(完整word版)No.31全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽模擬試題

1、No.31高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試卷1、已知0 a b,x Ja b bb, y bb bba,則x, y的大小關(guān)系是 .11 n2、設(shè)a b c , n N,且 恒成立，則 n的取大值為a b b c a c， _.,2 3、對(duì)于m 1的一切實(shí)數(shù)m ,使不等式2x 1 m（x 1）都成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是sin cos4、已知 f x10gsin x, 0,一 ，設(shè) a f , b f vsin cos22c f ,那么a、b、c的大小關(guān)系是 sin cos2000_5、不等式v4x 2 2V3 x 的解集是1999.x2 2x 2 .一 ,，6、函數(shù) f x x 1的最小值為2x 2_.117

2、、若a,b,nR,且a bn,則1 一1 -的取小值是a b8、若 3x2 xy 3y2 20 ,貝U 8x2 23y2 的最大值是 .9、設(shè) n N ,求|n 1949 | |n 19501 |n 2001 | 的最小值.1,，一八f-，則s的整數(shù)部分10,11,10、求 s 1 p l L11、圓周上寫著紅藍(lán)兩色的數(shù)。已知，每個(gè)紅色數(shù)等于兩側(cè)相鄰數(shù)之和，每個(gè)藍(lán)色數(shù)等于兩側(cè)相鄰數(shù)之和的一半。證明，所有紅色數(shù)之和等于0。（俄羅斯）12、設(shè) a,b,c R ,求證:b2（第二屆 友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）烏魯木齊市高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)題2參考答案a1、解法 1 x a b Jb.y Jb b a.

3、a b . b0 a b, 、.a b . b . b , b a, x解法2abba, - 1, x y. y1y a b b . b b a解法3 -1 xa 2b.11解法6令f（t） 4dT7工.a b .b a,.a b , b a 2. b, x y.，f(t)調(diào)遞減，而 b b a, f(b) f(b a),即 Va b Jb 抵h acac.而min abbca ca c2、解法1 原式 n.a bb ca b b c b c a ba b , b c a b 口4 ,且當(dāng)，即 a c 2b b ca b b c時(shí)取等acacabbcmin4. n 4.故選 C .解法2 ab

4、 c, a b 0,b c 0,a c 0,已知不等式化為2a c2a b b c4,即min故由已知得n 4,0,b0, a c 0解法44,4,由題意,4.故選minc,0, b c已知不等式可變形為解法53、解法1題設(shè)等價(jià)于1 02x 1或x2 12x解法2已知不等式即等式恒成立，由題意,4.故選C .0, 0.于b c4,、r4- 比較得 a c1 02x 1或x2 10，所以1 x0x2 11時(shí),4.故選2或3m 2x 102x 1或 x2 12x，令 f (m)f(m)是m的一次函數(shù)，因?yàn)?xx2 11,2).2x 1所以f(m)在 1,1上的圖象恒在m軸的下方1時(shí)不f( 1) f

5、(1)又當(dāng)2x 1 2x1 2x 11 時(shí),f(m)2 x2 x適合題意,2x2x故x的取值范圍是32.4、解法1設(shè)sincosq.1 時(shí)，f(m)1 x 2 (x 1).3不合題意.x是減函數(shù),f 0,則.an an 1a an ananan 1a an $ an 1d(n2,n,d是公差）.由此,得s 1121,3_1_,106、3.32_ 12106 . 106.2 1又知s評(píng)析.106,3.1061998.、2,106 一 106 111,106 1106 v106 1.1061999.106106 11998 s 1999,1998 , 1，-6s顯然是數(shù)列的刖10項(xiàng)的和,直接求和，

6、無法可依.能否用裂項(xiàng)相消法將每項(xiàng)拆成異號(hào)的兩項(xiàng)之和呢？考慮到-n n 11 1 、，于是將變?yōu)樵俜糯鬄檫@是一道用放縮法”求解不等式問題的好題目。但用放縮法”解題，必須把握好放縮的度”就以此題為例，若將11 213L -161021 .12-2 -2106,-106:0. 106 J06 12 10J106 V106 1 2000 ,就彳導(dǎo) 1998 s 2000 ,這樣就沒法確定s到底是1998還是1999 了.若做到這里，我們便應(yīng)考慮到題中的1不作變形，問題就會(huì)得到解決.此題來源于高中代數(shù)下冊(cè)（必修）P132第33題：用數(shù)學(xué)歸納法證明jn, n 1 .1992年全國(guó)高考 三南”試題：證明不等

7、式:1_2、. n, n N.這兩個(gè)結(jié)論合起來就有, nJn 1 I3 L1二2、,n、.nN .此結(jié)論就是而 s2jn.11、解:將所有紅數(shù)的和記為SH，所有藍(lán)數(shù)白和記為SL,對(duì)任意兩個(gè)a,b, c都有a+ c= b或2b (視b為紅數(shù)還是藍(lán)數(shù)而定)。將所有這些等式全部求和，從等式的左邊看：每個(gè)數(shù)都被加了兩次，所以總和為 2 ( 0 + Sl )；從等式的右邊看：每個(gè)紅數(shù)都被加了一次，每個(gè)藍(lán)數(shù)都被加了兩次，所以總和為SH + 2 Sl ,因此 Sh + 2 sL = 2 ( Sh + Sl ),故 Sh = 0。12、證明設(shè) b c x, c a y, ac 1 x y zx,y,z 0 .2.2, 2.2aba bay bx, 0,xyx yxy x ya b c a b