中考數(shù)學(xué)——平行四邊形的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案解析

1、中考數(shù)學(xué)一一平行四邊形的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案解析一、平行四邊形1.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一 起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上, 連接AF.取AF中點(diǎn)M, EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1： DM、MN的數(shù)量關(guān)系是一；結(jié)論2： DM、MN的位置關(guān)系是；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變,則 （2）中的兩

2、個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.D 丁D【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF,繼而證明出 ABE2&ADF,得到AE=AF,從而證明出 AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān) 系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置 關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角 相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出1 1MNII AE, M

3、nNaE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=%F,從而得到DM, MN數(shù)量相 等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān) 系得到N DMN=Z DGE=90°.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1） .四邊形 ABCD 是正方形，. AB=AD=BC=CD, N B=N ADF=90°, ; CEF是等腰直角三角形,Z C=90°, /. CE等F, . BC - CE=CD - CF,即 BE=DF, ABE2 ADF, /. AE=AF, /. AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等， DM

4、、MN的位置關(guān)系是垂直；.在RtA ADF中DM是斜邊AF的中線，/. AF=2DM, D MN 是小 AEF 的中位線，AE=2MN, V AE=AF,/. DM=MN； V Z DMF=Z DAF+Z ADM,AM=MD, , Z FMN=Z FAE, Z DAF=Z BAE, Z ADM=Z DAF=Z BAE, Z DMN=Z FMN+Z DMF=Z DAF+Z BAE+N FAE=Z BAD=90 /. DM±MN； (3) (2)中的 兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G, ,點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，1/. MNII AE, MN=】AE,由已知得,AB=A

5、D=BC=CD, Z B=Z ADF, CE=CF,又BC+CE=CD+CF,即 BE=DF, ABE合 ADF, /. AE=AF,在 RtA ADF 中，:點(diǎn) M 為 AF 的 1中點(diǎn)，DM=)AF, /. DM=MN, 二 ABE里 ADF, /. Z 1=Z 2, V ABII DF, /. Z 1=Z 3,同 理可證：Z 2=Z 4, /. Z 3=Z 4, V DM=AM, /. Z MAD=Z 5,/. Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+Z 3=90°, V MNII AE, /. Z DMN=Z DGE=90°, DMJLMN.所 以(2)中的兩個(gè)結(jié)論

6、還成立.D AD AD考點(diǎn)：1 ,正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4,旋轉(zhuǎn)的性 質(zhì).2.已知 R3ABD 中，邊 AB=OB=1, Z ABO=90° 問題探究:（1）以AB為邊，在RS ABO的右邊作正方形ABC,如圖（1）,則點(diǎn)0與點(diǎn)D的距離 為一（2）以AB為邊，在ABO的右邊作等邊三角形ABC,如圖（2）,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的距 離.問題解決：（3）若線段DE=1,線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D, E分別在射線OA、OB上滑動(dòng)，以DE為邊向 外作等邊三角形DEF,如圖（3）,則點(diǎn)。與點(diǎn)F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由.【解析】【分析

7、】試題分析：（1）、如圖1中，連接0D,在RSODC中，根據(jù)OD=Joc2+cr>2計(jì)算即可.（2）、如圖2中，作CE_LOB于E, CF_LAB于F,連接0C.在R3 0CE中，根據(jù) OC=JC£；2+c£2計(jì)算即可.、如圖3中，當(dāng)OF_LDE時(shí)，OF的值最大，設(shè)OF交DE于 H,在0H上取一點(diǎn)M,使得OM=DM,連接DM.分別求出MH、OM、FH即可解決問 題.【詳解】試題解析：（1）、如圖1中，連接0D,/ 四邊形 ABCD 是正方形，. AB=BC=CD=AD=1, Z C=90° 在 RS ODC 中，:乙 090°,0C=2, CD=1

8、,0D= yocZ DOH=-Z DOE=22.5°, : 0M=DM, + CD2 = a + F = V5(2)、如圖2中，作CELOB于E, CFJLAB于F,連接OC.圖V6 + V22、如圖3中，當(dāng)OFJLDE時(shí)，OF的值最大, 0M=DM,連接 DM.設(shè)OF交DE于H,在OH上取一點(diǎn)M,使得圖3Z FBE=Z E=Z CFB=90°,四邊形 BECF 是矩形，BF=CF=L CF=BE=正, 22在 RtA OCE 中，0C= y/oE2 + CE2 =/ FD=FE=DE=1, OF±DE, /. DH=HE, OD=OE,MDO=22.5。，“MH

9、-4-L 匹22fh=Jdf2 dh?=4,OF=OM+MH+FH= + +-OF的最大值為“'+1 考點(diǎn)：四邊形綜合題.3.如圖，正方形48CD的邊長為8, E為8C上一定點(diǎn)，BE=6, F為48上一動(dòng)點(diǎn)，把 BEF沿EF折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)8'處，當(dāng) 4F8'恰好為直角三角形時(shí)，8'D的長為？【答案】1相或2【解析】【分析】分兩種情況分析:如圖1,當(dāng)NAB'F=90。時(shí)，此時(shí)A、B'、E三點(diǎn)共線，過點(diǎn)B'作B'M_LAB, B'N_LAD,由三角形的面枳法則可求得B'M=2.4,再由勾股定理可求得B'N=3

10、.2, 在 RSCB'N 中，由勾股定理得，BfD= VW2+DN2 =V3.22 4-5.62 ：如圖 2,當(dāng)NAFB'=90。 時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB'是正方形，AF=2,過點(diǎn)B作B'N_LAD,則四邊形AFB'N為 矩形，在RQCB'N中，由勾股定理得，B俁，£方士DN-2?+22 ；【詳解】如圖1,當(dāng)NAB'F=90。時(shí)，此時(shí)A、B'、E三點(diǎn)共線,NB=90。，AE= Jab? + be-8、+ 6, =10， B'E=BE=6, /. ABM,/ B'F=BF, AF+BF=AB=8,

11、在 RSAB'F 中，Z ABT=90°,由勾股定理得,AF2=FB，2+AB，2,AF=5, BF=3,過點(diǎn)B'作B'M_LAB, B'N_LAD,由三角形的面積法則可求得B'M=2.4,再由勾股定理可求得 B'N=3.2,AN=B'M=2.4,DN=AD-AN=8-2.4=5.6, 4 r 在 RSCB'N 中，由勾股定理得，BfD= VW2+DN2 =V3.22 4- 5.62；如圖2,當(dāng)NAFB'=90。時(shí),由題意可知此時(shí)四邊形EBFB'是正方形，AF=2,過點(diǎn) B'作 B'NLA

12、D,則四邊形 AFB'N 為矩形，AN=B'F=6, B'N=AF=2, /. DN=AD-AN=2, 在 RSCB'N 中，由勾股定理得，BZD= 7W2+DN2 =）22 + 22 =272 ：【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確 地畫出圖形并能分類討論是解題的關(guān)鍵.4.如圖，四邊形A5C。是知形，AB = 1,BC = 2,點(diǎn)七是線段5C上一動(dòng)點(diǎn)（不與6,C 重合），點(diǎn)尸是線段84延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DEEEOE所 交A£于點(diǎn)G.設(shè) BE = x,AF = y9已知與X之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.V圖

13、圖（1）求圖中）'與X的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證:DE10F；（3）是否存在x的值，使得OEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在， 說明理由【答案】（1） y=-2x+4 （0VXV2） ； （2）見解析；（3）存在，x=2或上正或之.422【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得V與X的函數(shù)表達(dá)式；（2）證明 CDE ADF,得N/WF=N CDE,可得結(jié)論;（3）分三種情況：若 DE=DG,則N DGE=4 DEG,若DE=EG,如圖，作EHIICD,交4）于H,若 DG=EG,則N GDE=Z. GED, 分別列方程計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè) y=kx+b,由圖象得

14、：當(dāng)x=l時(shí)，y=2,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,代入得:k + b = 2/7 = 4. y= - 2x+4 (0<x<2)；(2) BE=x, BC=2/. CE=2 - x,CE 2-x1 CD 1 _ _-AF -4-2x_27d-2CE CD af = ad'V四邊形A8CD是矩形， Z C=Z DAF =90 CDE- ADF,N ADF=N CDE, Z ADFM EDG = N CDE+N EDG=90。， DE 工 DF；(3)假設(shè)存在x的值，使得 OEG是等腰三角形,若 DE=DG,則N DGE=N DEG,四邊形八8CD是矩形， AOII 8C, Z 8 =

15、90。， Z DGE=Z. GEB,Z OEG=N BEG 9在 DEFh 8EF 中，ZFDE = ZB< ZDEF = ZBEF,EF = EF DE匡 & BEF (AAS), DE=BE=x, CE=2 - x,二在R3CDE中,由勾股定理得:1+ (2-x) 2=x2,5x=；4若DE=EG,如圖，作EHIICD,交AD于H,(圖)/ ADW 8C, EHW CD,四邊形CDHE是平行四邊形， Z C=90°,四邊形CDHE是矩形，, EH=CD=1, DH=CE=2x, EH±DGf HG=DH=2 x, AG=2x - 2,/ EHII CD,

16、DCW AB. EH II AF, EHG- FAG.EH _ HG' af=ag'12-x 4 2.2x 2 '若 DG=EG,則N GOE=N GED, / ADW 8C, Z GDE=4 DEC, Z G£D = Z DEC, / Z C=Z EDF=90°, CDE DFE, .CE DE cddf' CDE- ADF,DE CD 1"'DFAD2,.CE 1 -=一，CD 2 2 - x= , x=，22綜上，x= 2或土巨或.422【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和

17、全等 的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識，運(yùn)用相似三 角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.5.如圖 1,在 ABC 中，AB=AC, AD_LBC 于 D,分別延長 AC 至 E, BC 至 F,且 CE = EF, 延長FE交AD的延長線于G.(1)求證：AE = EG；(2)如圖2,分別連接BG, BE,若BG = BF,求證：BE = EG；(3)如圖3,取GF的中點(diǎn)M,若AB = 5,求EM的長.【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：NCAD = NG,可得AE = EG：(2)作輔助線，證明 BE超 GEC (SAS),可得結(jié)論

18、；(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM = DN =-7AC,計(jì)算可得結(jié)論.2【詳解】證明：(1)如圖1,過E作EH_LCF于H,A圖1AD±BC, EH II AD,N CEH = N CAD, N HEF = N G, CE = EF,Z CEH = Z HEF,/. Z CAD = Z G, AE = EG；(2)如圖2,連接GC,圖2AC = BC, ADJLBC, *- BD = CD, . AG是BC的垂直平分線，GC=GB, Z GBF = Z BCG,/ BG = BF, GC = BE, CE = EF, . Z CEF = 1

19、80° - 2Z F,/ BG = BF,Z GBF = 180° - 2Z F,Z GBF = Z CEF,Z CEF = Z BCG,Z BCE = Z CEF+Z F, Z BCE = Z BCG+Z GCE,Z GCE = Z F,在 BEF和 GCE中,CE = EF < ZGCE = ZF, CG = BF BEF2 GEC (SAS),BE = EG；(3)如圖3,連接DM,取AC的中點(diǎn)N,連接DN,圖3由(1)得 AE = EG,Z GAE = Z AGE,在R3ACD中，N為AC的中點(diǎn),1DN=AC=AN, NDAN = NADN, 2 Z ADN

20、= Z AGE, DNII GF,在R3GDF中，M是FG的中點(diǎn)，1DM=-FG=GM, z gdm = z age, 2 Z GDM = Z DAN, DM II AE,四邊形DMEN是平行四邊形，1EM = DN=-AC,2AC=AB = 5,5 EM=-.2【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性 質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助 線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三問，輔助線的作法是關(guān)鍵.6.如圖，點(diǎn)。是正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，分別延長CO到點(diǎn)G, 0C到點(diǎn)E,使0G=20D、0

21、E=20C,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG.（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點(diǎn)為M,求證：四邊形CDME是平行四邊形.（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OEFG，如圖 2,連接 AG', DES 求證：AG=DE AGDE'；（3）在（2）的條件下，正方形OEFG，的邊0G，與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N,如圖3,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0。180。），若 AON是等腰三角形，請直接寫出a的值.【答案】（1）證明見解析：（2 ）證明見解析；（3） a的值是22.5?；?5?；?12.5?；?35?；?157.5°.【解析】【分

22、析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=?GE,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到 2CDII GE, CD=-GE,求得CD=GE,即可得到結(jié)論； 2（2）如圖2,延長E'D交AG'于H,由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD,Z AOD=Z COD=90°,由四邊形OEFG是正方形，得至I OG，=OE N E9G，=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 得到N G'OD=N E'OC,求得N AOG'=N COE',根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG'=DE',NAGQ=NDE，O,即可得到結(jié)論：（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)

23、和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：:四邊形OEFG是正方形，1 ME=-GE,2OG=2OD、OE=2OC,1 CDII GE, CD=-GE,2 CD=GE,四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2,延長E'D交AG'于H,GV四邊形ABCD是正方形，AO=OD, Z AOD=Z COD=90四邊形OEFG是正方形，/. OG=OE NE'OG'=90。，.將正方形OEFG繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE'F'G', Z G'ODN E'OC, Z AOG=Z COE', 在 AGZO 與

24、 ODE，中，OA=OD< ZAOG= NDOE，,OG'=OE' AG'O鯉 ODE'/. AG=DE NAG'ONDE'O,Z 1=Z 2, Z G'HD=N G'OE'=90。，AG'J_DE'；（3）正方形OEFG，的邊OG'與正方形ABCD的邊AD相交于點(diǎn)N,如圖3,I、當(dāng) AN=AO 時(shí)，Z OAN=45°, Z ANO=Z AON=67.5°,Z ADO=45°,/. a=Z ANO-Z ADO=22.5°；n、當(dāng) AN=ON 時(shí)， Z N

25、AO=Z AON=45。， Z ANO=90°, a=90°-45°=45°；正方形OEFG'的邊OG，與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N,如圖4,圖4I、當(dāng) an=ao 時(shí)， / Z OAN=45°,Z ANO=Z AON=67.5°, / Z ADO=45°,a=Z ANO+90°=112.5°；n、當(dāng) AN=ON 時(shí)，Z NAO=Z AON=45。，Z ANO=90°, a=90°+45°=135°,田、當(dāng) AN=AO 時(shí)，旋轉(zhuǎn)角 a=Z ANO+90

26、°=67.5+90=157.5°,綜上所述：若 AON是等腰三角形時(shí)，a的值是22.5?；?5?；?12.5。或135。或157.5。.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性 質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng) AON是等腰三角形時(shí)，求a的度數(shù)是本題 的難點(diǎn).7.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形 性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等. 理解：如圖，在 ABC中，CD是AB邊上的中線，那么 ACD和 BCD是“友好三角 形”，并且 SaACD=SaBCD.應(yīng)用：如圖，

27、在矩形ABCD中，AB=4, BC=6,點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF, AF 與BE交于點(diǎn)0.(1)求證： AOB和 AOE是“友好三角形”：(2)連接0D,若AAOE和 DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面枳.探究：在 ABC中，Z A=30% AB=4,點(diǎn)D在線段AB上，連接CD, ACD和 BCD是“友 好三角形”，將 ACD沿CD所在直線翻折，得到AAtD,若 AID與 ABC重合部分的面1積等于 ABC面積的可請直接寫出 ABC的面枳.圖圖【答案】（1）見解析；（2） 12；探究：2或2y%【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊

28、形ABFE是平 行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB,即可證得 AOE和 AOB是友好三角 形；（2） AOE和 DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得 ABE、 ABF的面積,根據(jù)S四邊彩cdof=S矩彩ab8-2Sa abf即可求解.探究：畫出符合條件的兩種情況：求出四邊形ADCB是平行四邊形，求出BC和ZVD推 出NACB=90。，根據(jù)三角形面積公式求出即可；求出高CQ,求出 A，DC的面積.即可求 出 ABC的面積.試題解析：（1）.四邊形ABCD是矩形，/. ADII BC, AE=BF,四邊形ABFE是平行四邊形，/. OE=OB, AOE和 AOB

29、是友好三角形.（2） AOE和 DOE是友好三角形，1Sa aoe=Sa doe> AE=ED=2AD=3, AOB與 AOE是友好三角形，Sa A0B=Sa AOE， A0E2 FOB,Sa AOE=S fob，Sa AOD=S ABF,1S 四邊影cdof二S 矩影abcd-2sA abf=4x6-2x x4x3=12.探究：解：分為兩種情況：如圖1," Sa ACD=Sa BCD.1/. ad=bd=2ab,;沿CD折疊A和A重合, AD=AzD=2AB=2x4=2,1a AfCD與 ABC重合部分的面積等于 ABC面積的", 11112 2 二 Sa DOC=

30、'Sa ABC='Sa BDC="a ADC= Sa A'DC， DO=OB, A'O=CO,四邊形A'DCB是平行四邊形，BC=A'D=2,過B作BMLAC于M, AB=4, Z BAC=30°, 1 bmNab=2=bc,即C和M重合， . Z ACB=90°,由勾股定理得：AC八卬二7=2、'1 1. ABC的面積是，xBCxAC=2x2x23=2遍；如圖2,BSa ACD=S BCD.1 ad=bHab,.沿CD折疊A和A'重合，1 1 aD=A'dNaB='x4=2,1: A

31、tD與 ABC重合部分的面積等于 ABC面積的I2 2 ' Sa DOC= ABC= Sa BDC= Sa ADC= Sa AQC， . DO=OA BO=CO, 四邊形A'BDC是平行四邊形， . A'C=BD=2,過C作CQ±AfD于Q, / A'C=2, Z DA'ON BAC=30°,1cqNaui,1 1Sa abc=2S adc=2S a dc=2xxA/DxCQ=2xx2x1=2；即 ABC的面積是2或23.考點(diǎn)：四邊形綜合題.8.猜想與證明：如圖1,擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，

32、CE在邊 CD上，連接AF,若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME,試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你 的結(jié)論.拓展與延伸：(1)若將"猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不 變，則DM和ME的關(guān)系為.(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF證明見解析.r金 圖2 B試題分析：延長EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADII EF,得到 FME和 AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)R3 HDE得至lj HM=DE,則可以得到答案：(1)、延長 EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADI

33、I EF,得到 FME和 AMH全等，得 到HM=EM,根據(jù)RSHDE得到HM=DE,則可以得到答案；(2)、連接AE,根據(jù)正方形 的性質(zhì)得出N FCE=45°, Z FCA=45°,根據(jù) RTA ADF 中 AM=MF 得出 DM=AM=MF,根據(jù) RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME,從而說明 DM=ME.試題解析：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H, 四邊形ABCD和CEFG是矩形，.ADII EF,Z EFM=Z HAM,又 N FME=N AMH, FM=AM,(NEFM 二在4 FME 和 AMH 中，( FM二AN |/FME :/ANH FME里

34、 AMH (ASA) HM=EM,在 RTAHDE 中,HM=DE, DM=HM=ME, DM=ME.(1)、如圖1,延長EM交AD于點(diǎn)H,四邊形ABCD和CEFG是矩形，/. ADII EF,Z EFM=Z HAM,又 N FME=N AMH, FM=AM,(ZEFN=HAi!在 FME 和 AMH 中， n-M |/FME 二 N ANH FME里 AMH (ASA) HM=EM,在 RTZHDE 中，HM=EM DM=HM=ME, DM=ME,(2)、如圖2,連接AE,V四邊形ABCD和ECGF是正方形，. Z FCE=45°, Z FCA=45°,角形的性質(zhì)即可得到

35、結(jié)論；(3)如圖3,連接AB, AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N ABC=N BAC=45。，Z MAN=45°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出也=半，得至IJBM=2, CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案. CN AC詳解：(1) NCII AB,理由如下： ABC與 MN是等邊三角形，AB=AC, AM=AN, Z BAC=Z MANJ=60 Z BAM=Z CAN,在 ABM與 ACN中，AB = AC< NBAM = ZCAN ,AM = AN ABM空 ACN (SAS), Z B=Z ACN=60°,Z ANC+Z ACN+Z CAN=Z ANC+60°

36、+Z CAN=180°, Z ANC+Z MAN+Z BAM=Z ANC+60°+Z CAN=Z BAN+Z ANC=180°, CNII AB；(2) Z ABC=Z ACN,理由如下：AB AM =1 且N ABC=Z AMN,BC MN ABC-A amnAB AC而一麗AB=BC,1/. Z BAC=- (1800 - Z ABC), 2AM=MN1Z MAN=- (1800-N AMN), 2Z ABC=Z AMN,Z BAC=Z MAN,Z BAM=Z CAN, ABM-A ACN, Z ABC=Z ACN；(3)如圖3,連接AB, AN,四邊形ADB

37、C, AMEF為正方形， Z ABC=Z BAC=45°, Z MAN=45°, Z BAC - Z MAC=Z MAN - Z MAC即N BAM=Z CAN,.四*sBC ANAB AC而一麗 ABM-A ACNBM AB, CNAC'CN ACJ2 =cos450= 2_ ,BM AB2.x/2 _ V2BM 2 BM=2,. CM=BC - BM=8, 在 RtA AMC,AM=4AC? + MC? = J10? + 6 = 2向, . EF=AM=2、/JT.點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的 性質(zhì)、全等三角形的

38、性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識：本 題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.10.如圖1,矩形ABCD中，AB=8, AD=6；點(diǎn)E是對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,作 EF_LCE交AB邊于點(diǎn)F,以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG,作其對角線相交于點(diǎn)H.（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，CE=, CG=；如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時(shí)，CE=, CG=；（2）在圖1,連接BG,當(dāng)矩形CEFG隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，猜想 EBG的形狀？并 加以證明；（3）在圖1,詈的值是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由；（4）在圖1,設(shè)DE的長為

39、X,矩形CEFG的面積為S,試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直 接寫出X的取值范圍.【答案】（1）一，一，5,寧；（2） EBG是直角三角形，理由詳見解析；（3） ,3433 9 4832；（4） S= x2x+48 （0<x<一）.4455【解析】【分析】（1）利用面枳法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可；利用直角三角形斜邊中線 定理求出CE,再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF即可；（2）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這 個(gè)三角形是直角三角形即可判斷；（3）只要證明4 DCE BCG,即可解決問題；（4）利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可;

40、【詳解】（1）如圖2中，在 BAD 中，BD=J心+ g=1。，11S& bcd= CD>BC= BDCE, 22CE=y- - CG=BE=小6?一（斗尸=四.如圖3中，過點(diǎn)E作MNJLAM交AB于N,交CD于M.,/ DE=BE,1 CE=-BD=5, 2 / CME ENF,.CM _ EN 一ceef' CG=EF=, 4(2)結(jié)論：AEBG是直角三角形.理由：如圖1中，連接BH.? £有A F B圖1在 R3BCF 中，/ FH=CH, bh=fh=ch, 四邊形EFGC是矩形， EH=HG=HF=HC, BH=EH=HG, a EBG是直角三角形.(

41、3) F 如圖 1 中，e HE=HC=HG=HB=HFt.C、E、F、B、G 五點(diǎn)共圓， / EF=CG,Z CBG=Z EBF, / CD II AB,Z EBF=Z CDE,Z CBG=Z CDE,/ Z DCB=Z ECG=90°, Z DCE=Z BCG, DCE BCG,CG BC 6 3CEDCS4'(4)由(3)可知：CG CD _ 3矩形CEFG矩形ABCD,.S矩形cefg _( CE )2 _ CES 矩形CD 64CE2= （x） 2+）- S 矩形abcd=48,5533724*- S 矩形 CEFG二一（X ） 2+（ ）2.4553 4832矩形

42、 CEFG 的面積 S= - x2x+48 （0<x<）.4 55【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三 角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解 決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸 題.11.小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：對折矩形紙片ABCD（AB>BC）,使AB 與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P 處，再折出PB、PC,最后用筆畫出 PBC（圖1）.I）（1）求證：圖1中的APBC是正三角形

43、：（2）如圖2,小明在矩形紙片HUK上又畫了一個(gè)正三角形IMN,其中IJ=6cm,且 HM=JN.求證：IH=IJ請求出NJ的長；（3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm,當(dāng)另一邊的長度a變化時(shí)，在矩形紙片 上總能畫出最大的正三角形，但位置會(huì)有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示 意圖（作圖工具不限，能說明問題即可），并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析；12-6JJ （3） 3jJVaV4。，a> 4退【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC, PB=CB,得出PB=PC=CB即可；（2）利用"HL”證R

44、tA IHM些RtA UN即可得；IJ上取一點(diǎn)Q,使QI=QN,由RtA IHMRtA UN 知 HIM=Z JIN=15% 繼而可得N NQJ=30°,設(shè) NJ=x,則 IQ=QN=2x、 QJ=JJx,根據(jù)U=IQ+QJ求出x即可得：（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可.（1）證明：:對折矩形紙片ABCD（AB>BC）,使AB與DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）證明：如圖/矩形AHIJ Z H=Z J=90° MNJ是等邊三角形 MI=

45、NI在 RtA MHI 和 RtA JNI 中MH = NJ RtA MH隹 RtA JNI (HL) HI=IJ在線段U上取點(diǎn)Q,使IQ=NQ,/ RtA IHM經(jīng) RtA UN,A Z HIM=Z JIN,Z HIJ=90 Z MIN=60°,Z HIM=Z JIN=15°,由 QI=QN 知N JIN=Z QNI=15°,Z NQJ=30°,設(shè) NJ=x,則 IQ=QN=2x, 3= JW-N八岳,IJ=6cm,2x+/=6,.x=12-6jj,即 NJ=12-6jJ (cm).(3)分三種情況:如圖:設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0Vb6,則 tar

46、)60°=Y b , 2,a一小b d- 920vb4述=36； 2如圖當(dāng)DF與DC重合時(shí)，DF=DE=6, a=sin60°xDE= = 33，當(dāng)DE與DA重合時(shí)，8=福=爰=4 T , 35/3 <a<4>/3 ； 如圖 DEF是等邊三角形Z FDC=30°6 _ 6DF= cos30° y/3=4#/. a>4>/3點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性 強(qiáng)，難度較大.12.如圖1所示，（1）在正三角

47、形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P 是BC延長線上一點(diǎn)，N是N ACP的平分線上一點(diǎn)，若NAMN=60。，求證：AM=MN.（2）若將（1）中“正三角形ABC"改為"正方形ABCD”, N是N DCP的平分線上一點(diǎn)，若Z AMN=90°,則AM=MN是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由.（3）若將（2）中的正方形ABCD改為正n邊形AAAJ,其它條件不變，請你猜想：【答案】（"2）180。 n【解析】分析：（1）要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一 點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可

48、證明 AEM空 MCN,然后根據(jù)全等三角形的 對應(yīng)邊成比例得出AM=MN.（2）同（1）,要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取 一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明 AEM空 MCN,然后根據(jù)全等三角形 的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN.詳（1）證明：在邊AB上截取AE=MC,連接ME.在正 ABC 中，Z B=Z BCA=60°, AB=BC.Z NMC=1800-Z AMN-Z AMB=180°-Z B-Z AMB=Z MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM./. Z BEM=60°, Z AEM=120°

49、;.N是N ACP的平分線上一點(diǎn)， Z ACN=60°, /. Z MCN=120°.在AEM 與AMCN 中，Z MAE=Z NMC, AE=MC, Z AEM=Z MCN, AEM坐 MCN (ASA), AM=MN.(2)解：結(jié)論成立：理由：在邊AB上截取AE=MC,連接ME. 正方形 ABCD 中，Z B=Z BCD=90°, AB=BC. Z NMC=180°-Z AMN-Z AMB=180°-Z B-Z AMB=Z MAB=Z MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM, Z BEM=45°, Z AEM=135°

50、;.N是N DCP的平分線上一點(diǎn)， Z NCP=45°,. Z MCN=135°.在AEM 與AMCN 中，Z MAE=Z NMC, AE=MC, Z AEM=Z MCN, AEM坐 MCN （ASA）, AM=MN.（3）由（1）（2）可知當(dāng)N AniMN等于n邊形的內(nèi)角時(shí)，結(jié)論An-2M=MN仍然成立；即N An-2MN2"80 時(shí),結(jié)論An.2M=MN仍然成立； n小3、,r （一 2）180°】故答案為L.n點(diǎn)睛：本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，同時(shí)考查了學(xué)生 的歸納能力及分析、解決問題的能力.難度較大.13.己知：在矩

51、形ABCD中，AB = 10, BC=12,四邊形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在 矩形 ABCD 邊 AB、BC、DA 上，AE = 2.（1）如圖，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求AGFC的面積；（2）如圖，當(dāng)四邊形EFGH為菱形，且BF = a時(shí)，求 GFC的面積（用a表示）；（3）在（2）的條件下，AGFC的面積能否等于2?請說明理由.【答案】（1）10； （2） 12-a： （3）不能【解析】解：（1）過點(diǎn)G作GM±BC于M.在正方形EFGH中，Z HEF = 90°, EH = EF, Z AEH + Z BEF = 90°.Z AEH + Z AHE

52、 = 90°,/. Z AHE = Z BEF.又N A = N B = 90°,/. AHE登 BEF.同理可證4 MFG BEF. GM = BF=AE = 2. /. FC=BC-BF=10.1 1S GFC =5FCGM = - X 10 X 2 = 10 （2）過點(diǎn)G作GM_LBC交BC的延長線于M,連接HF.ADII BC, /AHF = N MFH.EHII FG, /. Z EHF = Z GFH./. Z AHE = Z MFG.又. N A = N GMF = 90°, EH=GF, AHE登 MFG. /. GM=AE = 2.1 1S GF

53、C =亍FC，GM = -（12 - a） x 2 = 12 - a （3） GFC的面枳不能等于2.說明一：丁若 Sagfc=2,則 12 a=2,a = 10.此時(shí)，在 BEF中，EF = «廊葉鏟=J（10-2）2 + 102 =/碗在 AHE中，AH 二qEH? 一 AE?=- 4后2 = ,164 一 22 二 «畫 > 12,AH>AD,即點(diǎn)H己經(jīng)不在邊AD上，故不可能有以gfc=2.說明二：AGFC的面積不能等于2. 點(diǎn)H在AD上，菱形邊EH的最大值為2%87,. BF的最大值為2vzi.丈:函數(shù)工GFC=12-a的值隨著a的增大而減小， Sagf

54、c的最小值為12-2、加.又12-272T>2,.GFC的面積不能等于2.14.正方形ABCD的邊長為1,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) （點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），CE與BD相交于點(diǎn)F,設(shè)線段BE的長度為x.（1）如圖1，當(dāng)AD=20F時(shí),求出x的值；（2）如圖2,把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接AP,設(shè)AAPE 的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.【答案】（l）x=V-l；1 1 1（2） S=-2 （x-2） 2+8（0<x<l）,1 1當(dāng)xN時(shí)，S的值最大，最大值為.【解析】試題分析：（1）過。作OMII A

55、B交CE于點(diǎn)M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得至lj OM=OF,于是得到BF=BE=x,It1-X 0 XH =求得OF=OM= 2解方程 22 ,即可得到結(jié)果；（2）過P作PG_LAB交AB的延長線于G,如圖2,根據(jù)已知條件得到N ECB=N PEG,根據(jù)1全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x,由三角形的面積公式得到S=2 （1-x） .x,根據(jù)二次函數(shù) 的性質(zhì)即可得到結(jié)論.試題解析：（1）過。作OMII AB交CE于點(diǎn)M,如圖1,OA=OC, CM=ME, AE=2OM=2OF, OM=OF,OM OF.Te = bf ， BF=BE=x, 1 -x/. OF=OM= 2 , / AB=1,叱OB= 2 ,.工+4立22(2)過P作PGLAB交AB的延長線于G,如圖2, / Z CEP=Z EBC=90°,Z ECB=Z PEG, , PE=EC, Z