2014初升高數(shù)學(xué)測試題(含答案)

1、綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021年自主招生考試數(shù)學(xué)試題本套試卷分試題卷和答題卷兩部份，試題卷共6頁，答題卷共 6頁，總分值150分，考試時間120分鐘.考前須知：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的、考試號用0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆填寫在答題卷與機(jī)讀卡對應(yīng)位置上，并認(rèn)真核對與考號；2 選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆將機(jī)讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，答在試題卷上無效；3 非選擇題主觀題用 0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應(yīng)的位置上，答在試題卷上無效作圖一律用2B鉛筆或0. 5毫米黑色簽字筆；4 考試結(jié)束后，請將

2、本試題卷、答題卷與機(jī)讀卡一并上交.第一卷選擇題，共36分選擇題本大題共12個小題，每題3分，共36分，在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1 以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是236A a a a2 2 2B(x y) x yc(a3b)2a6b223Daa a(a 0)2 方程組號11 小李騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段 時間，后為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像的解是x2 2x 3A一 1B3C一 1 或 3D丨一5或3BQ區(qū)域DN區(qū)域，假設(shè)小明想同時看到該5.南山中學(xué)高一年級有四名學(xué)生A、B、C、D參加了校團(tuán)委舉辦的“南山中學(xué)百佳、百杰學(xué)生的選舉，

3、候選人D得票比B得票多，候選人A、B得票之和超過 C、D得票之和，候選人A、C得票之和與B、D得票之和相等，那么這四人得票數(shù)由高到低的次序排列AA、D、C、B BD、B、A、C CD、A、B、C，他們依次為DA、D、B、C11116 .南山中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)們在研究15、12、10這三個數(shù)的倒數(shù)時發(fā)現(xiàn)：一一 一一，12151012他們就將具有這樣性質(zhì)的有序的三個數(shù)稱之為調(diào)和數(shù).假設(shè)x、y、2 x、y均為正整數(shù)是一組調(diào)和數(shù)，那么x、y的值A(chǔ)有一組B有兩組C有三組D有無數(shù)組7.如以下列圖所示， 在Rt ABC中，AC=3 , BC=4, D為斜邊AB上一動點(diǎn),DE 丄 BC, DF 丄 AC,

4、垂足分別為E、F，當(dāng)線段EF最小時，COS EFD的值等于ABE第7題圖EC8.如上圖所示，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且使得厶AEF為等邊三角 形，那么 AEF與梯形ABCF的面積之比為A31B子CfD4 239.函數(shù)yx , yx2 和y -在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如以下列圖所示，給出以下結(jié)論1x如果aa2，那么0a 1 ;a如果a2a1,那么a1 ;a如果1a2a，那么 1a 0 ；a如果2 a1a時，那么a1 .a那么其中正確結(jié)論的序號為ABcD入口123456第10題圖10. 上右圖為一個污水凈化塔內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等邊三角形的凈化材枓外表，

5、流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的時機(jī)相同，經(jīng)過五層凈化后流入底部的六個出口中的一個.以下判斷： 六個出口的出水量相同； 2號出口的出水量與 5號出口的出水量相同； 1 , 2, 3號出水口的出水量之比約為 1 : 5 : 10;那么更換最慢的一個三角形材枓使用的 假設(shè)凈化材枓損耗的速度與流經(jīng)其外表水的數(shù)量成正比，其中，正確的判斷個數(shù)是A1 個11.如以下列圖所示, 等于B2 個Rt ABC 中，/ A=2/ B,C3 個CD為/ C的內(nèi)角平分線，假設(shè)D4 個AD=2，貝U CDA2312.如上圖所示,點(diǎn)A、D在以BC為直徑的半圓上,D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E.假設(shè) AE

6、=3, CD = 2 5，那么 BC 等于A6C10D12時間約為更換最快的一個三角形材枓使用時間的16倍.第二卷非選擇題，共114分二填空題本大題共 6個小題，每題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上 13按以下列圖程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從 輸入一個X到 結(jié)果是否10為一次操作假設(shè)操作進(jìn)行三次才停止，那么 x的取值范圍是 輸入4第13題圖14.如以下列圖所示，直線I1、2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分別平行，且S四邊形ABCD =100, S四邊形EFGH20 ,貝y s四邊形pqrs=1cm的圓形，使之恰好圍成一個15.如上圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑

7、為 圓錐，那么圓錐的高為16.小明每天下午5點(diǎn)放學(xué)回家時，爸爸總是從家開車按時到達(dá)學(xué)校接他回家.有一天，學(xué)校提前1小時放學(xué)，小明自己步行回家，在途中遇到開車接他的爸爸， 結(jié)果比平時早了 20分鐘到家那么小明步行 分鐘遇到來接他的爸爸.17.關(guān)于X的一元二次方程x2 - a2 2a 2 x (m 1) 0對任意的實(shí)數(shù)a均有實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .18 .如右圖所示，矩形 ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O , DAC 60，邊CD上有一 DS AD點(diǎn)S,滿足.線段OC上有一點(diǎn)M , OS與MB交于點(diǎn)L,聯(lián)結(jié)CL、SM.給出以下結(jié)論:SC AC假設(shè)CMAC那么點(diǎn)L在AD的延長線上；MOA

8、OSM1假設(shè)一，那么AD=DL;CL3假設(shè)S SCMk ,2那么方程x 3kx 10無等根 SM/BD 與 SM/CL 等價;S BCM其中，正確的結(jié)論有填所有正確結(jié)論的序號三.解答題本大題共7個小題，共90分.解容許寫出文字說明.證明過程或演算步驟19.此題共2個小題，每題8分，共16分解答以下各題:1計(jì)算：1(§) 1 |sin301| ( 1)1063 8 (2021)° ；2計(jì)算：2021212021202122021 22 .20214028+1 2021202120. 本小題總分值12分做服裝生意的唐老板經(jīng)營甲、乙兩個店鋪每個店鋪在同一段時間內(nèi)都能售出A、B兩種

9、款式的服裝合計(jì) 30件，并且每售出一件 A款式和B款式服裝，甲店鋪獲利 潤分別為30元和40元，乙店鋪獲利潤分別為 27元和36元.某日唐老板進(jìn)A款式服裝35件, B款式服裝25件，怎樣分配給每個店鋪各 30件服裝，使得在保證乙店鋪獲利潤不小于950元的前提下，唐老板獲取的總利潤最大？最大總利潤是多少？21. 本小題總分值12分一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字百、年、經(jīng)、典、南、山的六個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.I假設(shè)從中任取一個球，求球上的漢字剛好是南的概率；n從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖的方法，求取出的兩個球上的漢字恰能組成

10、經(jīng)典或 南山的概率P1；川從中任取一球，記下漢字后再放回袋中，然后再從中任取一球，記取出的兩個球上的漢字恰能組成 經(jīng)典或南山的概率為P2,指出P1, P2的大小，并證明你的結(jié)論.22. 本小題總分值12分如右圖所示，點(diǎn) A 4, 0，點(diǎn)kB在y軸上，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y k 1x在第四象限的圖像只有一個公共點(diǎn). 又一次函數(shù)y x 2k的圖 像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn).當(dāng)四邊形 ABCD的面積 最小時，求k的值及面積的最小值.23. 本小題總分值12分如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)分別為 0 0, 0，A 0, 6，B 4, 6，C 4,

11、 4，D 6, 4，E 6, 0.直線l經(jīng)過點(diǎn)M，分別與 邊OA、DE相交，且將多邊形 OABCDE分成面積相等的兩局部.11I假設(shè)點(diǎn) M 0,，求直線I的函數(shù)表達(dá)式；3n是否存在一點(diǎn) M ,使得過點(diǎn)M有無數(shù)條直線I將多邊形OABCDE 分成面積相等的兩局部？假設(shè)存在，求出M的坐標(biāo)；否那么，說明理由.第23題圖24. 本小題總分值12分如以下列圖所示， QOi與G)02外切于點(diǎn)0,直線I分別與Q0、02外切于點(diǎn)A、B，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M(2.3,0)、C(0,2).I求O0,的半徑長；相似，并求出點(diǎn) P的坐標(biāo).n在直線I上找一點(diǎn)P,使得 MO.P與 MOB1 225. 本小題總分值14分

12、如以下列圖所示，過 y軸上一點(diǎn)M 0, 1丨作直線與二次函數(shù) y x4 的圖像交于 A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足為 C、D，直線I過點(diǎn)M關(guān)于原 點(diǎn)0的對稱點(diǎn)N,且與y軸垂直.過點(diǎn) A作I的垂線，垂足為 E.I當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1時，證明AM=AE;n當(dāng)直線 AB變化時點(diǎn)A與點(diǎn)0不重合，求OC OD AC BD的值；川當(dāng)直線 AB變化時點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合，試判斷直線I與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.第25題圖綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021年自主招生考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)選擇題本大題共12個小題，每題3分，共36分每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個符合 題目的要求題號

13、123456789101112答案CBBCDBADACDCC.顯然a3b2 a6b2正確，應(yīng)選擇C.(x 3)(x 1) 0x 3,應(yīng)選擇B.|x 1| 42. B.2x2 2x 33. B.顯然P、N區(qū)域只能給看到一面,M區(qū)域只能看到兩面,Q區(qū)域可以看到三面，應(yīng)選擇B.4. C.開始時勻速行駛，此時對應(yīng)的圖像為直線，函數(shù)的圖像遞減.途中因交通堵塞停留了一段時間，此時到學(xué)校的距離為常數(shù)，最后加快速度行駛對應(yīng)的曲線為上凸曲線，應(yīng)選擇5. D .用 a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票,由條件可得a b c d，于是(b d c) bcd,bc, a b (b d a)d,ad , 于是a

14、d>b c ,應(yīng)選擇D .6.B.由得2xy .當(dāng) y=1 時，x2舍去;當(dāng)y=2時，x2 ;當(dāng) y=3yx24 y3此時 EFDCDF BDEBAC，于是 cos EFDcos BAC8 . D .令 BE 由 EF2 CFS AEF疋S弟形ABCFx，貝U AECE2 得: 1-3(1 x2)42 x2AF2xEF .1 x2, DF x,CF 2(1 x)2, x 2.3.2、3，應(yīng)選擇D .9. A .由圖像知,1時,2a成立，當(dāng)a 1時,CE 1a2 a時，a2 a 1，當(dāng) aa1時,a2a，應(yīng)選擇A .10 . C .假設(shè)進(jìn)水量為1,那么從左到右的六個出水口的出水量依次為:-

15、，應(yīng)選擇A .5x(0 x 1).15 10 10 5132'32'32'32'32'32時，x 6，所以x、y的值有兩組，應(yīng)選擇 B.7. A .由 EF CD ,CD與AB垂直時，EF最小.于是正確.水流量最大與最小的三角形分別是最上面的三角形與第五排最左或最右的三角形，流經(jīng)最上面的三角形的水量為1,而流經(jīng)第五排最左或最右的三角形的水量為16于是正確.應(yīng)選擇 C .11. D .如圖，令 AB邊的高線為 CF，在CB上作一點(diǎn)E,使得 CA=CE，聯(lián)結(jié)DE，那么 CAD也B, BE DE AD 2 . CED，所以 CED CAD 2 B, BDE于是

16、BGGD .3,AB2 2.3,CA1 J3 在厶ACF中可得CF3,31屁,AF:3 V3-,FD222在厶CDF中可得CD. CF2DF2.6，應(yīng)選擇D 過E作EG丄BD交BD于G,由ABC 30 得 EG=1,12. C 如圖，延長 BA、CD交于點(diǎn)F.由條件可得 BD是等腰 BCF的角平分線,可得CDAD DE 2 5 由CDE s CAF 得CECDCE2 石 CE 5AF .CF2CA24 CFCA4.5jJ匚5CE 3BC2AB2CA2(BF AF)2 CA2,BC2(BC4)282, BC 10，應(yīng)選擇C 填空題本大題共 6個小題，每題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線

17、上ED第12題圖題號131415161718答案4 x 2360VT5cm503m413 .第一次運(yùn)行的結(jié)果為 3x 2，第二次運(yùn)行的結(jié)果為 33x 22 9x 8，第三次運(yùn)行的結(jié)果為 3(9x 8) 227 x 26 由條件得 9x 8 104 x 2 27x 26 10 314 由圖可知：S四邊形ABCD =S0邊形EFGH2S四邊形PQRS20，S四邊形pqrs 60 15 圓錐底面周長 2等于扇形的弧長，于是可得扇形的半徑等于4cm，于是圓錐的高為42 12cm 15cm 16由得，爸爸從接到他的位置A處開車到達(dá)學(xué)校 B，那么往返A(chǔ)B段開車用時為20分鐘,單程AB段開車用時10分鐘，于

18、是小明步行了 50分鐘.17 由條件得a 一2a24(m10對任意的實(shí)數(shù)a恒成立，2即(a 1)(4m3)0,4m330, m418 .設(shè) OS 與 AD交于點(diǎn)L由DSAD知AS為DAC的角平分線SCAC由 DAC 60 及 OA=OD，知DAO為正三角形，有 AD=AO又由AS平分DAC，知ASO 也 ASDASLASCASO也ASC 又DAC60，那么ACL為正角形，且S為其中心設(shè)BM與AD的延長線交于 LCMCSACAC cCM 1BMBC1注意到SM /BD2MOSDADAOAM 2MLAL2DL AD ACL為正三角形故SM/BD 點(diǎn)L與點(diǎn)L重合 點(diǎn)L在AD的延長線上S為正 ACL的

19、中心OS OM 1 SM/CL, 且 SM 1，因此正確.19. 1原式=3 | 丄 1| 122令a 2021，那么原式13 -21(a 1)(a 1) a 1 (aa2a2 2a+11 (a a 2122a12 a 2a 21) a 2021.(a 1)20 .分配給甲店鋪 A款式服裝x件x取整數(shù)，且5* 30,那么分配給甲B款式服裝30-x件. 分配給乙店鋪 A款式服裝35 - x件，分配給乙B款式服裝25 30- x=x 5件. 4分甲店鋪的利潤為y甲，那么有y甲 30x 40(30 x) 1200 10x , 6分乙店鋪的利潤為y乙，那么有y乙 27(35 x) 36(x 5) 9x

20、 765,8分于是總利潤 y總 y甲 y乙 (1200 10x)(9x 765) x 1965.2分由條件得y乙9x 765950,解得x20 5 .9要使10分x 1965隨著x的增大而減小，又x 20 5，故取x=21，即分配給甲店鋪9兩種款式服裝14件與16件.此時，既保證乙店鋪獲利潤不小于對于y總y總最大，那么x必須最小.A、B兩種款式服裝21件與9件，分配給乙店鋪950元，又保證了在此前提下,SLMC2CL3注意到SSCMSSCMSocdSOCBSCCMOCSCAC1 k,SBCMS OCDS OCBS BCMCDOCCMCD AC AD那么方程x2 3kx 10有等根1.綜上，正確

21、的結(jié)論有.三解答題本大題共7個小題，共90分解容許寫出文字說明證明過程或演算步驟121. I任取一球，共有 6種不冋結(jié)果，所以球上漢字剛好是南的概率P 13分n由題知樹狀圖如下：百年經(jīng)年經(jīng)典南山百經(jīng)典南山百年典南山典南山百年經(jīng)南山百年經(jīng)典山百年經(jīng)典南共有30種不冋取法，能滿足要求的有4種，所以P 42 5 分7分3015川P1>P2 .8分唐老板獲取的總利潤最大，最大利潤是y總21 1965 1944元.12分各種情況列表如下:百年經(jīng)典南山百白白百年經(jīng)百典百南百山百年百年年年:經(jīng)年典年南年山年:經(jīng)百經(jīng)年經(jīng)經(jīng)經(jīng)經(jīng)典南經(jīng)山經(jīng)典百典:年典經(jīng)典lTTL lTTL/、/、南典山典南百南:年南經(jīng)南典

22、南南南南山山百山:年山:經(jīng)出典出南出山山一共有36種結(jié)果，滿足要求的結(jié)果有4種，于是F2 -，所以P>P2 . 12分36922.經(jīng)過點(diǎn)A4, 0的直線的函數(shù)表達(dá)式令為 y m(x 4)(m 0) , 1分ky 2由 x可得：mx 4mx k 0 . 3分y m(x 4)因?yàn)橹本€與反比例函數(shù)圖像只有一個公共點(diǎn)，2于是 16m 4mk 0, k 4m. 5分易得 C(2k,0), D(0, 2k), B(0, k)，可得 AC 4 2k, BD 3k . 7分1 1于是恥形 abcd 2BD AC 2(3k)(42k) 3k(k 2)3k2 6k 3(k 1)2 3(k1). 10 分于是

23、當(dāng)k 1時，Sa邊形ABCD有最小值，最小值等于9. 12分23.I如圖1,延長BC交x軸于F，聯(lián)結(jié)OB、AF交于P,聯(lián)結(jié)DF、CE交于Q.易知P 2, 3，Q 5, 2是兩個矩形的中心，過 P的直線將矩形 OABF的面積平分，過 Q的 直線將矩形 CDEF的面積平分，于是直線 PQ將多邊形OABCDE的面積平分.2分第23題解答圖1第23題解答圖3直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為y1 x3114分3 .111顯然M (0,)在yx3311上3 ，且M不是GH的中點(diǎn)，故直線l的函數(shù)表達(dá)式為 y1x3115分3 .11另解如圖2,令過M (0,3)的直線的表達(dá)式為 y kx 3，與DE交于點(diǎn)H,11那么H

24、的坐標(biāo)為(6,6 k),1分那么S梯形OMHE而S多邊形OABCDE(11 6k 11) 63318k 22.24 2 432 由題意得18k2216, k1,于是直線l的表達(dá)式為y3n如圖3,1由I知直由線I的函數(shù)表達(dá)式為 y - x31 11x337，可得 GW,11), H (6,5).33令M為GH的中點(diǎn)，貝y M的坐標(biāo)為(3,8)，此即為滿足條件的點(diǎn)M .3證明如下:另取一條過點(diǎn) M (3,8)的直線分別與 OA、DE交于G、H1.3注意到線段G1H1的中點(diǎn)也為M(3,8),3那么S MGG1S MHH 1?四邊形OG1H1E S多邊形AG1H1DCB，故G1 H 1也是滿足條件的直線.由G1H1的任意性，知滿足條件的直線有無數(shù)條.8故存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為(3,).3210分12分24.I如圖1，易知tanAMO2AMO2 30 .令0。1與OO2的半徑分別是R與r，1的半徑R 2 3 .n* BO2M 60,OO2B 120 ,于是得 MOB是等腰三角形，且BOM假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) P,貝U MO1P 30 分如圖2,當(dāng) MOf 30時，由 MO