數(shù)學(xué)建摸論文例子傳染病模型

1、傳染病的傳播摘要：本文先根據(jù)材料提供的數(shù)據(jù)建立了指數(shù)模型，并且全面地評價(jià)了該模型的合理性與實(shí)用性。而后對模型與數(shù)據(jù)做了較為扼要地分析了指數(shù)模型的不妥之處。并在對問題進(jìn)行較為全面評價(jià)的基礎(chǔ)上引入更為全面合理的假設(shè)和建立系統(tǒng)分析模型。運(yùn)用聯(lián)立微分方程組體現(xiàn)疫情發(fā)展過程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上建立方程求解算法結(jié)合MATLAB編程(程序在附件二)擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)行了疫情預(yù)測。同時(shí)運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對衛(wèi)生部的措施進(jìn)行了評價(jià)并給出建議以及指出建立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會，說明建立如SARS預(yù)

2、測模型之類的傳染病預(yù)測模型的重要意義。關(guān)鍵詞：微分方程 SARS 數(shù)學(xué)模型 感染率1問題的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：1)建立傳染病傳播的指數(shù)模型，評價(jià)其合理性和實(shí)用性。2)建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于指數(shù)模型；特別要說明怎樣才能建

3、立一個(gè)真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件1提供的數(shù)據(jù)供參考。3)說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。2 定義與符號說明 N表示為SARS病人的總數(shù)；K（感染率）表示為平均每天每人的傳染他人的人數(shù)；L表示為每個(gè)病人可能傳染他人的天數(shù)；N(t) 表示為每天（單位時(shí)間）發(fā)病人數(shù)；N(t)-N(t-L)表示可傳染他人的病人的總數(shù)減去失去傳染能力的病人數(shù)；t表示時(shí)間；R表示擬合的均方差；3 建立傳染病傳播的指數(shù)模型3.1模型假設(shè)1) 該疫情有很強(qiáng)的傳播性，病

4、人（帶菌者）通過接觸（空氣，食物，）將病菌傳播給健康者。單位時(shí)間（一天）內(nèi)一個(gè)病人能傳播的人數(shù)是常數(shù)k； 2) 在 所傳染的人當(dāng)中不考慮已治愈的人是否被再次被傳播，治愈的人數(shù)占該地區(qū)的總?cè)藬?shù)是絕對的少數(shù)，治愈者不會再被傳播并不影響疫情在該時(shí)間內(nèi)的感染率常數(shù)k;3) 病者在潛伏期傳播可能性很小， 仍按健康人處理；4) SARS對不同的年齡組的感染率略有不同（相差不大），但我們只考慮它健康人的感染率是一樣的；5) 我們所采取的隔離是非常嚴(yán)格的，被隔離的病人不會再感染其他人；3.2模型的分析和建立求解全國疫情從出現(xiàn)第一例病人起，到4月20日前后（從起點(diǎn)起45天左右）是疫情高峰，在此之前k值我們?nèi)=

5、0.16204，在此后的時(shí)間里我們?nèi)=0.0273來計(jì)算。根據(jù)提供的數(shù)據(jù)可以建立指數(shù)模型：N(t)=n(1+K) 。在前45天我們?nèi)=0.16204來代入，分別算出45天的病人累計(jì)數(shù)，根據(jù)45天中天病人的數(shù)量來畫出圖1，并與附件中所提供的數(shù)據(jù)中的日累計(jì)數(shù)來進(jìn)行了比較。如圖3-1所示：圖3-1 根據(jù)指數(shù)模型建立的圖形圖3-2根據(jù)附件1所建立的圖形從兩個(gè)圖形中，我們可以看出，從4月20日開始計(jì)算，前45天的病人累計(jì)數(shù)和我們用k的值來代入模型畫出的病人計(jì)算數(shù)基本上是吻合的。圖形1中的橫坐標(biāo)數(shù)字表示時(shí)間的天數(shù)，如15即4月20日之后的第15天，40即4月20日之后的第40天。在45天之后的時(shí)間里，

6、模型對k的值進(jìn)行了調(diào)整，k=0.0273，我們再將k=0.0273代入模型 N(t)=n(1+K)，在45天之后的時(shí)間里，我們?nèi)×?0天的時(shí)間，分別算出每天的病人累計(jì)數(shù)，如圖3-3所示： 圖3-33.3對指數(shù)模型的驗(yàn)證和評價(jià)在圖形3-3中的橫坐標(biāo)的數(shù)值表示圖形1中所表示的天數(shù)之后的天數(shù)，如1即表示4月15日之后的45天之后的有第六天，也就是4月15日之后的第51天，即表示4月15日之后的第67天。首先在圖形3-3結(jié)合圖形3-1可以看出，圖形3-1中的第45天與圖形2中的第一天（相隔一天）的人數(shù)統(tǒng)計(jì)是相差比較大的，存在這種情況的原因是在我們在計(jì)算第61天，數(shù)據(jù)值發(fā)生了改變，從0.16204到0.

7、0273是一個(gè)很大的變化，而在實(shí)際的生活中的情況是k值每天都在進(jìn)行數(shù)值在減小的改變，但改變的沒有這么大，也正是因?yàn)閗有了跳躍，N(t)的值才會發(fā)生這么大的變化，這是可以理解的。我們對圖形2的整個(gè)曲線來與附件1中的圖形1進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)階段的數(shù)值曲線圖形都是很接近的。我們在對全國在前期和后期k分別取k=0.16204和k=0.0273的值來代入所給的模型來計(jì)算并畫出的圖形,與實(shí)際的數(shù)據(jù)和圖形進(jìn)行了比較，是有著很好的吻合，同樣我們也可以對k取值一個(gè)定值來對全國進(jìn)行計(jì)算和畫圖，同樣也是合理的。因此我們就認(rèn)為題目中給我們的那個(gè)模型N(t)=n(1+K)是合理的。通過這個(gè)模型我們可以根據(jù)某一地

8、區(qū)的疫情從爆發(fā)到高潮或某一階段的時(shí)間的長短來擬合得到一個(gè)與該地區(qū)這種疫情的感染率，就可以用該模型來計(jì)算或預(yù)測該地區(qū)現(xiàn)在及以后的病人的累計(jì)數(shù)， 這也就是該模型的實(shí)用性所在。4建立新模型4.1模型假設(shè) 模型假設(shè)與指數(shù)模型假設(shè)一致不在贅述。4.2模型分析與建立4.2.1模型分析 初期由于疫情初期政府控制力度不夠，大眾的對SARS的防范意識不強(qiáng)，造成病情迅速蔓延。而當(dāng)政府采取有力措施，人們的防患意識增強(qiáng)，疫情則趨于緩和，病患者人數(shù)迅速下降。所以SARS傳播大體上可分為兩個(gè)階段： 1)控制前期：即認(rèn)為病毒傳播方式是自然傳播。2)控制后期：政府強(qiáng)力介入之后的病毒傳播模型。4.2.2 模型建立根據(jù)對指數(shù)模型

9、的分析和4.2的分析疫情走勢的微分方程如下； N(t) = K N(t) N(t L) . （1）4.3模型的求解如果假定有一個(gè)初始爆發(fā)時(shí)間，最初有N0 個(gè)病人突然出現(xiàn)，在L 天之內(nèi)(t < L)則N(t-L)=0 。在這個(gè)初發(fā)期間內(nèi)，方程(1) 給出的發(fā)病人數(shù)呈指數(shù)增長N(t)=N(1+K) （ 0<tL） (2)當(dāng)L<t2L的時(shí)候，N(t-L)這部分人就已經(jīng)沒有傳播能力了，因此我們推算出了下列模型 N(t)= N(1+K) (t-L)K(1+K) （L<t2L） （3）當(dāng)2L<t3L的時(shí)候又有下列模型 N(t)= N(1+K) N(t-L) (2L< t

10、 3L) （4）L可理解為平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等。在不同的時(shí)期L的取值范圍也是不一樣的，我們所得到的資料中總結(jié)出不論對于疫情的爆發(fā)階段，還是疫情的控制階段，這個(gè)參數(shù)都不能用得太小，否則無法描寫好各階段的數(shù)據(jù)。該參數(shù)放在15-25之間比較好，現(xiàn)在醫(yī)學(xué)界還沒有確定出L的值，我們想象可能有的人抵抗能力強(qiáng)，有的人抵抗能力差，因此我們把它固定在20（天）上這個(gè)值有一定統(tǒng)計(jì)上的意義.我們把L的值定在了20天,是合理的，當(dāng)t的取值比較大時(shí)，該模型又有指數(shù)關(guān)系，N(t)前后之間的差距比較大，然而當(dāng)t>60時(shí)，

11、在這之前失去傳播能力的只占了少部分，因此規(guī)定當(dāng)t>60時(shí)也可用N(t)= N(1+K) N(t-L)的模型。K的值其實(shí)是一個(gè)變量，它每天的值都在發(fā)生變化。疫情剛開始的時(shí)候，K的值大，原因可能有剛可能是政府部門還沒有足夠重視起來，人們也還沒有重視，醫(yī)療部門也還沒有比較好的設(shè)備，醫(yī)生們對病情也還沒有很了解，技術(shù)上可能也還有不足。但隨著病情的日益加重，來自各個(gè)方面的重視程度都有很大的提高，這是K的值就比較小了。在此模型中，我們認(rèn)為 感染率(K)在 數(shù)值上與病例的增長率是相等的，疫情患者他傳播在傳播給健康人的時(shí)候，健康人他可能是帶病毒了，但健康熱處于潛伏期狀態(tài)，據(jù)“全國“非典” 科技攻關(guān)組公布七

12、大科研進(jìn)展”與于2003-06-03日報(bào)道中指出潛伏期患者傳染的可能很小。有關(guān)部門對非典暴發(fā)過程中兩例傳播鏈進(jìn)行了細(xì)致的調(diào)查和分析，這兩個(gè)案例中共追查到潛伏期密切接觸者158人，無一人死亡。因此我們在模型中說的感染率只為疫情患者傳染給他人，而且他人發(fā)病，若他人不發(fā)病則不為感染率。增長率在數(shù)值上即為感染率。我們對全國所提供的所有數(shù)據(jù)中的已確診病例累計(jì)進(jìn)行了分析計(jì)算，得出感染率K的變化數(shù)據(jù)并畫出了曲線圖。如圖4-1所示：圖4-1K（感染率）是一條跟t的值有關(guān)的曲線，我們通過回歸法K的公式為：K = 7E-13t - 4E-10t + 8E-08t - 1E-05t + 0.0006t - 0.01

13、91t +0.2325 （5） 圖4-1中R=0.6988為曲線回歸的均方差，可見存在的誤差并不大。t為疫情流行的天數(shù)。4.4模型檢驗(yàn) 通過該公式可預(yù)測疫情開始時(shí)或以后的累計(jì)病人總數(shù)。 例如 要預(yù)測某一天病人的累計(jì)總數(shù)，將時(shí)間t的天數(shù)代入方程（5）即可求得K（感染率）的大小，因?yàn)長的值定在20天，所以當(dāng)0<t20時(shí)，將K代入（2）； 當(dāng)20<t40時(shí)，將K代入（3）； 當(dāng)40<t60時(shí)，將K代入（4）。當(dāng)t=10時(shí)，我們根據(jù)方程（5），可求得K=0.0923,我們再將K=0.0923代入（2）得到N8。當(dāng)t=50時(shí)，我們根據(jù)方程（5），可求得K=0.0614,我們再將K=0.

14、0614代入（2）得到N308。這與實(shí)際給出的數(shù)據(jù)非常接近?？梢哉f明我們的模型是一個(gè)比較能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供信息的模型。4.5模型的應(yīng)用與推廣 此模型可以作為預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。4.6與指數(shù)模型的比較 1）我們對不同階段的疫情的計(jì)算和預(yù)測建立了不同的模型，這樣來分析比附件1所提供的早期模型更加的精確。2）對感染率K求出了方程，可以知道每一天的疫情感染率，可以更加有效的計(jì)算與預(yù)測有關(guān)數(shù)據(jù)。3）該模型實(shí)用性更強(qiáng)，能更加準(zhǔn)確的反映實(shí)情。5 建立模型的關(guān)鍵和困難 建立模型的關(guān)鍵在于對模型進(jìn)行動態(tài)的分析，當(dāng)傳染病發(fā)展到一定階段在政府的控傳染率下降。此時(shí)還用之前的誤

15、差會很大。在建立模型過程中有以下幾個(gè)方面的困難：1）對不同地區(qū)SARS的衛(wèi)生知識的宣傳的多少的不同，K的值就不一樣；2）對某一地區(qū)的不同地方的強(qiáng)化管理也不一樣（如公交、商場、餐廳、娛樂場所等），K的值也就不一樣；3）還有保護(hù)工具的使用、建筑物的通風(fēng)條件、居住的衛(wèi)生條件等等的不同，都會有有不同的K的取值。6對于衛(wèi)生部門采取的措施的評價(jià)對于衛(wèi)生部門提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施的影響，我們可以建立下面的模型進(jìn)行輔助分析估計(jì)：1) 模型參數(shù)定義：S(t)t時(shí)刻易感人群總數(shù)I(t) t時(shí)刻出現(xiàn)的新增患者 患者從患病起經(jīng)過時(shí)間，仍為患者的概率患者距發(fā)病時(shí)間，具有傳染性的概率患者與易感人群接觸率近斷時(shí)間

16、的醫(yī)學(xué)研究表明，從正式發(fā)病到治愈一般需714天或更長時(shí)間，假定平均治愈時(shí)間為12天。2) 基本條件假設(shè)：新患者出現(xiàn)的數(shù)量與現(xiàn)有患者的數(shù)量成正比，也與現(xiàn)有易感者的數(shù)量成正比，即發(fā)病率是患者人數(shù)和易感者人數(shù)的雙線性函數(shù)。由基本假設(shè)條件可得：S（t+1）=S(t)-I(t+1) （1）I(t+1)=S(t) （2）經(jīng)整理后得：S(t+1)=S(t)- （3）S(t+1)=S(t)(1- （4）S(t+1)/S(t)=(1- （5） 雖然不能具體知道 的數(shù)值，那么我可以根據(jù)較為理想的均勻平均遞減概率參數(shù)，可得下表：0123456789101112111/1210/129/128/127/126/125

17、/124/123/122/121/120表6-1如果病人發(fā)病后5天才開始隔離，并且的值在疫情初期又較大的話，那么由上表可知病人已經(jīng)分別以11/12、10/12、9/12、8/12、7/12的大概率在社會上與易感人群接觸和傳染。由（5）式得:S(t+1)/S(t)=(1-<1 （6）也就是S(t+1)<S(t)，易感人群總數(shù)將會一以較大的數(shù)值遞減，給疫情的控制帶來更大的困難。而且在現(xiàn)實(shí)生活中在第5天的（5） > 7/12。當(dāng)處于潛伏期時(shí)，傳染性幾乎為0，因而同理我們有理由相信：S(t+1)/S(t)=(1- （7）即S(t+1)近似于S(t)。所以，如果在病人發(fā)病前提前5天隔離

18、的話，新增病人數(shù)將變得很小。7 建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染病已經(jīng)得到有效的控制，但是在世界的某些地區(qū)，特別是貧窮的發(fā)展中國家，還不時(shí)出現(xiàn)傳染病流行的情況，與次同時(shí)，一些鮮為人知的險(xiǎn)惡傳染病則跨國越界在既包括發(fā)達(dá)國家也包括發(fā)展中國家的更大范圍內(nèi)蔓延。一直以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等等，有著重要的作用。以最近突發(fā)性的險(xiǎn)惡傳染病SARS為例。從2002年11月16日在中國廣東佛山市首例發(fā)生家族聚集性發(fā)病至2003年5月，疾病呈迅速蔓延趨勢。

19、目前全世界30多個(gè)國家和 地區(qū)有病例報(bào)告。中國大陸、香港和臺灣發(fā)病人數(shù)占全球的90%以上。世界衛(wèi)生組織（WHO）總干事Brundtlard博士指出，SARS已威脅到全球人類的健康。由于目前對SARS尚無可靠的病理學(xué)診斷，所以只能根據(jù)醫(yī)療衛(wèi)生部門提供的可靠數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，建立模型來描述SARS病毒的宏觀傳播過程，有助于從量的方面來分析受感染人數(shù)的變化趨勢，掌握SARS的流行規(guī)律，從而及時(shí)對疫情進(jìn)行控制，提供科學(xué)的數(shù)據(jù)，認(rèn)清傳染的基本要素，為防病提供必要的依據(jù) 。例如，5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項(xiàng)目。于5月19日初步完成了第一批成果，這一數(shù)學(xué)模

20、型利用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計(jì)算仿真。結(jié)果指出，將患者及時(shí)隔離對于抗擊非典至關(guān)重要。分析報(bào)告說，就全國而論，若非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加2100人左右；若外界輸入1000人中包含一個(gè)病人和一個(gè)潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬人。同時(shí)美國科學(xué)雜志網(wǎng)站5月23日發(fā)表的兩份最新研究報(bào)告顯示，如果對非典采取嚴(yán)密的公共衛(wèi)生防治措施，這種新型疾病是能夠得到控制的。而采取這種措施需要有一個(gè)預(yù)見性，這就需要人們通過模型的建立對SARS的發(fā)病周期、發(fā)病人數(shù)的變化趨勢、疑似

21、人數(shù)的變化趨勢等來分析和預(yù)測。并為政府和醫(yī)療衛(wèi)生部門進(jìn)行決策和資料調(diào)配提供直接的服務(wù)，為相關(guān)的研究部門提供科學(xué)的數(shù)據(jù)。 SARS作為新發(fā)傳染病之一，雖有著其特殊性，但也符合一般傳染病的傳播規(guī)律。從SARS對人民身體健康造成嚴(yán)重危害可以看出及時(shí)對傳染病建立模型并進(jìn)行分析和預(yù)測對人類的生命健康有著至關(guān)重要的作用。8 參考文獻(xiàn)1 姜啟源 數(shù)學(xué)模型 高等教育出版社 1993.82 云舟工作室 數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)教程 人民郵電出版社 2001.73 劉雙等SARS臨床病例及影像學(xué)分析中國醫(yī)藥科技出版社2003.5附錄A疫情的數(shù)據(jù)表日期已確診病例累計(jì)現(xiàn)有疑似病例死亡累計(jì)治愈出院累計(jì)4月20日3394021833

22、4月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月1日15531415821005月2日16361468911095月3日17411493961155月4日180315371001185月5日189715101031215月6日196015231071345月7日204915141101415月8日2136148611215

23、25月9日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日2490113416

24、36675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日2521219122776月1日252273918111246月2日2522734

25、18111576月3日252272418111896月4日252271818112636月5日252271618113216月6日252271318314036月8日252255018415436月9日252245118416536月10日252235118617476月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月7日252366818314466月11日252325718618216月12日25231551871876附錄Bfunction E=BJ(theta) format long; x=; C= %出院人數(shù) ; A= %累計(jì)個(gè)案 ; B=;死亡人數(shù) y=A-B-C; s0=theta(4);n0=theta(5); t,s=ode45('feidian