂 足為F ;S AOCS ADC1-AC OE 21AC DM 2111-ACMFAC DM -AC MF DM222S四邊形AOCD1 -AC DF21 -AC BD4二麗邊形 ABCD ；2【探究5】中點(diǎn)四邊形探究：四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為矩形;【探究6】弧度探究:對(duì)弧和相等，且均等于半圓:AB CD

23、AD BC 180 （以上弧均指劣?。?分析：同【探究 2,AD BC BE BC CBE ;【探究7】圓中的婆羅摩笈多定理：過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)且平分一邊的直線必垂直于對(duì)邊：如圖，若E為BC中點(diǎn)，則EF AD;過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)且垂直于一邊的直線必平分對(duì)邊：如圖，若EF ADM E為BC中點(diǎn)；【探究8弦心距與邊的關(guān)系探究： 1一邊的弦心距等于對(duì)邊的一半：OE -CD ;2分析：方法一：過(guò)O作OF CD,垂足為F連接OA、OB、_ 1 _-. BOE - AOBACB2AOC、12-190CBD90 -COD290COFFCO；BOE 色 OCF ；1 OE CF 1CD - 2，方法二：連接 AO，延長(zhǎng)A

24、O交圓O于點(diǎn)F ,連接BF ; BAF 90 F 90 ADB CAD ; BF CD ;OE -BF 1cd; 22方法三：過(guò)。作OF CD ,垂足為F，連接ME、MF、OF ;由【探究7】的婆羅摩笈多定理可知 EM CD , 從而 EM II OF ;同理 MF II OE ;二四邊形OEMF為平行四邊形；1OE MF -CD.思維拓展訓(xùn)練(選講)科的是DE2訓(xùn)練1. 如圖，AB是。O的弦，OD AB于D交。于E ,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤( )A. AD BD B. ACB AOE C. Ae Be D. OD。的半徑為5, P為圓內(nèi)一點(diǎn)，P點(diǎn)到圓心O的距離為4,則過(guò)P點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最小值如圖，0O過(guò)

25、點(diǎn)B、C .圓心O在等腰直角4ABC 部，BAC 90 ,OA 1, BC 6,則。的半徑為 .D 如圖，在OO內(nèi)有折線 OABC 淇中OA 8 , AB 12, A BC的長(zhǎng)為.【解析】D;6 ；A；20.訓(xùn)練2.如圖，AD為 ABC外接圓的直徑，AD BC ,垂足為點(diǎn)F ,的平分線交 AD于點(diǎn)E ,連接BD , CD .求證：BD CD ;請(qǐng)判斷B, E, C三點(diǎn)是否在以 D為圓心，以DB為半徑的 圓上？并說(shuō)明理由.【解析】 證明：.AD為直徑，AD BC,?d Cd .BD CD .答：B, E , C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.理由：由知：Bd Cd , BAD CBD. D

26、BE CBD CBE, DEB BAD ABE, CBE ABE, DBE DEB . DB DE由知：BD CD . DB DE DC . . B, E , C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.訓(xùn)練3.如圖，P為。O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線是Ab , Cd的中點(diǎn)，連結(jié)mn交ab,cd于- pPAB和PCD ,點(diǎn)M , N分別cAi一點(diǎn)E . F .求證：4PEF為等XN腰三角形.【解析】 連結(jié)OM , ON，分別交AB , CD于G m , n分別是Ab, Cd的中點(diǎn)， OM AB ,ON CD ,即 MGE 又 OM ON ,. M N , 由此得 MEG NFH，即 PEF PE P

27、F ,即APEF為等腰三角形H.M-ENHF 90 .J B ,.©：m bmA'1【解析】 答案是肯定的，即APEF依舊是等月三角形.訓(xùn)練4. 已知AD是。O的直徑，AB、AC是弦，若AD 四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng).【解析】分兩種情況討論： 如圖1,弦AB> AC在直徑AD的異側(cè)，連組 . AD 是直徑，B C 90 ,在 RtABD 中，BD2 AD2 AB2,貝U BD . 223 2 1,222在 RtA ACD 中，CDAD AC ,A證明方法與例題類似.2, AB 33, AC J2,求由 A B C、Df BD、CD ./AO-DC圖1探究：當(dāng)點(diǎn)P在。O上或

28、。內(nèi)時(shí)其它條件不變，結(jié)論還成立嗎25貝U CD22227四邊形周長(zhǎng)為AB BD如圖2,弦AB、AC在直徑CD AC V3 172721v3 2& .AD的同側(cè)，連結(jié)CB、BD、CD ,過(guò)C點(diǎn)作CE AB于E . AD 是直徑,. ACD ABD 90在 RtABD 中，BD2 AD2 AB2,則 BD2231 ,222在 RtA ACD 中，CD AD AC ,則 CD222 22,AC CD ,. CAD CDA 45 ,. ABC ADC 45 , CE AB ,. CEB 90 ,/. ECB 45 , CE EB . 設(shè) CE EB x,則 AE 73 x, 在 RtA ACE

29、 中,AE2 CE2 AC2,223 1即V3xx2V2，整理得2x22s/3x10，解得x-2BC . 2CE 2 , 21四邊形周長(zhǎng)AC CB BD AD &旄"2 1 2 3娓“222題型一垂徑定理鞏固練習(xí)2, AOE 30，求 PE 的長(zhǎng).【練習(xí)1】 如圖，點(diǎn)A、B、C是。上的三點(diǎn)，AB / OC .求證：AC平分 OAB ; 過(guò)點(diǎn)O作OE AB于點(diǎn)E ,交AC于點(diǎn)P .若AB【解析】 .AB / OC ,. BACC ,OA OC ,. OACC ,BAC OAC , AC 平分 OAB .，、一1. OE AB,/. AE -AB 1 ,2在 RtAOE 中，OE

30、A 90 , AOE 30 , . AO 2AE 2, OE 73.以下可以用兩種不同方法解答：解法AE PE 1 AB / OC ,， OC OPPE -OE .33解法二：由得AC平分OA由角平分線定理可得 OAEPE -OE 直.33OAB ,OP 2,【練習(xí)2】如圖，OO中, AB是直徑，弦GE EF , HFEF ,GE、HF 交 AB 于 C、D .求證:AC BD .【解析】 過(guò)。點(diǎn)作OM EF于M點(diǎn),M是EF中點(diǎn), GE EF，HF EF ,，GE / HF , 又 OM EF ,. GE / OM / HF ,O是CD中點(diǎn), OA OB ,. AC BD .題型二 弧、弦、圓

31、心角、弦心距的關(guān)系定理鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 如圖，過(guò)。O的直徑AB上兩點(diǎn)M、N，分另1J作弦 CD、EF，若CD求證： ?EC ADF ; AM BN .【解析】AC BF ,.-. Ac Bf , AB 是直徑,. AEB AdB , . Aeb Ac Adb ?f，即?ec Adf .由可知 CAM FBN , CD / EF ,. CMA DMB FNB , 又 AC BF , ACM BFN ,. AM BN .EF , AC BF .題型三圓周角定理鞏固練習(xí)【練習(xí)4】 如圖, AB是。的直徑, CD AB,設(shè) COD則旭sin2.AD 2 如圖, AB是。O的直徑，弦PC交OA于點(diǎn)D弦PE交OB于點(diǎn)F , 且 OC DC，OF EF .若 C E，則 CPE .【解析】1；40 .C29【練習(xí)5】已知點(diǎn)A B> C、D順次在OO±, Ab ?D , BM AC于點(diǎn)M，求證：AM DC CM【解析】解法一：補(bǔ)短法過(guò)B點(diǎn)作BN CD交DC延長(zhǎng)線于N . BM AC, BN CD,' AMB DNB 90 , AB DB , BAM BDN ,.1. ABM DBN , AM DN , BM BNBCN BAD BDA BCM ,