中醫(yī)陰陽學(xué)說的一個數(shù)學(xué)模型

1、中醫(yī)陰陽學(xué)說的一個數(shù)學(xué)模型摘要提出了一個描述中醫(yī)陰陽關(guān)系的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。通過對這一模型穩(wěn)定性的分析，較好地解釋了由機(jī)體陰陽狀態(tài)的變化所產(chǎn)生的多種病理現(xiàn)象，并說明了在某些特定情況下所應(yīng)采取的治療方法及其臨床意義。關(guān)鍵詞陰陽學(xué)說微分方程平衡點生物數(shù)學(xué)電腦1引言陰陽學(xué)說是中醫(yī)學(xué)的指導(dǎo)理論之一。素問.陰陽應(yīng)象大論說：“陰陽者，天地之道也，萬物之綱紀(jì)，變化之父母，生殺之本始，神明之府也?！标庩枌W(xué)說貫穿在中醫(yī)理論的各個方面，用來說明人體的組織結(jié)構(gòu)，生理功能，疾病的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，并指導(dǎo)臨床診斷和治療1。陰陽學(xué)說的基本內(nèi)容是兩個抽象概念“陰”和“陽”的對立統(tǒng)一性。這一對立統(tǒng)一性主要表現(xiàn)于下列三個方面：互惠關(guān)系

2、(包括互根關(guān)系)；互消關(guān)系；消長關(guān)系。有的作者還提出陰陽之間有著轉(zhuǎn)化關(guān)系，我們這里暫時把轉(zhuǎn)化關(guān)系看成上三種關(guān)系的結(jié)果，不再單獨列出。千百年來，中醫(yī)學(xué)家都在依據(jù)自己的經(jīng)驗和理解，定性地運用著陰陽關(guān)系的這幾個方面，來解釋各種生理病理現(xiàn)象，指導(dǎo)臨床實踐。但由于經(jīng)典的中醫(yī)學(xué)理論對這幾種關(guān)系向來是敘述得過于籠統(tǒng)，以至于看上去似乎存在著相互矛盾之處：當(dāng)機(jī)體陰陽處于某種不平衡狀態(tài)時，隨著時間的推移，依互惠關(guān)系，應(yīng)趨于陰陽兩旺(或兩亢)；依互消關(guān)系，應(yīng)趨于陰陽兩衰；而依消長關(guān)系，又應(yīng)趨于陰盛陽衰或陽勝陰衰。況且，陰陽兩旺既可以說是“生機(jī)旺盛”之好事，而“亢乃害，承乃治”，則又可以說是一種病態(tài)了。這些矛盾現(xiàn)象，

3、大量見于古今多種醫(yī)學(xué)文獻(xiàn)，乃至一些醫(yī)家各執(zhí)一端，互相排斥，爭論不休。實際上，這三條關(guān)系并不是對任何個體的任何陰陽狀態(tài)都同時起著同樣大的作用，而是對不同的個體、不同陰陽狀態(tài)、在不同的時機(jī)，可能這條或那條關(guān)系起主導(dǎo)作用，其它兩種作用處于相對次要的地位；而這一主導(dǎo)作用對機(jī)體的影響是好是壞，也要視具體情形而定。要想很好地說明這些問題，就需要建立一個關(guān)于陰陽學(xué)說的數(shù)學(xué)模型。 2數(shù)學(xué)模型的提出設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以x軸表示“陰”，以y軸表示“陽”，則在坐標(biāo)平面上第一象限及兩個正半軸連同坐標(biāo)原點所構(gòu)成的一個點集R中的任一點P(x,y)，均可表示機(jī)體的一個陰陽狀態(tài)(或稱健康狀態(tài)，下簡稱狀態(tài))。其中x0

4、表示“陰”的量值的大小，而y0則表示“陽”的量值的大小(按照中醫(yī)學(xué)的觀點，人生有形，不離陰陽”，故設(shè)x0,y0)。人體在不同時刻的狀態(tài)不盡相同，故x,y也應(yīng)隨時間而變。設(shè)x,y均為時間t的連續(xù)可微函數(shù)，并分別以表陰陽二變量對時間的變化率。依照中醫(yī)學(xué)的成論和一般的醫(yī)學(xué)常識，我們首先給出如下幾條假設(shè)：2.1R中有一個理想的陰陽平衡點A(x0,y0),當(dāng)機(jī)體的狀態(tài)P(x,y)離開此平衡點，但仍處于以此平衡點為內(nèi)點的一個有界單連通域0內(nèi)時，由陰陽的相互作用，隨著時間的推移，機(jī)體狀態(tài)可自動恢復(fù)到平衡點，我們稱這樣的區(qū)域0為健康區(qū)。2.2在之外，有一個包圍0的環(huán)形區(qū)域1，當(dāng)機(jī)體狀態(tài)處于此1內(nèi)時，陰陽失去平

5、衡，且已不能自動恢復(fù)到其平衡位置A(x0,y0)(當(dāng)然，并不排除可籍助藥物的作用使機(jī)體的陰陽狀態(tài)返回到健康區(qū))，但由于陰陽的相互作用可使機(jī)體狀態(tài)穩(wěn)定在一個新的非健康位置B(x1,y1)上。我們稱1為代償區(qū)，稱B為病態(tài)平衡點。2.3當(dāng)機(jī)體狀態(tài)離開平衡點A更遠(yuǎn)，即處于01的閉包之外時，機(jī)體的狀態(tài)只可能逐漸惡化。把這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語言來描述，就是當(dāng)時間變量t+時，x或y0或+，即機(jī)體走向死亡。我們稱著一區(qū)域為惡化區(qū)，記為2，即2.4當(dāng)x或y有一個為零時，x,y不再隨時間變化。為得到滿足上述四條假設(shè)的數(shù)學(xué)模型，我們再引進(jìn)如下記號：(x,y)(x-x0)2+(y-y0)2-r2,(x,y)(x-x0)2+

6、(y-y0)2-R2,其中的參數(shù)x00,y00,而a1,a2,b1,b2,r和R間滿足關(guān)系0rmina1,a2,b1,b2maxa1,a2,b1,b2R+于是二維歐氏空間中的微分方程(1)就是我們所提出的描述機(jī)體陰陽變化規(guī)律的一個數(shù)學(xué)模型，其中k1,k2均為正常數(shù)。顯然，(1)是一個二維自治系統(tǒng)。3穩(wěn)定性分析與中醫(yī)學(xué)的解釋x與y的符號的不同組合，對應(yīng)著陰陽間的不同關(guān)系，且可依此大體確定方程(1)的軌線走向，見下表。XY陰陽關(guān)系軌線走向+陰陽互惠+-陰長陽消-+陰消陽長-陰陽互消再根據(jù)a1和a2，b1和b2的大小關(guān)系，又可分出九種情形：a1a2,b1a2,b1b2;a1b2;a1a2,b1b2;

7、a1=a2,b1=b2;a1=a2,b1b2;a1a2,b1=b2下面，我們在1、2、和3中畫出了、幾種情形下方程(1)的軌線，大體標(biāo)出軌線走向，由此分出了三個區(qū)域1，2和3，并指出諸平衡點的性質(zhì)。中標(biāo)記的幾條封閉曲線分別是Lk：k(x,y)=0(k=1,2)；1:(x,y)=0;2:(x,y)=0由此再對照前面所提出的四條假設(shè)，容易看出它們的中醫(yī)學(xué)意義。在上述諸情形中，A(x0,y0)均為穩(wěn)定結(jié)點，坐標(biāo)軸x=0,y=0及曲線1,2均為奇線。健康區(qū)均為小圓1內(nèi)部的區(qū)域0=(x,y)|(x,y)0代償區(qū)均為兩個圓周1和2之間的區(qū)域1=(x,y)|r2(x-x0)2+(y-y0)20,(x,y)0

8、121中，A、B、C是穩(wěn)定結(jié)點，D、E是鞍點。2中，A、B、C、D、E是穩(wěn)定結(jié)點，F(xiàn)、G、H、L是鞍點2,3。下面我們只對2和3做較為詳細(xì)的中醫(yī)學(xué)解釋，1可仿照2的情形來理解。由2可見，當(dāng)機(jī)體狀態(tài)處于健康區(qū)時，通過陰陽的互惠(見小圓0的左下部)、互消(見小圓0的右上部)和消長(見小圓0的左上部及右下部)三種關(guān)系的作用，可使機(jī)體自動趨于平衡位置A，這時，陰陽間的三種關(guān)系所起的作用可以說都是好作用。當(dāng)機(jī)體狀態(tài)處于惡化區(qū)2時，由陰陽間三條關(guān)系的作用，可使機(jī)體狀態(tài)進(jìn)一步惡化，直至趨于死亡。此時這三條關(guān)系所起的作用，又可以說都是壞作用了。當(dāng)機(jī)體狀態(tài)處于帶償區(qū)1時，可使機(jī)體在新的基礎(chǔ)上達(dá)到新的平衡：當(dāng)陽較

9、盛時，平衡于B點(此點陽盛陰平，這時的機(jī)體變成一種相對陽盛的體質(zhì)了)；陽較衰時，平衡于點C(陽衰陰平相對陽衰體質(zhì))；陰較盛量，平衡于點E(陰盛陽平相對陰盛體質(zhì))；陰較弱時，平衡于點D(陰衰陽平相對陰衰體質(zhì))。這時陰陽三關(guān)系的作用，雖不能使機(jī)體完全康復(fù)，但也可避免其無限的惡化，至于這些作用是好是壞，需做具體分析方知。如2之軌線1上，x(陰)一直在趨于x0(平衡位置)，但y(陽)先是向y0(平衡點)行進(jìn)，當(dāng)經(jīng)過L2時，突然掉頭轉(zhuǎn)向遠(yuǎn)離y0，遂使軌線趨于病態(tài)點B。故開始時軌線上所體現(xiàn)出來的陰陽相消作用可以說是一種好作用，而后y由降變?yōu)樯?，而使陰陽關(guān)系變?yōu)橄L(陰消陽長)關(guān)系，便是壞現(xiàn)象了。但x的“表

10、現(xiàn)”一直是好的。對其它始于1的軌線，亦可作如是分析。3所表示的是a1=a2,b1=b2的一個極端情形。這時曲線L=L1=L2上的點全是平衡點，這些平衡點均非孤立，L形成一條奇線。當(dāng)機(jī)體陰陽狀態(tài)P處于代償區(qū)1時，隨著時間的推移，可平衡于L上的任一位置，較簡單直觀的解釋了上面所提出的四條假設(shè)。3值得注意的是，這些病態(tài)平衡點都是不穩(wěn)定平衡點，可以認(rèn)為是病情暫時所處的一種非正常狀態(tài)。由于它的不穩(wěn)定性，隨機(jī)體機(jī)能狀態(tài)的少許變化或外邪的侵襲，疾病又將處于活動狀態(tài)。4是在特殊條件a2=2,b2=k1=k2=1,x0=y0=2.5下，由電腦(籍助MathCad Plus 6.0軟件，使用Runge-Kutta

11、法疊代)自動描繪出的方程組(*)的幾條軌線L*1,L*2,L*3,它們所對應(yīng)的初始條件分別是：L*1:x0=0.4,y0=1.4L*2:x0=3.4,y0=2.9L*3:x0=3.5,y0=3和1中同一位置的線條相對照，可進(jìn)一步驗證我們關(guān)于模型穩(wěn)定性的分析。從4還可以看出，是然L*1和L*2的初始條件所代表的同是陰陽兩盛的病情，只是稍有量的區(qū)別，但是疾病的歸轉(zhuǎn)卻大不相同：一個病情逐漸惡化，直到穩(wěn)定于某個病態(tài)平衡點，變成陰平陽盛體質(zhì)(L*3)；另一個則完全康復(fù)(L*2)。這一點，只有通過數(shù)學(xué)模型，才能解釋得清楚。44幾點說明上面我們假定了參k1,k2,a1,a2,b1,b2,r,R均為常數(shù)，即(

12、*)是一個自治系統(tǒng)，并把L1,L2處理為兩個橢圓，把1,2處理為兩個圓周，這完全是為了方便。實際上，這些參數(shù)也應(yīng)隨時間而變，是時間t的函數(shù)。正是這些參數(shù)的變化，才導(dǎo)致機(jī)體整個健康狀態(tài)和體質(zhì)的改變。而且，L1,L2,1,2也可用其它曲線代替，只要不改變它們的相對位置。而藥物對機(jī)體作用的一個重要方面，也正是通過改變這些參數(shù)的值以及改變幾條曲線的形狀，實現(xiàn)機(jī)體陰陽狀態(tài)的相對運動，使之從惡化區(qū)變到代償區(qū)，從代償區(qū)變到健康區(qū)的。外邪對機(jī)體的作用則與之恰恰相反。設(shè)機(jī)體原來處于某健康狀態(tài)P0，由于外邪的作用，使之(相對地)變到另一點Q。這時因體質(zhì)的不同，健康狀態(tài)的差異，可出現(xiàn)各種現(xiàn)象：當(dāng)健康狀態(tài)較佳(0較大

13、)時，Q仍處于0之中，機(jī)體不受?。环粗?，若機(jī)體健康狀態(tài)極差(0極小)，使點Q變到惡化區(qū)2，倘不及時治療，機(jī)體將趨于死亡。當(dāng)健康狀況一般，或外邪的強(qiáng)度適中，使Q1，即陰陽狀態(tài)位于代償區(qū)時，視體質(zhì)的差異，機(jī)體將患程度不同(有時甚至是性質(zhì)不同)的疾病，且受病后，Q將隨時間而運動，直至最后平衡于某個病態(tài)點，如結(jié)核病之鈣化，即屬此種類型。所謂“急則治其標(biāo)”，可理解為通過藥物或其它治療措施，移動Q的位置，使之從1變到0，這時健康區(qū)0的大小不一定增加，甚至還有可能減小?！熬弰t治其本”的思想則不然，它主要是通過擴(kuò)大健康區(qū)0，使原來本不屬于0的點Q包含于其中，進(jìn)而通過機(jī)體自身的作用，使其陰陽狀態(tài)趨于相對平衡，這

14、最終的結(jié)果，不但疾病得以治愈，而且機(jī)體的健康狀態(tài)得到了增強(qiáng)。當(dāng)然，視具體情形，可把x視為血、寒、里、虛,同時把y視為氣、熱、表、實等等。本文所分出的九種機(jī)體狀態(tài)，也可代表九種體質(zhì)4，如內(nèi)經(jīng).陰陽二十五人中關(guān)于“五態(tài)人”的分類那樣。最后要說明的是，本文所提出的模型(1)，充分借鑒了生物數(shù)學(xué)中關(guān)于兩種群相互作用的數(shù)學(xué)模型5。目前，生物數(shù)學(xué)已發(fā)展成為自然科學(xué)的一個強(qiáng)有力的分支。我國數(shù)千年前就已成熟了的中醫(yī)陰陽學(xué)說，竟然和這么精密的現(xiàn)代學(xué)科相一致，而且它們居然吻合得這樣好，以至于毫無牽強(qiáng)附會之處，這本身就是一個奇跡?？梢哉f，它們一個是“遠(yuǎn)及于物”，研究自然界的物種現(xiàn)象，一個是“近及于身”，探討人體的生理機(jī)制，兩者互為表里，也可以說，它們是自然辯證法這一普遍真理在不同領(lǐng)域的具體體現(xiàn)。因此，我們希望本文能引起廣大的數(shù)學(xué)工作者對中醫(yī)理論的關(guān)注。作者單位：蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)系蘭州730000參考文獻(xiàn)1張珍玉主編.實用中醫(yī)基礎(chǔ)理論.山東科技出版社，1985，3852,45.2H.I.Fredoman. Determin